ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA
9.1 OPERAZIONI FINANZIARIE
La Matematica Finanziaria ha per oggetto di studio le operazioni finanziarie, cioè le
operazioni di scambio di somme di denaro disponibile in tempi diversi. Gli elementi
fondamentali di un'operazione finanzaria sono importi e scadenze. Sulla base di questi
due elementi si effettua una prima distinzione:
• operazioni finanziarie certe: sono quelle i cui importi si rendono disponibili con
certezza,
• operazioni finanziarie aleatorie: sono quelle i cui importi si rendono disponibili solo
se si verificano degli eventi aleatori.
La Matematica finanziaria classica si occupa delle operazioni finanziarie certe, mentre la
Matematica attuariale si occupa delle operazioni finanziarie aleatorie.
Esempi di operazioni finanziarie certe.
1) Depositando denaro sul c/c bancario da cui si preleveranno capitale e interessi si
scambia il versamento odierno con un prelevamento futuro.
2) Comprando oggi BOT che si rivenderanno fra un mese, si scambia la somma oggi
investita con il ricavo della vendita fra un mese.
3) Stipulando oggi un mutuo con rimborso graduale si scambia la disponibilità che oggi si
riceve per effetto del contratto di mutuo con i versamenti che si faranno alle scadenze
convenute.
4) Stipulando oggi un acquisto di un'auto con pagamento rateale, si scambia la somma
ricevuta subito in natura (valore dell'auto), con le rate che si verseranno alle scadenze
dovute.
Per introdurre alcuni concetti fondamentali si consideri una operazione finanziaria
elementare consistente nello scambio fra due individui A e B di due capitali,
rispettivamente C ed M con M > C, in due successivi tempi x e y .
C
M
x
y
Il soggetto A cede a B il capitale C disponibile al tempo x ; in cambio B cede ad A il
capitale M disponibile al tempo y > x .
Se l'operazione di scambio dell'importo C al tempo x contro l'importo M al tempo
successivo y è accettata dai due individui, si dice che C e M sono finanziariamente
equivalenti fra loro e che l'operazione è equa.
Avendo supposto x < y si ha che:
A
è detto creditore o mutuante;
B
è detto debitore o mutuatario;
C
è il capitale impiegato, anticipato o investito;
M
è il capitale dovuto alla scadenza;
x
è la data di investimento;
y
è la data di scadenza;
[x,y] è il periodo di impiego.
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
La descrizione di un'operazione finanziaria si può fare associando alle varie scadenze
nelle quali si hanno movimenti di cassa gli ammontari di tali movimenti. Di norma le
scadenze si misurano in anni e gli ammontari in entrata e in uscita sono dotati
rispettivamente di segno + (eventualmente omesso) e di segno − .
Quindi per descrivere un'operazione finanziaria basta assegnare delle coppie di numeri
(scadenza, flusso di cassa), (ts , xs) con s = 1 , … , n e ove ts , in un'appropriata unità di
misura, è la scadenza alla quale si manifesta il flusso di cassa xs (valori positivi
segnalano entrate, valori negativi segnalano uscite).
Esempio.
Oggi concedo un prestito di 3000 € ; fra un anno mi rimborsano 1000 € , fra 1 anno e
mezzo altri 1200 € e fra due anni altri 1300 €.
Scadenza
(tempo)
0
1
1,5
2
Flusso di cassa
(importo)
-3000
1000
1200
1300
Si può anche usare una rappresentazione geometrica, detta retta dei tempi.
-3000
0
1000
1
1200
1,5
1300
2
3
€
t
9.1.1. OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE
Si parla di un'operazione di capitalizzazione quando il denaro è “portato avanti” nel
tempo ossia si trasforma una disponibilità immediata C al tempo x , in una disponibilità
futura M al tempo y ; noti C , x , y si deve determinare M .
In questa operazione finanziaria l'elemento fondamentale è il capitale C ; M è detto
montante, al tempo y , del capitale C impiegato al tempo x .
Si definisce
•
interesse nel periodo [x,y] la quantità
•
fattore di montante :
I=M−C
M
C
Esso misura il montante per unità di capitale impiegato, ossia se C = 1 , allora è
r=M.
r=
Dalle definizioni poste segue anche:
M = C+I
C = M−I ,
r=
M
, M= C r ,
C
2
C=
M
,
r
I = C (r − 1) ,
r = 1+
I
.
C
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
Esempio.
Oggi investo 1000 , fra tre anni riscuoto 1800 .
1000
1800
3
0
1000 capitale
1800 montante
1800 – 1000 = 800 interesse
1800
= 1,8 fattore di montante
1000
9.1.2.
OPERAZIONI DI ATTUALIZZAZIONE
Si parla di un'operazione di attualizzazione o di anticipazione o di sconto quando il
denaro è “portato indietro” nel tempo; noti M , x , y si deve determinare C .
In questa operazione finanziaria l'elemento fondamentale è il capitale M ; la somma C si
dice valore attuale al tempo x del capitale M , detto valore nominale, dovuto al
tempo y .
Si definisce
•
sconto sul capitale M la quantità
•
fattore di sconto o di anticipazione :
D=M−C.
C
.
M
Esso rappresenta il valore in x corrispondente ad una unità di montante in y , ossia
se M = 1 , v = C .
v=
Dalle definizioni poste segue anche
C =M−D ,
M = C+D ,
v=
C
,
M
C=Mv ,
M=
C
.
v
Esempio.
Oggi posso pagare 1000 per acquisire il diritto a riscuotere 1800 fra tre anni
-1000
1800
3
0
1000 valore attuale o scontato
1800 valore nominale
1800 – 1000 = 800 sconto
1000
= 0,55 fattore di sconto
1800
3
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
9.1.3.
LEGGI E REGIMI FINANZIARI
A parità di ogni altra condizione è ragionevole aspettarsi che nelle operazioni di
capitalizzazione e di attualizzazione, il fattore di montante e il fattore di sconto dipendano
dalla durata dell’investimento.
Quando si vuole segnalare che i fattori di montante e di sconto sono funzione della durata
t della operazione finanziaria si indicano, rispettivamente, con r(t) e v(t) .
La funzione r(t) rappresenta il montante in t equivalente al capitale C = 1 ; essa è detta
funzione fattore di montante o di capitalizzazione.
La funzione v(t) rappresenta il valore attuale in t = 0 equivalente al montante M = 1 in
t ; essa è detta funzione fattore di sconto o di attualizzazione.
Si suppone che le operazioni finanziarie siano regolate da funzioni fattore che
rappresentano il comportamento di un individuo razionale (colui che preferisce tanto a
poco) e pertanto le proprietà di una funzione fattore di montante e di una funzione fattore
di sconto si possono riassumere come segue.
Funzione fattore di montante è una funzione r(t) tale che
1) r(0) = 1 ,
2) r′(t) ≥ 0
ossia r(t) è crescente,
3) r(t) ≥ 1 .
r(t)
1
0
t
Funzione fattore di sconto è una funzione v(t) tale che
1) v(0) = 1 ,
2) v′(t) ≤ 0
ossia v(t) è decrescente,
3) 0 < v(t) ≤ 1 .
v(t)
1
0
t
4
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
Abbiamo introdotto la funzione fattore di capitalizzazione r(t) e la funzione fattore di
sconto v(t) perché, di norma, le operazioni finanziarie di capitalizzazione e di
attualizzazione dipendono dalla durata t dell’investimento. Considerando r(t) e v(t)
possiamo allora esprimere in funzione di t anche le altre grandezze.
• Nelle operazioni di capitalizzazione, detto C il capitale investito per un periodo t , si
ha:
M(t) = C r(t) , I(t) = M(t) − C = C (r(t) − 1) , inoltre
i( t ) =
I( t )
C
è il tasso di interesse periodale relativo al periodo t . Esso è l’interesse prodotto da
un capitale unitario nel periodo t .
Si faccia attenzione che di norma con il simbolo i si indica l’interesse prodotto da un
capitale unitario in un periodo unitario di tempo (di solito un anno).
Dalle formule precedenti segue:
r(t) = 1 + i(t)
• Nelle operazioni di attualizzazione, detta M la somma da scontare (valore nominale) e
t il periodo di differimento, si ha:
D(t) = M − C(t) = M (1 − v(t)) , inoltre
C(t) = M v(t) ,
d( t ) =
D( t )
M
è il tasso di sconto periodale relativo al periodo t . Esso è lo sconto per ogni unità
di valore nominale nel periodo t di differimento.
Con il simbolo d si indica invece, di norma, lo sconto per ogni unità di montante
quando il periodo di differimento è l’unità di tempo (di solito un anno).
v(t) = 1 − d(t)
Dalle formule precedenti segue:
Esempio.
Si consideri l’operazione finanziaria rappresentata da
C = 100
M = 110
2 anni
0
•
Se si interpreta come operazione di capitalizzazione risulta:
C = 100
capitale investito
M = 110
montante
I = 10
interesse totale
10
tasso di interesse periodale relativo a t = 2 anni.
i(2) =
= 10%
100
5
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
•
Se si interpreta come operazione di attalizzazione risulta:
C = 100
valore attuale
M = 110
valore nominale
D = 10
sconto totale
10
d(2) =
= 9,09% tasso di sconto periodale relativo a t = 2 anni.
110
Nella pratica le operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione sono regolate da fattori
che dipendono dal tempo secondo alcune formule matematiche. Queste formule, in
linguaggio finanziario, si chiamano regimi finanziari (di capitalizzazione o di
attualizzazione) e contengono non soltanto il tempo ma anche altri parametri che
regolano la velocità con cui
• nella capitalizzazione il montante cresce con il passare del tempo,
• nell’attualizzazione il valore nominale si contrae in valore scontato all’allontanarsi della
scadenza.
Quando in un regime si specifica numericamente il valore del parametro, avente
usualmente la natura di tasso di interesse o di sconto, si ottiene una formula matematica
che consente di capitalizzare o di attualizzare univocamente una somma, qualunque sia la
scadenza. Questa “formula con parametro precisato” si chiama legge finanziaria
(rispettivamente di capitalizzazione o di attualizzazione).
Esempio.
Sia f(t) = 1 + α t2 con α > 0 . Poiché f(0) = 1 e f'(t) = 2αt > 0 per ogni t > 0 , la
funzione f(t) = 1 + α t2 rappresenta un possibile regime finanziario di capitalizzazione. Se
si assegna ad α il valore 0,01 , la funzione f(t) = 1 + 0,01 t2 rappresenta una legge di
capitalizzazione di tale regime. Al variare del valore del parametro α , cambia la legge
nell'ambito dello stesso regime finanziario.
E′ ragionevole supporre che se riteniamo equivalenti due importi C in t0 e M in t , dove
M è ottenuto capitalizzando C , allora attualizzando M dovremmo ottenere C . Nella
pratica finanziaria un contratto avviene fra due controparti, per esempio A e B e se
per A l'operazione si identifica in un'operazione di capitalizzazione, allora per B la
stessa è un'operazione di attualizzazione. Ad esempio: il direttore di una banca fa
un'operazione di investimento (capitalizzazione) quando presta a un'impresa il capitale C
al tempo t0 che gli sarà restituito al tempo t e varrà M . Per l'impresa l'operazione può
essere vista come un'operazione di sconto in quanto si impegna a rendere M in t e
chiede che le venga anticipato (scontato) il capitale C in t0 .
Da quanto detto, segue che per essere entrambe d'accordo due controparti usano regimi
di attualizzazione e di capitalizzazione soddisfacenti le relazioni:
ossia
C r(t) v(t) = C
r(t) v(t) = 1 ,
,
M v(t) r(t) = M
t≥0.
DEFINIZIONE. Due regimi finanziari di capitalizzazione e di attualizzazione aventi come
funzioni fattore di montante e fattore di sconto r(t) e v(t) , rispettivamente, si dice che
sono coniugati se sono tali che:
6
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
r(t) v(t) = 1 , t ≥ 0 ;
v(t) =
ossia
1
;
r(t)
r(t) =
1
.
v(t)
Le leggi finanziarie di capitalizzazione più usate per calcolare interessi e montanti si
basano su tre tipi di funzioni fattori di montante: di tipo affine (o lineare), di tipo
esponenziale, di tipo iperbolico. Questi tre tipi di leggi corrispondono nell’ordine ai seguenti
tre tipi di regime:
• regime dell'interesse semplice (RIS),
• regime dell'interesse composto (RIC),
• regime dell'interesse anticipato (RIA).
Le leggi finanziarie di attualizzazione più usate sono quelle dei regimi coniugati al RIS,
RIC, RIA; esse corrispondono rispettivamente ai seguenti tre tipi di regime:
• regime dello sconto semplice o razionale,
• regime dello sconto composto,
• regime dello sconto commerciale.
A conclusione del paragrafo, si noti che facendo riferimento alla stessa operazione
finanziaria, le grandezze i , r , d , v si possono esprimere una in funzione dell’altra
come riportato nella seguente tabella.
i
i
r
d
v
r
r-1
1+i
i
1+ i
1
1+ i
r −1
r
1
r
d
v
d
1− d
1
1− d
1− v
v
1
v
1-v
1-d
Si noti che per ogni operazione finanziaria, in un medesimo periodo di riferimento
t = y − x, il tasso d'interesse i è sempre maggiore del tasso di sconto d corrispondente:
i > d . Inoltre d è funzione crescente di i .
d
1,0
d=
0,5
0
5
i
1+ i
10
7
i
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
9.1.4.
LA VARIABILE TEMPO
E’ importante sottolineare che in tutte le formule il tempo deve sempre essere espresso
con l’unità di tempo alla quale si riferisce il tasso dell’operazione finanziaria.
L’unità di misura della variabile tempo che di norma si considera e rispetto alla quale
vengono riferiti i vari tassi è l’anno.
Si utilizza l’anno civile considerato di 365 giorni (o 366 per gli anni bisestili), oppure
l’anno commerciale considerato di 360 giorni (12 mesi di 30 giorni ciascuno). Di
conseguenza si ha un “intervallo temporale esatto” se si contano gli effettivi giorni
compresi fra due date (per esempio, tra il 15/04/1994 e il 18/07/1994 vi sono 94 giorni:
15 + 31 + 30 + 18), e un “intervallo temporale commerciale” se si considera l’anno
commerciale e quindi tutti i mesi di 30 giorni.
Quando nelle operazioni finanziarie si considerano tassi annuali, occorre esprimere il
tempo in anni anche se il periodo da considerare non è un numero intero di anni.
Ricordiamo che:
•
il tempo espresso in giorni si riporta in anni mediante la frazione
numero dei giorni
numero dei giorni
(anno civile) o
(anno commerciale),
365
360
numero dei mesi
il tempo espresso in mesi si riporta in anni mediante la frazione
.
12
•
Esempi.
1)
2)
3)
•
47
(anno civile).
365
4
t = 5 anni e 4 mesi significa 5 +
.
12
4
20
t = 3 anni, 4 mesi e 20 giorni significa 3 +
(anno commerciale).
+
12 360
t = 2 anni e 47 giorni significa 2 +
Il tempo espresso in anni mediante un numero razionale si riporta ad una espressione
in anni, mesi, giorni usando le formule inverse di quelle precedenti. In generale si trova
dapprima il numero di giorni corrispondenti usando le formule
n° giorni = anni x 360
oppure
n° giorni = anni x 365
e successivamente si esprime questo numeri di giorni in anni, mesi, giorni.
Esempi.
1) t = 12,343 anni significa 12 anni, 4 mesi, 3 giorni perché, limitandoci a considerare
la parte decimale, si ha 0,343 x 360 = 123,480 giorni e 123 giorni significano 4 mesi
e 3 giorni.
2) t = 2,1284 anni significa 2 anni e 0,1284 x 360 = 46,224 giorni; poiché 46 giorni
sono 1 mese e 16 giorni, in definitiva t = 2,1284 anni significa 2 anni, 1 mese, 16
giorni.
8
Parte 9
OPERAZIONI FINANZIARIE
________________________________________________________________________________________________________________________
9.1.5.
TASSI PERIODALI
Abbiamo già incontrato in 1.3 due tassi definiti periodali:
• i(t) tasso di interesse periodale relativo al periodo t . E’ il tasso di interesse
prodotto da un capitale unitario nel periodo t di investimento.
• d(t) tasso di sconto periodale relativo al periodo t . E’ lo sconto per ogni unità di
montante nel periodo t di differimento.
Molte operazioni prevedono il pagamento di rate che non sono annuali ma riferite a
frazioni di anno (semestrali, quadrimestrali, trimestrali, mensili, etc.). Analogamente ci
sono operazioni di investimento che garantiscono il riconoscimento degli interessi più volte
1
esimo di anno viene indicato con im.
nel corso dell’anno. Il tasso di interesse riferito ad
m
1
• im tasso periodale relativo ad
esimo di anno.
m
Ad esempio i2 indica un tasso di interesse semestrale, i3 indica un tasso di interesse
quadrimestrale, i4 indica un tasso di interesse trimestrale, etc.
Di norma il tasso di interesse annuo si indica con i .
9
9.2 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE.
Esaminiamo i regimi di capitalizzazione, e le rispettive funzioni di montante, più usati per
calcolare interessi e montanti.
9.2.1. REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE
(RIS)
Gli interessi semplici si definiscono come quelli direttamente proporzionali al capitale e al
tempo di impiego. In altre parole, raddoppiando il capitale gli interessi raddoppiano,
triplicando il capitale si triplicano, così come raddoppiando il tempo si raddoppiano,
triplicando il tempo si triplicano etc. .
Pertanto nel regime degli interessi semplici, l’interesse prodotto da un capitale C nel
tempo t sarà espresso da una formula del tipo I = C t α con α costante.
In particolare un capitale unitario C = 1 impiegato per un tempo unitario t = 1 , produrrà
un interesse uguale ad α e quindi questa costante è il tasso di interesse i .
Se il capitale C è impiegato per un tempo t , il montante prodotto risulta
M = C + I = C + C t i = C (1 + i t)
e quindi la funzione fattore di montante che caratterizza il regime finanziario
dell’interesse semplice è
r(t) = 1 + i t
ossia è una funzione di tipo lineare affine.
r(t)
pendenza = i
1
0
t
Il grafico di r(t) è una retta e mostra come il montante prodotto da C = 1 cresca
linearmente nel tempo con pendenza uguale al tasso di interesse.
Riassumendo:
Indicando con i il tasso effettivo di interesse, le funzioni che
caratterizzano il RIS , espresse in funzione della durata t della operazione finanziaria,
sono
r(t) = 1 + i t ,
M(t) = C r(t) = C(1 + i t) ,
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
I(t) = M − C = C(1 + i t) − C = C i t ,
i(t) =
I(t)
= it .
C
Si noti che i(t) indica l’interesse prodotto da una unità di capitale nell’intero periodo t di
tempo ed è dato dal prodotto del tasso di interesse i moltiplicato per il periodo t :
i(t) = i t .
Le funzioni
r(t) = 1 + i t ,
M(t) = C(1 + i t) ,
I(t) = C i t
hanno come grafici una retta di pendenza rispettivamente i , C i , C i . Si può notare
che M(t) e I(t) hanno la stessa pendenza e quindi in uno stesso riferimento cartesiano
sono rappresentate da due rette parallele.
r(t)
1
0
C
i
M(t)
I(t)
M(t)
Ci
C
Ci
t
0
t
0
t
0
Ci
Ci
I(t)
t
Se si precisa che il tasso di interesse i vale 10 % (i = 0,1) e si sostituisce nella formula
al simbolo i il valore 0,1 , il fattore di montante r(t) = (1 + 0,1 t) caratterizza non più un
regime di capitalizzazione ma la legge di capitalizzazione degli interessi semplici a tasso
10 % . Questa legge di capitalizzazione consente di calcolare il montante M di
qualunque capitale C per qualunque durata t dell’impiego:
M = C (1 + 0,1 t) .
E′ importante ricordare che nelle formule precedentemente trovate il tempo deve sempre
essere espresso con l’unità di tempo in cui è dato il tasso effettivo di interesse i . Per
esempio se i è il tasso di interesse annuo allora il tempo t si deve esprimere in anni; se
i è il tasso di interesse semestrale allora il tempo t si deve esprimere in semestri; e così
via.
ESEMPI
Determinare il valore del montante (capitale finale) che si ottiene investendo un capitale C
per un tempo t all’interesse i .
Esempio 1
Se C = 1000 , t = 5 anni, i = 10 % annuo allora si ha
M = C(1+i t) = 1000 (1+0,10 ⋅ 5) = 1500 , I(5) = 1000 ⋅ 0,10 ⋅ 5 = 500 .
Esempio 2
Se C = 1000 , t = 45 giorni, i = 10 % annuo allora si ha
45
M = C(1 + i t) = 1000 (1 + 0,10 ⋅
) = 1012,32876 .
365
Esempio 3
Se C = 1000 , t = 13 mesi, i = 10 % annuo allora si ha
13
M = C(1+i t) = 1000 (1+0,10 ⋅ ) = 1108,333 .
12
- 11 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
Esempio 4
Se C = 1000 , t = 18 mesi, i = 5 % semestrale allora si ha
M = C(1+i t) = 1000 (1+0,05 ⋅ 3) = 1150 .
Esempio 5
Se C = 1000 , t = 14 mesi, i = 10 % semestrale allora si ha
14
M = C(1+i t) = 1000 (1+0,10 ⋅ ) = 1230 .
6
Esempio 6
Si consideri un periodo di 78 giorni e sia i (78g) = 0,00635 . Determinare, in RIS, il tasso
annuo equivalente a i (78g) = 0,00635 ossia determinare il tasso di interesse annuo che
su un capitale C = 1 in 78 giorni produce un interesse di 0,00635 .
SOLUZIONE: Per rispondere basta ricordare che i(t) = i t ed esprimere il periodo di 78
giorni in anni; si ha
360
78
da cui i = 0,00635 ⋅
= 0,0293 , i = 2,93% .
0,00635 = i
78
360
Esempio 7
Dato un tasso di interesse annuo i = 3,34 % , determinare il tasso equivalente relativo ad
un periodo t di 128 giorni, in altre parole determinare l’interesse prodotto da un capitale
C = 1 in 128 giorni se il tasso di interesse annuo è i = 3,34 % .
128
SOLUZIONE:
Da i(t) = i t otteniamo i (128g) = 0,0334 ⋅
= 0,01187 .
360
Negli esempi 6 e 7 si parla di “tassi equivalenti”, questo argomento sarà ripreso e
completato nella PARTE 4 .
OSSERVAZIONE 1
In questo regime è vantaggioso effettuare operazioni di capitalizzazione intermedie, ossia
ritirare il montante (capitale iniziale + interessi) e reinvestire il tutto. Confrontiamo i
montanti M e M'' ottenuti investendo C per un periodo t1 + t2 senza operazione di
capitalizzazione intermedia e con capitalizzazione intermedia. Se i è il tasso d'interesse,
si ha:
M
C
M′
M′′
t0 = 0
t1
t 1+ t 2
t
M = C(1 + i(t1 + t2))
M' = C(1 + i t1)
M'' = C(1 + i t1) ⋅ (1 + i t2)
Risulta M'' > M e per questo, essendo M ≠ M′′, si dice che il RIS è un regime non
scindibile.
- 12 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
OSSERVAZIONE 2
Consideriamo un periodo annuale di impiego di un capitale unitario che non sia
necessariamente il primo anno. Le epoche iniziale e finale di questo periodo siano
rispettivamente, t e (t + 1) . Il montante dell'impiego del capitale unitario C = 1 dopo t
anni è M = C + C i t = 1 + i t = r(t) , dopo (t + 1) anni è M = 1 + i(t + 1) = r(t + 1) ,
cosicchè la differenza r(t + 1) − r(t) rappresenta gli interessi prodotti dal capitale unitario
in quell'anno. Risulta:
r(t+1) − r(t) = 1 + i(t + 1) − (1 + i t) = 1 + i t + i − 1 − i t = i .
Ne segue che i è l'interesse prodotto nel generico anno di impiego di un capitale unitario
(e non solo nel primo anno d'impiego). Questa proprietà del RIS non è posseduta da altri
regimi.
9.2.2. REGIME DELL’INTERESSE COMPOSTO
(RIC)
E′ naturale l'impiego della capitalizzazione semplice quando tra due parti di un contratto
finanziario viene predeterminata la durata dell'operazione. Quando questo non avviene
viene applicata la capitalizzazione degli interessi: si suddivide la durata dell'impiego in
periodi, generalmente uguali, e, alla fine di ciascuno dei periodi vengono computati gli
interessi semplici relativamente a quel periodo. Tali interessi sono immediatamente
trasformati in capitale e già dal periodo successivo cominciano a loro volta a produrre
interessi.
Sia i il tasso effettivo di interesse nell'unità di tempo; supponiamo di investire un capitale
unitario C = 1 al tempo t = 0 e che le epoche di capitalizzazione siano equidistanti.
Calcoliamo quanto si realizza al tempo t = 1 , t = 2 , ... t = n , effettuando l'operazione di
capitalizzazione alla fine di ogni periodo. Per il fattore di montante, si ottiene la seguente
successione geometrica:
r(0) = 1
r(1) = r(0) ⋅ (1 + i) = 1 + i
r(2) = r(1) ⋅ (1 + i) = (1 + i)2
r(n) = r(n – 1) ⋅ (1 + i) = (1 + i)n .
Se generalizziamo la relazione appena trovata ad ogni tempo t ≥ 0 e non solo per
scadenze intere, si dice che si opera mediante convenzione esponenziale e si ottiene:
r(t) = (1 + i)t
,
t≥ 0 .
La precedente formula è un fattore di montante, infatti:
r(0) = 1 ,
r′(t) = (1 + i)t ln (1 + i) > 0 .
Dunque il regime finanziario di capitalizzazione a interesse composto o regime
esponenziale è caratterizzato da una funzione fattore di montante esponenziale:
r(t) = (1 + i)t
- 13 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
o equivalentemente
r(t) = eδ t
dove eδ = 1 + i . Per il significato di δ si veda 9.2.5 . Le costanti δ e i sono legate fra
loro dalla precedente uguaglianza ed è sempre possibile ricavare l'una nota l'altra:
i= eδ − 1
,
δ = ln (1 + i) .
Il significato di i è quello di tasso di interesse nell'unità di tempo mentre δ = ln (1 + i) è
l’intensità istantanea di interesse (o tasso istantaneo d'interesse, o forza d'interesse).
Riassumiamo le relazioni che abbiamo fin qui trovato per il RIC e riportiamo i grafici per
r(t) , M(t) e I (t) :
r(t) = (1 + i)t ,
i (t) =
M(t) = C(1 + i)t
I (t)
= (1 + i)t – 1 ,
C
I (t) = M(t) – C = C[(1 + i)t – 1]
M(t)
r(t)
1+i
C
I (t)
1
0
1
t
t
INTERESSE COMPOSTO CON CONVENZIONE LINEARE
Nel caso in cui il tempo t di capitalizzazione non sia espresso da un numero intero ma sia
t = n + f , con
n numero naturale e 0 < f < 1 , il montante può essere calcolato
mediante convenzione lineare. Con ciò si intende che si considera la funzione fattore di
montante
r ( t ) = (1 + i)n (1 + i f )
ossia, considerando un capitale unitario, alla fine del n-esimo anno il capitale che si è
formato è (1 + i)n e rappresenta il capitale iniziale per l’intervallo di tempo [n, n + f] nel
quale si applica l’interesse semplice e quindi il capitale finale prodotto da un capitale
unitario nel tempo t = n + f è (1 + i)n (1 + i f ) .
- 14 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
Dunque considerando un periodo di investimento di t = n + f con n intero e 0 < f < 1 , il
fattore di montante è:
r ( t ) = (1 + i)n (1 + i f )
con la convenzione lineare
r ( t ) = (1 + i) t = (1 + i) n+ f
con la convenzione esponenziale.
Esempio.
Una somma di 1000 euro viene impiegata al tasso annuo i = 10 % per 5 anni e 3
mesi in regime di interesse composto. Determinare il capitale finale nelle due convenzioni
(lineare ed esponenziale).
SOLUZIONE.
In convenzione lineare si ha:
3
M = 1000 (1 + 0,10) 5 ⋅ 1 + 0,10 ⋅
= 1650,773 .
12
In convenzione esponenziale si ha:
M = 1000 (1 + 0,10)
5+
3
12
= 1649,365 .
Come mostra l’esempio, il montante ottenuto con la convenzione lineare è maggiore
di quello ottenuto con la convenzione esponenziale che rappresenta comunque una
buona approssimazione del primo, ma per il creditore è più conveniente il regime ad
interesse composto con convenzione lineare.
Le locuzioni “convenzione lineare” e “convenzione esponenziale” fanno riferimeneto
all’interpretazione geometrica dei fattori di montante che si ottengono nei due casi. Il
grafico del fattore di montante della convenzione lineare è la spezzata inscritta
nell’esponenziale rappresentante il fattore di montante della convenzione esponenziale.
8
4
1
0
1
3
2
Concludiamo con le seguenti due osservazioni.
- 15 -
t
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
OSSERVAZIONE 1
Il RIC è l'unico regime in cui il montante generato in un intervallo di tempo è lo stesso che
si ottiene effettuando un qualunque numero di capitalizzazioni intermedie (regime
scindibile). Infatti
M′
C
t0 = 0
Si ha
M
M′′
t1
t 1+ t 2
t
M = (1 + i) t1+ t 2
M′ = (1 + i) t1
M′′ = M′ (1 + i) t2 = (1 + i) t1 ⋅ (1 + i) t2 = (1 + i) t1+ t 2
Poiché risulta M = M'', si dice che il RIC è un regime scindibile.
OSSERVAZIONE 2
Su un impiego unitario nel primo anno gli interessi prodotti sono:
r(1) – r(0) = (1 + i)1 – (1 + i)0 = 1 + i – 1 = i .
Per contro, quando si consideri un generico anno, da t a t + 1 (con t intero o, se non
intero, lavorando con la convenzione esponenziale), gli interessi prodotti da un impiego
originariamente unitario sono:
r(t + 1) – r(t) = (1 + i)t+1 – (1 + i)t = (1 + i)t (1 + i –1) = (1 + i)t ⋅ i ≠ i .
L’ammontare degli interessi cresce eponenzialmente nel tempo. E’ pari al tasso di
interesse solo nel primo anno (quando t = 0). Nel caso di capitalizzazione composta non
è corretto dire che il tasso di interesse annuo è l’interesse prodotto da una unità di
capitale in un anno, ma occorre dire che è l’interesse prodotto da una unità di
capitale nel suo primo anno di impiego. Se si vuole fare riferimento al generico anno si
deve precisare che i è l’interesse prodotto da una unità di capitale impiegato all’inizio di
quell’anno, capitale che include gli interessi maturati e capitalizzati nei periodi precedenti.
9.2.3. REGIME DI INTERESSE ANTICIPATO
(RIA)
Per introdurre questo regime, ragioniamo dapprima in termini di sconto anzichè di interessi
mettendoci nei panni di chi deve ricevere oggi la somma M scontata.
C?
M
t0 = 0
t
Illustriamo con un esempio. Il possessore di una cambiale di valore nominale M = 1000
euro all'epoca t , chiede di scontare la cambiale ossia vuole incassare subito il valore
- 16 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
attuale C dell'effetto. Egli si rivolge ad un Istituto di Credito che, dietro trattenuta di un
compenso, accetta di fare l'anticipazione dei mezzi finanziari accollandosi il periodo di
differimento della disponibilità di M . Il compenso trattenuto dall'Istituto di Credito (sconto)
è direttamente proporzionale all'ammontare nominale dell'effetto e alla sua scadenza
secondo una costante di proporzionalità α : D(t) = M t α .
Se M = 1 e t = 1 risulta D = α , pertanto α è lo sconto su un capitale finale unitario
M = 1 in t = 1 e quindi è il tasso di sconto d (detto sconto commerciale).
In funzione del tempo, possiamo scrivere D(t) = M t d da cui
C
C = M − D(t) = M − M t d = M (1 − d t) , M(t) =
.
1− d t
Esempio.
18 1
⋅
= 15 . Il valore
100 12
corrisposto dall'Istituto di Credito è allora: C = M − D = 1000 − 15 = 985 .
Se M = 1000 euro, t = 1 mese e d = 18 % , si ha: D = 1000 ⋅
Torniamo a ragionare in termini di capitalizzazione: se consideriamo l'esempio precedente,
dal punto di vista dell'Istituto di Credito, l'operazione è così descrivibile:
−985 €
1000 €
0
1 mese
t
per l’Istituto di Credito è una capitalizzazione e può pensarsi realizzata applicando alla
somma investita di 985 euro, un opportuno fattore di capitalizzazione:
M
M
1
=
=
.
C M (1 − d t) 1 − d t
r (t) =
In funzione del tasso di sconto d si ottiene dunque la funzione fattore di montante:
r(t) =
1
.
1− d t
Contrariamente al solito il fattore di capitalizzazione è stato introdotto in funzione di un
tasso di sconto e non del tasso di interesse. Ciò segue dalla tipologia delle operazioni
finanziarie per le quali si opera con questo regime, maggiore chiarezza sarà fatta quando
si analizzerà il regime dello sconto commerciale. Più sotto ritroveremo comunque anche
le relazioni che si ottengono in funzione del tasso di interesse.
d
> 0 . Poiché per avere significato accettabile
(1 − d t)2
r(t) deve essere positivo e maggiore di 1 , si hanno le limitazioni: 0 < 1 − dt e
1
1 − d t < 1 da cui . 0 < d < .
t
Osserviamo che r(0) = 1 , r ′(t) =
- 17 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
1
; questo comporta che per un dato tasso di sconto si
d
possono trattare solo somme con scadenza minore del reciproco del tasso. Se per
1
esempio d = 20 % annuo allora deve essere t <
= 5 anni .
20 %
Si noti che segue anche t <
La rappresentazione grafica del fattore di montante è:
r(t)
r(t)
1
0
Quando
la
1
d
durata
dell'impiego
si
avvicina
t
troppo
spropositatamente grande.
a
1
d
il
montante
Abbiamo già visto che valgono le relazioni
r(t) =
1
1− d t
,
M(t) =
C
,
1− d t
C = M (1 − d t )
,
i(t) =
,
da queste seguono anche
I(t) = M( t ) − C =
Cdt
1− d t
Rappresentiamo in grafico M(t) e I(t):
M(t)
C
0
I(t)
1
d
- 18 -
t
I(t)
dt
=
C 1− d t
.
diventa
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
Indicato con i l’interesse prodotto da un capitale unitario nel primo anno di impiego, si ha
i
1
d
d
, da cui i =
e d=
.
i = r(1) - r(0) =
−1=
1− d
1− d
1− d
1+ i
Si possono ora riscrivere tutte le relazioni precedenti in funzione del tasso di interesse i ,
in particolare si ha:
r(t) =
1+ i
,
1+ i − i t
M(t) =
C (1 + i)
,
1+ i − i t
I( t ) =
Cit
1+ i −i t
Concludiamo con le seguenti osservazioni.
OSSERVAZIONE 1
Il RIA è un regime non scindibile perché al contrario di quello che avviene in RIC , nel
RIA la capitalizzazione intermedia degli interessi è svantaggiosa per l'investitore. Infatti
confrontiamo i montanti M e M'' ottenuti investendo C per un periodo t1 + t2 senza
operazione di capitalizzazione intermedia e con capitalizzazione intermedia:
C
t0 = 0
Si ha :
M
M′′
M′
t1
t 1+ t 2
t
C
1 − d(t1 + t 2 )
1
1
1
M′′ = M′
=C
⋅
1− d t2
1 − d t1 1 − d t 2
M=
ed essendo
(1 − d t 1 ) ⋅ (1 − d t 2 ) = 1 − d(t1 + t 2 ) + d2 t 1t 2 > 1 − d(t1 + t 2 ) > 0
risulta
1
1
1
⋅
<
(1 − d t 1 ) (1 − d t 2 ) 1 − d(t1 + t 2 )
e quindi M′′ < M . Poichè i montanti che si ottengono sono diversi, anche questo è un
regime non scindibile.
OSSERVAZIONE 2
Abbiamo visto che l’interesse prodotto da un capitale unitario nel primo anno di impiego è
d
i = r(1) - r(0) =
e quindi se d ≠ 0 si ha i ≠ d . Ma ciò vale anche con riferimento al
1− d
generico anno di impiego, dall’epoca t all’epoca t + 1 , infatti in questo caso l’interesse
1
1
d
che in generale non è
prodotto è r(t + 1) - r(t) =
−
=
1 − d (t + 1) 1 − d t [1 − d (t + 1)] (1 − d t)
1
uguale al tasso di sconto d e che assume valori molto grandi quando t si avvicina a
.
d
- 19 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
9.2.4. CONFRONTO TRA FATTORI DI MONTANTE
Fissiamo l'unità di tempo, ad esempio 1 anno. Se i tassi di interesse annui nei tre regimi
considerati fossero diversi, dovendo investire un capitale C sceglieremmo quel regime
che fornisce, al tempo desiderato il montante maggiore. Nel caso in cui il tasso di
interesse annuo i sia lo stesso nei tre regimi, allora possiamo confrontare direttamente
le tre funzioni fattore di montante.
rRIS ( t ) = 1 + i t
Tutte sono tali che:
,
rRIC ( t ) = (1 + i ) t
r ( 0) = 1 ,
,
r (1) = 1 + i ,
rRIA ( t ) =
1
1−
i
t
1+ i
=
1
.
1 − dt
r ′( t ) > 0 .
Le funzioni fattore di montante sono crescenti, passano per i punti (t,r) = (0,1) e
(t,r) = (1, 1 + i) . Riportiamo i loro grafici:
r(t)
RIA
RIC
RIS
1+i
1
0
1
d
1
Notiamo che nell'intervallo 0 < t < 1 si ha
1
1 < t < , si ha rRIA (t) > rRIC (t) > rRIS (t) .
d
t
rRIA (t) < rRIC (t) < rRIS (t) , mentre per
9.2.5. INTENSITA′ DI INTERESSE
Un procedimento generale per descrivere una data forma di impiego di un capitale in un
assegnato intervallo di tempo consiste nel calcolare quale tasso di interesse semplice
avrebbe condotto allo stesso risultato.
Per esempio, supponiamo che il signor Rossi investa 100 euro e dopo 3 anni riscuota
130 euro, senza aver percepito alcuna entrata nell’arco del triennio. Si può descrivere il
risultato dell’investimento dicendo che il signor Rossi ha investito a tasso di interesse
semplice del 10% . Infatti da 100 (1 + 3 i) = 130 si ha i = 10 % .
Questo tasso si chiama intensità media di interesse nel periodo. Essa può essere
riferita a intervalli di tempo molto lunghi o anche brevissimi. Quando si considera un
- 20 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
intervallo di tempo così breve da poter essere considerato “istante”, la relativa intensità
d’interesse è detta intensità di interesse o forza di interesse.
Si definisce intensità istantanea di interesse o tasso istantaneo d’interesse o forza
d’interesse la quantità
δ( t ) =
d
ln r ( t ) .
dt
Calcoliamo la forza d’interesse nei regimi considerati.
r(t) = 1 + i t ,
δ( t ) =
d
i
ln (1 + i t ) =
.
dt
1+ i t
RIC: r(t) = (1 + i)t = eδ t,
δ( t ) =
d
ln e δ t = δ = ln(1 + i) .
dt
δ( t ) =
d
1
d
.
ln
=
dt
1− d t
1− d t
RIS:
RIA:
r (t) =
1
,
1− d t
Si noti che in RIS e in RIA la forza d’interesse dipende da t , mentre nel RIC la forza
d’interesse non dipende da t . Si può dimostrare il seguente teorema:
La forza d’interesse δ(t) è costante se e solo se il regime è esponenziale, ossia
r(t) = eδ t .
9.2.6. SCINDIBILITA′
Nei paragrafi precedenti si è già esaminato se i regimi di capitalizzazione considerati
verificano o no la proprietà di scindibilità. Riassumiamo brevemente quanto detto e
precisiamo la definizione di scindibilità.
Si chiamano leggi scindibili quelle leggi finanziarie per le quali le interruzioni
dell’investimento, con immediata ripresa, non hanno riflessi sul risultato finale.
In un regime scindibile il montante di un’operazione finanziaria dipende solo dalla durata e
non da eventuali operazioni di disinvestimento ed investimento intermedie. In un regime
scindibile indicato con (x,y) l’intervallo di tempo dell’operazione finanziaria,
•
in termini di fattore di montante si ha r(x,y) = r(x,a) r(a,y) per ogni a ∈ (x,y) ,
•
in termini di fattore di sconto si ha
•
v(x,y) = v(x,a) v(a,y) per ogni a ∈ (x,y) ,
oppure per scontare una somma da y ad a , si può prima scontarla da y ad x (con
x < a) e poi capitalizzarla fino ad a : v(a,y) = v(x,y) r(x,a) .
- 21 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
Vale il teorema:
un regime r(t) è scindibile se e solo se la forza di interesse δ(t)
è indipendente da t .
Le sole leggi di capitalizzazione scindibili sono quelle di capitalizzazione composta.
Ricordiamo che la scindibilità del RIC è stata dimostrata nell’osservazione 1 di 2.2 . La
non scindibilità di RIS e di RIA è stata dimostrata nell’osservazione 1, rispettivamente, di
2.1 e di 2.3 .
Esempio.
Si consideri un impiego a tasso d’interesse annuo del 10% per 5 anni. I fattori di montante
sono:
•
a interessi semplici
1 + 0,1 x 5 = 1,5
•
a interessi composti
•
a interssi (semplici) anticipati
(1 + 0,1)5 = 1,6105
1 + 0,1
= 1,8333 .
1 + 0,1 (1 − 5)
Consideriamo l’effetto di una interruzione dell’impiego dopo 3 anni con immediata
prosecuzione per gli altri 2. Otteniamo un fattore quinquennale pari a:
•
a interessi semplici
(1 + 0,1 x 3) (1 + 0,1 x 2) = 1,56 > 1,5
•
a interessi composti
•
a interssi (semplici) anticipati
(1 + 0,1)3 x (1 + 0,1)2 = 1,331 x 1,21 = 1,6105
1 + 0,1
1 + 0,1
⋅
= 1,6805 < 1,8333
1 + 0,1 (1 − 3) 1 + 0,1 (1 − 2)
Come si vede, l’interruzione (con capitalizzazione degli interessi maturati fino a quel
momento) è vantaggiosa negli impieghi a interessi semplici è svantaggiosa nella
capitalizzazione a interessi (semplici) anticipati, è indifferente nella capitalizzazione
composta.
9.2.7. TASSI VARIABILI NEL TEMPO
Esistono operazioni finanziarie che interagiscono con l’ambiente circostante, per esempio
in presenza di inflazione, e per questo sono soggette a tassi di interesse che variano nel
tempo. Ci proponiamo di analizzare alcune di queste operazioni e cercare formule che
esprimano il montante di un impiego unitario con tassi di interesse che possono variare nel
tempo. In questo caso non è sufficiente conoscere la durata complessiva di un impiego
per valutarne il risultato, ma si devono dichiarare le epoche x e y di inizio e fine
dell’operazione di capitalizzazione, per questo si parla di leggi di capitalizzazione con due
variabili.
Consideriamo una operazione finanziaria di durata t = (x,y), t = t1 + t2 e tale che, senza
interruzione di investimento, nel primo periodo t1 valga il tasso i1 , mentre nel secondo
periodo t2 valga il tasso i2 . La funzione fattore di montante è
- 22 -
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
•
r(x,y) = r(t) = 1 + i1 t1 + i1 t2
in regime di interesse semplice ;
•
r ( x , y ) = r ( t ) = (1 + i1 ) t1 ⋅ (1 + i2 ) t 2
in regime di interesse composto ;
•
r ( x, y) = r ( t ) =
1
in regime di interesse (semplice) anticipato .
1 − d1 t1 − d2 t 2
In questo caso i tassi d1 e d2 non sono di interesse ma di sconto commerciale.
Generalizzando al caso in cui l’intervallo di tempo (x,y) sia suddiviso in n intervalli di
durata rispettivamente ts , s = 1, …, n, nei quali si hanno rispettivamnete i tassi di
interesse is , s = 1, …, n, la funzione fattore di montante è:
•
r ( x, y) = r ( t ) = 1 +
n
s =1
•
is t s
in regime di interesse semplice ;
n
r ( x, y) = r ( t ) = ∏ (1 + is ) t s
in regime di interesse composto ;
s =1
•
1
r ( x, y) = r ( t ) =
1−
n
s =1
in regime di interesse (semplice) anticipato .
ds t s
In questo caso i tassi ds non sono di interesse ma di sconto commerciale.
Esempio 1.
Si abbia un capitale di 800 euro impiegato per un anno, senza interruzione di
investimento, al tasso i1 = 10% per i primi sei mesi e al tasso i2 = 11% per gli altri sei
mesi. Il montante prodotto è:
1
1
+ 0,11⋅
= 886,4
2
2
•
M = 800 1 + 0,10 ⋅
•
M = 800 (1 + 0,10)2 ⋅ (1 + 0,11)2 = 883,9912
1
1
in capitalizzazione semplice ;
in capitalizzazione composta .
Esempio 2.
Si consideri un investimento biennale ripartito in tre periodi di durate rispettivamente 1
anno, 6 mesi e 6 mesi. Supponiamo che nel primo anno il tasso di interesse sia
i1 = 10% , mentre nei due semestri che seguono esso sale di mezzo punto (percentuale)
al semestre. Il fattore di montante è
1
1
+ 0,11⋅ = 1,2075
2
2
•
r(t) = 1 + 0,10 ⋅ 1 + 0,105 ⋅
•
r(t) = (1 + 0,10)1 ⋅ (1 + 0,105)2 ⋅ (1 + 0,11)2 = 1,218247
1
1
- 23 -
in capitalizzazione semplice ;
in capitalizzazione composta .
Parte 9
REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
________________________________________________________________________________
Si faccia attenzione a non confondere le funzioni fattore di montante trovate quando si è in
presenza di tassi variabili nel tempo, con quelle trovate affrontando il problema della
scindibiltà.
Trattando della scindibilità di un regime, ci si riferisce ad operazioni finanziarie in cui
l’interruzione dell’investimento e il reinvestimento comporta la capitalizzazione degli
interessi maturati fino al momento dell’interruzione.
Quando si parla di operazioni finanziarie con tasso variabile nel tempo, si intende che
l’operazione finanziaria è sempre la stessa e nel momento in cui varia il tasso d’interesse
l’operazione non si interrompe e non si ha capitalizzazione degli interessi fino ad allora
maturati.
- 24 -
9.3 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO.
Come già detto nella PARTE 1 l’attualizzazione è un’opearzione finanziaria che
“porta indietro nel tempo” una somma di denaro, sostituendo al suo valore nominale a
scadenza il suo valore attuale o scontato immediatamente disponibile. Il legame tra valore
nominale, valore attuale e fattore di sconto è rappresentato da
valore attuale = valore nominale x fattore di sconto .
Esamineremo i tre regimi di attualizzazione che sono i coniugati dei tre regimi di
capitalizzazione esaminati nella PARTE 2 . Ricordiamo che due regimi aventi come
fattore di montante e fattore di sconto rispettivamnete r(t) e v(t) sono coniugati se
1
r(t) v(t) = 1 ossia v ( t ) =
.
r (t)
9.3.1. REGIME DELLO SCONTO SEMPLICE O RAZIONALE
Con sconto semplice o razionale o di tipo iperbolico si intende il regime di attualizzazione
coniugato al regime della capitalizzazione semplice (interesse semplice). Esso è
rappresentato dalla funzione fattore di sconto:
v(t) =
1
,
1+ i t
v(t) =
1- d
1− d + d t
dove v(t) rappresenta il valore di un capitale unitario disponibile al tempo t .
1
v(t)
0
t
Si dice anche che v(t) è la contrazione del valore nominale M = 1 . Aumentando t il
valore del capitale unitario diminuisce avvicinandosi indefinitamente a zero.
Se t è la durata del differimento, i il tasso di interesse della legge coniugata, allora il
valore attuale C(t) del valore nominale M è dato da:
C(t) = M v(t) =
M
.
1+ i t
Se indichiamo con D(t) lo sconto dell'intero periodo t , d(t) il tasso di sconto dell'intero
periodo t (o sconto nell'intero periodo di un valore nominale unitario) e d il tasso effettivo
di sconto di un periodo unitario, si hanno le relazioni:
Parte 9
REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
________________________________________________________________________________________________________________________
D(t) = M − C(t) = M − M v(t) = M(1 − v(t)) = M d(t)
1
it
d(t) = 1 − v(t) = 1 −
=
1+ i t 1+ i t
i
d = d(1) = 1 − v(1) =
.
1+ i
Da quest'ultima formula segue i =
C(t) =
d
1− d
M
=
1+ i t
e dunque anche:
M
M(1 − d)
=
.
d
1− d + d t
1+
t
1− d
Esempio.
Nell’operazione finanziaria sotto rappresentata, calcolare I(t) , i(t) , i , D(t) , d(t) , d .
M = 105
C = 100
t0 = 0
t = 4 mesi = 120 giorni
I(t) = M − C = 5 .
I (t)
5
i (t) =
=
= 5% .
C 100
120
Da i (120) = i t e t =
360
t
1
360
segue i = i (120) = 5% ⋅
= 15 % annuo
t
120
D(t) = M − C = 5 = M − M v(t) = M(1 − v(t)) = M d(t) .
D(t)
5
d(t) =
=
= 0,047619 .
M
105
1
15 1
⋅
1
it
1
d(t) = 1 − v(t) = 1 −
=
= 100 3 = 20 =
= 0,047619 .
1 + i t 1 + i t 1 + 15 ⋅ 1 21 21
100 3 20
i
15%
15
d=
=
=
= 0,13043 annuo.
1 + i 1 + 15% 115
1
Notiamo che d(t) ≠ dt , infatti 0,047619 ≠ 0,13043 ⋅ = 0,0434746 (è uno sconto di tipo
3
iperbolico, non lineare).
9.3.2. REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO.
Il regime di attualizzazione detto dello sconto composto è il regime coniugato del regime
della capitalizzazione composta (interesse composto).
26
Parte 9
REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
________________________________________________________________________________________________________________________
Considerando la funzione di sconto v(t) =
1
coniugata a r(t) = (1 + i)t = eδ t , si ottiene la
r(t)
funzione fattore di sconto
v(t) =
1
(1 + i) t
ossia
v ( t ) = (1 + i) − t = e −
t
.
Indicando con d lo sconto su un valore nominale unitario M = 1 e un tempo di
1
i
i
d
differimento t = 1 , si ha d = 1 − v (1) = 1 −
da cui d =
e
che
=
i=
1+i 1+ i
1+i
1− d
esprimono la relazione tra tasso di sconto d e tasso di interesse i .
Si può ora esprimere v(t) in funzione del tasso di sconto:
v ( t ) = (1 − d)t .
Risulta inoltre:
C(t) = M v(t) = M(1 + i)–t ,
D(t) = M – C(t) = M – M(1 + i)–t = M(1 – (1 + i)–t ) .
Graficamente D(t) e C(t) si possono rappresentare nel modo seguente
M
D(t)
C(t)
0
t
Aumentando lo sconto diminuisce C . Quando il tempo di differimento è nullo, cioè per
t = 0 , si ha il valore massimo di C , ossia C = M , e il valore minimo di D , ossia D = 0 .
9.3.3. REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE
Il procedimento di calcolo relativo a questo regime è lo stesso di quello analizzato per il
regime di capitalizzazione a interessi (semplici) anticipati del quale il regime dello sconto
commerciale è il coniugato.
Il regime dello sconto commerciale è caratterizzato dalla proporzionalità non solo al valore
nominale ma anche al tempo dello sconto. Indicato con d il tasso di sconto, con M il
valore nominale e con t il tempo di differimento, l’espressione dello sconto è D(t) = M d t
D( t )
da cui segue d( t ) =
=dt .
M
Il valore attuale è allora espresso dalla funzione C(t) = M − D(t) = M(1 −d t) e quindi la
funzione fattore di sconto che caratterizza il regime dello sconto commerciale è
v(t) = 1 − d t
27
Parte 9
REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
________________________________________________________________________________________________________________________
Considerando i tassi effettivi di sconto e di interesse nell’unità di tempo ricordiamo che
i
vale la solita relazione d =
.
1+i
Poiché la funzione fattore di sconto v(t) deve essere tale che: v(0) = 1 , 0 < v(t) ≤ 1 ,
v′(t) ≤ 0 , come già visto in 2.3, per le leggi di questo regime deve essere
1
t< .
d
Prima di ogni impiego del regime, conviene quindi accertarsi che la durata massima di
1
differimento sia inferiore alla durata critica t = .
d
Ad esempio se si opera con un tasso di sconto del 20% annuo, la durata critica di
1
1
differimento è di
=
= 5 anni. Significa che a 5 anni il valore attuale è nullo, ma
20% 0,2
attenzione, oltre i cinque anni si ottengono valori attuali negativi!!
Concludiamo facendo notare che le funzioni d(t) , D(t) , M(t) , sono lineari e quindi il loro
grafico è una retta; a valori crescenti di d corrispondono rette maggiormente inclinate.
D′(t)
D(t)
1
d′ > d
C(t)
C′(t)
0
t
1
d
9.3.4. CONFRONTO TRA FATTORI DI SCONTO
Assumendo che il tasso di interesse per unità di tempo sia i per tutti e tre i regimi di
attualizzazione considerati, allora possiamo confrontare le loro funzioni fattore di sconto.
v RIS ( t ) =
1
,
1+ i t
v RIC ( t ) =
1
,
(1 + i) t
Tutte sono tali che:
v(0) = 1 ,
v(1) =
1
,
1+ i
28
v RIA ( t ) = 1 −
v ′(t) < 0 .
i
t .
1+ i
Parte 9
REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
________________________________________________________________________________________________________________________
Le funzioni fattori di sconto sono decrescenti e passano per i punti (0;1) e
1
;1 . I
1+ i
grafici sono riportati in figura:
v(t)
1
1
1+ i
RIS
RIC
0
1
1
d
3
RIA
t
Assumendo che nel primo anno di impiego il tasso di sconto sia d per tutti e tre i regimi di
attualizzazione considerati e facendo riferimento alla stessa operazione finanziaria, dalla
d
si ottengono le seguenti espressioni delle funzioni fattore di sconto:
relazione i =
1− d
v RIS ( t ) =
1− d
1− d + d t
sconto semplice o razionale;
v RIC ( t ) = (1 − d) t
v RIA ( t ) = (1 − d t ) , t <
sconto composto;
1
d
sconto commerciale.
29
9.4 CONVERSIONE FRA TASSI
Quando si trattano le condizioni finanziarie di una operazione finanziaria, è frequente che
si ragioni in termini di tasso. Spesso la convenienza di una operazione finanziaria si
giudica sulla base di un tasso ritenuto un parametro finanziario pienamente espressivo.
Un tasso dà indicazioni sulla velocità con cui un impiego produce interessi, o con quale
velocità un finanziamento grava di interessi. E’ però fondamentale sapere a quali unità di
misura del tempo i tassi sono riferiti e in quali regimi si opera.
Anche se l’unità di misura del tempo è una frazione di anno (semestre, quadrimestre, etc.),
all’interno di uno stesso regime, le formula trovate nella PARTE 2 per la capitalizzazione
(e analogamente per l’attualizzazione) rimangono sempre le stesse se si fa riferimento ai
tassi di interesse periodali riferiti all’unità di tempo considerata (semestre, quadrimestre,
etc.).
DEFINIZIONE
Due tassi di interesse si dicono equivalenti se descrivono la stessa
legge finanziaria, ossia sono tali da fornire il medesimo montante quando sono applicati
allo stesso capitale per la stessa durata.
Esaminiamo le relazioni che legano tassi equivalenti nei regimi di capitalizzazione illustrati
precedentemente. Per comodità ragioneremo sempre in termini di capitale unitario, ossia
in termini di fattore di montante.
9.4.1. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D’INTERESSE SEMPLICE
In regime di interesse semplice, come noto, il montante prodotto da un capitale C = 1 in
un tempo t è espresso dalla funzione fattore di montante r(t) = 1 + i t .
Considerati il tasso annuo i e il tasso periodale im , essi sono equivalenti se in un anno
producono lo stesso montante, ossia se risulta 1 + i = 1 + m im, da cui si ottiene
i
(1)
m
Possiamo confrontare fra loro anche tassi periodali riferiti a frazioni di anno diverse, senza
passare dal tasso annuo. Per esempio, un tasso semestrale i2 e un tasso quadrimestrale
i3 sono equivalenti se 1 + i2 ⋅ 2 = 1 + i3 ⋅ 3 cioè 2i2 = 3i3 .
In regime di interesse semplice due tassi periodali in e im sono equivalenti se
im =
i = m im ,
n in = m im
,
in = i m ⋅
m
.
n
(2)
Se il tempo t è espresso in anni, in modo analogo si ottiene la relazione di equivalenza fra
tasso di interesse periodale i(t) e tasso di interesse annuo i , risulta
i(t) = i t ,
i=
i( t )
.
t
(3)
Le (1), (2) e (3) esprimono le relazioni di equivalenza tra tassi di interesse semplice.
Parte 9
CONVERSIONE FRA TASSI
________________________________________________________________________________________________________________________
Esempio 1.
In regime di interesse semplice il tasso annuo i = 8% è equivalente
8%
= 4% ,
2
•
al tasso semestrale
•
al tasso quadrimestrale
i3 =
8%
≈ 2,6% ,
3
•
al tasso trimestrale
i4 =
8%
= 2% .
4
i2 =
Esempio 2.
In regime di interesse semplice il tasso semestrale i2 = 6% è equivalente
•
al tasso annuale
i = 2 ⋅ 6% = 12% ,
•
al tasso quadrimestrale
i3 =
2
⋅ 6% = 4% ,
3
•
al tasso trimestrale
i4 =
2
⋅ 6% = 3% .
4
9.4.2. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D’INTERESSE COMPOSTO.
TASSI NOMINALI.
In regime di interesse composto la funzione fattore di montante è r(t) = (1 + i)t .
Affinchè il montante di un capitale impiegato per un anno al tasso i sia uguale al montante
prodotto dallo stesso capitale impiegato per un anno al tasso periodale im , deve essere
(1 + i)1 = (1 + im)m . Da questa si ricavano le relazioni che legano i e im :
1
im = (1 + i)m − 1 .
i = (1 + im )m − 1 ,
(4)
Da queste segue anche la relazione che permette di confrontare tassi periodali riferiti a
frazioni di anno diverse senza passare al tasso annuo:
k
im = (1 + ik )m − 1 .
(5)
Considerando il tasso periodale i(t) , si può generalizzare la formula (1 + i)1 = (1 + im)m ad
un qualunque intervallo temporale t .
Se t è espresso in anni, per determinare la relazione di conversione fra il tasso annuo i e
il tasso periodale i(t) , basta porre 1 + i(t) = (1 + i)t . Si ottiene:
1
i = (1 + i(t))t − 1 ,
i(t) = (1 + i )t − 1 .
(6)
Le (4), (5) e (6) esprimono le relazioni di equivalenza tra tassi di interesse composto.
31
Parte 9
CONVERSIONE FRA TASSI
________________________________________________________________________________________________________________________
Ad esempio:
•
il tasso annuo equivalente al tasso periodale relativo a 27 giorni i (27) = 0,00234 è
i = (1 + 0,00234)
•
360
27
− 1 = 0,03165 ,
i = 3,165%
.
dato il tasso annuo effettivo i = 3,6 % , il tasso periodale equivalente relativo a un
periodo di 128 giorni è
128
i (128) = (1,036) 360 − 1 = 0,01265 = 1,265 % .
9.4.2.1. Applicazioni dei tassi equivalenti ai titoli senza cedola
Operazioni tipiche in cui l'intervallo temporale è inferiore ad un anno sono quelle che si
riferiscono ai titoli di puro sconto o "zero coupon bond" o titoli a cedola nulla. In Italia
sono i BOT (Buoni ordinari del Tesoro) e i CTZ (certificati del Tesoro zero coupon).
Sono titoli con cui lo Stato raccoglie fondi indebitandosi con i cittadini. Tali titoli sono
definiti di puro sconto perchè vengono venduti a un prezzo inferiore al valore del
rimborso M . Si può assumere come valore di rimborso M = 1 , ma comunemente si
adotta M = 100 . Un titolo emesso in data x al prezzo P rimborsato al tempo y al
prezzo M ( P < M ) è un titolo di puro sconto la cui durata è t = y − x . Solitamente il
tempo in queste operazioni finanziarie viene misurato in giorni in quanto sono titoli a breve
scadenza (durata massima 2 anni).
Determiniamo il tasso di interesse implicito, detto tasso di rendimento, di questa
operazione finanziaria:
P r(x,y) = M ,
P = M v(x,y) .
Il tasso di interesse periodale i(t) nel periodo t = y − x (ossia l’interesse prodotto da un
capitale unitario nel periodo t sappiamo che vale:
i( t ) =
I M−P
,
=
P
P
i( t ) =
M
−1 .
P
Questi titoli hanno di solito periodi di riferimento inferiori all’anno, pertanto se il tempo t è
espresso in anni occorre esprimerlo in termine di numero di giorni, in questo caso si
t
utilizza la solita relazione t = g ossia tg = 360 t (o le analoghe nel caso si consideri
360
l’anno civile).
1
Da i = (1 + i( t ) )t − 1 risulta:
M
i=
P
365
tg
−1 .
Riportando i tassi periodali i(t) in tassi annui equivalenti si possono confrontare fra loro
operazioni aventi tassi diversi per periodi diversi.
32
Parte 9
CONVERSIONE FRA TASSI
________________________________________________________________________________________________________________________
Esempio.
Consideriamo due titoli di puro sconto.
•
Titolo A : venduto al tempo x per P = 98 e rimborsato dopo 42 giorni, y = x + 42 ,
a M = 100 .
•
Titolo B : venduto al tempo x per P = 97 e rimborsato dopo 75 giorni, y = x + 75 ,
a M = 100 .
Determiniamo il rendimento di tali titoli in regime di capitalizzazione composta.
Titolo A :
Tasso periodale: i ( 42 g) =
M
100
−1 =
− 1 = 0,020 = 2% ,
P
98
365
Titolo B :
M 42
Tasso annuo equivalente: i =
− 1 = 0,1919 = 19,19% .
P
M
100
Tasso periodale: i (75 g) = − 1 =
− 1 = 0,0309 = 3,09% ,
P
97
M
Tasso annuo equivalente: i =
P
365
75
− 1 = 0,159 = 15,9% .
Il tasso annuo equivalente in RIC al tasso periodale di un titolo di puro sconto è anche
denominato tasso a pronti o tasso spot.
9.4.2.2. Tasso annuo nominale convertibile
Abbiamo visto che in capitalizzazione composta la relazione che esprime l’equivalenza fra
tasso annuo i e tasso periodale im è i = (1 + im)m , ben diversa da i = m im che esprime
l’equivalenza fra tasso annuo e tasso periodale in regime di interesse semplice.
In capitalizzazione composta, il valore
jm = m ⋅ im
si chiama tasso nominale convertibile m volte nell’anno. Esso rappresenta la somma
degli interessi che vengono corrisposti durante un anno per investimento di un capitale
unitario C = 1 quando si convenga che l’interesse sia pagato al termine di ogni m-esimo
di anno.
0
1
3
2
1
3
33
t
Parte 9
CONVERSIONE FRA TASSI
________________________________________________________________________________________________________________________
Ricordando le relazioni di conversione dei tassi precedentemente trovate in questo regime
(RIC) e dalla definizione di tasso nominale, si traggono le seguenti formule di equivalenza
tra tassi annui effettivi e tassi nominali:
m
j
i= 1+ m
m
−1
1
jm = m (1 + i)m − 1
,
.
Si noti che il tasso nominale jm è sempre più piccolo del tasso effettivo annuo i . Quando
si stabiliscono le condizioni di un finanziamento occorre quindi fare attenzione se il tasso di
interesse proposto è quello effettivo o quello nominale. Spesso jm è il tasso che viene
dichiarato quando un istituto di credito concede un prestito. Enunciando un tasso
nominale il finanziatore fa credere di applicare un tasso inferiore a quello che
effettivamente sta applicando perché jm < jm−1 < … < j1 = i .
jm < i .
Esempio 1.
Una banca prevede un rimborso attraverso rate mensili ed enuncia un tasso nominale
j12 = 10% . Si trovi il tasso effettivo annuo equivalente.
SOLUZIONE:
Il tasso effettivo annuo equivalente a j12 = 10% è
i = 1+
0,1
12
12
− 1 = 10,47% .
Esempio 2.
Un Istituto di credito enuncia un tasso nominale j4 = 24% con la clausola di
capitalizzazione trimestrale degli interessi. Calcoliamo il tasso effettivo:
j
i = (1 + i4 ) − 1 = 1 + 4
4
4
4
− 1 = (1 + 0,06) 4 − 1 = 0,26247698 = 26,247696% .
L’enunciazione di un tasso nominale ha permesso di nascondere oltre due punti
percentuali di tasso. La differenza fra tasso effettivo e tasso nominale cresce (ma poco
velocemente) all’infittirsi del periodo di capitalizzazione e (più velocemente) all’elevarsi del
tasso nominale. Se ad esempio quel 24% nominale fosse convertibile 12 volte all’anno
(anziché 4 volte), si avrebbe:
12
24
i= 1 +
− 1 = 26,8241795% .
12
Se invece si raddoppiasse il valore nominale da 24% a 48% , tenendo ferma la
capitalizzazione trimestrale (4 volte l’anno), si avrebbe:
48
i= 1 +
4
4
− 1 = 57,351936%
con una differenza fra tasso nominale e tasso effettivo di oltre 9 punti percentuali !!
34
Parte 9
CONVERSIONE FRA TASSI
________________________________________________________________________________________________________________________
9.4.3. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D’INTERESSE SEMPLICE
ANTICIPATO
Il problema è poco interessente perché è raro che venga enunciato un tasso di sconto
commerciale con riferimento a frazioni di anno. Se si vuole comunque esaminare questo
caso, si procede come in 4.1 ricordando che la funzione fattore di montante che regola
1
questo regime è r ( t ) =
, dove t è il tasso di sconto. Per la conversione fra tassi si
1− d t
trovano le relazioni:
d = m dm ,
35
dm =
d
.
m
9.5 RENDITE
Può presentarsi l'esigenza di considerare più somme di denaro dello stesso segno (tutte
entrate o tutte uscite), ciascuna con una sua scadenza e si vuole riportare tutte queste
somme di denaro ad una stessa scadenza, sostituendole con un unico ammontare
monetario.
Si definisce rendita finanziaria una successione di importi Rh , h = 1, 2, ... esigibili alle
epoche tk , k = 0, 1, 2, ... . L'importo Rh è detto rata, l'epoca tk in cui è disponibile la
rata è detta scadenza k-esima.
Ogni intervallo di tempo tr − tr−1 si chiama periodo di competenza; il periodo di tempo fra
t0 e t1 si chiama primo periodo di competenza. Se il primo termine della rendita è
disponibile nel primo periodo di competenza, la rendita è denominata immediata; se
invece il primo termine della rendita è disponibile nel k- esimo periodo, diremo che la
rendita è differita di k periodi. Una rendita è detta anticipata se la rata è esigibile
all'inizio del periodo di competenza; è detta posticipata se è esigibile alla fine del periodo
di competenza.
Una rendita si dice costante se Rh = R per ogni h . Si ha una rendita unitaria se
Rh = R = 1 per ogni h .
Una rendita si dice limitata se ha un numero finito di rate, si dice perpetua se il numero
delle rate non è finito.
Di norma le scadenze, ossia le epoche alle quali si riscuoteranno o si pagheranno le rate
sono equidistanti ed hanno cadenza mensile, bimestrale, trimestrale, annua, ecc... . In
presenza di tale genere di regolarità si parla di rendite periodiche ed in particolare,
rispettivamente, di rendite mensili, bimestrali, trimestrali, annue, etc... .
Supponiamo che la distanza temporale fra due versamenti (riscossioni) successivi sia
costante ed uguale all'unità di tempo secondo la quale è diviso l'intervallo [0,T] (periodo
di durata della rendita); i grafici sotto riportati rappresentano le varie situazioni.
primo periodo di competenza
t0=0
t1
t2
...
tk
…
tn=T
t
Il seguente grafico rappresenta una rendita immediata posticipata:
t0=0
R1
R2
…
Rn − 1
Rn
t1
t2
...
tn − 1
tn=T
t
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
Il seguente grafico rappresenta una rendita immediata anticipata:
R1
R2
R3
…
Rn
t0=0
t1
t2
...
tn − 1
tn=T
t
Il seguente grafico rappresenta una rendita differita di k periodi posticipata:
…
t0=0
t1
...
tk
R1
R2
…
tk+1
tk+2
…
Rn
tk+n=T
t
Il seguente grafico rappresenta una rendita differita di k periodi anticipata:
t0=0
t1
...
R1
R2
R3
…
tk
tk+1
tk+2
…
Rn
tk+n−1 tk+n=T
t
Di particolare interesse pratico è calcolare il valore complessivo della rendita ad una
scadenza non posteriore a quella della prima rata o non anteriore alla scadenza
dell'ultima. Nel primo caso si parla di valore attuale o scontato della rendita, nel
secondo di montante. In generale, per calcolare il montante di una rendita ad una
scadenza qualunque, si sommano i montanti delle singole rate a tale scadenza, mentre
per calcolare il valore attuale di una rendita si sommano i valori attuali delle singole rate. I
montanti si ottengono ovviamente moltiplicando le singole rate per i fattori di montante
corrispondenti, i valori attuali si ottengono moltiplicando le singole rate per i corrispondenti
fattori di sconto.
Ad esempio consideriamo la seguente rendita:
0
1000
1500
1
2
500
3
t
4
Valore attuale in t = 0 : per calcolarlo si devono “portare indietro” le somme disponibili
alle scadenze 1, 2 e 4 con una operazione di attualizzazione.
1000
0
1
1500
2
500
3
37
4
t
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
Montante in t = 6 : per calcolarlo si devono “portare avanti” le somme dalle loro
scadenze fino all’epoca 6 con una operazione di capitalizzazione.
flussi
1000
0
1500
500
2
1
3
4
5
6
t
epoche
Eseguiamo i calcoli usando per l’attualizzazione una legge di sconto composto
(esponenziale) con tasso di interesse i . Mentre per la capitalizzazione usiamo una legge
a interessi composti con tasso di interesse i . Quindi:
1000 1500
500
+
+
,
2
1 + i (1 + i)
(1 + i) 4
valore attuale in t = 0
V.A. =
montante in t = 6
M = 1000 (1 + i)5 + 1500 (1 + i) 4 + 500 (1 + i) 2 .
Per quanto riguarda le formule più generali, consideriamo una rendita caratterizzata da n
scadenze t1 , t2 , ... tn (che pensiamo ordinate in senso crescente) e dai corrispondenti
ammontari delle rate R1 , R2 , ... Rn .
t0
R1
R2
…
Rn
t1
t2
...
tn
T=ts
t
Se la valutazione è da farsi con una legge di capitalizzazione con funzione fattore di
montante r(t) o con una legge di attualizzazione con funzione fattore di sconto v(t) , il
montante M(T) ad una scadenza T = ts , T ≥ tn , si otterrà sommando i montanti delle
singole rate:
M(T) =
n
k =1
con ts, k = ts − tk
R k r (t s, k )
e il valore attuale o scontato ad una scadenza t0 (che precede tutte le tk ), si otterrà
sommando i valori attuali delle rate:
V.A. = V ( t 0 ) =
n
k =1
con tk, 0 = tk − t0 .
R k v (t k, 0 )
Il regime che generalmente si considera per le operazioni di capitalizzazione è quello
dell’interesse composto, il RIC, l'unico scindibile, mentre è quello dello sconto composto
(regime coniugato al RIC) per le operazioni di attualizzazione.
38
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
Nel caso in cui il regime usato sia quello dell’interesse composto (RIC) e dello sconto
composto al tasso di interesse i , le funzioni fattore di montante e fattore di sconto sono
1
rispettivamente r(t) = (1 + i) t e v(t) =
e quindi le formule precedenti diventano:
(1 + i) t
n
M(T) =
t
k =1
V.A. = A(t 0 ) =
dove si è posto z =
R k (1 + i) s, k
Rk
t k, 0
k =1 (1 + i )
n
con ts, k = ts − tk , T = ts
n
=
k =1
t
R k ⋅ z k, 0
=
n
k =1
Rk ⋅ e
− δ t k, 0
con tk, 0 = tk − t0
1
e dove, ricordiamo, e δ = 1 + i .
1+i
9.5.1. RENDITE IMMEDIATE (in regime di interesse composto)
La rappresentazione grafica di una rendita immediata costituita da n = T termini è
riportata nella figura
0
C1
C1
C2
1
C2
2
C3
Ct
...
…
t
Ct+1
CT−1
CT
Rendita immediata posticipata
T−1
T
Rendita immediata anticipata
CT
Valutiamo i vari casi ponendoci in un regime di interesse composto o di sconto composto,
al tasso d’interesse i , sia per la capitalizzazione che per l’attualizzazione.
•
Valore attuale di una rendita immediata posticipata all'istante iniziale t = 0 .
Vpost (0) =
•
C1
C2
+
+
(1 + i) (1 + i) 2
+
Ct
+
(1 + i) t
+
CT
.
(1 + i) T
Valore attuale di una rendita immediata anticipata al tempo t = 0 .
Vant (0) = C1 +
C2
+
(1 + i)
+
Ct
+
(1 + i) t −1
+
CT
.
(1 + i) T −1
Dalle relazioni sopra trovate segue:
Vpost (0) =
•
1
Vant (0)
1+ i
ossia
Vant (0) = (1 + i) Vpost (0) .
Valore (montante) di una rendita immediata posticipata al tempo finale T .
39
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
+ C t (1 + i)
T−t
Mpost ( T ) = C T + C T −1 (1 + i) +
•
+
+ C 2 (1 + i)
T −2
+ C1 (1 + i)
T −1
.
Valore (montante) di una rendita immediata anticipata al tempo finale T .
+ C t (1 + i)
T − t +1
Mant ( T ) = C T (1 + i) + C T −1 (1 + i) 2 +
+ C 2 (1 + i)
T −1
+
+ C1 (1 + i)
T
In analogia a quanto evidenziato per il valore attuale, dalle due relazioni trovate per il
montante, segue che :
i
Mpost ( T ) =
Mant ( T ) ossia Mant ( T ) = (1 + i) Mpost ( T ) .
1+i
•
Valore di una rendita posticipata ad un istante generico t compreso fra 0 e T ,
supponendo che t sia un multiplo intero dell'unità di tempo considerata e la rendita
sia:
C1
0
…
1
Ct−1
Ct
Ct+1
CT−1
CT
t−1
t
t+1 …
T−1
T
t
Nella prima parte l’insieme { C1 ,..., Ct-1 , Ct } rappresenta una rendita immediata
posticipata di durata (0, t) mentre nella seconda parte l’insieme { Ct+1 ,..., CT-1 , CT }
rappresenta una rendita immediata posticipata che si sviluppa nell'intervallo (t, T) .
Il valore in t di una rendita costituita dai termini
C1 ,
, C t −1 , C t , C t +1 ,
, C T −1 , C T
è ottenibile sommando il montante in t della rendita i cui termini sono gli elementi del
primo insieme con il valore attuale della rendita individuata dal secondo insieme:
Vpost (t) = C1 (1 + i) t −1 +
+ C t −1(1 + i) + C t +
C t +1
C t+2
+
+
1 + i (1 + i) 2
+
C T −1
CT
+
.
(T −1)− t
(1 + i)
(1 + i) T − t
Se la rendita è anticipata si procede in modo analogo.
Esempio.
Data la rendita:
V0
0
100
1
2
1
X
200
3
2
2
t
Noto che in t = 0 il valore attuale di una rendita è V0 = 600 , determinare, in regime di
sconto composto, l’ammonatre di X essendo i = 11 % . Si ha:
40
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
600 =
100
(1 + i)
X ⋅ (1 + i)
−
3
2
1
2
+
X
(1 + i)
200
+
3
2
(1 + i)
= 600 − 100 (1 + i)
X = 600 − 100 (1 + i)
−
1
2
2
−
1
2
− 200 (1 + i) −2
3
− 200 (1 + i) −2 ⋅ (1 + i) 2
X = 600 ⋅ (1,11)1,5 − 100 ⋅ (1,11)1 − 200 ⋅ (1,11)− 0,5 .
Esempio.
Data la rendita di seguito rappresentata
100
300
0
150
X
900
2
2,2
3
1,5
t
Determinare in RIC l’ammontare della rata X affinchè il valore della rendita in t = 3 sia di
900 euro, sapendo che i = 12 % .
100 ⋅ (1 + i)3 + 300 ⋅ (1 + i)1,5 + 150 ⋅ (1 + i) + X ⋅ (1 + i)0,8 = 900
100 ⋅ (1,12)3 + 300 ⋅ (1,12)1,5 + 150 ⋅ (1,12) + X ⋅ (1,12)0,8 = 900
X ⋅ (1,12)0,8 = 900 − 100 ⋅ (1,12)3 − 300 ⋅ (1,12)1,5 − 150 ⋅ (1,12)
X=
900 − 100 ⋅ (1,12)3 − 300 ⋅ (1,12)1,5 − 150 ⋅ (1,12)
= 215,47 .
(1,12)0,8
9.5.2. RENDITE DIFFERITE
L'analisi delle rendite differite è sostanzialmente simile a quella delle rendite immediate
solo che c'è un effetto di differimento di k periodi. La rappresentazione grafica di una
rendita posticipata differita di k periodi è:
0
1
…
k
C1
Ct−k
k+1 …
t
CT−1−k CT−k
…
T−1
T
t
La rendita considerata in grafico può essere ricondotta ad una rendita immediata
posticipata aggiungendo k somme tutte nulle esigibili alle scadenze 1, 2,…, k . Si
calcolano successivamente i montanti e/o i valori attuali nei modi usuali.
Si procede in modo analogo per calcolare i montanti e i valori attuali di una rendita
anticipata differita di k periodi.
41
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
9.5.3. RENDITE COSTANTI (in regime di interesse composto)
Quando le rate di una rendita sono costanti ed equidistanti e quando la legge finanziaria
utilizzata è una legge esponenziale (di interesse composto o di sconto composto), le
formule trovate in 9.5.1 per calcolare il valore attuale V e il montante M assumono
espressioni più semplici.
Consideriamo una rendita immediata costante costituita da n termini. Se i è il tasso di
interesse nell’unità di tempo, calcoliamo, in regime di interesse composto, il valore attuale
e il montante sia nel caso di una rendita immediata posticipata sia nel caso di una rendita
immedita anticipata.
•
Valore attuale in t=0 di una rendita immediata posticipata costante di n termini:
0
Vpost (0) =
R
R
1
2
R
R
+
+
1 + i (1 + i) 2
R
…
+
1
1−
1
1+ i
=R⋅
⋅
1
1+ i
1−
1+ i
=
t
n
R
R
1
=
⋅ 1+
+
n
(1 + i)
(1 + i)
1+ i
+
1
=
(1 + i)n−1
n
=R⋅
1 (1 + i) − 1 1 + i
⋅
⋅
=
1 + i (1 + i)n
1+ i − 1
n
R (1 + i) − 1 R
1
1 − zn
⋅
=
⋅
1
−
=
R
⋅
i
i
(1 + i)n
i
(1 + i)n
n
1
1 − zn
.
La quantità
z + z 2 + + zn =
= an
i
1+ i
“a posticipato figurato n al tasso i”. In sintesi si può scrivere
dove si è posto
z=
Vpost (0) = R
n
k =1
zk = R an
i
n → +∞
1− z
= lim
n → +∞
n → +∞
i
lim an i = lim
n → +∞
42
1−
si legge
.
Se la rendita è perpetua, il valore attuale in t=0 si ottiene facendo il lim R an
n
i
1
(1 + i)n 1
=
i
i
i
e poichè
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
si ha che una rendita perpetua immediata posticipata di rata costante R in t = 0 ha
valore attuale
R
.
Vpost (0) =
i
•
Valore attuale in t=0 di una rendita immediata anticipata costante di n termini:
R
R
R
0
1
2
Vant (0) = R +
R
…
R
R
+
+
1 + i (1 + i) 2
1
(1 + i)n
=R⋅
=R⋅
1
1−
1+ i
1−
+
n−1
R
1
= R ⋅ 1+
+
n−1
(1 + i)
1+ i
(1 + i)n − 1 ⋅ 1 + i = R
(1 + i)n 1 + i − 1 i
t
n
(1 + i) −
+
1
=
(1 + i)n−1
1
(1 + i)n−1
.
Se la rendita è perpetua, facendo il limite per n → +∞ , si ottiene:
R
1
1+ i
⋅ (1 + i) −
=R⋅
.
n
−
1
n → +∞ i
(1 + i)
i
lim
e dunque una rendita perpetua immediata anticipata di rata costante R in t = 0 ha
valore attuale
Vant (0) = R
1+ i
.
i
Ricordando che Vant (0) = (1 + i) Vpost (0) e che si è posto z =
Vant (0) =
•
1
, si ha:
1+ i
1
Vpost (0)
z
Valore (montante) di una rendita immediata posticipata costante, al tempo finale n (si
parla anche di costituzione di un capitale)
0
R
R
1
2
…
43
R
R
n−1
n
t
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
Mpost (n) = R + R (1 + i) +
=R⋅
+ R (1 + i)
n −1
1 − (1 + i)
1 − (1 + i)
n
dove si è posto:
=R⋅
(1 + i)n − 1
(1 + i)n − 1
•
i
i
= sn
i
Il simbolo sn
[
= R 1 + (1 + i) +
= R sn
+ (1 + i)
n −1
]=
i
.
i
si legge “s posticipato figurato n al tasso i ”.
Valore (montante) di una rendita immediata anticipata costante, al tempo finale n (si
parla anche di costituzione di un capitale)
R
R
R
0
1
2
Mant (n) = R (1 + i) + R (1 + i) +
…
n− 1
n
[
+ R (1 + i) = R (1 + i) 1 + (1 + i) +
2
= R (1 + i)
R
n
1 − (1 + i)
1 − (1 + i)
n
= R (1 + i)
(1 + i)n − 1
i
t
+ (1 + i)
n −1
= R (1 + i) sn
i
]=
.
Si noti che per la scindibilità del regime di interesse composto si ha:
Mpost (n) = Vpost (0) (1 + i) .
n
OSSERVAZIONE.
Il valore di an i e di sn
i
e
Mant (n) = Vant (0) (1 + i) .
n
può essere letto su apposite tavole o calcolato con una
calcolatrice finanziaria. Con il simbolo an
i
si intende il valore attuale posticipato a sconto
composto, calcolato all’epoca t = 0 , di n rate unitarie al tasso di interesse i . Con il
simbolo sn i si intende il valore (capitale) di una rendita immediata posticipata costituita
da n rate unitarie al tasso di interesse i e calcolata in regime di interesse composto.
Spesso, quando non occorre indicare il tasso di interesse (per esempio perché è
sottinteso), si usa ometterlo e si scrive semplicemente a n e sn .
Esempio.
44
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
Calcolare, con sconto composto, il valore attuale in t = 0 di una rendita posticipata con
rata costante R = 100 , costituita da n = 10 rate annue, al tasso i = 5 % .
SOLUZIONE.
Con una calcolatrice o con una tavola finanziaria si trova:
a10
5%
≅ 7,72173493
e quindi moltiplichiamo tale valore per l’ammontare della rata:
Vpost (0) = R a10
5%
= 100 ⋅ 7,72173493 = 772,173493 ≅ 772 .
Se la stessa rendita fosse calcolata anticipata, da
Vant (0) = (1 + i) ⋅ Vpost (0)
si ha:
Vant (0) = (1 + 0,05) ⋅ 772 = 810,6 .
Ci possono essere rendite anche con tassi d'interesse variabili. Vediamo un semplice
esempio.
Esempio.
Si vuole costituire un capitale di 3600 euro in 4 anni facendo 4 versamenti posticipati di
rata costante R . Sapendo che la banca riconosce interessi del 10 % per i primi 3 anni
e dell' 8 % il quarto anno, in RIC, si calcoli quale deve essere l’importo della rata.
0
R
R
R
M=3600
R
1
2
3
4
t
i2
i1
Sia i1=10 % e i2 = 8 % , allora:
3600 = R + R (1 + i 2 ) + R (1 + i1 ) (1 + i 2 ) + R (1 + i1 ) (1 + i2 )
2
3600 = R [ 1 + 1,08 + 1,1 ⋅ 1,08 + (1,1) ⋅ 1,08]
2
3600 = R ⋅ 4,5748
e quindi
R=
3600
= 786,919 .
4,5748
45
Parte 9
RENDITE
________________________________________________________________________________________________________________________
9.5.4. ESERCIZI.
Esercizio1.
In regime di interesse composto determinare il montante di una rendita costituita da 6 rate
annuali posticipate immediate di 200 euro al tasso effettivo annuo del 4% .
SOLUZIONE
0
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
M(6) = R + R (1 + i) +
t
(1 + i) 6 − 1
(1 + 0,04)6
+ R(1 + i) = R
= 200
= 1326
i
0,04
5
Esercizio2.
In regime di interesse composto, calcolare la rata immediata anticipata annua necessaria
per costituire in 5 anni al tasso del 2% il capitale di 6500 euro.
SOLUZIONE
R
R
R
R
R
0
1
2
3
4
R (1 + i) + R (1 + i) 2 +
6500
t
5
+ R (1 + i)5 = 6500
(1 + i)5 − 1
= 6500
i
(1 + 0,02)5 − 1
R (1 + 0,02)
= 6500
0,02
6500 ⋅ 0,02
R=
= 1224,548
(1 + 0,02) ((1 + 0,02)5 - 1)
R (1 + i)
46

Download Report