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CALCOLO COMBINATORIO

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CALCOLO
COMBINATORIO
INDICE
• Che cos’è il calcolo combinatorio?
• Concetto di raggruppamenti semplici
e di raggruppamenti con ripetizione
• Disposizioni
• Combinazioni
• Permutazioni
calcolo combinatorio
CHE COS’E’?
Parte della matematica che ha come scopo il calcolo dei modi
con i quali possono essere raggruppati, mediante regole, gli
elementi di un insieme FINITO
La maggior parte dei problemi di calcolo combinatorio è
riconducibile alla frase:
Quante parole di «k» caratteri si possono costruire con un
alfabeto di « n « simboli distinti
La risposta dipende da due caratteristiche del problema
1. E’ importante l’ordine dei caratteri nelle parole che si
vogliono contare?
2. Sono consentite ripetizioni dei caratteri; un simbolo può
essere ripetuto più volte?
Problema
Analisi
Modello
La mattinata di scuola
prevede:
1 ora di inglese
1 ora matematica
2 ore ed. fisica
I possibili modi in cui si possono
susseguire le ore dipende dall’ordine
delle 4 materie.
Gli insegnanti non possono ripetersi,
essendo fissato l’orario.
Parole ordinate
senza ripetizione
La targa di un’auto è
costituita da :
2 lettere iniziali
3 numeri
2 lettere finali
L’ordine delle lettere e dei numeri è
importante.
I numeri e la lettere si possono
ripetere
Parole ordinate
Con ripetizione
BG553DD
Quanti sono i possibili
terni che si possono
giocare al lotto?
Non è importante l’ordine di
estrazione
Non c’è ripetizione
Confezioni di 10 caramelle
di fragola, menta, limone
Raggruppamento di 10 lettere scelte
fra F, M, L ( posso inserire più
caramelle dello stesso tipo)
Parole non
ordinate
Senza
ripetizione
Parole non
ordinate
Con ripetizione
“NOMI” DEI RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI: quando l’ordine degli elementi è
importante.
COMBINAZIONI: quando l’ordine degli elementi non
ha alcuna importanza .
Principio fondamentale del calcolo combinatorio
Si vuole assemblare una colonna sonora con tre pezzi di
musica classica in successione.
Le stagioni di Vivaldi:
Primavera, estate, autunno,
inverno.
Tre sinfonie di Mozart :
Mi Bemolle, Sol Minore , Do
Maggiore
Due sinfonie di Beethoven : Ottava e Nona
Come procedere?
1 scelta
1. Primavera
2 scelta
3 scelta
Mi Bemolle
Ottava
Nona
Sol Minore
Ottava
Nona
Do Maggiore
Ottava
Nona
2. Estate
3. Autunno
4. Inverno
Modi possibili: 4 x 3 x 2 = 24
Principio fondamentale del calcolo combinatorio
Se un oggetto è univocamente determinato da una
sequenza di n scelte successive, tali che vi siano K1
possibilità per la prima scelta, K2 possibilità per la
seconda scelta, ……. Kn possibilità per la n-sima
scelta, allora
Il numero totale di oggetti che si possono formare con
tali scelte sono:
K1 x K2 x ….. X Kn
Esempio
Voglio fare una password di 4
caratteri utilizzando:
Cifre da 0 ….. 9
Lettere
5 vocali 16 consonanti
1 scelta
2 scelta
3 scelta
4 scelta
10 + 5 + 16 = 31 possibilità
30 possibilità
29 possibilità
28 possibilità
Quante sono
le possibili
scelte?
31x30x29x28
Altri esempi
1.
In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si
possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema?
2.
Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre
1,2,3,4,5,6?
3.
Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della
parola ROMA?
E con la parola ALA?
4.
Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
5.
In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere
distribuite tra 4 bambini?
E se le caramelle fossero diverse?
DS
DR
PS
PR
CS
CR
Che cosa è?
Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica
applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione
del numero di raggruppamenti diversi che si possono
comporre prendendo una determinata quantità di elementi in
un assegnato insieme, in modo che siano rispettate
determinate regole.
VEDI ESEMPI
Costruiamo i modelli
Disposizioni semplici e Permutazioni
Ad una gara di matematica partecipano 10 studenti del
liceo M. Curie.
Quante sono le possibili classifiche dei primi 3?
1° posto
2° posto
3° posto
10 scelte
9 scelte
8 scelte
10 possibilità
9 possibilità ( 10 – 1 )
8 possibilità ( 10 – 2 )
Numero complessivo delle possibili scelte
10
x
9
x
8
Classifica: Sequenza ordinata
senza ripetizione
Linguaggio
« Dati n oggetti, quante sono le possibili sequenze di k oggetti,
scelti tra gli n assegnati con il vincolo di non ripetre gli oggetti»
DISPOSIZIONI SEMPLICI
Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione semplice degli n
oggetti in k posti, con k ≤ n, ogni sequenza di k oggetti scelti tra quelli
assegnati col vincolo di non ripetere gli oggetti
Il numero complessivo di disposizioni di n oggetti in k posti
Dn,k = n  (n – 1)  (n – 2) ……..  ( n – k + 1)
Nota:
È’ importante l’ordine
Gli oggetti non si possono ripetere
Se n = K
Si ha un ordinamento degli n oggetti
PERMUTAZIONE
I gruppi da formare sono costituiti sempre da tutti gli
elementi dell’insieme, posti però in ordine diverso.
Si parla di permutazioni di classe n
La formula delle
particolare delle
PERMUTAZIONI SEMPLICI si ottiene
DISPOSIZIONI→ Dn,n= Pn
Pn = n(n-1)(n-2)...3*2*1 = n!
come caso
Disposizioni con ripetizione
In quanti modi diversi è possibile riempire una colonna del
totocalcio?
Ogni colonna ha 13 caselle che possono essere
riempite con 1, 2, X
Per la 1a casella ho 3 possibilità di scelta ( 1, 2, X )
Per la 2a casella ho 3 possibilità di scelta ( 1, 2, X )
Per la 3a casella ho 3 possibilità di scelta ( 1, 2, X )
…………………….
…………………….
Quanti modi?
13 volte
In questo caso i simboli possono essere scelti più volte = ripetuti
Tre oggetti disposti in gruppi di 13
PROBLEMA:
DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI
POSSONO FORMARE?
2
1
1
2
3
11 , 12 ; 13
1
2
3
3
21 ; 22 ; 23
1
2
3
31 ; 32 ; 33
Il n° delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è :
D’3,2=3*3=32=9
Disposizioni con ripetizione
Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione con
ripetizione degli n oggetti in k posti, ogni sequenza di k
oggetti , scelti fra quelli assegnati ammettendo che sia
possibile ripetere gli oggetti.
Dn*,k  n  n ............ n  n k
Permutazioni con ripetizione
Quanti son gli anagrammi della parola «mamma»?
Cosa ha di diverso del numero di anagrammi della parola « cielo»?
La lettera « m» è ripetuta tre volte
La lettera « a» è ripetuta due volte
Permutazioni con ripetizione
Permutazioni con ripetizione ( oggetti identici)
ESEMPIO:
COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI
(anche privi di senso) DELLA PAROLA ALA
L
A
ALA
A
L
AAL
A
A
LAA
A
A
LAA
A
uguali a 2
a2
L
A
L
AAL
A
L
A
ALA
LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI , 2 DEI QUALI IDENTICI,
SONO: P3(2) = P3/2! = 3
Combinazioni
Conteggio di parole non ordinate
Dato un insieme di n elementi, si chiama combinazione
semplice degli n elementi di classe k ( k ≤ n ) ogni sottoinsieme
dell’insieme dato avente k elementi
COEFFICIENTE BINOMIALE
Combinazioni
Significato del coefficiente binomiale
Consideriamo un insieme di 5 lettere e cerchiamo i
suoi sottoinsiemi formati da tre elementi. ( dato un insieme
di n elementi quanti sono i suoi sottoinsiemi di k elementi? )
In questo caso siamo nell’impossibilità di applicare il metodo delle
scelte successive ( principio fondamentale del calcolo
combinatorio), perché un insieme è determinato dai suoi elementi,
non dall’ordine.
Però:
N° complessivo dei
sottoinsiemi di 3
elementi
dell’insieme dato
N° di permutazioni
di ciascun
sottoinsieme
N° complessivo di terne
ordinate che si possono
costruire con gli elementi
dell’insieme
Generalizzando:
Teorema
Il numero complessivo di combinazioni di n oggetti di classe k,
indicato col simbolo Cn,k è dato dalla formula:
Proprietà dei coefficienti binomiali
n° di sottoinsiemi di 0 elementi in un insieme di n elementi;
L’unico sottoinsieme è l’insieme vuoto.
n° di sottoinsiemi di 1 elemento in un insieme di n elementi;
i sottoinsiemi sono n.
Semplificando si ottiene
Esempi applicativi
Una grossa azienda deve inviare 2 dei suoi 8 ispettori a controllare
una filiale aziendale. In quanti modi possibili il capo ufficio può
determinare la delegazione di 2 ispettori?
I possibili sottoinsiemi di due
elementi
Scelti fra gli otto possibili
Quanti sono i possibili terni che si possono giocare al gioco del lotto?
Sottoinsieme di tre numeri
nell’insieme di 90
DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI
CHE SI POSSONO FORMARE?
1
2
3
2
4
1-2 ;1-3 ; 1-4
1
3
3
4
2-3 ; 2-4
1
2
4
4
3-4
Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono :
C4,2= D4,2 / 2 = 4*3 / 2 =6
1
2
3
Combinazioni con ripetizione
Partiamo con un esempio
Le combinazioni con ripetizione C*n; di n oggetti sono le coppie, terne, quaterne,...... kuple non ordinate che posso formare considerando che ogni oggetto può essere
considerato più volte
Esempio vediamo quali sono le combinazioni con ripetizione di classe 3 (terne) sui 4
oggetti
a
b
c
d
devo fare tutte le terne non ordinate possibili anche ripetendo gli oggetti:
Nella prima riga ci sono le combinazioni semplici
Nella prima colonna ci sono le terne con due a e con tre a
Nella seconda colonna ci sono le terne con due b e con tre b
Nella terza colonna ci son le terne con due c e con tre c
Nella quarta colonna ci sono le terne con due d e con tre d
quindi
C’4;3 = 20
a b c
a b d
a c d
b c d
a a a
b b a
c c a
d d a
a a b
b b b
c c b
d d b
a a c
b b c
c c c
d d c
a a d
b b d
c c d
d d d
Nell’esempio di prima:
n=4,
k=3
n+k-1 = 4+3-1 = 6
Combinazioni con ripetizione
Quanti possibili tipi di confezione diverse di 10 caramelle ai gusti di
menta, fragola e limone si possono confezionare?
Analisi
Ogni singola confezione può essere assimilata a un raggruppamento
di 10 lettere scelte fra M, F, L.
Una confezione potrà essere: MMMMMLLFFF
1. Le lettere possono essere ripetute
2. L’ordine non ha importanza: MMLLMFFMMF
3. Due raggruppamenti che differiscono per l’ordine sono uguali
Combinazioni con Ripetizione
Nell’esempio abbiamo:
n=3 – numero oggetti ( M, F, L )
k=10 – K-ple che devo fare (n° tot caramelle)
n+k-1 = 4+3-1 = 6
′,
 ∙  + 1 ∙ … … .∙  +  − 1
+−1
=
=

!
′3,10 =
3∙4∙5 …….∙12
10!
=
Non vengono molto utilizzate
Tralascio la dimostrazione
12
= 66
10
Sintesi
Alcuni problemi di calcolo combinatorio richiedono l’esecuzione di
conteggi «intermedi», per giungere alla soluzione, che possono
essere sommati o moltiplicati e quindi occorre fare attenzione e
riflettere sulla scelta.
Binomio di Newton
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo numerico,
presentato da Tartaglia in
un suo libro del 1556, il
General Trattato, e
battezzato “Triangolo di
Tartaglia”
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
5
7
1
3
6
10
15
21
28
2
4
6
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126 126
84
36
9
1
1
10 45
120 210 252
210 120 45
10 1
Le prime 10 righe del triangolo di Tartaglia. Ogni numero, tranne il
numero generatore, è la somma dei due numeri sovrastanti. Ai bordi si
trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, 1
e nessun numero, cioè zero.
Il "Triangolo di Tartaglia" come venne proposto dal
matematico cinese Chu Shih-Chieh, nel suo libro del 1303, il
Prezioso Specchio dei Quattro Elementi. Chu Shih-Chieh lo
chiama “Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati
moltiplicatori”.
Il coefficiente binomiale e il teorema del binomio:
Sappiamo che
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a + b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3.
Nel primo caso i coefficienti dello sviluppo sono (1, 2, 1), nel secondo
caso (1, 3, 3, 1).
Proseguendo nel calcolo delle successive potenze del binomio (a + b)
otteniamo:
• (a + b)4 =a4+4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
• (a + b)5 =a5+5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3+ 5ab4 + b5.
Sorge l'esigenza di generalizzare: qual è lo sviluppo di (a + b)n?
Poniamo un problema che apparentemente è molto lontano da questo.
Dato un insieme A che contiene n elementi; vogliamo sapere
quanti sono i sottoinsiemi distinti di A che contengono k
elementi, per ogni k compreso tra 0 e n.
Cominciamo a considerare un insieme di 2 elementi, per esempio {a,b}:
• - il numero di sottoinsiemi che hanno O elementi è 1: 
• - il numero di sottoinsiemi che hanno 1 elemento è 2: {a}, {b};
• - il numero di sottoinsiemi che hanno 2 elementi è 1: {a,b}.
Ritroviamo i numeri 1, 2, 1;
Vediamo cosa accade per gli insiemi di 3 elementi, come {a, b, c}:
• - il numero di sottoinsiemi che hanno 0 elementi è 1: Φ
• - il numero di sottoinsiemi che hanno 1 elemento è 3: {a}, {b}, {c}
• - il numero di sottoinsiemi che hanno 2 elementi è 3: {a,b} {a,c} {b,c};
• - il numero di sottoinsiemi che hanno 3 elementi è 1: {a,b,c}.
Ritroviamo la sequenza (1, 3, 3, 1), la stessa dello sviluppo di (a + b)3.
Non è difficile proseguire, e scoprire che anche per insiemi di 4
elementi si ritrovano le sequenze (1, 4, 6, 4, 1).
Le stesse sequenze si ottengono in due problemi differenti; è
probabile che ci sia per entrambi la stessa spiegazione.
Il coefficiente di a2b2 nello sviluppo di (a+b)4 è 6;
il numero di sottoinsiemi, aventi 2 elementi, di un insieme di 4 elementi,
per esempio A = {a, b, c, d}, è anch'esso 6.
{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b, d}, {c, d}.
Guardiamo questo esempio da un altro punto di vista.
In quanti diversi modi possiamo selezionare 2 elementi dall’insieme
A = {a, b, c, d}?
Abbiamo 4 scelte per il primo elemento,
e 3 per il secondo,
quindi 4 • 3 = 12 scelte.
Questo sarebbe il numero di differenti scelte ordinate di 2
elementi presi da un insieme di 4 elementi. Ma a noi non
interessa l’ordinamento: il sottoinsieme che contiene, per
esempio, gli elementi a, d, è stato così contato più volte (2 volte):
{a,d,}, {d,a}.
Dunque dovremo dividere 12 per il numero dei diversi possibili
ordinamenti di 2 elementi, cioè, come abbiamo visto, per il
numero di permutazioni di 2 elementi, che è 2 ! = 2. In
conclusione:
43
6
2!
come ci aspettavamo.
Quanti sono i sottoinsiemi di 4 elementi di un insieme di 6 elementi?
Ci sono 6 scelte possibili per il primo elemento, 5 per il secondo,
4 per il terzo, 3 per il quarto, quindi 6 • 5 • 4 • 3 scelte ordinate,
che dobbiamo dividere per 4 ! :
6543
 15
4!
Possiamo concludere che il numero di sottoinsiemi aventi k elementi di
un insieme di n elementi oppure il numero di modi in cui seleziono k
elementi da un insieme di n oggetti è
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
Naturalmente il numero di sottoinsiemi aventi 0 elementi è sempre 1,
cioè l'insieme vuoto; il corrispondente coefficiente binomiale
sarebbe
n
n!
1
0!(n  0)!
  
0
Questo risultato giustifica la precedente definizione: 0! = 1.
Torniamo al problema dello sviluppo di (a + b)n e mostriamo che è del
tutto equivalente al problema appena considerato. Che cosa
significa calcolare lo sviluppo di (a + b)n? Dobbiamo calcolare il
prodotto di n fattori
(a+b)(a+b) ... (a+b).
Se fosse n = 3, dovremmo moltiplicare ogni termine del primo monomio
per ogni termine del secondo, e ciascun risultato per ogni termine
del terzo; in tutto 8 monomi.
Ovvero da ogni binomio (a + b) prendiamo a caso un termine,
ottenendo così una terna di lettere, e facciamo questo in tutti i modi
possibili, che sono appunto 23 =8. Nel risultato, non ci interessa
l’ordine con cui si susseguono a e b, importa soltanto quante volte
compare a .
C'è un solo modo di ottenere aaa, ci sono invece 3 scelte diverse per
a2b: aab, aba, baa.
Ma questo è del tutto equivalente a determinare
quanti sottoinsiemi di 2 elementi abbia un insieme di 3 elementi
Ed è del tutto equivalente a determinare
in quanti modi posso selezionare 2 elementi da un insieme che ne
contiene 3.
Esempio: Determinare i coefficienti dello sviluppo di (a +b)6.
 6
 6  6! 6  5!
 6  6! 6  5!
 6  6!
   1 ;   

 6;   

 6 ;     1 ;
 0
 1  1!5! 5!
 5  5!1! 5!
 6  6!
 6  6! 6  5  4!
 6  6! 6  5  4!
 6  6! 6  5  4  3!
  

 15;   

 15;   

 20
 2  2!4! 2  4!
 4  4!2! 2  4!
 3  3!3! 3  2  3!
Quindi 1 a 6  6  a 5b  15  a 4b 2  20  a 3b 3  15  a 2b 4  6  ab 5  1 b 6
Quest'ultimo esempio mette in evidenza la simmetria dei coefficienti,
precedentemente osservata.
Il coefficiente binomiale
I numeri
Cn , k
n
n!

  
k!(n  k )!  k 
vengono anche detti “coefficienti binomiali”
Il coefficiente binomiale risponde alle domande:
1. "dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?“
2. "dato un insieme di n oggetti, quanti sono i
sottoinsiemi composti da k elementi?“
3. “dato (a+b)n qual è il coefficiente di bk ?”
n
Proprietà    1 ;
0
n
 n 
n
   n ; 
  n ;    1 ;
1
 n  1
n
 n   n  1  n  1
   
  

 k   k   k  1
n  n 
   
 ;
k  n  k 
Teoremi
n  n 

k  N k  n    
k
n

k
  

Vale inoltre il seguente teorema relativo alla somma di coefficienti
binomiali:
n
 n 
  n  1 
1  n       
2
n2
 


n n n
 n   n  n
  
     2 n
          
 0 1  2
 n  2   n  1  n 
Dimostrazione La somma di tutti i coefficienti binomiali è uguale al
numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi.
Ragioniamo in termini di scelte: un sottoinsieme S di A può
essere costruito scegliendo, per ogni elemento dell’insieme, se
esso appartenga oppure non appartenga a S; abbiamo 2 possibili
scelte per ciascun elemento di A, perciò 2n è il numero dei
sottoinsiemi di A.
Il binomio di Newton
Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'nesima potenza di un binomio.
Per ogni n>1 risulta:
a  b n  
n n
a 
0
 n  n 1  n  n  2 2
 a b    a b   
1
 2
 n  n 1  n  n

a b   b 
 n  1
n
 n  nk k
  a b
k
k 0  
n

Una conseguenza immediata del teorema del binomio è una
dimostrazione alternativa del teorema sulla somma dei
coefficienti binomiali
n n n
 n   n  n
         
  
     (1  1) 2  2 n
 0  1  2
 n  2   n  1  n 
Esempio di sviluppo del binomio di Newton
a  b 5
5
 5
 5
 5
 5
 5
  a 5   a 4 b    a 3b 2   a 2 b 3   ab 4   b 5 
0
1
 2
 3
 4
 5
 1a 5  5a 4 b  10a 3b 2  10a 2 b 3  5ab 4  b 5
 5  5 k k
 a
b
k
k 0  
5

5
   1
0
 5
   5
1

 5 5 4
  
 10
2
2
 
 5 5  4  3
  
 10
3
3
!
 
 5 5 4 3 2
  
5
4
4
!
 
 5
   1
 5
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