Sessione straordinaria 2014 PROBLEMA 2 PNI Sia f la funzione definita da: 1. Si studi f e si verifichi che il suo grafico ha l’andamento riportato in figura. La funzione f è invertibile? Se sì , quale è l’espressione della sua inversa? 2. Si mostri che l’area della regione , delimitata da e dagli assi cartesiani sull’intervallo chiuso [0, 1] è uguale a 3. Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si sfrutti l’uguaglianza precedente per calcolare un’approssimazione di 4. La regione è la base di un solido , le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di Soluzione 1. è definita per Si annulla per x=1 e assume valori positivi per Poiché La retta x=-1 è asintoto verticale Studio della derivata prima La funzione è decrescente nel dominio Il punto (1;0) ammette una tangente verticale Studio della derivata seconda È positiva per . negativa per Soluzione di Adriana Lanza . Sessione straordinaria 2014 La curva volge la concavità verso l’alto nel primo intervallo e verso il basso nel secondo.Il punto è punto di flesso La funzione f è monotona, pertanto è invertibile L’espressione della funzione inversa si ottiene dall’equazione scambiando tra loro le due variabili , x e y, ed esplicitando poi la variabile y con con 2. I grafici di f e di f -1 sono traloro simmetrici rispetto alla rettta y=x L’area di pertanto può essere calcolata mediante l’integrale = -1+ 3.Metodo dei trapezi L’intervallo [a, b] viene diviso in n intervalli di ampiezza h, dove x0 = a e xn = b a 0 b 1 h 0,20 x 0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 f(x) 1,00 0,82 0,65 0,50 0,33 0,00 somma addendi somma trapezi addendi 0,50 0,82 0,65 0,50 0,33 0,00 2,80 0,56 -1+ 5. Essendo il lato del quadrato uguale a f(x), l’area della generica sezione è ) Soluzione di Adriana Lanza