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CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA

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CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA
1
OGGETTO DELLA MATEMATICA FINANZIARIA
• Oggetto della Matematica finanziaria:
• Formalizzazione dello scambio tra importi monetari disponibili in epoche diverse
• Calcoli connessi alla valutazione degli impegni relativi ad operazioni riguardanti un insieme di movimenti monetari
• Ambiente di lavoro
• Deterministico
• Stocastico (aleatorio)
• Condizioni di certezza (ambiente deterministico)
• Capitale – ammontare esprimibile in moneta
• Prestazione finanziaria (somma datata)
• Regole di comportamento economico:
• Possesso di un capitale è vantaggioso
• Disponibilità di un capitale altrui ha un prezzo
• Tra due prestazioni finanziarie
• ad una stessa epoca è preferita quella con importo maggiore
• con lo stesso importo •
•
>0 è preferita quella con la scadenza minore
<0 è preferita quella con la scadenza maggiore
2
RELAZIONE DI PREFERENZA‐INDIFFERENZA
• Interesse – costo per la disponibilità di un capitale
• Lender
• Borrower

‚
Relazione di preferenza debole 
• Relazione di preferenza forte •
• Relazione di indifferenza • Dominanza tra prestazioni finanziarie
• Confrontabilità incompleta
3
Principio di equivalenza finanziaria
• Introducendo il comportamento individuale si ottiene la confrontabilità completa. Si procede in due fasi
• I fase – determinazione delle zone di non dominanza rispetto ad un punto
• II fase – costruzione della linea di indifferenza individuata dal punto di partenza
• Costruzione della curva di indifferenza (linea di indifferenza individuata da (X,A)
•
( X , A)  (Y , B )
• X  Y , I  B  A A capitale impiegato, B montante, I interesse (operazione di prestito)
• X  Y , D  A  B A capitale a scadenza, B valore attuale, D sconto (operazione di sconto)
• Principio di equivalenza finanziaria
• Incasso oggi oppure Incasso posticipato con Incasso di interessi
• Esborso oggi oppure con Esborso posticipato con Pagamento di interessi
4
ASPETTO DIMENSIONALE
• Grandezze fondamentali • Importo monetario (misura della transazione con unità utilizzata)
• Tempo (periodo temporale durata e/o differimento )
• Grandezze derivate
• Flusso (importo/tempo) reddito monetario (stipendio)=importo monetario che matura nell’unità di tempo
• Tasso (importo/importo) numero puro (interesse/capitale)
• Intensità (importo/[importo*tempo]) tempo occorrente alla formazione di un importo che consegue da un altro importo
5
RELAZIONI DI INDIFFERENZA E LEGGI DI SCAMBIO
• Passaggio dal confronto tra prestazioni finanziarie e legge di scambio
• Operazione di prestito
• Funzione di capitalizzazione
• Operazione di sconto
• Funzione di attualizzazione
• Contratto
• Equo
• Favorevole
• Sfavorevole
• Montante • Valore scontato
• Operazioni corrispondenti
• Leggi coniugate
• Legge di scambio (funzione di sconto e di capitalizzazione prese insieme)
• Proprietà: Riflessiva
• Simmetrica
• Proporzionalità degli importi (omogeneità di I grado rispetto agli importi)
6
LEGGI A DUE VARIABILI
• Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili
• Fattore di montante
• Fattore di sconto
• Riflessività
• Simmetria
• Leggi coniugate m(T , T ')  a(T ', T )  1, T  T '
•
z ( X , Y )  0, ( X , Y )
• Fattore di scambio
• Esemplificazione geometrica
• Relazioni con le funzioni implicite (Th Dini)
7
GRANDEZZE DERIVATE • Grandezze derivate iniziali
• Di capitalizzazione
• Fattore di montante • Tasso di interesse periodale
• Intensità di interesse periodale
• Di attualizzazione
• Fattore di sconto
• Tasso di sconto periodale
• Intensità di sconto periodale
• Grandezze derivate di proseguimento
• Di capitalizzazione
•
•
•
•
Fattore di montante r(X;Y,Z)=m(X,Z)/m(X,Y)
Tasso di interesse periodale
Intensità di interesse periodale
r(Y;Y,Z)
r ( X ;Y , Z ) 
K Z m( X , Z )

KY m( X , Y )
• Di attualizzazione
• Fattore di sconto
• Tasso di sconto periodale
• Intensità di sconto periodale
8
INTENSITA’ ISTANTANEA
Z
•

m( X , Y  u )  m( X , Y )  
  ln m( X ,  ) 
 ( X , Y )  lim
u 0
u m( X , Y )
 
Y
Z
•

a( X , Z )  a( X , Y )  
 ( X , Y )  lim
  ln a ( X ,  ) 
Z Y
a( X , Y )
 
Y
Z
•
  ( X , ) d
m( X , Y  u )
Y
e
m( X , Y )
Z
Y
   ( X , ) d 
 ( X , ) d
a( X , Z )
Y
e
e Z
a( X , Y )
•
9
SCINDIBILITA’ I • Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di montante
• Invarianza del risultato rispetto alle interruzioni
• Relazione col montante di proseguimento
• Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di sconto
• Relazione con lo sconto di proseguimento
• Definizione di scindibilità forte • A mezzo della relazione di indifferenza
• A mezzo dei fattori di scambio
• Una legge di scambio è fortemente scindibile se e solo se la relazione di indifferenza è una relazione di equivalenza
10
SCINDIBILITA’ II
• Relazioni tra scindibilità forte e scindibilità debole
• Classi di equivalenza tra le prestazioni finanziarie
• Valore finanziario intrinseco
• Ordinamento totale sull’insieme delle classi di equivalenza
• Una legge debolmente scindibile implica l’indipendenza dall’epoca di impiego
• Una legge è debolmente scindibile se e solo se l’intensità di interesse (di sconto) è indipendente dall’epoca iniziale. • Una legge z(X,Y): z(X,Y) z(Y,X)=1 è fortemente scindibile se e solo se •
 h(T ) : z ( X , Y ) 
•
h1 (T ),
• Fattori di scambio scindibili: Suff. Intensità istantanea
h(Y )
; T1  T2  h(T1 )  h(T2 )
h( X )
h2 (T )
Y
z( X ,Y )  e
  ( ) d
X
11
LEGGI FINANZIARIE OMOGENEE (UNIFORMI)
• Omogeneità rispetto al tempo (uniformità)
• Fattore di scambio per leggi omogenee rispetto al tempo ed all’importo
• Fattore di scambio ad una variabile
• Fattore di montante e fattore di sconto ad una variabile
• Curve di livello per fattori di scambio uniformi
• Simmetria per fattori di montante e di sconto
u (t )v(t )  1
• Fattore iniziale
• Fattore di proseguimento
12
FATTORI TASSI INTENSITA’
fattore iniziale
tasso iniziale
u (t )
u (t )  1
u(t )  1
intensità iniziale
t
u(t  h )
fattore di proseguimento
u(t )
u(t  h )
tasso di proseguimento
1
u(t )
u(t  h )  u(t )
intensità di proseguimento
h u(t )
u '(t )
 (t ) 
intensità istantanea
u(t )
v (t )
1  v (t )
1  v (t )
t
v (t  h )
v (t )
v (t  h )
1
v (t )
v (t )  v (t  h )
h v (t )
v '(t )
 (t )  
v (t )
13
PROPRIETA’ FATTORI DI SCAMBIO UNIFORMI
t
•
•
u(t )  e

0
t
 ( z ) dz
, v (t )  e

  ( z ) dz
0
u(t )v (t )  1   (t )   (t ), t  0
u ( t )  e t , v ( t )  e   t
•
regimi esponenziali di interesse e di sconto • I regimi esponenziali di interesse e di sconto sono gli unici ad essere uniformi e scindibili • Le leggi di scambio esponenziali, e solo esse, corrispondono a relazioni di indifferenza che sono equivalenze uniformi nel tempo e omogenee rispetto agli importi
14
DURATA, SCADENZA e TASSO MEDI
• Fattori di scambio funzioni continue e strettamente monotone della durata n
S t
h h
(1  i )
tˆ  h n1
• Scadenza media aritmetica ; Scadenza media S
h 1
h
Scadenza media aritmetica Tˆ  T0  tˆq
Fattore di scambio medio
Sconto
vˆ(t ) 
 M v(t )
h
h 1
h
n
M
h 1
h
n
Montante uˆ (t ) 

S
h 1
h
(1  i )  th
n
S
h 1
Durata media tempo iniziale 0
n
z
n
 C u (t )
h
h 1
h
n
C
h 1
h
h
REGIMI E LEGGI UNIFORMI
• Regimi finanziari uniformi leggi finanziarie uniformi

• Tassi periodali equivalenti di interesse (sconto) stessa legge finanziaria
• Intensità equivalenti
• Tassi periodali uno di interesse ed uno di sconto equivalenti • Leggi coniugate 16
REGIME INTERESSE SEMPLICE POSTICIPATO
• Proporzionalità interesse sia al tempo che al capitale I=Cit
• Tasso annuo di interesse (posticipato)
• Montante M  C  I ,
M  C (1  it )
• Fattore di montante
• Tasso periodale di interesse
• Intensità periodale di interesse
• Tassi equivalenti in regime di interesse semplice
• Intensità variabile
• Intensità istantanea n


M  C  1   i ( s )ts   C (1  i t )
s 1


t 
i
1  it
• Interesse calcolato sui giorni I C
g
Cg
i
T
T /i
17
REGIME DELLO SCONTO RAZIONALE
• Leggi di sconto coniugate con leggi i.s.p.
• Fattore di sconto vt 
•
•
•
M
1  it
1
1 d

(1  it ) 1  d (1  t )
it
dt

1  it 1  d (1  t )
d
i
d
Intensità periodale di sconto
t  t 

t 1  it 1  d (1  t )
i
d
Tasso annuo di sconto e tasso annuo di interesse
d
i 
1 i
1 d
Mdt
D  Md t 
Ammontare sconto 1  d (1  t )
M (1  d )
C  Mvt 
Ammontare valore scontato 1  d (1  t )
• Tasso periodale di sconto •
C
• Intensità istantanea
dt 
  i '/(1  i ' t )
• Grafici
18
REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE
D  Mdt , C  M (1  Dt )
• Sconto commerciale
• Fattore di sconto vt  1  dt
• Tasso periodale di sconto
• Intensità periodale di sconto
dt  d  t
t 
• Tassi di sconto periodali equivalenti
t 
• Intensità istantanea dt
d
t
dt ' dt "

d
t ' t"
d'
1  d 't
19
REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE ANTICIPATO
1
1  dt
dt
i

t
• Tasso periodale di interesse
1  dt
d
jt 
1  dt
• Intensità periodale di interesse
d
t 
1  dt
• Intensità istantanea • Fattore di montante
ut 
20
REGIME INTERESSE COMPOSTO
• Il processo di conversione degli interessi
• Montante ottenuto con la conversione
• Regime interesse composto
• Conversione a tempi discreti
• Conversione nel continuo
• Conversione discreta generalizzata n
M (t )  C  (1  i ( s )ts )
s 1
• Capitalizzazione a tasso e numero di periodi fissati
• Capitalizzazione mista con conversione annua
• Capitalizzazione mista con conversione frazionata 1
ts 
•
•
m
, m  , m  i1 m  j (m)
tasso annuo nominale convertibile m volte 21
TASSI ED INTENSITA’ EQUIVALENTI
u  1  i; u1/ m '  1  i1/ m ' , u1/ m "  1  i1/ m "
• Fattore di montante
i,
• Tasso di interesse i1/ m ' ,
i1/ m "
• Intensità periodale di interesse • Tasso annuo nominale convertibile m volte
j ( m)
• Capitalizzazione mista con conversione m volte l’anno
• Tassi periodali equivalenti in regime di interesse composto
i1/ m ' , i1/ m "
j  m ' ,
j  m "
• Intensità periodali equivalenti in regime di interesse composto
m
• Intensità fissata j

i  f ( j, m)   1    1
 m
j  g (i, m )  m  (1  i )1/ m  1
• Tasso annuo fissato 22
REGIME INTERESSE COMPOSTO CONTINUO

   m  
i  lim f ( , m)  lim   1    1  e  1
m
m

 m 

• 

(1  i )1/ m  1
 ln(1  i )
g (i, m)  lim
   lim
m
m
1/ m

Linearità proporzionalità tra flusso di interessi ed importo che li genera
Circolarità trasferimento degli interessi al fondo che li genera • Uguaglianza tra l’incremento del montante e l’interesse infinitesimo
•
M '(t )   M (t ); M (t  dt )  M (t )   M (t )dt  o(dt )
• Legge esponenziale

 /m
  ln(1  i )  m ln(1  i1/ m ); i; i1/ m ; e  1  i; e
•
M (t )  C (1  i )t
•
• Tassi periodali ed intensità periodali equivalenti
• Fattore di montante
ut  (1  i )t  e t
• Tasso periodale di interesse it  (1  i )t  1  e t  1
• Intensità periodale di interesse  1  i1 m
jt  it / t   (1  i )t  1 / t   e t  1 / t
23
REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO
• 1  i 
•
1
 1  d ; 1  i   1  d  ; 1  i 
t
t
1/ m
C (t  dt )  C (t )   C (t )dt  o( dt );
 1  i1/ m   1  d 
1
1/ m
 1  d1/ m
C ' (t )   C (t ); C (t )  Me  t
v  C (1) / M  e  ; v  1  d  1 / (1  i ); v1/ m  C (1 / m) / M  e  / m
•
d   ( M  C (1)) / M   1  v  1  e   1 / (1  i )
1
m
d1/ m   ( M  C (1 / m)) / M   1  v  1  e  / m  1 / (1  i )1 m
•
•
(1  d1/ m ) m  (1  d1/ m ' ) m '  1  d
 (m)  md1/ m  m(1  v1 m )  m(1  e  / m )
vt  e  t  (1  i )  t
dt  1  e  t
 t
d
1

e
t
•  

t
t
t
24
CORRISPONDENZE TRA FATTORI TASSI INTENSITA’
u
v
1
v
i
1 i
d
1
1 d
δ
e
u
u
v
1
u
v
1
1 i
1 d
e 
i
u 1
1 v
v
i
d
1 d
e  1
d
δ
u 1
i
d
1 v
1  e 
u
1 i
ln u  ln v ln(1  i )  ln(1  d )

25
CONFRONTO TRA RIC RSC E RISP
i0  
1
; t '  , se j (m)  i0 ; t '  1 se i  i0
I.S.P. vs I.C. 1  i0t  (1  i ) : 
m
i0  
t
I.S.P. vs I.S.A. 1  i0t 
I.C. vs I.S.A.
1
1
i d
d
,t  : t '  0
, i0  d ; t '  1 se i0 
1  dt
d
i0 d
1 d
(1  i )t 
1
1
d
, t  , d   ; t '  1 se i 
1  dt
d
1 d
26
DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI I
• Operazione finanziaria
• Incassi
• Esborsi • Progetto finanziario – importi datati che conseguono da un progetto realizzabile
O   k 1Tk , S h   T1 , T2 , , Tn  &  S1 , S 2 , , S n 
n
• Operazione finanziaria
• Scadenzario
• Flusso di cassa
• Operazioni • Semplici • Complesse • Valutazione di un’operazione finanziaria
• Valore di un’operazione finanziaria
• Proprietà di additività
n
•
V (T ; O , z )   Sh z (Th , T )
h 1
27
DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI II
• Operazione equa al tempo T • Proprietà di invarianza scindibilità forte •
V (T0 ; O, z )  0, z ( X , Y )
• Valore capitale legge uniforme non scindibile
n
•
V (T ; O , z )   Sh g (T  Th )
h 1
• Legge fortemente scindibile non uniforme
T
•
n
V (T ; O, z )   S h e
  ( )d 
Th
h 1
T
; z (Th , T )  e
  ( )d
Th
• Legge fortemente scindibile ed uniforme n
•
V (T ; O , z )   Sh e
h 1
 ( T Th )
n
  Sh (1  i )( T Th )
h 1
28
DETERMINAZIONI DI VALORI CAPITALI Caso Continuo
• Valutazione di un’operazione finanziaria
•
t"
V (T ; O, z )   S (t ) z (t , T )dt
t'
• Valore capitale legge uniforme non scindibile
•
t"
V (T ; O, z )   S (t ) g (T  t )dt
t'
• Legge fortemente scindibile non uniforme
T
•
 ( )d 
t"
V (T ; O, z )   S (t )e t
dt
t'
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
t"
V (T ; O, z )   S (t )e (T t ) dt
t'
29
RISERVA PROSPETTIVA E RETROSPETTIVA
•
T  T1 , Tn 
• Riserva retrospettiva di O all’epoca T • Riserva prospettiva di O all’epoca T m
•
M (T ; O , z )    Sh z (Th , T )
h 1
W (T ; O , z ) 
n
 S z(T , T )
h  m 1
•
M (T ; O , z )
W (T ; O , z )
h
h
V (T ; O, z )  W (T ; O, z )  M (T ; O, z )
m
• Legge uniforme M (T ; O , z )    Sh u (th )
W (T ; O, z ) 
h 1
• Legge fortemente scindibile e non uniforme
T
m
n

h  m 1
S h v(th )
  ( )d
M (T ; O, z )   Sh eTh
h 1
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
W (T ; O, z ) 
n

h  m 1
S h e  (Th T )
• Equità in f.s.  M (T )  W (T ) T
T0 ,  M (T0 )  W (T0 )
30
RISERVA PROSPETTIVA RETROSPETTIVA Caso Continuo
•

M (T ; O, z )    S (t ) z (t , T )dt
t'
•
t"
W (T ; O, z )   S (t ) z (t , T )dt


t"
t'

M (T ; O, z )    S (t ) g (T  t )dt W (T ; O, z )   S (t ) g (T  t ) dt
• Legge uniforme • Legge fortemente scindibile e non uniforme
•
T
T

M (T ; O, z )    S (t )e

t
 ( )d
t"
dt
t'
 ( )d 
W (T ; O, z )   S (t )e t
dt

• Legge fortemente scindibile ed uniforme

•
M (T ; O, z )    S (t )e (T t ) dt
t'
t"
W (T ; O, z )   S (t )e  ( t T ) dt

• Equità
31
USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’
• Scomposizione della riserva prospettiva
• Usufrutto v.a. delle quote di interesse successive a T
• Nuda proprietà v.a. delle quote di capitale successive a T
•
•
W (T )  U (T )  P(T )
W (T )  U (T )  P (T )
•
•
U (t ) 
Sie
h  r 1
h h
 (Th T )
P (T )  W (T )  U (T ) 
n
Se
h  r 1
• Caso continuo
•
n
U (t ) 
n

h  r 1
Sh e



Th
T


 ( ) d 
• V (t )  W (t )  U (t ) 

Th
T
n

h  r 1
h
 (Th T )
1  ih 
 ( ) d 
Sh e



Th
T


 ( ) d 

Th
1    ( ) d 
T

32
Tasso Interno di Rendimento
• Parametri di rendimento implicito di un’operazione finanziaria
• Progetto finanziario – insieme dei fatti economici tecnici sottostanti all’insieme delle n
prestazioni
 (T , S
h
• TIR ‐ IRR
•
•
h
)O
h 1
Legge di scambio i.c.c.
Operazione equa
• Progetto puro (riserva retrospettiva sempre dello stesso segno)
• Progetto misto deve essere reciproco (tasso attivo=tasso passivo)
i*
• Pagamenti periodici soluzione radice di un polinomio
• TIR operativo se esiste ed è unica la soluzione
n
V (0; O, i )   S h v h
h 1
• Valore Attuale Netto Risultato Economico Attualizzato – DCF (REA=Ris Econ Gen)
• GDCF (risultato economico attualizzato generalizzato)
n
•
G ( a )   S h a  t h , t0 
h 1
•
•
Internal Financial Law (legge finanziaria interna)
G (aˆ ) 
Caso scindibilità forte (non dipende dall’epoca di valutazione)
n
 S aˆ (t , t )  0
h0
h
h
0
33
CLASSIFICAZIONE DEI PROGETTI FINANZIARI
•
n

V (i )   S h  0
lim
i 0
h 0

 lim V (i )  S0  0
 i 
condizione sufficiente per l’esistenza e
l’unicità di una soluzione positiva per il
TIR (punto di vista dell’investitore)
• Operazione di investimento ‐ Operazione di finanziamento
•
•
In senso stretto (gli esborsi precedono gli incassi invest)
In senso lato (scadenza media esborsi < scadenza media incassi a qualsiasi tasso di valutazione
• P.I.P.O.
• C.I.P.O.
• P.I.C.O.
Investimento decrescenza monotona di V(i)
Finanziamento crescenza monotona di V(i)
• C.I.C.O.
•
 n

 n

 TIR se   S h  S0  0    S0  0  o   S h  S0  0    S0  0 
 h 1

 h 1

• Media aritmetica esborsi<epoca I incasso (investimento)
• Progetto di investimento (di finanziamento) semplice • Proprietà TIR
•
•
Invariante per una modifica proporzionale degli importi
Somma di due progetti ha un tasso interno intermedio 34
CRITERI DI DECISIONE PER PROGETTI
• Dato esterno (mercato e che comporta le valutazioni soggettive)
• Dato interno (relativo al progetto)
• Criterio soggettivo VAN
• Conveniente
• Indifferente
• Non conveniente
• Criterio oggettivo TIR
• Conveniente
• Indifferente
• Non conveniente
• Deve esistere il TIR
• Schematizzazione
Investimento
V ( x*)  0  i*  x *
V ( x*)  0  i*  x *
Finanziamento
V ( x*)  0  i*  x *
conviene
V ( x*)  0  i*  x *
non conviene
35
ESEMPIO
Cash
Flow
Date
-120000 01/03/2000
0.040748
TIR
35000 02/04/2001
5447.569
0.03
27000 03/05/2003
-4382.78
0.05
36000 04/05/2004
45000 06/07/2008
36
SCELTA TRA PROGETTI IN ALTERNATIVA
• Confrontabilità tra i cash flows
• Alternativa completa
• Operazioni integrative in modo da ottenere un’alternativa completa
• VAN valore maggiore
• TIR ‐ cash flows differenza
• Dominanza tra progetti non esiste il TIR nell’operazione di differenza
•
V (O; B , x*)  V (O; A , x*) x*  X *
• Esistenza del TIR
37
RENDITE CERTE A TASSO FISSO
• Rendita – successione di importi datati con medesimo segno ad eguali intervalli di tempo
• Periodo: divario temporalecostante tra 2 rate
•
•
•
•
•
•
•
Annuo
Frazionato
Poliennale
Frequenza: numero di pagamenti in un anno Intervallo: arco temporale tra inizio e fine
Durata: ampiezza intervallo
Rata
• Anticipate – Posticipate – Continue
• Immediate ‐ Differite
• Certe ‐ Aleatorie
• Costanti – Variabili
• Temporanee – Perpetue
• Valore
• Finale (montante)
• Iniziale (valore attuale)
• Ammortamento – Costituzione di capitale
38
VALUTAZIONE DELLE RENDITE I.C.
• Rendite annue temporanee
• Immediate
•
•
Posticipate
Anticipate
• Differite
• Rendite annue perpetue
• Immediate
•
•
Posticipate
Anticipate
• Differite
• Rendite frazionate temporanee
1  v mn
1
• Immediate
•
•
Posticipate
Anticipate
V0( m )  R 1
m
• Differite
• Rendite frazionate perpetue
• Rendite continue
i1
 R 1 anm i , V0( m )  R 1
(1 p )
0
V
 Rp
1
m
m
m
m
d1
m
 R 1 anm i
m
1
m
m
n
• Temporanee, temporanee differite
• Perpetue, perpetue differite
• Rendite poliennali
m
1  v mn
1
n
an i   e dt ; s   e ( n t ) dt
1  v kp
ip
 t
0
0
 R p ak i , V
p
(1 p )
0
 Rp
1  v kp
dp
 R p ak i
p
39
CALCOLI INVERSI: DAL CAPITALE ALLA RATA ed ALTRO
ni 
1
i

an i 1  v n
1
d
n i 

an i 1  v n
 ni
1
i


sn i (1  i ) n  1
n i 
 iV 
 ln  1  0 
R 

n

1
d


sn i (1  i ) n  1
an i Funzione crescente di n e decrescente di i
an i Funzione crescente di n e decrescente di i
sn i Funzione crescente di n e crescente di i

sn i
Funzione crescente di n e crescente di i
 n i Funzione decrescente di n e crescente di i
n i Funzione decrescente di n e crescente di i
 n i Funzione decrescente di n e decrescente di i
n i Funzione decrescente di n e decrescente di i
40
RENDITE A RATE VARIABILI I.C.
n
V0   Rh (1  i )
h
h 1
Valore iniziale
Caso
posticipato
n
V0   Rh (1  i )  ( h1) Valore iniziale
Caso anticipato
h 1
n
Vn   Rh (1  i )
 t
nh
h 1
Valore finale
Caso posticipato
n
Vn   Rh (1  i ) nh1 Valore finale
h 1
n
V0    (t )e dt
0
n
Valore iniziale Vn 
Flusso continuo
 ( n t )
  (t )e dt
0
Caso anticipato
Valore finale
Flusso continuo
41
RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE ARITMETICA
• Increasing annuity •
Rh  R  (h  1) D, D   R, D  0
nh
Rh  h, R  1;  Ia n i   h 1 h(1  i )  h  Is n i   h 1 h(1  i )
•
1, 2,3, , n; R, 2 R,3R, , nR; R, R  , R  2, , R  n
n
n
•
M  Rsn i    Is n 1 , V  Ran i  v  Ia n 1
•
 Is n   Ia n (1  i)n
 Ia n  v  2v 2  3v3    (n  1)v n 1  nv n 
v  Ia n  v 2  2v 3  3v 4    (n  1)v n  nv n 1 
•
(1  v)  Ia n  v  v 2  v 3    v n  nv n 1
•
•
 Ia n
 Ian

an i  nv n

an i  nv n
i
d
;  Is n 
;  Isn 

sn i  n
i

sn i  n
d
42
RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE GEOMETRICA
n
 ( h, q
h 1
)
h 1
Posticipata temporanea
 Ga n i
q
nv


  q h 1v h   1  (qv) n
h 1
v 1  qv

n
se q  i  1
se q  i  1
q
q
q
; V0  R  Ga n i ;  Gs n i  (1  i ) n  Ga n i
Anticipata temporanea
 Gan i
q
n


  q h 1v h 1  1  (qv) n
h 1
 1  qv

n
se q  i  1
  Gaq ;  Gs q  (1  i ) n  Gaq
; V0  R
ni
ni
ni
se q  i  1
Perpetue
43
AMMORTAMENTO
• Mutuante‐Mutuatario
• Rimborso unico
• Pagamento finale degli interessi
• Pagamento periodico degli interessi
• Rimborso periodico del capitale e degli interessi
O  (0, C )  (n, M )
O  (0, C )  (1, Ci )  (n  1, Ci )  (n, C (1  i ))
O  (0, C (1  d ))  (1, Cd )  (n  1, Cd )  (n, C )
AMMORTAMENTO GRADUALE A RATE VARIABILI
n
S   Rh (1  i )
Chiusura
finanziaria
Chiusura
elementare
 Dh  Dh1  Ch

 I h  iDh1
 R C I
h
h
 h
n 1
h
h 1
n
S   Ch
h 1
 (1  i )  h
S  R
h
h 0
n 1
S   Ch
h 0
h 1
Dh  S   Ck
h
Dh  S   Ck
k 0
k 1

Dh  Dh1 (1  d )  R
h
  D  D (1  d )
R
Dh  Dh1 (1  i )  Rh
Rh  Dh1 (1  i )  Dh
h
h
M (h)  S (1  i ) h   Rk (1  i ) hk
Wh 
k 1
n
 R (1  i)
k  h 1
 Dh1  Dh  Ch
 
 I h  dDh1
 R
  
 h  Ch  I h
 ( k h )
k
Prospetto di ammortamento
h 1
h
h 1
 (1  i ) hk
M (h)  S (1  i )   R
k
h
k 0
n 1
 (1  i )  ( k h )
Wh   R
k
k h
USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’, PREAMMORTAMENTO
Ph 
Uh 
n
 C (1  i)
k  h 1
n
I
k  h 1
( k h )
k
k
(1  i )
( k h )
n
 i  (1  i )
( k h )
k  h 1
n
C
sk
s
h  1, , n
n 1
Ph   Ck (1  i )  ( k  h )
k h
n 1
U h   Ik (1  i )
k h
( k h)
n 1
 d  (1  i )
k h
( k h)
n 1
 C
s  k 1
s
h  0, , n  1
Preammortamento
46
TIPI DI AMMORTAMENTO: RATA COSTANTE
• Ammortamento francese – rate costanti posticipate
• Le quote capitali evolvono in progressione geometrica di ragione (1+i)
• Riserva retrospettiva e prospettiva R  S n i  (1  v n ) R  S  i
M h  S (1  i ) h  Rsh i ; Wh  Dh  Ran  h i
• Usufrutto e Nuda proprietà
Ph  (n  h)Ch  (n  h) Rv n 1 h ;
U h  Dh  Ph  Ran  h  (n  h) Rv

n 1 h
 1  vn

 R
 (n  h)v n 1 h 
 i

R   1 i
 nh  R
nh



1
1
n
h
.



 v   1  1  d  n  h   v

i  
i
i




47
TIPI DI AMMORTAMENTO: QUOTE CAPITALI COSTANTI
• Ammortamento italiano ‐ quote capitali costanti
nh
S , h  1, , n
n
•
Dh 
•
S

Ch  Dh 1  Dh 

n

n  h 1

Si
 I h  iDh 1 
n

1  (n  h  1)




R
C
I
S
h
h
 h
n

h
S

M h  S (1  i )   sh i  i  (n  k  1)(1  i ) h  k 
n
k 1

h
• Riserva retrospettiva e prospettiva
• Usufrutto; Nuda proprietà
S
S n
Wh  an  h i  i   (n  k  1)(1  i ) h  k 
n
n k  h 1
Ph 
S
S
an  h i ; U h   n  h  an  h i 
n
n
AMMORTAMENTI CON ADEGUAMENTI
• Ammortamenti con tasso variabile
• Immunizzazione dal rischio delle oscillazioni del mercato finanziario
• Ammortamento francese adeguato nel tasso
•
Rh  Dh 1 n  h 1i( h ) ; Dh  Rh an  h i( h )
I h  Dh 1i ( h ) ; Ch  Rh  I h
• Ammortamento a tasso variabile con quote di capitale prefissate
•
Dh  Dh 1  Ch ; I h  i ( h ) Dh 1 ; Rh  Ch  I h
• Ammortamenti con adeguamento del debito residuo
• Indicizzazione del debito residuo in funzione di indici statistici
• Il caso dell’ammortamento francese
•
 Z h h
•
 h  Z h Z s , s tempo iniziale
•
Dh'  Dh h ; Rh' 1  R h ; I h' 1  I h 1 h ; Ch' 1  Ch 1 h
serie storica degli indici statistici di adeguamento;
49
COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Post.
• Vincolo di equivalenza finanziaria
S   h 1 Rh (1  i ) n  h
n
Gh  Gh 1  Ch

 I h  iGh 1
R  C  I
h
h
 h
Ch :quota capitale
Rh :rata
I h :quota interesse
Gh :capitale accumulato
h
M h   Rk (1  i ) h  k ;
Gh  Gh 1 (1  i )  Rh
k 1
Rh   Gh  Gh 1   iGh 1
Wh  Sv
• Versamenti posticipati costanti
S  Rsn i ; Ch  R (1  i ) h 1 ; Gh  Rsh i  S
M h  Rsh i ; Wh  Sv
h  1, , n
nh
 Ran  h i
nh
sh i
sn i

n
 Rv
k  h 1
k
k h
; M h  Wh  Gh
R  Gh  Gh1 (1  i )
R  Gh1  Gh (1  i )
Ch1  Ch (1  i )
50
COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Ant.
• Vincolo di equivalenza finanziaria
Ch :quota capitale
 :rata
R
h
Ih :quota interesse
 (1  i ) n  h
S   h 0 R
h
n 1
Gh 1  Gh  Ch
 
h  0,1, , n  1
 I h  dGh 1
   
 Rh  Ch  I h
Gh :capitale accumulato
  (1  i )
Gh 1   Gh  R
h
   G  G   dG
R
h
h 1
h
h 1
h 1
 (1  i ) h  k ;
Mh   R
k
k 0
Wh  Sv
• Versamenti anticipati costanti
(1  i ) 
Gh 1  Gh (1  i )  R
 Ch 1  Ch (1  i )

(1  i ) 
Gh  Gh 1 (1  i )  R

nh
n 1
 v k  h
R
k
k h
 ; G   G  R
  (1  i ); R
   G  G   dG
S  Rs
h 1
h
h 1
h
h 1
ni

s
(1  i ) h 1 ; G  Rs
  S h i
Ch  R
h
hi

sn i
 ; W  Sv n  h  Ra

M h  Rs
h
hi
nh i
51
VALUTAZIONE DI RISERVE
• Valutazione delle riserve ad un tasso diverso dal tasso contrattuale
n
Wh*  W  h, i*  
–
U  U  h, i  
*
h
*
P  P  h, i  
*
h
*

k  h 1
n

k  h 1
n

k  h 1
Rk 1  i* 
I k 1  i* 
( k h)
( k h)
Ck 1  i* 
 ( k h )
• Formula di Makeham
Wh*  Ph*  U h* ; Wh  Ph  U h
n
n
i*
i* n
i* * * i
i
*
* hk
* hk
* hk
*
  Ck (1  i )   I s (1  i )  Ph  U h , U h  *  Dh  Ph*  , Wh*  Ph*  * Wh  Ph* 
I  I s ; Dh   Rk (1  i )
i
i k  h 1
i
i
i
k  h 1
k  h 1
*
s
• Decrescenza del debito residuo rispetto ad i*
i  i
W  Dh  P  Dh  *  Dh  P   W  Dh  *  Dh  Ph* 
i
i
*
h
*
h
i
*
h
*
h
52
PRESTITI DIVISI: GENERALITA’
• Prestiti di rilevante importo
• Pluralità di finanziatori privati
• Intermediazione di terzi
• Garanzie pubbliche
• Titoli di credito a fronte di prestiti divisi
• Buoni a scadenza unica
• Obbligazioni
•
Con rimborso a scadenza unica
•
Con rimborso a scadenza differenziata
• Durata
•
Entro un anno (sconto razionale)
•
Pluriennale
• Valore di emissione p e di rimborso c
• Emissione sotto la pari
• Emissione alla pari
• Emissione sopra la pari
53
AMMORTAMENTO PER L’EMITTENTE
• Operazione finanziaria corrispondente
• Annua
• Semestrale • Rimborso unico
N : numero obbligazioni
Np : incasso emittente
Ncj :interesse annuo posticipato; Ncj / 2 : interesse semestrale posticipato
Nc : rimborso finale
(1,  Ncj )  (2,  Ncj )  (n  1,  Ncj )  (n,  Nc(1  j ))
(1/ 2,  Ncj / 2)  (1,  Ncj )  (n  1/ 2,  Ncj / 2)  (n,  Nc(1  j / 2))
• Rimborso a scadenza differenziata
N h :numero obbligazioni rimborsate in h
h
Lh :numero obbligazioni viventi in h Lh  N   N h
k 1
Rh  N h c  Lh 1cj;
Rh 1  Lh 1cj / 2, Rh  N h c  Lh 1cj / 2
54
AMMORTAMENTO PER GLI OBBLIGAZIONISTI
• Rimborso unico
•
•
Cedole annue
Cedole semestrali
• Rimborso a scadenza differenziata
•
•
Evoluzione tassi di mercato: continuo e variabile divario tra tasso di mercato e nominale
Par condicio creditorum
ammortamento mediante sorteggio
•
Scadenza aleatoria
•
Piano rimborsi = piano sorteggi
(1, cj )  (2,  cj )  (n  1, cj )  (n, c(1  j ))
(1/ 2, cj / 2)  (1, cj )  (n  1/ 2, cj / 2)  (n, c(1  j / 2))
N
N
h
Nr h
• Probabilità di estrazione, all’emissione , all’anno r di h
anni n
• Vita media all’emissione
e0   h
h 1
nr
• Vita media residua er   h
h 1
Lr
Nh
N
Nr h
Lr
55
ALTRI TIPI DI OBBLIGAZIONI
• A tasso variabile
• Indicizzate
• Convertibili
• Capitale di credito capitale di rischio

• Con prezzo di rimborso superiore al valore nominale
• Secche con premi (no cedola diminuisce il valore di rimborso dell’importo della cedola)
• Con premi P ( h ) , debitore P ( h ) N h c, obbligazionista P ( h ) / N h
• Con interessi incorporati (valore di rimborso crescente nel tempo)
• Con preammortamento Wt (i )  cjan ' t i  c(1  i )t  n ; n '  n
• Valutazione (solo caso con rimborso finale) Wt (i )  cjan t i  c(1  i )
t n
• TIR • Emissioni sotto la pari x  j
• Emissioni alla pari
• Emissioni sopra la pari x  j
56
SECONDA PARTE
57
IL MERCATO PERFETTO
• Mercato mobiliare riformulazione dei modelli già presentati
• Collegamento di valori finanziari di mercato riferiti ad epoche diverse
• Approccio teorico •
•
•
Legge finanziaria
Dinamica dei rendimenti
Valore di un’operazione e quindi relativo prezzo
• Approccio empirico
•
•
Si parte dal prezzo
Si ottiene una struttura coerente delle dinamiche di rendimento che ad O fa corrispondere per equivalenza il prezzo • Si fa riferimento ai titoli obbligazionari ed al loro mercato
• Mercato perfetto
• Non frizionalità
•
•
•
•
Assenza di costi di trasazione e di gravami fiscali
Vendite allo scoperto (short sales)
Assenza di rischio di insolvenza
Omogeneità delle informazioni
• Continuità
•
•
Infinita divisibilità
Nessuna limitazione sulle quantità contrattate
• Competitività
•
•
Massimizzazione del profitto
Soggetto passivo sui prezzi (price taker)
• Coerenza (nessuna possibilità di arbitraggi
•
•
Acquisto di importi non negativi con almeno uno positivo ad un prezzo non positivo
Acquisto di importi non negativi ad un prezzo negativo
58
TITOLI OBBLIGAZIONARI
• Titoli a scadenza certa
• Titoli a Cedola Nulla (TCN) (Zero Coupon Bond)
•
(O, NP)  (t ,  NC )
Finanziatore (0,  P )  (t , C )
•
Durata breve
•
Emittente
it 
i
CP
C
; j  t , t  1; P 
P
t
1  jt
• Titoli a Cedola Fissa (Coupon Bond)
•
Reddito staccato (interessi dati dalla cedola)
•
Reddito incorporato positivo negativo (capital gain, capital loss)
•
Operazione finanziaria
•
Durata investimento n‐t
•
P prezzo d’emissione, valore nominale C
•
n scadenza del finanziamento
(t ,  P )  (t  1, I )  (t  2, I )  (n  1, I )  (n, I  C )
•
Corso tel quel – corso secco + rateo dell’interesse maturato ma non ancora liquidato •
Corso ex‐cedola – corso secco – rateo della cedola che maturerà al successivo pagamento della cedola
•
Cedole a tasso variabile
•
Cedole a tasso indicizzato
59
CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD I
• TCNU (titolo a cedola nulla unitario)
v( y, z )  a ( z , y ); ( y, v( y, z ))  ( z , 1), y  z
v( y, z )
• Prezzo a pronti (prezzo spot ,p.s.)
• Orizzonte di scambio  y, z 
• Principio del rendimento del denaro  v( y, z )  1
• Coerenza del mercato  v( y, z )  0
• Decrescenza del prezzo rispetto alla scadenza
v( y, z ')  v( y, z "), ( y  z '  z ")
v( y, z ")
v( z ', z ") 1in z "
v( y, z ')
• 1 acquisto titolo ; 2 short sale 3 ho 1 in z’ ed acquisto 4 i ( y, z )   v( y, z ) 
• Tasso a pronti (spot rate)

1
z y
 1  v( y, z )  1  i ( y, z ) 
 z  y 
• Intensità di rendimento a scadenza (r.s.)
z
a( z, y )   ( y, z )  e
z

  ( y , ) d
y
z
,   ( y, )d  ( z  y ) ( y, z ),  ( y, z ) 
log v( y, z )     ( y, u )du
y
 log v( y, z )
zy
y
 ( y , z )( z  y )
,  ( y, z ) media delle intensità istantanee • v( y, z )  e
 ( y, u ), u   y, z 
 ( y, z )  log(1  i ( y, z )), i ( y, z )  e ( y , z )  1
60
CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD II
• TCN non unitario •
V ( y, z; S )  Sv( y, z )
V ( y, z; S )  Sv( y, z )acquisto in y di short sale di V ( y , z; S )
Sv( y, z )
• Titoli complessi si può supporre che si abbia un ( z1 , S1 ), ( z2 , S2 ), , ( zn , Sn )
portafoglio S di TCNU con n scadenze
• Valore TCNU k v ( y , zk )
• Proprietà di linearità del prezzo
• Valore portafoglio V ( y , S) 
n
n
 V ( y, z ; S )   S v( y, z )
k
k 1
k
k 1
k
k
• Titoli a cedola fissa (coupon bond), a cedola variabile
( z1 , I1 ), ( z2 , I 2 ), , ( zn , I n  Cn )
n
V ( y, S)   I k v( y, zk )  Cv( y, zn )
k 1
• Tasso di rendimento (yield rate) tasso che rende il valore attuale di un titolo complesso uguale al prezzo di acquisizione (prezzo tel quel). •
•
•
•
P: prezzo di acquisizione
n: durata residua
Y: yeld
Sk: incasso netto al tempo zk
Sk
zk
k 1 (1  Y )
n
P
i (0, n)
• Yield è il TIR ed è il tasso spot se abbiamo un TCN di durata n
•
n
Sk
Sk

Yeld curve titolo sottostimato ‐
sovrastimato

zk
zk
k 1 (1  i (0, z k ))
k 1 (1  Y )
n
61
CONTRATTI PREZZI E TASSI A TERMINE
• Contratti a termine o forward – compravendite differite
s ( x; y, z ), x  y  z
• x epoca di contrattazione
1
• Tasso a termine i( x; y, z )   s ( x; y, z )  z  y  1  1  i ( x; y, z )  ( z  y )  s( x; y, z )
z
1  i( x; y, z ) 
( z  y )

  ( x , u ) du
e
y
z
  ( x; y, z )( z  y )    ( x, u )du
y
 log s ( x; y, z )
; s ( x; y, z )  e  ( x ; y , z )( z  y )
zy
• L’intensità di rendimento a scadenza è la media delle intensità istantanee di interesse δ(x,u) fissate in x e variabili nell’intervallo (y,z)
z
z
y  ( x, u )du
   ( x , u ) du
z
 log s ( x; y, z )     ( x, u )du   ( x; y, z ) 
s( x; y, z )  e y
( z  y)
y
• Intensità di rendimento a scadenza  ( x; y, z ) 
 ( x; y, z )  log(1  i ( x; y, z ))  i ( x; y, z )  e ( x; y , z )  1
62
STRUTTURE IMPLICITE PREZZI • Struttura implicita di collegamento dei prezzi spot con quelli forward
s ( x; y, z )  v( x, z ) / v( x, y )  v( x, z )  s ( x; y, z )v( x, y )
• Teorema dei prezzi impliciti implica che, nell’ipotesi di coerenza, i tassi a termine applicati siano quelli impliciti nella struttura a pronti.
• Proprietà dei tassi forward:
x  y  z  s ( x; y, z )  0
 s ( x; y, z )  1 se y  z

 s ( x; y, z )  1 se y  z
x  y '  y "  z  s ( x; y ', z )  s ( x; y ", z )
x  y  z '  z "  s ( x; y, z ')  s ( x; y, z ")
• Indipendenza dall’epoca di contratto (scindibilità)
v ( x , z )  v ( x, y )v ( y , z )
• Aleatorietà del prezzo futuro
• A posteriori i prezzi forward possono non essere collegati ai prezzi spot
• Possibilità di arbitraggi 63
STRUTTURE IMPLICITE TASSI ED INTENSITA’ • Tassi impliciti a termine (forward rates)
(1  i ( x; y, z ))
z y
(1  i ( x, z )) z  x

(1  i ( x, y )) y  x
• Intensità implicite a termine (forward intensities)
 ( x; y, z )( z  y )   ( x, z )( z  x)   ( x, y )( y  x)
 ( x , z )   ( x, y )
yx
zy
  ( x; y, z )
zx
zx
64
STRUTTURE CON PAGAMENTI NEL DISCRETO
v(t , t  k )  vk ; s (t ; t  h, t  k )  sh ,k ;
• Simbologia:
i (t , t  k )  ik ; i (t ; t  h, t  k )  ih ,k ;
 (t , t  k )  k ;  (t ; t  h, t  k )  h ,k ;
• Mercato completo e coerente (indipendenza dall’importo)
• Scadenzari discreti, prezzi a pronti n
vk  V (0, k ; S k ) / S k ; S  S1 , S 2 , , S n  ; V (0, S )   S k vk
k 1
ik  vk
1

k
 1; vk  (1  ik )  k ; e  kk  vk  k 
 ln vk
 ln(1  ik )
k
vk  e  kk ; ik  ek  1
65
STRUTTURE FORWARD UNIPERIODALI
• Struttura implicita dei prezzi
sk 1,k 
vk
v
; ik 1,k  sk11,k  1  k 1  1
vk 1
vk
1  ik  ;   ln 1  i
1  ik 1,k 
 k 1,k    ln sk 1,k
k 1, k
k 1
1  ik 1 
k
k 1,k  kk  (k  1)k 1
• Iterativamente si ottiene
k
k
k
r 1
r 1
k   r 1,r / k ; 1  ik    1  ir 1,r ; vk   1  ir 1,r 
r 1
k
1
66
TASSI IMPLICITI DI SCONTO UNIPERIODALI
• Tassi impliciti di sconto o di interesse anticipato
d k 1,k  1  sk 1,k  1 
1  d k 1,k
sk
sk 1
(1  d k ) k

(1  d k 1 ) k 1
k
(1  d k )   (1  d r 1,r )
k
r 1
67
STRUTTURE FORWARD MULTIPERIODALI
• Prezzo a termine multi‐periodale
sh ,k
k
k
vk vk 1 vh 1 vk


   sr 1,r   1  ir 1,r 
vk 1 vk  2
vh
vh r  h 1
r  h 1
1
• Tasso di interesse sull’orizzonte di scambio
1  i 
h,k
k h
1
1
k

vh  vk vk 1 vh 1 
k h

 
   1  ir 1,r  ih ,k  sh ,k  1
vk  vk 1 vk  2
vh 
r  h 1
• Tasso di sconto o di interesse anticipato 1
k h
h,k
d h,k  1  s

ih ,k
1  ih ,k
68
MATRICE DELLE STRUTTURE FORWARD
 s1,1








s1,2
s2,2
s1,3 
s2,3 
s3,3 

s1,n 1
s2,n 1
s3,n 1

sn 1,n 1





 
sn 1,n 

sn ,n 
s1,n
s2,n
s3,n
69
MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD
i0,0








i0,1
i0,1,1
i0,2 
i0,1,2 
i0,2,2 

i0,n 1
i0,1,n 1
i0,2,n 1

i0,n 1,n 1





 
i0,n 1,n 

i0,n ,n 
i0,n
i0,1,n
i0,2,n
70
STRUTTURA PER SCADENZA SPOT PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS)
• V( h ) Prezzo del titolo al tempo h
Ik
k quote interessi già pagate sul titolo
k 1 (1  ik )
h
• Hh  
• V( h )  H h 1 
• V(1) 
I h  Ch
valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h‐1
(1  ih ) h
I1  C1  V(1)
I1  C1
I  C2
 i1 
 1; V(2)  H1  2
 i2 
V(1)
(1  i1 )
(1  i2 ) 2
I 2  C2  V(2)  H1
V(2)  H1
 1; ; in 
 I n  Cn 
V
1
n
(n)
 V( n )  H n 1 
 H n 1 
1
n
1
n
1
STRUTTURA PER SCADENZA FORWARD PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS)
• V( r , h ) Prezzo del titolo di un bond contrattato al tempo 0, acquistato al tempo r con scadenza al tempo h
• H r ,h 
I r ,k
h

k  r 1
(1  ir , k ) k  r quote interessi già pagate sul titolo
• V( r , h )  H r , h 1 
V( r , r 1) 
I r , h  Cr , h
(1  ir , h ) h  r
I r , r 1  Cr , r 1
•
 ir , r  2 
(1  ir , r 1 )
valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h‐1
 ir , r 1 
I r , r 1  Cr , r 1  V( r , r 1)
V( r , r 1)
I r , r  2  Cr , r  2  V( r , r  2)  H r , r 1
V( r , r  2)  H r , r 1
 1; V( r , r  2)  H r , r 1 
I r , r  2  Cr , r  2
(1  ir , r  2 ) 2
1
1
 1; ; ir , h 
 I r ,h  Cr ,h  h  r  V( r ,h)  H r ,h 1  h  r
V
( r ,h)
 H r , h 1 
1
hr
1
STRUTTURE PER SCADENZA SPOT (caso continuo)
Px; y , z  v( x; y, z ) S z
Py , z  v( y, z ) S z
• Prezzo spot Prezzo forward
• Strutture spot
T k
v(T , T  k )  a (T  k , T )  1/ m(T , T  k )  e

  (T , ) d
T
   (T , ) d
1   e T


T k
1
k
i (T , T  k )  m(T , T  k )  1  v(T , T  k )

1
k
1
k

 1


 T k

   (T , )d 

 (T , T  k )   T
k
   (T , ) d
d (T , T  k )  1  v(T , T  k )  1   e T


T k
1
k





1
k
73
STRUTTURE PER SCADENZA FORWARD (caso continuo)
• Strutture forward
T k
  (T , ) d
v(T , T  k )
T h
s (T ; T  h, T  k ) 
e
v(T , T  h)

   (T , ) d
 1   eT h


T k
i (T ; T  h, T  k )  s (T ; T  h, T  k )

1
k h




1
k h
1
 T k




(
T
,
)
d
 

T h


 (T ; T  h, T  k ) 
k h
   (T , ) d
 1   eT  h


T k
d (T ; T  h, T  k )  1  s (T ; T  h, T  k )
1
k h





1
k h
74
ELEMENTI SPOT E FORWARD DELLA STRUTTURA DEL DISCRETO
T k
v(T , T  k )  a(T  k , T )  1 / m(T , T  k )  e T


 1   e T

 (T , ) d
T k
i (T , T  k )  m(T , T  k )
1/ k
 1  v(T , T  k )
1/ k
T k
 (T , T  k ) 
  (T , )d
Valore attuale spot
 (T , ) d
1/ k



1
intensità
T
k
 
 1   e T

T k
d (T , T  k )  1  v(T , T  k )
1/ k
 (T , ) d
1/ k



Tasso spot di interesse anticipato
T h
 (T , ) d
s (T ; T  k , T  h)  v(T , T  k ) / v(T , T  h)  e T k

i (T ; T  k , T  h)  s (T ; T  k , T  h)
1/ ( k  h )
Valore attuale forward
1/ ( k  h )
 (T , ) d 

 1   e T k



T h
1
T h
 (T ; T  k , T  h) 
Tasso spot di interesse posticipato
 (T , ) d
e T k
hk
intensità
T h
d (T ; T  k , T  h)  1  s (T ; T  k , T  h) 1/ ( k  h )
1/ ( k  h )
   (T , ) d 
 1   e T k



Tasso forward di interesse posticipato
RENDITE CON STRUTTURE PER SCADENZA
• Valore iniziale di una rendita immediata o differita
n
n
Va (T )   Rh v(T , T  h)   Rh 1  d (T , T  h) 

*
h 1
T  h T *
*
; T  T  n
h 1
• Valore finale di una rendita immediata
n
n
Vf (T )   Rh m(T  h, T )   Rh 1  i (T  h, T  n) 

*
h 1
nh
; T T T  n
h 1
• Valore iniziale di una rendita immediata a scadenze intere
h
n
n
n
Va (0)   Rh vh   Rh (1  ih )  h   Rh  (1  ir 1, r ) 1
h 1
h 1
h 1
r 1
• Valore iniziale di una rendita immediata differita a scadenze intere
m
h
mn
1
 Rh  (1  ir 1,r )1
m /Va (0)   (1  ir 1, r )
h  m 1
r 1
r  m 1
• Valore finale di una rendita immediata posticipata a scadenze intere
n
n
V f (n)   Rk rk , n   Rk (1  ik , n )
k 1
nk
k 1
n
  Rk
k 1
n
 (1  i
r  k 1
r 1, r
)
• Valore finale di una rendita immediata anticipata a scadenze intere
n 1
n 1
Vf (n)   Rk rk , n   Rk (1  ik , n )
k 0
k 0
nk
n 1
  Rk
k 0
n
 (1  i
r  k 1
r 1, r
)
76
AMMORTAMENTI con STRUTTURE PER SCAD.
• Vincolo di chiusura finanziaria
n
n
h 0
h0
S   Rh vh   Rh 1  ih 
h
n
h
h 0
r 1
  Rh  1  ir 1,r 
1
• Ammortamento posticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato Dh 
n

k  h 1
Rk sh ,k 
k
n

k  h 1
Rk
 1  ir 1,r 
1
r  h 1
Rk  Dk 1ik 1,k  Dk 1  Dk  Dk  Dk 1 (1  ik 1,k )  Rk
• Ammortamento anticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato n 1
n 1
k h
k h
 s   R

Dh   R
k h,k
k
k
 1  ir 1,r 
1
r  h 1
  D d
R
k
k 1 k , k 1  Dk  Dk 1  Dk  Dk 1 (1  d k , k 1 )  Rk
77
CASI PARTICOLARI DI AMMORTAMENTO
• Ammortamento posticipato a rate costanti
n
h
n
R  S /   1  ir 1, r  ; Dh  R 
h 1 r 1
1
h
 1  ir 1,r 
1
h  h 1 r  h 1
• Ammortamento anticipato a rate costanti
k
n 1
 n 1 h





R  S / 1    1  d r 1, r   ; Dh  R 1    1  d r 1,r  
 h 1 r 1

 k  h 1 r  h 1

• Ammortamento a quote capitali costanti posticipato
R0  0; Rk 
S
1  (n  k  1)ik 1,k  , k  1,, n
n
• Ammortamento a quote capitali costanti anticipato
  S 1  (n  k  1)d

R
k
k 1, k  , k  0, , n  1; Rn  0
n
78
COSTITUZIONE DI CAPITALE ‐ STRUTTURA per SCAD.
• Vincolo di equivalenza finanziaria
n
n 1
Gn   h 1 Rh  (1  ik 1,k )  Rn

Gn   h 0 R
h  (1  ik , k 1 )
Ch  Gh  Gh 1

(h  1, , n)  I h  Gh 1ih 1, h ,
 C R I
h
h
 h
Ch  Gh 1  Gh

(h  1, , n)  Ih  Gh 1d h , h 1
 C  R
  I
h
h
 h
n 1
k  h 1
n
n 1
k h
h 1
M h  Gh   s 1 Rs  (1  ik 1,k )  Rh

M h  Gh   s 0 R
s  (1  ik , k 1 )
Gh  Gh 1 (1  ih 1,h )  Rh
Gh 1  (Gh  Rh )(1  ih ,h 1 )
n 1
k  s 1
n 1
k s
• Versamenti costanti
R
Gn
n
  (1  i
n 1
h 1
k  h 1
k 1, k
 
R
) 1
Gn
n 1
  (1  i
n 1
h 0
k h
k , k 1
)
79
VITA A SCADENZA E SCADENZA MEDIA
• Scadenza
• Vita a scadenza (time to maturity) informazione precisa solo su ZCB si lavora su
th  t
n
• Scadenza media aritmetica
t 
t S
h 1
n
h
S
h 1
h
h
• Scadenza media epoca in cui se vengono concentrati tutti i pagamenti si ottiene lo stesso valore attuale che si avrebbe seguendo lo scadenzario
(1  i )
z
n
n
 S   S (1  i)
h 1
h
h 1
n
n
h 1
h 1
h
 th
 n
 n

 th 
ln   S h (1  i )   ln   S h 

 h 1 
 z    h 1
ln(1  i )
v(0, z ) Sh   Sh v(0, th )
80
OPERAZIONE FINANZIARIA‐SCADENZA MEDIA • Operazione finanziaria e sub‐operazioni
O
O ' (costi), O" (ricavi)
O '  (t1' , S1' ),(t2' , S 2' ), ,(tn' ' , S n' ' ) ; O"  (t1" , S1" ),(t2" , S2" ), ,(tn" " , Sn" " )
n'
n"
C   Cr , R   Rs ; zC , z R scadenze mediedi O ' , O"
r 1
n'
s 1
n"
V0   Cr v(t )   Rs v(ts" )  Cv( zC )  Rv( z R )
r 1
'
r
s 1
Oè equivalente al progetto P.I.P.O.
z R  zC
• Progetto di investimento •
• Progetto di finanziamento z R  zC
( zC , C ),( zR , R)
81
DURATION (DURATA MEDIA FINANZIARIA)
• Duration – media aritmetica delle epoche (durate da 0) ponderata con i valori attuali degli importi.
n
D
n
 t S v(0, t )  t S
h
h 1
n
h
h
 S v(0, t )
h 1
h

h 1
n
h
S
h
h 1
h
h
(1  i )
n
 th

(1  i )  th
t S e 
h
h 1
n
 th
h
S e 
h 1
h
 th
• A mezzo delle proprietà delle medie si dimostra che
D  z  t , i  0
• La duration è invariante rispetto ad aumenti proporzionali degli importi
• Dati 2 investimenti con duration , posti i valori di O1 , O2
Da , Db
A, Da ; B, Db
O1 , O2 la duration di è: O1  O2
n'
Da  b 
n ''
 t a v(0, t )   t b v(0, t
h 1
'
h
h
'
h
k 1
A B
''
k k
''
k
)

Da A  Db B
A B
E’ sempre possibile ottenere una duration compresa tra le due durations date
La proprietà si può generalizzare ad n durations 82
INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE I
n
• Duration di 2° ordine in 0
D
(2)

t
h 1
n
2
h
S h v(0, th )
 S v(0, t )
h
h 1
n
• Struttura piatta D (2) 
• V ( )funzione convessa
V '( )
t
h 1
n
2
h
Sh e
S e 
h
h 1
 th
h
n
  th

; D (2)  tn2
t
h 1
n
2
h
S h (1  i )  th
 S (1  i)
h 1
h
 th
d
• Variazione relativa rapidità della variazione relativa di 
ln V ( )   D
V ( ) d 
V rispetto a δ
2
n
 n

V ( )    th Sh e  th V ( ) 
 h 1
   D (2)  D 2   2


2
V ( )
 t S h e
D
 h 1

•
variazione di D rispetto a t indice di volatilità (indice di dispersione)
D D 

 v 2 rapidità di variazione di D rispetto ad i
•
i  i
2
h
  th
• Intensità derivata del logaritmo del valore rispetto al tempo, D derivata del
logaritmo del valore rispetto all’intensità
83
INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE II
V / V
V '( )

  D
  0  / 
V ( )
V '(i )
i
V / V
D
i  lim
i

i  0 i / i
V (i )
1 i
  lim
• Elasticità
• flat yield duration del secondo ordine (convexity) convessità per unità di valore
n
 
t
h 1
n
2
h
S h e   th
S e 
h
h 1
n
i 
 t (t
h 1
h
h
 th
V "( )
,  convexity
V ( )
 1) S h (1  i )  th
n
S
h 1
 D (2) 
h
(1  i )  th

V "(i )
(1  i ) 2 , i convexity
V (i )
i    D
84
INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE III
• Volatility convexity: convessità per variazione di unità di valore
n
  

t
h 1
n
2
h
S h e   th
t S e 
h 1
h
n
 t (t
 i   h 1
h
 th
h
h
 1) Sh (1  i )  th
n
t S
h 1
D (2) V "( )
,  volatility convexity


D
V '( )
h
h
(1  i )  th
    1 
V "(i )
(1  i ), i -volatility convexity
V '(i )
85
STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO I
• Indicatore di sensibilità del I ordine:
V ( ) V '( )
d    Dd  ;

V ( )
V ( )
V ( 0  d  )  V ( 0 )(1  Dd  )
• Indicatore di sensibilità del II ordine:
V ( 0  d  )  V ( 0 )  V '( 0 )d   V "( 0 )(d  ) 2 / 2;
V ( 0  d  )  V ( 0 )(1  Dd     (d  ) 2 / 2);
V ( )
  Dd     (d  ) 2 / 2
V ( )
86
STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO II
V '(i )  D

  Dv;
V (i ) 1  i
Dv volatility (duration modificata)
• Indicatore di sensibilità del I ordine:


V (i ) V '(i )
D
D
di  d ln V (i ) 
di; V (i0  di )  V (i0 ) 1 
di 

1 i
V (i )
V (i )
 1  i0 
• Indicatore di sensibilità del II ordine:
(di ) 2
V (i0  di )  V (i0 )  V '(i0 )di  V "(i0 )
;
2

i
D
2
(
)
V (i0  di )  V (i0 ) 1 
di 
di
;
2
1
i
2(1
i
)


0
0


i
D
Vi
di 
(di ) 2

2
V (i )
1  i0
2(1  i0 )
87
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