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Tecnica
Geotermia
marzo 2014
LA TERMOTECNICA
di F. Mongelli
51
Campo termico di una sonda geotermica
verticale stazionaria di lunghezza finita
I modelli di sonda geotermica generalmente usati, si basano sulla teoria di sorgenti termiche di lunghezza infinita in regime variabile. Per una maggiore
aderenza alla realizzazione pratica, viene proposto un modello di sonda a U di lunghezza finita in regime stazionario, usando il Metodo delle Sorgenti.
Inoltre, col Metodo delle Immagini, si tiene conto del fatto che la sonda è immersa in un suolo semi-infinito. I risultati sono in buon accordo con i valori
osservati da altri AA.
VERTICAL STEADY STATE GEOTHERMAL PROBE OF FINITE LENGTH
Models of geothermal probe generally used , are based on the theory of the infinite linear thermal source in variable thermal regime. To a better accordance to practice realizations, we propose a model of an U pipe of finite length in steady state regime by means of the Sources Method. Moreover,
we study the influence of the semi-infinite soil by the Images Method. Results are in good agreement with the values observed by other AA.
INTRODUZIONE
Nella Pianura Padana, a partire da15 - 20 m di profondità, la
temperatura del suolo è di circa 13 °C quasi costanti, essendo il
gradiente geotermico molto basso, dell’ordine di pochi gradi per
chilometro.
A seguito di esperienze di estrazione di calore dal suolo mediante
impianto geotermico a circuito chiuso in rocce secche come le argille, Basta e Minchio (2007) riportano che, usando una sonda lunga
circa 100 m contenente un tubo a U, con un ramo in cui l’acqua
scende e un ramo in cui l’acqua risale, si osserva che a regime :
--all’inizio dell’inverno, se la temperatura del fluido all’ingresso è
di 6 °C, quella all’uscita è di 10 °C
--in pieno inverno, per una mandata nel sottosuolo a circa 0 °C,
si ha un ritorno a circa 4 °C.
La differenza di temperatura di 4 °C fra andata e ritorno di circa
200 m implica che ogni kg di acqua transitato nel circuito ha
guadagnato 4 kcal, utilizzabili in un impianto di riscaldamento.
Si può ritenere che risultati simili si possano ottenere in altre regioni
aventi simili caratteristiche climatiche e geologiche.
Un modello fisico matematico di trasmissione del calore, per sola
conduzione, ha lo scopo di calcolare sotto quali condizioni la
sonda può fornire un salto termico di circa 4 °C a ogni ciclo.
Il primo modello di estrazione del calore è quello di Ingersoll et
al. (1954) che utilizza la teoria di una sorgente lineare infinita che
emette, a partire dal tempo t = 0, la quantità di calore nell’unità
di tempo per unità di lunghezza Q (W/m), in un mezzo infinito
avente conducibilità λ (W/mK) diffusività k (m2 /s) e temperatura
iniziale T0.
Si suppone un contatto termico perfetto tra la sorgente e il terreno,
cioè assenza di resistenza di contatto.
La temperatura alla distanza R dopo il transitorio iniziale, cioè per
tempi lunghi, è data dallo sviluppo in serie:
dove α = R 2/kt e γ è la costante di Eulero.
Se la sorgente è interna a un tubo molto sottile di raggio r:
--per R > r si ottengono le temperature esterne al tubo sorgente;
--per R = r si ottengono le temperature della superficie del tubo
sorgente.
Secondo Basta e Minchio (2007) il modello si può applicare, con
errori trascurabili, dopo il periodo transitorio iniziale, anche a tubi
di diametro piccolo, 50 mm o meno.
Questo modello, nel caso di una sorgente fredda -Q, non spiega
il riscaldamento della sorgente stessa.
Il secondo modello è quello di Jaeger (1956) che studia la propagazione del calore in una regione omogenea infinita, avente conducibilità λ, limitata internamente da un cilindro infinito circolare
di raggio “a“ (pozzo) considerato perfetto conduttore, cioè avente
conducibilità infinita e temperatura iniziale nulla.
Se il cilindro emette, a partire dal tempo t = 0, la quantità di calore
Q nell’unità di tempo per unità di lunghezza, e se fra il cilindro e
il mezzo esiste una resistenza termica di contatto per unità di area
1/H (m °C/W), la temperatura T all’interno del cilindro, dopo il
transitorio iniziale, cioè per tempi lunghi e per piccoli valori del
diametro del pozzo (non superiore a 4 - 5 cm) è data dallo sviluppo
in serie (Jaeger, 1956):
dove
τ = k/a 2
C = eγ; γ è la costante di Eulero 0,5772
h=λ/aH
α = 2 π a 2 ρc/S
τ= k t / a 2
essendo:
- -k,ρ,c rispettivamente la diffusività termica, la densità e il calore
specifico del mezzo;
- -S la capacità termica per unità di lunghezza della sonda.
Nessuno dei due modelli, di lunghezza infinita, ha un’entrata e
un’uscita. Essi, tuttavia, vengono generalmente usati per la stima
Prof. Francesco Mongelli - già ordinario di Geofisica dell’Università di Bari
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Geotermia
della conducibilità e della diffusività termica del terreno (Mongelli,
1981; Mongelli e Sciruicchio, 2013).
Per entrambi i modelli, il problema inverso è quello di determinare,
noti i parametri termici, il valore di Q che assicuri l’aumento di
temperatura richiesto.
Miglioramenti sono stati proposti per tenere conto delle reali
resistenze di contatto e della resistenza interna del fluido (Hart e
Cavillion, 1986) e del corto circuito termico tra i due rami del tubo
a U (Bose, 1985). Allo stesso scopo, sono stati elaborati modelli e
metodi numerico-analitici per tenere conto anche della lunghezza
finita della sonda (Eskilson, 1987; Hellstrom, 1989; Ravanaugh e
Rafferty, 1997, e altri).
La Figura 1 (Colangelo et al. 2012) mostra i risultati di un’esperienza eseguita facendo circolare nella sonda un fluido caldo che
risale a temperatura inferiore di circa 5 °C. Si vede che dopo un
periodo transitorio di breve durata, con temperature crescenti, si
instaura un regime stazionario, che è quello effettivamente utile ai
fini dello sfruttamento dell’impianto per tempi più lunghi.
FIGURA 1 - Temperature osservate in una esperienza prolunata
(Colangelo et al. 2012)
Scopo di questo lavoro è di elaborare un modello analitico di una
sonda di lunghezza finita a forma di U, in regime stazionario,
compatibile con i dati sperimentali di Basta e Minchio (2007) e di
Colangelo et al. (2012).
CAMPO TERMICO DI UNA SORGENTE VERTICALE
LINEARE STAZIONARIA DI LUNGHEZZA FINITA
CON POTENZA COSTANTE
Nell’attuazione pratica, una sonda geotermica ha una lunghezza
finita e si trova in un mezzo semi-infinito.
Alla superficie z = 0 del mezzo la temperatura oscilla annualmente:
T = T 0 + A sen ω t
dove:
T 0 è la temperatura media annua
A è l’ampiezza dell’oscillazione
ω = 2 π /P la pulsazione
P è il periodo di 365 giorni = 3,15 *10 7 s.
A z > 0 la temperatura è una sinusoide smorzata e sfasata:
T = T 0 + Gz + A exp (-αz) sen (ωt - αz)
dove:
G è il gradiente geotermico nel mezzo
α = √ π/kP
κ = 8,5 *10 -7 m 2s (esempio, argille).
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LA TERMOTECNICA
A z = 20 m (livello neutro) è exp (-αz) = 10-3, quindi l’ampiezza della
oscillazione diventa trascurabile.
Facendo riferimento alla Pianura Padana (Basta e Minchio, 2007) o alle
Murge Pugliesi (Mongelli, 2013), si può assumere:
T0 = 13 °C e A = 13 °C
Una sonda attraversa prima questo strato del suolo a temperatura variabile
e poi entra in profondità, dove la temperatura, costante nel tempo, cresce
con un gradiente di circa 15 - 20 °C/km nella Pianura Padana, invece nelle
Murge, fino alla profondità della falda acquifera di fondo, è quasi nullo.
Se nella stagione invernale a z = 0 la temperatura superficiale è T(0)=
T0 - A, mentre a z = d è T(d) = T0 + Gd, si stabilisce una geoterma con un
gradiente medio dato da:
G’ = G + A/d.
Ponendo T = 13 °C, G = 20 °C/km , A = 13 °C d = 20 m si ottiene G’
= 0,02 + 0,65 °C/km. Pertanto, la sonda in pieno inverno attraversa un
primo strato con un gradiente geotermico notevole e un secondo mezzo
con un gradiente quasi nullo.
Quando dall’inizio alla fine dell’inverno la temperatura superficiale cambia, varierà, entro certi limiti, il valore di G’.
Il campo termico totale prodotto dalla sonda-sorgente termica è la somma
dei campi prodotti nei due ambienti, essendo k costante.
Come s’è visto, la sonda dopo un periodo transitorio di durata variabile
ma breve (Figura 1), raggiunge il regime termico stazionario.
Per ottenere l’espressione del campo termico prodotto da una sorgente
lineare, usiamo il Metodo delle Sorgenti.
Partiamo dalla constatazione che l’equazione di Fourier in regime stazionario:
è soddisfatta da ( Carslaw e Jaeger,1959 , Mongelli,1981):
dove: Q rappresenta il calore emesso nell’unità di tempo da una sorgente
puntiforme costante, ed r la distanza di un punto generico P dalla sorgente.
Il campo termico generato da una sorgente lineare stazionaria finita situata
lungo l’asse z, da z1 a z2 è (Figura 2):
FIGURA 2 - Sistema di riferimento per una sonda verticale
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dove:
√x2 + y2 + (z’ - z)2 è la distanza tra P e la sorgente puntiforme di
intensità Q dz’ situata in z’
Q è il calore emesso dalla sorgente per unità di lunghezza nell’unità di tempo.
Questa temperatura si somma a quella di un eventuale campo
termico stazionario già esistente.
Una sonda di lunghezza L’ contiene un tubo a U con un ramo in
cui l’acqua scende e un ramo in cui l’acqua risale. Il campo termico generato è la somma di quello prodotto nel primo strato del
terreno in andata:
per 0 < z’ < d
quello prodotto nel terreno sottostante, dove G = 0
(1)
per d < z’ < L
dove L è il percorso totale di andata e ritorno;
e quello prodotto nel primo strato al ritorno:
per d > z’ > 0
Come si vede, il primo e il terzo integrale si compensano, cioè
l’acqua perde nella risalita quanto acquistato in discesa, per cui la
sonda è efficace solo nel percorso che l’acqua compie al disotto del
livello neutro. Queste considerazioni valgono anche per un’espressione più complessa della temperatura del suolo nel primo strato.
Il percorso di ritorno, avendo supposto G = 0 e la temperatura
costante, si può considerare come il prolungamento di quello di
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andata (Figura 3). Infatti, in un terreno privo di gradiente termico
quello che conta è la lunghezza del percorso e non la sua direzione.
Pertanto si ha L = 2 L’-d e per una sonda lunga 120 m si ha L =
220 m.
L’equazione 1 si può scrivere:
per d < z’< L
la cui soluzione è:
Quando una sorgente si trova vicino alla superficie del suolo, essa
risente del fatto che si trova in un mezzo semi-infinito. Teniamo
conto di questo col Metodo delle Immagini (Carslaw e Jaeger,
1959), cioè ipotizzando la presenza, nel semispazio negativo, di
una sorgente che emette la quantità di calore -Q per unità di tempo
e unità di lunghezza (Figura 2). Si ottiene:
Per una sonda avente un diametro di 10 cm, calcoliamo la temperatura sulla superficie del tubo, ponendo:
x = 5 cm, y = 0, d = 20 m, L = 220 m e λ = 2,28W/mK (calcare)
essendo:
1/4 πλ = 3,5*10-2
sommando gli effetti della sorgente e dell’immagine, si ottiene alle
estremità della sonda:
az=d
T/Q = 3,12 *3,5 *10 -2 = 10,9 + 10 -2
az=L
T/Q= 3,64*3,5* 10-2 = 12,7* 10 -2
Se poniamo, ad esempio, Q = 30 W/m, si ottiene:
az=d
T = 3,27 °C
eaz=L
T= 3,81 °C.
Questo modello, quindi, non dà una differenza significativa tra
la temperatura di ingresso e quella di uscita, qualunque sia Q,
positiva o negativa, ma costante con la profondità.
MODELLO DI SORGENTE CON POTENZA VARIABILE
Tenendo conto che la temperatura dell’acqua in inverno può entrare nel terreno a 0 °C e uscire a 4 °C, si può ipotizzare che la
sorgente sia negativa ma variabile con la profondità.
Poniamo -Q = -Q 0 (L - z’) con d < z’< L
Si ottiene quindi:
FIGURA 3 - Schema di un tubo a U d < z’< L
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La soluzione è:
e per l’immagine si ha:
Per gli stessi valori delle costanti e per y = 0, sommando gli effetti
della sorgente e dell’immagine si ha:
az=d
T = (-536,25 *3,5 *10 -2) Q 0 = -18,77 Q 0
az=L
T = (-99,95 * 3,5*10 -2 ) Q 0 = -3,49 Q 0
La differenza tra l’uscita e l’entrata è 15,28 Q 0.
Prendendo per esempio, Q 0 = 0,30 si ha ΔT = 4,1 °C, risultato
in accordo con quelli osservati da Basta e Minchio (2007) e da
Colangelo et al (2012).
ALCUNE CONSIDERAZIONI
Il modello di un tubo di lunghezza finita a U, con potenza variabile, in
regime stazionario, è sicuramente più realistico di quelli di lunghezza
infinita in regime variabile con potenza costante.
Sinteticamente esso può essere rappresentato dalla espressione:
T = 1/4πλ ∙ g(r0,d,L) (-Q0)
Per una sonda standard avente raggio r = 5 cm, lunghezza 120 m
(L = 220 m), che attraversa un primo strato d = 20 m, per il fattore
geometrico g si ha:
a z = d g = 536,25
a z = L g = 99,95
da cui si ottiene la differenza di temperatura del fluido tra entrata e
uscita in funzione di λ e Q0.
A questi risultati vanno applicate le dovute correzioni Ri,ognuna della
quali produce un effetto dato da QR.
Poiché l’intensità della sorgente varia da Q a 0, le correzioni variano:
az=d
da ΔTi = ΣQ R i az=L
a ΔT L = 0 marzo 2014
LA TERMOTECNICA
Essendo Q negativo, il valore di T all’ingresso risulta ancora più
basso e la differenza totale fra uscita ed entrata ancora più alta.
Il modello qui presentato presuppone che nel suolo non ci sia
gradiente geotermico: tale condizione, apparentemente insolita,
si riscontra in formazioni geologiche affioranti, fratturate sino a
grandi profondità, come ad esempio i calcari. Questi, infatti, sono
spesso sede di una falda acquifera di fondo che cattura tutto il
calore proveniente dall’interno della terra.
Un esempio è rappresentato dalle Murge Pugliesi (Mongelli 2013).
BIBLIOGRAFIA
1. S. Basta, F. Minchio: Geotermia e pompe di calore. Ed. S. Basta,
Verona 2007
2. J.E. Bose, J.D. Parker, F.C. Quinston: Design/Data Manual for
closed-loop ground-coupled heat pump systems. ASHRAE 1985
3. H.S. Carslaw, J.C. Jaeger: Conduction of heat in solids. Oxford
University Press London, 1959
4. G. Colangelo, D. Romano, A. De Risi, G. Starace, D. Laforgia:
Un tool in Matlab-Simulink per la simulazione di pompe di
calore geotermiche. La Termotecnica, Aprile 2012
5. P. Eskilson: Thermal Analysis of Heat Extraction Boreholes.
University of Lund, Sweden, 1987
6. Hart e Couvillion: in Basta e Minchio, 2007 pagg. 221 - 222
7. G. Hellstrom, Duct Ground Heat Storage Model, Computer
Code. Dept. of Math. Phys. University of Lund, Sweden, 1989
8. J.C. Jaeger: Conduction of heat in an infinite region bounded
internally by a circular cylinder of a perfect conductor. Australian J.Phys., 1956.
9. S.P. Kavanagh, K. Rafferty: Ground source heat pump. Design
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10. F. Mongelli: Elementi di prospezione per l’Energia Geotermica.
Adriatica Ed. Bari, 1981
11. F. Mongelli: Alcune osservazioni sulla Energia Geotermica
a Bassa Entalpia. Università degli Studi di Bari, Dipartimento di Scienze della Terra e Geoambientali, Conferenza del
6.06.2013
12.F. Mongelli, V. Sciruicchio: Una breve nota sul Ground Response Test. La Termotecnica, gennaio_febbraio 2014
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