Elettrologia

Elettrologia
Diametro nucleo atomico ≃ 10-14 m
Diametro atomo ≃ 10-10 m
Massa del protone (mp) ≃ 1,67 ⋅ 10-27 kg
Massa del neutrone (mn) ≃ 1,67 ⋅ 10-27 kg
Massa dell'elettrone (me) ≃ 9,1 ⋅ 10-31 kg
Carica del protone (p) = 1,6 ⋅ 10-19 C
Carica del neutrone = 0 C
Carica dell'elettrone (e) = -1,6 ⋅ 10-19 C
Elettrizzazione: Spostamento di elettroni
1. Per strofinio
2. Per contatto
3. Per induzione (solo per caricare negativamente)
Conservazione della carica: la somma algebrica delle cariche non varia
FORZA ELETTRICA - forza di Coulomb (FC)
Dalle osservazioni sperimentali si ricava che:
- La forza è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche
- La forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (Esperimento di Franklin:
all'interno di un guscio sferico uniformemente carico la FC = 0)
- La forza è diretta lungo la congiungente dei centri di massa
- Dipende dalla costante k0 (nel vuoto e nell'aria) ricavata da Coulomb grazie al pendolo di torsione
F C =k 0
q1 q 2
d
2
k0 = 8,9876 ⋅ 109 Nm2/C2
Esprimendolo con la costante dielettrica:
F C=
1 q 1 q2
ε0 = 8,854 ⋅ 10-12 C2/Nm2
4 π ϵ0 d 2
CAMPO ELETTRICO (E espressa in N/C)
Ente fisico generato da una carica che da origine a una forza attraverso l'interazione con un'altra
carica.
Q: Carica generatrice del campo
q: Carica di prova (positiva e q<<Q)
⃗
F
Q
⃗
E = =k 0 2
q
d
Rappresentazione del campo elettrico:
Linea di campo:
- linea orientata le cui tangenti coincidono con la direzione di E nel punto di
tangenza
- Individua in ogni suo punto direzione e verso del campo
- Dove sono più fitte le linee è più intenso il campo
Condensatore: due lamine (armature) una positiva e l'altra caricata negativamente per induzione
Supponendo che la lunghezza l delle armature sia molto maggiore della loro distanza d:
- Fuori dalle armature E = 0 (se d è trscurabile)
- Tra le armature il campo elettrico è uniforme (i vettori sono paralleli, equiversi e di uguale
intensità)
- Ai bordi del condensatore si verifica il fenomeno della smarginatura
FLUSSO DI CAMPO VETTORIALE
Esprime la quantità di linee di campo (uniforme) che attraversano una
superficie S di area A. Alla superficie viene fatto corrispondere un
versore n (di modulo unitario) che identifica l'inclinazione di S rispetto al
campo.
ΦS ( ⃗
E )= ⃗
E ×⃗n A= E⋅A⋅cos α
Nel caso in cui il campo elettrico non fosse uniforme, si procede
assimilando S a tante superfici di area dA in cui il campo risulti uniforme.
d ΦdS ( E⃗ i )= E⃗ i ×n⃗i dA
Quindi il flusso totale sara:
N
ΦS ( ⃗
E )=∑ E⃗ i× n⃗i⋅dA
i=1
N
⃗ ×⃗n⋅dA
lim ∑ E⃗ i× n⃗i⋅dA=∫ E
N →∞ i=1
1- Flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa che non contiene cariche:
CASO 1: campo elettrico uniforme
I versori delle facce ACHE e BFDG formano rispettivamente angoli di 180° e
0° con la direzione di E; gli altri sono perpendicolari alla direzionequindi non
danno contributo al flusso.
ΦS ( ⃗
E )= ⃗
E × n⃗1 A+ ⃗
E × n⃗2 A=E⋅A⋅cos 180 ° + E⋅A⋅cos 0 °=0
CASO 2: campo elettrico non uniforme
La superficie può essere idealizzata in infinite superfici cubiche ciascuna
attraversata da un campo elettrico uniforme. Per ciascuna vale la relazione precedente, quindi la
sommatoria dà come risultato 0.
Il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa non contenente cariche al suo
interno è sempre nullo
2- Flusso di un campo elettrico attraverso una superficie sferica contenente una carica nel suo
centro:
- In tutti i punti della superficie il modulo di E è uguale
- In ogni punto della superficie n è parallelo ed equiverso ad E
N
ΦS ( ⃗
E )=∑ E⃗ i⋅dA⋅cos 0 ° =E⋅A=
i=1
N
1 Q
Q
⋅4 π r 2= ϵ TEOREMA DI GAUSS
2
0
4 π ϵ0 r
∑ Qi
ΦS ( ⃗
E )= i =1ϵ0
nel caso di più cariche
Se Q non si trova al centro della sfera possiamo immaginare di delimitare Q al centro si una
superficie sferica S'; poiché sappiamo calcolare il flusso in S' e nel resto della superficie s non è
contenuta alcuna carica si ha:
Q
ΦS ( ⃗
E )=Φ S ' ( ⃗
E )= ϵ
0
Applicazioni del teorema di Gauss
1. Lamina uniformemente carica (E perpendicolare alla lamina)
Immaginando di intersecare con la lamina una superficie cilindrica di area A perpendicolare alla
lamina:
Q
ΦS ( ⃗
E )=E⋅A+ E⋅A=2 E⋅A e per il teorema di Gauss Φ S ( ⃗
E )= ϵ
Q
Si definisca una densità superficiale di carica: σ=
A
σA
Eguagliando le formule si ottiene 2 E A= ϵ
e quindi:
0
0
E= σ (per punti vicino alla lamina)
2 ϵ0
2. Campo elettrico all'interno di un condensatore
Immaginando di intersecare con una delle lamine una superficie cilindrica di area A perpendicolare
alla lamina:
ΦS ( ⃗
E )=E⋅A (rispetto al caso precedente, all'esterno il campo è nullo)
Q σA
ΦS ( ⃗
E )= ϵ = ϵ
0
0
Quindi, eguagliando le formule:
E= ϵσ
0
3. Teorema di Coulomb
Preso un corpo conduttore uniformemente carico e in equilibrio, caratterizzato quindi da:
E = 0 all'interno;
E all'esterno perpendicolare in ogni punto alla superficie del corpo (se così non fosse le cariche
subirebbero forze orizzontali e non sarebbero in equilibrio).
Si immagina di costruire una superficie cilindrica con altezza perpendicolare alla superficie.
Si ha:
ΦS ( ⃗
E )=E⋅A (si ricordi che all'interno il campo è nullo) e, per il teorema di Gauss
Q σA
ΦS ( ⃗
E )= ϵ = ϵ
0
0
Quindi, eguagliando le formule:
E= ϵσ in punti esterni vicini al conduttore
0
4. Filo rettilineo uniformemente carico
Si immagina di costruire una superficie cilindrica di raggio r e di asse coincidente a l (lunghezza del
filo).
Il campo è perpendicolare al filo, quindi sulle superfici di base il flusso è 0.
ΦS ( ⃗
E )=E⋅A=2 π r l⋅E
Q
Q λl
E )= ϵ = ϵ
, per il teorema di Gauss si ha Φ S ( ⃗
0
0
l
1
Quindi, eguagliando le formule: E= λ ⋅ (si noti che dipende dalla distanza ma non al
2 π ϵ0 r
Definita la densità lineare
λ=
quadrato)
ENERGIA POTENZIALE
1- Lavoro di una forza generata da un campo elettrico uniforme
Analogamente a quanto avviene per il campo gravitazionale si ha:
L A → B=F⋅AB=qE⋅(x A− x B )=qEx A−qEx B =U A−U B =−Δ U
2- Lavoro di una forza generata da un campo elettrico non uniforme
Campo generato da una carica puntiforme positiva
Presa una carica q molto minore della carica generatrice Q si ha:
F=
qQ 1
⋅
4 π ϵ0 r 2
Per approssimare L si dovrebbe calcolare
FM=
F A+ F B
e
2
L M =F M⋅( r A−r B) ; Ripetendo il
procedimento per intervalli dr tendenti a 0 il lavoro diventa la somma dei singoli lavori calcolati
sugli intervalli. Quindi:
N
L A → B= lim ∑
N →∞ i=1
rB
F i + F i +1
1 Qq
Qq
1 1
⋅(r i+1 −r i )=∫
⋅ 2 ⋅dr =
⋅( − )
2
4 π ϵ0 r
4 π ϵ0 r A r B
r
A
Definiamo infine il lavoro necessario per portare una carica da un punto A a distanza r A ad un
riferimento all'infinito:
U A=
Qq 1
⋅
4 π ϵ0 r A
Anche se il campo elettrico non è uniforme il lavoro non dipende dalla traiettoria (basta
approssimare la traiettoria in punti che stanno sulle linee di campo e sui tratti concentrici; in
queste ultime il lavoro è 0).
POTENZIALE (V)
Si definisce potenziale l'energia potenziale quozientata per la carica di prova
UA
= E x A e Δ V =V B−V A=E ( x B −x A)=−E d
q
UA
Q 1
Se il campo non è uniforme: V A=
=
⋅
q
4 π ϵ0 r A
Se il campo è uniforme: V A=
1 eV = e ⋅ 1V= 1,16 ⋅ 10-13 J
ANALOGIE TRA CAMPO ELETTRICO E CAMPO GRAVITAZIONALE
⃗=
Campo gravitazionale H
⃗
F
M
=G 2 (=g)
m
d
Sulla superficie terrestre è uniforme, negli altri casi è radiale.
L=m H ( h1−h2 )
L=−G M m(
V=H h
V =−G M
H→E
m→q
1
r1
1 1
− )
r1 r 2
G → k0
N
⃗ )=−4 π G ∑ M i
Inoltre: Φ S ( H
i=1
CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO
Nel caso di un campo uniforme si tratta semplicemente di far compiere ad una carica un cammino
chiuso che partendo da A la riporti a questo stesso punto (quindi UA-UA=0).
Supponendo un percorso rettangolare, si compie lavoro solo per spostamenti nella direzione del
campo; ma questi due sono uguali in modulo ma in verso opposto e quindi si annullano. Per percorsi
complessi basta approssimare il percorso a tanti rettangoli e alla fine si avrà:
N
N
i=1
i=1
∑ F⃗i×Δ s=∑ E⃗ i×Δ s=0
Quindi la circuitazione nel campo elettrico è pari a zero e non dovendo spendere energia se ne
deduce che il campo elettrico è conservativo.
Per quanto riguarda il campo non uniforme vale lo stesso principio a patto di approssimare il
percorso alle linee di campo e equipotenziali.
CONDUTTORI CARICHI IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO
A.1 Prendo un conduttore carico; la carica è distribuita sulla superficie esterna del conduttore
(esperienza di Franklin); questo è possibile perché le cariche, libere di muoversi respingendosi si
allontanano il più possibile;
A.2 Il campo in punti prossimi alla superficie è perpendicolare alla stessa;
A.3 La componente del campo elettrico lungo un qualunque segmento AB appartenente alla
superficie del conduttore è nulla; quindi ΔV è costante. Estendendo il ragionamento a qualunque
coppia di punti vicini appartenenti alla superficie del conduttore si deduce che il conduttore ha la
superficie equipotenziale qualunque sia la sua forma;
A.4 Ogni punto interno si trova allo stesso potenziale della sua superficie (se così non fosse i campi
elettrici che si verrebbero a stabilire altererebbero le posizioni delle cariche);
A.5 Quindi all'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo.
B.1 Il campo elettrico all'interno del conduttore è nullo (poiché il conduttore è in equilibrio non può
essere altrimenti);
B.2 Se E = 0 allora lo è anche ΔV (E x AB = ΔV); quindi tutti i punti del conduttore si trovano allo
stesso potenziale;
B.3 Presa una qualunque superficie tutta interna al conduttore, se il campo elettrico è nullo, per il
teorema di Gauss lo deve essere anche il flusso che la attraversa; ciò significa che le cariche libere
si possono trovare solo sulla superficie del conduttore in equilibrio elettrostatico.
Sfera carica in equilibrio elettrostatico
Per il teorema di Coulomb sappiamo che
Q
2
4πR
1
Q
il che equivale a supporre
E= ϵσ0 = ϵ0 =
⋅
4 π ϵ 0 R2
che la carica, distribuita sulla superficie del conduttore, sia concentrata nel centro di questo.
Definito R raggio della sfera e r la distanza dal centro del conduttore si avrà:
r<R
E=0
r=R
E=
1 Q
⋅
4 π ϵ0 R
1 Q
V=
⋅
4 π ϵ0 R
1 Q
V=
⋅
4 π ϵ0 r
V=
1
Q
⋅ 2
4 π ϵ0 R
1 Q
E=
⋅
4 π ϵ0 r 2
r>R
DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI CARICA IN CONDUTTORI NON SFERICI
Si supponga di avere due sfere poste a grande distanza (in modo non influenzino a vicenda le
distribuzioni di carica) ma collegate da un sottile filo metallico. Si supponga inoltre di caricare il
sistema; quando le cariche avranno raggiunto il loro equilibrio elettrostatico le due sfere si
troveranno allo stesso potenziale:
V=
1 Q1
1 Q2
da cui, semplificando
⋅ =
⋅
4 π ϵ 0 R1 4 π ϵ0 R 2
Q1 Q2
=
R1 R2
Poiché i valori di densità delle cariche sono dati da:
σ1 =
Q1
4π R
2
1
e σ 2=
Q2
2
4 π R2
σ 1 R2
si giunge alla relazione: σ =
2
R
1
Se ne deduce che nei conduttori in cui il raggio è minore (come quelli a punta) E è molto intenso.
CAPACITÀ ELETTRICA (C)
La capacità elettrica dipende solo dalle caratteristiche geometriche del conduttore e dalle
caratteristiche fisiche del mezzo materiale in cui si trova; è espresso dalla relazione:
C=
Q
nel caso particolare della sfera C=4 π ϵ 0 R
V
Rigidità dielettrica
Non è possibile caricare un conduttore illimitatamente, poiché all'aumentare della densità di carica
aumenta anche il campo elettrico nelle sue vicinanze; superato un certo valore, ionizza le molecole
circostanti generando coppie di cariche positive e negative che tendono a scaricare il conduttore.
Per quanto riguarda l'aria, questo valore di intensità massima è circa 2,2 ⋅ 106 V/m
Condensatore
Prese due armature caricate di segno opposto, molto ravvicinate (a distanza d) e molto estese di
area S si ha:
Q=σ S
E= ϵσ
0
Δ V =E d = ϵσ d
0
Q
σS
S
= σ =ϵ0
da cui si ottiene: C=
ΔV ϵ d
d
0
Se ne deduce che i condensatori permettono di aumentare notevolmente la capacità elettrica
soprattutto se immersi in una sostanza diversa dall'aria.
ENERGIA DI UN CONDENSATORE CARICO
Partendo da un condensatore scarico, poiché la creazione di una carica positiva su un'armatura e
negativa sull'altra è equivalente al trasferimento di tale carica da un'armatura all'altra, si ha:
L1=0
1) Δq
E1
L 2=Δ q⋅E 1 d
2) Δq
E2 (>E1)
L 2=Δ q⋅E 2 d
3) Δq
E3
...
L n=Δ q⋅E n −1 d
n) Δq
En
Quindi il lavoro elementare dL per trasferire la carica dq da un'armatura all'altra è dato da:
q
dL=Δ V⋅dq= ⋅dq
C
Q
da cui si ottiene:
q
1 Q2
L=∫ ⋅dq=
2 C
0 C
COLLEGAMENTO DI CONDENSATORI
Serie: L'armatura carica negativamente di uno è collegato a quella carica positivamente dell'altro
VA-VC=VA-VB+VB-VC
ΔVeq=ΔV1-ΔV2
Definiamo condensatore equivalente dotato di carica Qeq=Q1=Q2
ΔV=Q/C quindi:
Q eq Q 1 Q1
= +
C eq C 1 C 1
N
da cui generalizzando
1
1
=∑
C eq i=1 C i
Parallelo: Collegati in modo da trovarsi sottoposti alla medesima differenza di potenziale
ΔV=VA-VB=ΔV1=ΔV2
Definiamo condensatore equivalente dotato di carica Qeq=Q1+Q2
N
C eq⋅Δ V =C 1 Δ V 1+C 2 Δ V 2
da cui generalizzando C eq =∑ C i
i=1
Esperimento di Millikan (Carica dell'elettrone)
Supponiamo di poter disporre di particelle molto piccole dotate di massa m, e cariche (ad es.
goccioline d'olio elettrizzate per strofinio con un nebulizzatore). Si introducano fra due piastre di
carica opposta, che generano cioè un campo elettrico.
Sulle particelle agiscono 3 forze: il peso, la spinta di Archimede e la forza elettrica; precisamente si
ha: P−F A=F E da cui m g−V δ aria g=q E
4
3
3
Si ricordi che m=V δolio= π r ⋅δ olio (si suppone che le particelle assumano forma sferica)
Risulta a questo punto indispensabile sapere quanto misura il raggio della particella; per scoprirlo
utilizziamo la formula dell'attrito viscoso: F AV =6 π ηr v L
Per ottenere la velocità limite basterà misurare la velocità di caduta della particella in assenza del
campo elettrico. Quindi applicando la relazione P−F A=F AV otteniamo:
√
9 ηv L
4 3
4
π r δolio g − π r 3 δ aria g=6 π ηr v L da cui il raggio r =
3
3
2 g (δolio −δaria )
Infine, dalla relazione iniziale otteniamo:
4 3
π r g (δ olio−δ aria )
18 π η3 / 2 v 3L/ 2
3
q=
=
E
√ 2 g ( δolio−δaria )⋅E
Ripetendo più volte l'esperienza si possono ottenere molti valori il cui confronto indica che essi sono
sempre multipli della carica elementare dell'elettrone: q=k q e
Energia dell'elettrone dell'atomo d'idrogeno
Supponendo che l'elettrone si muova di moto circolare uniforme si ha:
1
1 qn qe
E C = m e v 2e e E P=−
dove qn indica la carica del nucleo.
2
4 π ϵ0 r
Poiché il moto elettronico è determinato dalla forza di Coulomb fra nucleo ed elettrone si può
2
ve
1 q n qe
1 qn q e
2
=me
scrivere:
da cui m e v e =
2
4 π ϵ0 r
r
4 π ϵ0 r
Possiamo quindi calcolare l'energia totale:
1
1 q n qe 1 1 qn q e
1 q n qe
1 qn qe
E tot =E C + E P = me v e2+(−
)= (
)+(−
)=−
2
4 π ϵ0 r
2 4 π ϵ0 r
4 π ϵ0 r
8 π ϵ0 r
Introducendo i valori (r≃5,3 ⋅ 10-11 m) otterremo:
Etot≃-2,17 ⋅ 10-18 J a cui corrisponde il potenziale di ionizzazione V≃13,6 V
Dimensioni del nucleo
Rutherford aveva osservato che la deviazione delle particelle α obbedisce alla legge di Coulomb
solo fino a quando la loro energia non supera i 7 MeV (≃1,1 ⋅ 10-12 J), oltre i quali si può dedurre che
le particelle penetrano addirittura entro la “sfera” nucleare. Sostituendo nell'equazione:
1
1 qn q α
l'energia cinetica delle particelle α, qn (≃1,26 ⋅ 10-17 C) e qα (≃3,2 ⋅ 10-19 C) si
mα v 2α=
2
4 π ϵ0 d
ottiene il raggio approssimato del nucleo: d≃3,3 ⋅ 10-14 m
CORRENTE ELETTRICA (nei conduttori metallici)
Il valore trovato dell'energia dell'elettrone dell'atomo d'idrogeno deve considerarsi piuttosto
elevato; questo risulta più evidente applicando la formula di Clausius ad un gas di atomi d'idrogeno
in cui ciascuno possieda EC≃2,17 ⋅ 10-18 J. Si ha infatti:
3
2
1
k T =2,17⋅10−18 J da cui T =2,17⋅10−18⋅ ⋅
≈105 K
2
3 1,38⋅10−23
Nel caso di atomi isolati, le energie di legame riescono a compensare l'energia degli elettroni e di
conseguenza hanno una struttura elettronica stabile.
La situazione muta nel caso di un aggregato solido, in cui gli elettroni sono soggetti anche alle forze
elettriche prodotte dai nuclei e dagli elettroni degli atomi circostanti. In alcune sostanze questo
porta all'indebolimento del legame per gli elettroni dei gusci atomici più esterni; di conseguenza
questi sono liberi di muoversi nel reticolo cristallino formando quindi un gas di elettroni.
Sostanze di questo genere sono definite conduttori elettrici. Al contrario, negli isolanti elettrici,
le forze di legame sono molto intense e trattengono saldamente gli elettroni intorno ai rispettivi
atomi.
Applicando la formula dell'energia cinetica e la formula di Clausius otteniamo:
√
3
1
3k T
2
k T = me v e da cui v e =
che definiamo velocità di agitazione termica.
2
2
me
Assumendo per esempio una temperatura di 300K otteniamo v=1,17 ⋅ 105 m/s. Nonostante questa
considerevole velocità gli elettroni non sfuggono dal reticolo cristallino. Infatti la superficie del
reticolo può essere vista come un doppio strato elettrico caratterizzato da una carica positiva
all'interno del materiale e da una carica negativa all'esterno. Una situazione di questo tipo genera
un campo elettrico che punta verso l'esterno e di conseguenza sarà in grado di richiamare
all'interno gli elettroni che sfuggono dal reticolo.
Supponendo di applicare un campo elettrico ad un blocco di sostanza conduttrice, su ciascun
elettrone agirebbe una forza espressa dalla relazione -eE che tende a spostare gli elettroni lungo le
linee di forza del campo. Al moto caotico dovuto all'energia termica si sostituisce un moto
uniformemente accelerato. Per calcolare la nuova velocità posseduta dagli elettroni è necessario
introdurre una nuova grandezza fisica.
Si definisce intensità di una corrente elettrica che fluisce in un conduttore il rapporto fra la
carica totale che in un certo tempo attraversa una generica sezione di riferimento del conduttore
divisa per l'intervallo di tempo stesso:
ΔQ
con unità di misura Ampere (A) corrispondente a Coulomb al secondo
Δt
Nq
Definendo con N il numero di portatori di carica si ha: i=
Δt
i=
È ora necessario determinare N. Tutti i portatori di carica sono caratterizzati da una stessa velocità
e passano attraverso una sezione di riferimento S del conduttore. In un tempo Δt saranno in grado
di attraversare la sezione S tutti i portatori compresi nella porzione altezza v Δt. Quindi, indicando
con n il numero di elettroni di conduzione contenuti nell'unità di volume della sostanza, si ha:
N =n S v Δ t
Sostituendolo nell'intensità si ha:
i=
Nq
i
=n S v q da cui si ricava la velocità di deriva v=
Δt
qnS
Tenendo conto che per i buoni conduttori n è circa 1028 elettroni/m3 e assegnando ad S 1 mm2 e a i
1 A si ottiene una velocità di circa 1 mm/s (molto minore della velocità di agitazione termica).
LEGGI DI OHM
Tra l'intensità di corrente che fluisce in un conduttore e la differenza di potenziale agli estremi di un
suo tratto AB esiste una relazione di proporzionalità diretta esprimibile con:
Δ V =R i
dove R (unità di misura Ω) indica la resistenza elettrica del tratto AB del conduttore.
Il valore delle resistenza elettrica di un elemento conduttore dipende dalle sue caratteristiche
fisiche e dalla sua forma geometrica. Precisamente, si ha:
R=ρ
l
S
in cui l e S indicano rispettivamente la lunghezza del conduttore e l'area della sua sezione
trasversale mentre ρ è una costante di proporzionalità dipendente dalle caratteristiche fisiche del
materiale di cui è fatto il conduttore e viene chiamata resistività (Ωm).
Interpretazione microscopica della seconda legge di Ohm:
In un conduttore a cui viene applicato un campo elettrico, ogni elettrone subisce una forza
F=e ⋅ E, da cui si deduce che l'elettrone ha un'accelerazione pari a:
ae=
eE
me
Chiamando λ il cammino libero medio, ossia la distanza tra un urto e l'altro dell'elettrone nel
reticolo cristallino, sappiamo che:
Δ t= λ (ricorda che vT indica la velocità di agitazione termica)
vT
Possiamo così calcolare la velocità di deriva: v D=ae⋅Δ t=
eEλ
me v T
Poiché la differenza di potenziale del conduttore vale ΔV=E ⋅ l, si ha:
i=n S e v D =
n e2 S E λ n e2 S Δ V λ
=
me v T
me v T l
Infine per la prima legge di Ohm:
R=
me v T l
⋅
n e2 λ S
Poiché in una certa misura la resistività dipende dalla temperatura del materiale, si è definita una
nuova formula:
ρt=ρo (1+α t)
dove ρ0 indica la resistività a 0 °C e α un coefficiente di proporzionalità variabile da materiale a
materiale chiamato coefficiente di temperatura.
È importante far notare che questa relazione non esprime più correttamente la dipendenza tra
resistività e temperatura al di sotto di circa -50 °C; inoltre, alcuni metalli alla temperatura di pochi
kelvin assumono resistività nulla. Questo comportamento è chiamato superconduttività.
Effetto Joule
Consiste nello sviluppo di calore da parte di un elemento conduttore percorso da corrente elettrica.
Infatti il lavoro prodotto dalle forze del campo elettrico conferisce energia cinetica agli elettroni;
questa deve però essere ceduta agli ioni del reticolo il che conduce ad uno sviluppo di calore.
Poiché q=i Δt, ΔV=i R e il lavoro L vale L=q ΔV otteniamo:
2
L=i R Δ t da cui
L
=i 2 R =P dove P è la potenza termica sviluppata
Δt
COLLEGAMENTO DI RESISTORI
Serie: i rimane costante
VA-VC=VA-VB+VB-VC
→
ΔVeq=ΔV1-ΔV2
Poiché ΔV=i R si ha:
N
i Req=i R1 - i R2 da cui generalizzando Req =∑ Ri
i=1
Parallelo: la differenza di potenziale rimane costante mentre i=i1+i2
Poiché ΔV=i R si ha:
N
ΔV ΔV ΔV
=
+
Req
R1
R2
da cui generalizzando
1
1
=∑
Req i=1 Ri
GENERATORI DI FEM
Un campo elettrostatico non permette di mantenere una corrente di cariche costante. Collegando
infatti due corpi carichi di segno opposto con un filo metallico si avrà corrente fino al neutralizzarsi
dei corpi (o fino al raggiungimento dello stesso potenziale)
Un generatore è uno strumento che, spendendo energia, mantiene una separazione di cariche (e
quindi anche di potenziale) ai poli.
L'energia erogata dal generatore, tenendo conto della dissipazione interna, è:
2
2
E=i R Δ t+i r Δ t in cui r indica proprio la resistenza interna.
Si definisce forza elettromotrice di un generatore (f.e.m.) il rapporto fra l'energia da esso erogata e
la carica che viene posta in movimento nel circuito elettrico di cui il generatore fa parte.
i 2 R Δ t+i 2 r Δ t
=i R+i r
iΔt
f.e.m.
Si può inoltre ricavare: i=
R+ r
f.e.m.=
Circuiti RC (resistenza – condensatore)
Carica del condensatore
Nell'istante t sul condensatore si trova una carica Q che crea ΔV=Q/C che si
oppone alla f.e.m. (per semplicità verrà chiamata f); in un istante generico t si ha:
f −ΔV =R i ossia
Q
dQ
1
=R
d Q integrando si ha:
da cui si ottiene d t= RC⋅
C
dt
C f −Q
t
k
−
dQ
t=R C⋅∫
=−RC ln (C f −Q)+ k da cui Q=−e R C⋅e R C +C f
C f −Q
f−
k
RC
Sapendo che al tempo 0 la carica è pari a 0 e che Q(0)=e +C f
e scrivere:
−
Q=C f (1−e
t
RC
possiamo trovare il valore di k
)
dove per t tendente a infinito si ottiene la Q MAX=C f, mentre R C, talvolta sostituito da τ, indica una
costante di tempo.
Inoltre, derivando la formula si ottiene:
t
f −
i= e R C
R
Scarica del condensatore
Il generatore è spento quindi la f.e.m. è 0, il condensatore si scarica e produce corrente in verso
opposto.
Q
dQ
dQ
=−R
da cui d t =−R C⋅
C
dt
Q
Sviluppando i calcoli si ottiene:
Q=C f e
−
t
RC
t
f −
e i=− e R C
R
Corrente nei gas
Un gas è elettricamente neutro ma, in presenza di agenti quali radiazioni elettromagnetiche,
particelle ad alta energia, urti violenti, vengono strappati elettroni atomici e si producono ioni.
Ioni ed elettroni sono i portatori di carica nei gas.
Applicando un campo elettrico non vale più la legge di Ohm.
ΔVS: potenziale di saturazione
ΔVI: potenziale di innesco (ΔVI=EI ⋅ d, dove EI indica la rigidità dielettrica)
- Se la p=pATM:
0<ΔV<ΔVS: numero dei portatori > numero di
cariche mosse
ΔV=ΔVS: numero dei portatori = numero di
cariche mosse
ΔVS<ΔV<ΔVI: i=iS
ΔV=ΔVI: produzione di ioni a valanga per urto
(½mIONEv2>potenziale di estrazione)
ΔV>ΔVS: si ha un fenomeno luminoso
- Se la p>pATM:
ΔVS e ΔVI si spostano verso destra perchè
diminuisce il cammino libero medio, lo ione acquista minor energia cinetica per gli urti e quindi
serve un campo elettrico più intenso per produrre gli stessi effetti
- Se la p<pATM:
1. p≃10-3atm: scarica sottile al centro;
2. p≃10-5atm: bagliore diffuso;
3. p≃10-6atm: si ritira verso il catodo;
4. p<10-6atm: solo raggi catodici;

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