M - Infn

Università degli Studi di Milano
Corso di Laurea in Informatica
Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale
FISICA
Lezione n. 5 (4 ore)
Moti in due dimensioni, 2D
Quantità di moto, conservazione, impulso
Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Equazione di Newton in 2D e 3D
F=ma
Questa equazione può essere proiettata sulle tre
direzioni indipendenti x, y e z
La forza è
F = Fx i + Fy j + Fy k =  (Fi,x) i +  (Fi,y) j +  (Fi,z) k
e dunque si ha:
Fx = max
Fy = may
Fz = maz
Flavia Groppi & Carlo Pagani
2
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Caduta libera e moto parabolico
Sono questi due moti dovuti all’accelerazione di gravità, g, prodotta
dalla forza di gravità, Fg
y
Come si procede:
1.
2.
3.
4.
Si sceglie il sistema di coordinate
Si ricava l’accelerazione dalle forze
Si ricava l’equazione del moto dall’accelerazione
Si applicano le condizioni iniziali
Esempio del grattacielo:
0







Fg



Fg  m g   Fg j  m g j   m g j  a g 
g j
m
1 2
v y (t )   g t  v0 y e y (t )   g t  v0 y t  y0
2
Esempio del proiettile:
-gm
-gm
Fx  0  a x  0 ; x(0)  x0 , y (0)  y0 ; vx (0)  v0 x , v y (0)  v0 y
vx (t )  a x t  v0 x  v0 x
v y (t )  a y t  v0 y   g t  v0 y
1
a x t 2  vx 0 t  x0  v0 x t  x0
2
1
1
 y (t )  a y t 2  v0 y t  y0   g t 2  v0 y t  y0
2
2
-gm
 x(t ) 
Nota: i risultati non dipendono dalla massa m
Flavia Groppi & Carlo Pagani
3
-gm
-gm
g
-gm
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Moto parabolico (seguito)
Se P(0)=0, le equazioni del moto sono:
-gm
-gm
La traiettoria si ottiene eliminando il tempo:
-gm
-gm
-gm
g
-gm
Altra formula specifica: gittata R (punto di
ritorno alla quota si partenza)
Altra formula specifica: coordinata x del punto
più alto della traiettoria:
Attenzione: le formule della traiettoria, della gittata e del punto più alto
non sono formule generali, valgono solo nelle condizioni indicate sopra:
in particolare esse presuppongono che: P(0)=0 e che yfinale = y(0) = 0
Flavia Groppi & Carlo Pagani
4
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Esercizio sul moto parabolico
In figura è rappresentato un proiettile lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocità
iniziale v0 = 42.0 m/s e angolo di lancio 0 = 60° sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel
punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l’altezza del terrapieno, b) la velocità del proiettile
all’impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si
trascuri la resistenza dell’aria.
y
I dati del problema sono:
 x0 = y0 = 0
tf = 5 s
0 = 60°
 v0.x= 42.0 cos(0) = 21.0 m/s
v
 v0.y= 42.0 sin(0) = 36.4 m/s
x
 y(tf )= h ?
Utilizzando le equazioni di pagina precedente, calcolo i valori di x(t) e y(t) all’istante t = tf
vx (t f )  v0, x

x(t f )  v0, x t f  21 5m  105 m
1
2
v y (t f )  a y t f  v0, y   g t f  v0, y  y (t f )   g t f 2  v0, y t f  h  
9.83 2
 5  36.4  5  59.1 m
2
Per calcolare il valore di H notiamo che il proiettile raggiunge la quota massima quando la
sua velocità verticale si annulla per passare da ascendente (vy > 0) a discendente (vy < 0).
Calcolo quindi il valore di tH al quale vy = 0 e poi sostituisco il valore trovato nella y (t) poiché H
= y (tH)
v0, y 36.4m s -1 
v y (t H )   g t H  v0, y  0  t H 
g


1
1
H  y (t H )   gt 2f  v0, y t f    9.83 ms  2
2
2
Flavia Groppi & Carlo Pagani
   3.70 s 
 3.7 s  36.4ms  3.7s  67.4 m
9.83 m s -2
5
2
2
1
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Il moto armonico
Le oscillazioni sono onnipresenti nella vita quotidiana, dalle vibrazioni alla
musica. Il moto oscillatorio fondamentale è il moto armonico semplice.
Ad esempio, il moto associato ad una forza elastica, cioè proporzionale
allo spostamento con segno opposto, genera un moto armonico!
L’andamento della coordinata di spostamento (x) nel tempo è
rappresentato da una funzione caratteristica, detta sinusoide.
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Legge oraria del moto armonico
L’equazione caratteristica di un moto periodico o armonico ed i suoi
parametri principali sono:
Grandezza
Unità SI
Frequenza
hertz, Hz
1 Hz = 1 oscillazione al secondo
Periodo
s
Tempo per un’oscillazione completa
T1
Escursione massima dalla posizione
di equilibrio
xm
Ampiezza
Pulsazione
Simbolo / Relazione


radianti/s
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
7
2
 2
T
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Dinamica del moto armonico
Nota la legge oraria possiamo ricavare le espressioni di velocità ed
accelerazione del moto armonico:
dx d
vt    xm cos t      xm sin  t    at   dv   2 xm cos t   
dt dt
dt
E con queste, applicare il II principio della dinamica:


F  m a   m 2 x   k x ; k  m 2
Dunque il classico sistema massa-molla è caratterizzato da un moto
armonico semplice e lineare per cui vale:
k
m
– Pulsazione

– Periodo
T  2
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m
k
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Il pendolo semplice
L’oscillatore lineare è un valido modello per un grande numero di
sistemi fisici in cui è presente un’oscillazione, ad esempio il pendolo
La scomposizione delle forze per un generico angolo  permette
di ricavare l’espressione della forza di richiamo:
Fosc   Fg sin    mg sin  
Non si tratta dunque di una forza di richiamo lineare!
Ma per piccoli angoli vale sempre che:
sin    
E dunque, solo per piccoli scostamenti, possiamo scrivere:
Fosc   Fg sin     m g sin     m g    k 
; k  mg
Otteniamo infatti una legge di moto armonico per la variabile :
 g 
2
L
   0 sin t    0 sin t  ; T 
 2

g
 L 
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Gravitazione
Newton per primo mise in relazione la forza che attira gli oggetti alla superficie
terrestre con la forza che vincola i corpi celesti e formulò qualitativamente la legge
di gravitazione universale:
Ogni corpo dotato di massa esercita una forza attrattiva gravitazionale su
ogni altro oggetto massivo, e a sua volta subisce la stessa attrazione
La legge di gravitazione può essere espressa così:
m1m2
F G 2
r
m1 ed m2 sono le masse dei corpi, r è la distanza tra loro e
G, la costante di gravitazione universale, ha valore pari a:
G  6,67 10 11
N  m 2 / kg 2
E’ proprio un classico esempio di azione e reazione
secondo la III legge della dinamica
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Gravitazione - 2
La legge della gravitazione può essere espressa in forma vettoriale nel
seguente modo:


m1 m2 
m1 m2 r
G 2 r
F G 2
r
r
r
– L’elemento rˆ è detto versore, è un vettore di modulo unitario diretto lungo la
congiungente le due particelle
Una sfera di materiale uniforme da un punto di vista gravitazionale attira
una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosse
concentrata nel suo centro
Se un corpo interagisce per gravitazione con n altri corpi, vale
il principio di sovrapposizione: la forza risultante è data dalla somma
dei singoli effetti
n 

F1   F1i
i 2
– Questo si applica anche ad un corpo esteso, usando gli integrali
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Le leggi di Keplero ed il moto dei pianeti
Johannes Kepler, astronomo tedesco (1571-1601), arrivò a formulare tre leggi
empiriche che governano i moti dei pianeti. In seguito Newton dimostrò come si
possano tutte derivare dalla legge della gravitazione
• 1° legge o legge delle orbite:
Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche,
di cui il sole occupa uno dei due fuochi
•2° legge o legge delle aree:
Il segmento che collega un
pianeta al sole descrive
aree uguali in tempi uguali
•3° legge o legge dei periodi:
Il quadrato del periodo di un
pianeta è proporzionale al cubo
del semiasse maggiore della sua orbita
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
3° legge di Keplero per i pianeti
Orbita circolare ⇒
Moto Circolare Uniforme
T r
2
Orbita ellittica
T a
3
2
3
2

 3
4

2
 a
T  
 G M Sole 
E le cose si fanno molto più complicate
Attraverso il II principio della dinamica e
le leggi del moto circolare possiamo
esprimere la terza legge di Keplero come:
2

 3
4

2
 r
T  
 G M Sole 
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Il centro di massa - 1
Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che
si muove come se vi fosse concentrata tutta la massa e vi agissero
tutte le forze esterne
Per un sistema costituito da n masse concentrate
mi e dalla massa totale peri a M in uno spazio a tre
dimensioni il centro di massa ha coordinate:
xcdm
1

M
n
m x
i 1
i i
;
ycdm
1

M
n
m y
i 1
i
i
; zcdm
1

M
n
m z
i 1
i i
n
M   mi
i 1
Le tre equazioni scalari possono essere sostituite
da un’unica equazione vettoriale
 1 n




rcdm  xcdm i  ycdm j  zcdm k 
 mi ri
M i 1

 n
 n
 1  n
1 n
mi ri 
mi xi i   mi yi j   mi zi k 



M i 1
M  i 1
i 1
i 1

Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Il centro di massa - 2
Le coordinate del centro di massa di un sistema di masse concentrate,
dipendono dal sistema di riferimento (ma questo non è vero per la sua
posizione rispetto alle masse stesse)
m1= 1 kg ;
m2= 3 kg
d=4m
x1= 0
; x2= d = 4 m
x1= 1.5
n
M   mi  1 kg  3 kg  4 kg
n
M   mi  1 kg  3 kg  4 kg
i 1
i 1
xcdm
1

M
n
1
mi xi 
(1  0  3  4)[kg m]  3 m

4 kg
i 1
m1= 1 kg ;


1 n
rcdm 
m
r
 ii
M i 1


rcdm  xcdm i  ycdm
Flavia Groppi & Carlo Pagani
; x2= x1 + d = 5.5 m
xcdm 
1
M
n
m x
i 1
i i

1
(11.5  3  5.5)[kg m]  4.5 m
4 kg
m2= 1.5 kg ; m3= 2 kg ; M = 4.5 kg ; a = 150 cm



r1  0 i  0 j
 a
3 
r3  i 
aj
2
2
 150 m2  75 m3  130 m3 


j  83.3 i  57.7 j cm
j
i
M
M
15



r2  a i  0 j
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
La quantità di moto
Definiamo la quantità di moto o momento lineare di un corpo puntiforme
il vettore:


p  mv
m = massa del corpo
v = velocità del corpo
La formulazione originale del II principio della dinamica è data proprio in funzione
della quantità di moto! Vale infatti l’equazione:

 dp
F
dt
Che non è altro che un’enunciazione perfettamente equivalente della già vista:

 dp d


dv
F
 (m v )  m
 ma
dt
dt dt
“La rapidità di variazione del momento di una particella
è proporzionale alla forza netta che agisce sulla
particella e ha la stessa direzione di quella forza”
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Conservazione della quantità di moto
Nel caso di un sistema di più corpi dalla massa totale M definiamo la
quantità di moto totale del sistema come:


P  M vcdm
vcdm è le velocità del centro di massa del sistema
Dalla definizione stessa di quantità di moto segue che, per un sistema di
più particelle che:
• sia isolato: la risultante di tutte le forze esterne è nulla
• sia chiuso: nessuna particella entra o esce dal sistema
vale che:
Frisult .  0 

dP
0 
dt
P = costante => Piniziale = Pfinale
E’ il principio di conservazione della quantità di moto.
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Conservazione quantità di moto - 2
Esempio: Un’astronave che procede alla velocità di 2100 km/h espelle uno stadio esaurito
di massa pari al 20% della massa totale e alla velocità relativa vr = 500 km/h. Determinare
la velocità finale dell’astronave dopo l’espulsione.
Il sistema è chiuso e vale la conservazione
della quantità di moto => Pf = Pi
Pi = M vi = Pf = M [0.8 vf + 0.2 (vf – vr)] =>
=> vf = vi + 0.2 vr = (2100 + 100) = 2200 km/h
Esempio: Un disco esplode al centro in tre pezzi che si muovono senza attrito su un
piano. Determinare la velocità di un pezzo note le direzioni delle velocità, la suddivisione
della massa e una delle velocità delle parti
Dati: MA=0.5M MB=0.2M
MC=0.3M
vC = 5 m/s
vB ? vA ?
Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di
moto => Pf = Pi = 0.
Px = - MA vA + MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 0
Py = 0 + MC vC sin(80°) - MB vB sin(50°) = 0 =>
MB vB = MC vC sin(80°)/sin(50°) => vB = 1.5 vC sin(80°)/sin(50°) =
vB = 9.94 m/s
vA = MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 3 m/s
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Impulso
La quantità di moto rappresenta un potente mezzo per la risoluzione
di problemi legati alla collisione tra due o più corpi.
Durante l’urto una forza rapidamente variabile F(t) agisce per un tempo breve, da
t1 a t2, inducendo una variazione della quantità di moto p di un corpo. Possiamo
scrivere:
variazione di quantità di moto
 
dp  F t  dt


p2
t
 2 
 dp   F t  dt

p1
t1
 t2 
J   F t  dt
definizione di impulso

 

p  p 2  p1  J
teorema dell’impulso
J  p  F t
forza media che agisce
nell’intervallo di tempo t
t1
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Esercizi Lezione 5
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr.
Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
3-3 : In un bar, un avventore lancia lungo il banco un boccale di birra vuoto perché sia
riempito. IL barista non lo intercetta e il boccale cade alla distanza di 1.40 m dal banco.
Sapendo che l’altezza del banco è h=0.860 calcolare: a) la velocità vettoriale del boccale
al momento del distacco, b) la velocità vettoriale del bicchiere appena prima dell’impatto.
[ vo=(3.34 i + 0 j) m/s ; vf =(3.34 i – 4.11 j) m/s ]
3-4 : Un calciatore calcia il pallone ad una distanza di 36.0 m dalla porta, la cui traversa è
alta 3.05 m. Il pallone lascia il suolo con un angolo di 53.0° rispetto all’orizzontale e
velocità di 20 m/s. Sulla base dei dati si determini: a) a che distanza il pallone passa
sopra o sotto la traversa [ + 0.89 m, sopra ]; b) se il passaggio in prossimità della traversa
avviene in fase ascendente o discendente [in fase discendente] .
3-12 : Uno sciatore lascia la rampa di salto con una velocità di 10.0 m/s a 15° al di sopra
dell’orizzontale. Sapendo che dopo il salto la pista procede con inclinazione pari a -50°
rispetto all’orizzontale e trascurando l’attrito dell’aria calcolare: a) la distanza alla quale
atterra il saltatore sulla discesa [ vo=(9.66 i + 2.59 j) m/s ; df =43.2 m] , b) la velocità vettoriale
al momento dell’impatto [ tf = 2.88 s ; vf =(9.66 i – 25.6 j) m/s ],
8-2 : Una palla d’acciaio di 3.00 kg colpisce un muro verticale d’acciaio con una velocità
di 10.0 m/s che forma un angolo di 60° rispetto al piano del muro. Supponendo l’urto sia
perfettamente elastico e che il tempo in cui la palla resta in contatto con la superficie sia
di 0.200 s, determinare, in forma vettoriale, la forza media che la parete esercita sulla
palla nel periodo in cui le fornisce l’impulso. [ F = -260 i N ]
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14
Esercizi Lezione 5 - continua
8-3 : Una lunga tavola di massa pari a 150 kg è ferma su una superficie ghiacciata sulla quale può
muoversi senza attrito. Sopra la tavola una ragazza di 45 kg inizia a camminare con velocità costante
pari a 1.5 m/s. Determinare la velocità relativa alla superficie del ghiaccio: a) della ragazza, b) della
tavola. [ vr = 1.15 i m/s, vt = - 0.346 i m/s ]
Un corpo di massa M = 1 kg viene lanciato all’inizio di un piano
L= 6 m
inclinato di lunghezza L = 6 m che forma un angolo  = 30° con
M = 1 kg
il piano orizzontale. Sapendo che l’attrito dinamico d = 0.2 e
 = 30°
che l’energia cinetica iniziale del corpo è Ek = 50 J, determinare:
a) la velocità del corpo al momento in cui abbandona il piano
inclinato [ 4.56 m/s ], b) il tempo trascorso da quando il corpo abbandona il piano inclinato al suo
impatto col suolo [1.048 s ], c) la distanza dal piano inclinato a cui cade il corpo [ 4.14 m] .
Un satellite artificiale terrestre percorre, a una quota di 105 m rispetto alla superficie terrestre, un’orbita
circolare di periodo uguale a 94 minuti e 32 secondi. Sapendo che il raggio medio terrestre è 6.38·106
m, si determinino: il raggio dell’orbita del satellite [R=6.48·106 m], la sua velocità tangenziale
[v=7.18·103 m/s], la sua velocità angolare [=1.11·10-3 rad/s], e l’accelerazione centripeta [ac=8.0 ms-2].
Un corpo di massa m =1000 g si trova alla base di un piano inclinato di 30° rispetto al piano orizzontale
e lungo 30 m. Il corpo parte con velocità iniziale v0 = 20 m/s, diretta lungo il piano e verso l’alto. Se il
piano è senza attrito, che velocità ha il corpo alla fine della sua corsa [vf =10.3 m/s] ? Se a tale
estremità si trova una molla di costante elastica k=15000 N/m, di quanto si comprime tale molla
[xm=8.4 cm] ? Ripetere l’esercizio supponendo che tra il piano e il corpo si eserciti una forza di attrito
dinamico caratterizzata da un coefficiente d = 0.1 [v’f =7.4 m/s , x’m=6.1 cm] .
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2013/14

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