Lezione III: Struttura chirale delle interazioni deboli, Elicita

Corso di Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
LM in Fisica, AA 2013-14
Silvia Arcelli
Le Interazioni Deboli
18 Marzo 2014
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Le Interazioni Deboli
•
Teoria V-A con violazione della parità:
–
–
–
–
–
–
•
•
Hamiltoniana con effetto della violazione della parità
Elicità e Chiralità
Struttura Chirale delle interazioni deboli in CC
Il Decadimento del pione
Non unitarietà della teoria V-A e bosone mediatore W
Stima della massa del W
Slides al link: http://www.bo.infn.it/~arcelli/LezioniFIF.html
Rif: Bibliografia sul sito del corso
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Teoria V-A e Violazione della Parità
Riassumendo, le evidenze sperimentali finora discusse permettono di configurare
il seguente quadro:
• L’interazione debole a bassa energia ha una struttura del tipo interazione
puntiforme corrente-corrente, in cui gli operatori rilevanti sono di tipo V
(vettoriale) e A (vettore assiale). Nel decadimento , il termine vettoriale
descrive le transizioni di Fermi, il termine assiale quelle di Gamow-Teller
•L’interazione debole viola la parità
•Il neutrino ha elicità negativa
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Teoria V-A e Violazione della Parità
•Questo comporta che nell’hamiltoniana (fino ad adesso assunta essere uno scalare
puro) debbano necessariamente operatori che possano generare una componente
pseudoscalare:
H weak  G   Ci  [ pOi n ][ eOi (1   i )  ]  h.c.
5
i V , A
•Questa forma dell’Hamiltoniana (proposta da Feynman e Gell-Mannl) è diversa da
quella che abbiamo preso in considerazione finora: si noti che in questo caso
compaiono prodotti misti fra operatori (i.e. VA), che violano la parità.
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Teoria V-A e Violazione della Parità
•Il fatto che il neutrino abbia elicità negativa impone una unica scelta per il
coefficiente del termine pseudoscalare, ovvero i = -1

H weak  G  CV  [ p  n ][ e  (1   5 )  ] 
 5
 5

C A  [ pi   n ][ ei  (1   )  ]
5
• Utilizzando le proprietà delle matrici gamma l’Hamiltoniana si può riscrivere
come:


H weak  G  [ p (CV  CA ) n ][ e (1   ) ]
5
5
5
Teoria V-A e Violazione della Parità
•La parte Leptonica ha una struttura manifestamente V-A. Per quanto riguarda la
parte adronica (corrente n-p) sappiamo che nelle transizioni pure di Fermi
l’accoppiamento G è consistente con GF misurata nel decadimento del muone (a
parte un 2% di differenza...) . Da questo si può inferire che:
CV  1
•Dalla misura dei rapporti CV /CA (dec. neutrone, 14O, neutroni polarizzati) che
abbiamo già visto si è valutato CA nel decadimento :
C A  1.25
6
Teoria V-A e Violazione della Parità
•Misure di CA,CV con altri decadimenti deboli di adroni danno valori ancora
diversi per CA . Ad esempio:
•Queste differenze sono dovute all’effetto delle interazioni forti tra i quark che
compongono l’adrone, e generano una componente assiale aggiuntiva modificando
il coefficiente CA, il cui valore dipende dal tipo di adrone (composizione in flavour,
spin, parità etc) e non è universale.
•Tuttavia, al netto di questi effetti, si può assumere che anche nel caso di corrente
adronica il coefficiente CA sia -1, come nel caso delle correnti leptoniche.
7
Teoria V-A e Violazione della Parità
Questo porta a specializzare la struttura delle interazioni deboli in corrente carica
come una V-A pura:


HV  A  G  [ p (1   ) n ][ e (1   ) ]
5
5
Che è la stessa Hamiltoniana proposta da Fermi, a parte il fattore (1-5).
•Il fattore (1-5) ha un significato profondo: il suo ruolo è di selezionare componenti
chirali definite (sinistrorsa per particelle, destrorsa per antiparticelle). Nel limite di
particelle con massa nulla, l’interazione seleziona anche specifici stati di elicità.
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Elicità e Chiralità
Consideriamo l’operatore elicità:
 


  p   pˆ 0 
    
 
| p |  0   pˆ 
Operatore di spin

  0  0  5  5
  
        
0 
L’operatore elicità commuta con l’Hamiltoniana: quindi l’elicità, ovvero la componente
dello spin lungo la direzione della quantità di moto, è un osservabile aggiuntivo che
permette di distinguere gli stati di medesima energia. L’elicità ha due possibili
autovalori:
In particolare, lo spinore a due componenti ,soluzione dell’equazione di Dirac , è un
autostato dell’operatore elicità .
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Elicità e Chiralità
L’elicità è un numero quantico conservato (commuta con l’Hamiltoniana), ma non è
Lorentz-invariante ( è frame dependent). Fissato uno stato di elicità, si può sempre
trovare una trasformazione di Lorentz che ne cambi il segno, a meno che la particella
non abbia massa nulla (in questo caso l’elicità è la stessa in ogni sistema di
riferimento). Se ora si considera l’operatore di chiralità, definito come:
 5  i 0 1 2 3
L’operatore non commuta con H, per cui ad esso non è associato un osservabile
conservato (ancora, a meno che la massa non sia nulla). Per esprimere la chiralità si
possono definire due proiettori:
1
PL  (1   5 ),
2
1
PR  (1   5 )
2
( PL, R ) 2  PL, R
Proprietà:
PL PR  PR PL  0
PL  PR  1
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Elicità e Chiralità
•Ogni spinore può essere quindi scritto come somma delle sue componenti chirali,
ovvero:
1
1
5
  (1   )  (1   5 )   L  R
2
2
'
 R , L
Autofunzioni dell’operatore
chiralità, con autovalori +/-1
•Ora, consideriamo come opera la matrice 5 (operatore chiralità) su uno spinore
(si verifica attraverso il calcolo esplicito):
0 I 

   
 I 0
5
 
 p

0 

  E  m   
p 
 0


Em

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Elicità e Chiralità
•Nel limite ultrarelativistico, per E>> m la matrice 5 tende all’operatore elicità:
 
     p
5
E m
  5
•In modo analogo,
tenendo presente che     e utilizzando l’equazione di

Dirac   p  m  E :
   5 
  p    p ( E  m) 5 E m 5
    
  

| p|
| p|
| p|
Per particelle di massa nulla la chiralità coincide strettamente con l’elicità
12
Elicità e Chiralità
• Per m=0, i proiettori di chiralità agiscono come proiettori di elicità:
0
1
5
 L  (1   )  
2


1
5
 R  (1   )  
2
0
Se l’elicità è +1
Se l’elicità è -1
Se l’elicità è +1
Se l’elicità è -1
• Per massa diversa da zero, chiralità ed elicità non coincidono e un fermione massivo
in uno stato chirale L o R ha una probabilità non nulla di essere in uno stato di elicità
opposta alla chiralità. In particolare, le rispettive probabilità sono proporzionali a:
Elicità e Chiralità
-Concordi
P( R (h  1))  P( L (h  1))  
-Opposte
P( R (h  1))  P( L (h  1))  (1   )
v
con  
c
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Elicità e Chiralità
•Ora, se esaminiamo la singola corrente:
j   [ e  (1   5 ) ]
• vediamo che possiamo riscriverla come:


j  [ e,L  ,L ]
Ossia, nella forma di una corrente vettorialle che però accoppia solo le componenti di
chiralità Left dei fermioni. Questo punto di vista permette di ricondurre le interazioni
deboli alla stessa struttura di Lorentz delle interazioni elettromagnetiche (con cui sono
unificate, effettivamente), pur mantenendo la specificità di accoppiarsi solo alle
componenti Left.
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Elicità e Chiralità
•Infatti vale:
( 5 ) 2  I
(1   )  (1  2  ( ) )  2(1   )
5 2
5
5 2
5
•Per cui:
(1   )
 (1   )
j  [ e
  ]  [ e
 ] 
 5
2
4
 ,  0
(1   5 )  (1   5 )
(1   5 ) 
 [ e

  ]  [ e
  ,L ]
2
2
2


5
5 2


15
Elicità e Chiralità
•Il termine a sinistra corrisponde anch’esso ad un fermione sinistrorso:
5
5
(1   5 )
(
1


)
(
1


) 0
 0

e
 e 
 e
 
2
2
2

( 5 )    5
 (1   )  0
 
 e     e, L
 2

5
•E quindi la corrente può essere espressa come:


j  [ e,L  ,L ]
Corrente di tipo Vettoriale
fra fermioni Levogiri
Correnti vettoriali come originariamente proposta da Fermi, a parte la restrizione
sulla chiralità degli spinori!
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Decadimento del Pione
Il decadimento del Pione permette di fare una verifica stringente di bassa energia
della struttura chirale dell’interazione debole:
Elemento di matrice:
Corrente adronica:
Corrente Leptonica:
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Decadimento del Pione
La parte adronica, che in linea di principio è descritta dalla corrente dei quark se si
potessero considerare liberi, in realtà include anche l’effetto delle interazioni forti.

•L’effetto può essere incluso parametrizzando la parte adronica come un termine di
massa e una costante f dipendente dal tipo di adrone, avente dimensionidiunamassa.
• Per il pione f vale circa 130 MeV (con una incertezza relativamente grande):
18
Decadimento del Pione
•Integrando sullo spazio fasi e sommando sugli spin finali si ottiene la previsione per la
vita media del pione:
•Utilizzando le misure di GF, delle masse e il valore calcolato per f, si ottiene:

 
 10 8 s

19
Decadimento del Pione
•Anche se riproduce correttamente l’ordine di grandezza della vita media, questa
previsione è affetta dall’incertezza su f .
•Un test stringente della natura chirale delle interazioni deboli è invece la misura della
intensità relativa dei decadimenti del pione in elettrone e muone, rispettivamente.
•Nel rapporto le incertezze legate alla parte adronica si cancellano e, sulla base della
teoria V-A, si può fare una previsione molto precisa.
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Decadimento del Pione
•Il Pione ha spin 0, e per conservazione del momento angolare, essendo l’antineutrino
sempre destrogiro e con elicità +1, anche il leptone carico deve essere destrogiro.
•Abbiamo visto che la probabilità che un definito stato chirale abbia un’elicità opposta
è proporzionale a 1-. Nel caso dell’elettrone Left-handed, questa probabilità è quasi
nulla (alla scala di massa del pione è già relativistico), mentre per il muone la
probabilità è non trascurabile. Pur essendo favorito come spazio fasi disponibile, il
decadimento in elettrone è fortemente inibito per il fatto di avere l’elicità “sbagliata”
•Il valore sperimentale è in perfetto accordo con la previsione della teoria V-A.
Il fatto che il decadimento del pione in muone sia largamente dominante è una
verifica della natura chirale delle interazioni deboli
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Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
La teoria V-A è una teoria di interazione puntiforme, approssimazione di bassa
energia di una teoria più generale: Tipico problema di questo tipo di teorie efficaci è
la violazione dell’unitarietà. Se si considera il processo di scattering elastico neutrino
-elettrone:
Nel sistema del centro di massa, la sezione d’urto si può scrivere come:
Dal formalismo di sviluppo in onde parziali si ottiene un limite superiore generale per
le sezioni d’urto di scattering elastico, oltre il quale la teoria viola la conservazione
della probabilità:
(per l=0
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Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
Nel caso della sezione d’urto debole prevista dalla teoria V-A, la condizione di
unitarietà imporrebbe:
Nel sistema del centro di massa si ha, per particelle relativistiche (E=p):
Da cui :
In realtà, considerando anche i fattori dovuti allo spin delle particelle, il limite di
violazione dell’unitarietà per la teoria V-A è raggiunto per energie nel centro di
massa di circa 300 GeV.
23
Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
La divergenza nella sezione d’urto può essere evitata se, in maniera analoga
alla QED, si introduce un propagatore associato a un bosone vettore (S=1)
intermedio (il W) come mediatore delle interazioni deboli in corrente carica.
Il diagramma di scattering non è più di tipo puntiforme, e l’elemento di
matrice si modifica come:
La costante GF è sostituita da un accoppiamento adimensionale g, universale
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Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
Il range estremamente piccolo (dell’ordine del millesimo di fm) delle interazioni
deboli è connesso alla massa molto grande del bosone mediatore. In processi di
bassa energia, in qui il quadrimomento trasferito è molto piccolo,
il termine dominante nel propagatore è quello relativo alla massa del W e tende
a una costante. Confrontando gli elementi di matrice si può stabilire la connessione
fra la costante di Fermi e l’accoppiamento adimensionale g:
La relazione fra i due accoppiamenti dipende ovviamente dalla massa del W:
25
Massa del bosone mediatore W
Se si fa l’ipotesi che l’accoppiamentodebole g sia dello stesso ordine di quello
delle interazioni elettromagnetiche:
Si può dedurre una stima della massa del bosone intermedio W. Dalla relazione fra
gli accoppiamenti si ha:
si ottiene una stima per la massa del W di circa 37 GeV (circa la metà del valore
effettivo). In realtà, se si considera la relazione corretta tra gli accoppiamenti:
dove W = angolo di Weinberg
si ha:
26
Massa del bosone mediatore W
•In questa ottica, le interazioni deboli non sono deboli per via dell’accoppiamento,
ma per la presenza di bosoni mediatori molto massivi. Non occorre quindi introdurre
un nuova carica debole ( anche se un nuovo parametro c’è, l’angolo di Weinberg!).
•E’ stata però introdotta una nuova scala di energia (scala di Fermi) dell’ordine di 100
GeV, corrispondente alla massa della W, a cui ci si aspetta che l’interazione debole
abbia un’intensità confrontabile con quella elettromagnetica
•Questo è tipico dell’unificazione delle interazioni. Un caso noto è l’elettromagnetismo
(la prima teoria di gauge!) , in cui fenomeni elettrici e magnetici diventano
confrontabili quando la velocità si approssima a quella della luce c (che possiamo
considerare come scala caratteristica di unificazione nell’elettromagnetismo)
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