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Appendice: L’equazione integrale dello strato
limite di Von Karman
Corso di Aerodinamica e Gasdinamicae
A.A. 2010/2011
Docente: Prof. Renato RICCI
Dimostrazione
Le definizioni dei parametri caratteristici dello strato limite (Displacement Thickness e Momentum Thickness) e la
conservazione della massa all’interno dello strato limite conducono a tre relazioni preliminarmente necessarie per la
dimostrazione.
Dalla definizione di Displacement Thickness δ * :
δ
δ
0
0
ρU eδ = ∫ ( ρU e − ρu)dy ⇒ ∫ ρu dy = ρU eδ − ρU eδ * (1)
*
Dalla definizione di Momentum Thickness θ :
δ
δ
δ
ρU θ = ∫ ( ρuU e − ρu )dy ⇒ ∫ ρu dy = ∫ ρuU e dy − ρU e2θ (2)
2
e
2
0
2
0
0
Dalla conservazione della massa :
d
dU e
Ve = (U eδ * ) − δ
− VS (3)
dx
dx
Scriviamo la conservazione della Quantità di Moto lungo x per l’elemento di fluido contenuto all’interno dello strato limite:
δ
⎞
d ⎛
dp
2
2 dδ
ρ
u
dy
−
ρ
U
+
ρ
U
V
=
−
τ
−
δ
(4)
e
e e
w
⎟
dx ⎜⎝ ∫0
dx
dx
⎠
δ
⎞
d ⎛
dp
2
2 dδ
⇒ sostituendo la (2)
U
ρ
u
dy
−
ρ
U
θ
−
ρ
U
+
ρ
U
V
=
−
τ
−
δ
e
e ⎟
e
e e
w
dx ⎜⎝ ∫0
dx
dx
⎠
Dimostrazione
⇒ sostituendo la (1) al primo membro ⇒
d
dδ
dp
⎡U e ρU eδ − ρU eδ * − ρU e2θ ⎤ − ρU e2
+
ρ
U
V
=
−
τ
−
δ
⇒
e e
w
⎦
dx ⎣
dx
dx
d
dδ
τ
δ dp
⎡⎣ ρ U 2eδ − ρ U 2eδ * − ρ U e2θ ⎤⎦ − ρ U e2
+ ρ U eVe = − w −
⇒
dx
dx
ρ ρ dx
d
d
d
dδ
τ
δ dp
U 2eδ −
U 2eδ * −
U e2θ − U e2
+ U eVe = − w −
(5)
dx
dx
dx
dx
ρ ρ dx
(
(
)
)
(
)
(
)
Usiamo al primo membro della (5) la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:
dδ
dU e2 d
d
dδ
τ
δ dp
U
+δ
−
U 2eδ * −
U e2θ −U e2
+ U eVe = − w −
⇒
dx
dx
dx
dx
dx
ρ ρ dx
(
2
e
)
(
)
dU e2 d
d
τ
δ dp
δ
−
U 2eδ * −
U e2θ + U eVe = − w −
⇒ Sostituendo Ve dalla (3) ⇒
dx
dx
dx
ρ ρ dx
(
)
(
)
dU e2 d
d
dU e
τ
δ dp
⎡d
⎤
δ
−
U 2eδ * −
U e2θ + U e ⎢
U eδ * − δ
− VS ⎥ = − w −
(6)
dx
dx
dx
dx
ρ ρ dx
⎣ dx
⎦
(
)
(
)
(
)
Usiamo al primo membro della (6) la regola di derivazione del quadrato di una funzione:
Dimostrazione
dU e d
d
d
dU e
τ
δ dp
−
U 2eδ * −
U e2θ + U e
U eδ * −δU e
− U eVS = − w −
(6) ⇒
dx dx
dx
dx
dx
ρ ρ dx
dU e d
d
d
τ
δ dp
δU e
−
U 2eδ * −
U e2θ + U e
U eδ * − U eVS = − w −
(7)
dx dx
dx
dx
ρ ρ dx
(
2 δU e
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
Usiamo per il secondo termine al primo membro della (7) la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:
dU e
d
dU e d
d
τ
δ dp
−U e
U eδ * − U eδ *
−
U e2θ +U e
U eδ * − U eVS = − w −
⇒
dx
dx
dx dx
dx
ρ ρ dx
dU e
dU e d
τ
δ dp
δU e
− U eδ *
−
U e2θ − U eVS = − w −
(8)
dx
dx dx
ρ ρ dx
δU e
(
)
(
(
)
(
)
)
Se esprimiamo il gradiente di pressione al secondo membro mediante il Teorema di Bernoulli, cioè scriviamo:
⎛ U e2 ⎞
1 dp
dU e
= −d ⎜ ⎟ = −U e
ρ dx
dx
⎝ 2 ⎠
allora la (8) diventa:
Dimostrazione
dU e
dU e d
τ
dU e
− U eδ *
−
U e2θ − U eVS = − w + δU e
⇒
dx
dx dx
ρ
dx
dU e d
τ
U eδ *
+
U e2θ + U eVS = w (C.V.D.)
dx dx
ρ
(
δU e
(
)
)
In assenza di aspirazione o soffiamento dello strato limite si ha:
U eδ *
dU e d
τ
+
U e2θ = w
dx dx
ρ
(
)
Una analoga dimostrazione può essere fornita integrando l’equazione lungo x dello strato limite nella direzione y.
Infatti se si considera l’equazione di Navier-Stokes lungo x e si effettuano le semplificazioni di strato limite:
∂2u
∂2u
 2
∂x 2
∂y
e
∂p
≈0
∂y
si ottiene:
∂u
∂u
1 dp
∂2u
u
+v
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ dx
∂y
Dimostrazione
∂u
∂u
1 dp
∂2u
u
+v
=−
+ ν 2 ⇒ Applicando Bernoulli ⇒
∂x
∂y
ρ dx
∂y
∂u
∂u
dU e
∂2u
∂u
∂u
dU e µ ∂ 2u
u
+v
= Ue
+ ν 2 ⇒u
+ v − Ue
=
∂x
∂y
dx
∂y
∂x
∂y
dx
ρ ∂y 2
(9) ⇒
⎛ dU ⎞
⇒ Sommo e sottraggo al primo membro della (9) ⎜ u e ⎟ ⇒
⎝ dx ⎠
dU e
∂(U e − u)
∂(U e − u) µ ∂ 2u
+v
=
Integrando lungo y ⇒
( Ue − u ) + u
dx
∂x
∂y
ρ ∂y 2
δ
δ
δ
δ
dU e
∂(U e − u)
∂(U e − u)
µ ∂2u
∫0 ( Ue − u ) dx dy + ∫0 u ∂x dy + ∫0 v ∂y dy = ∫0 ρ ∂y2 dy (10)
Il primo integrale al primo membro della (10) e quello al secondo membro sono di facile interpretazione, infatti:
δ
∫ ( Ue − u )
0
δ
dU e
dU e
dy = δ *U e
dalla definizione di Displacement Thickness (11)
dx
dx
y= δ
µ ∂2u
µ ⎡ ∂u ⎤
µ ⎡ ∂u ⎤
1
dy
=
=
−
=
τw
⎢ ∂y ⎥
∫0 ρ ∂y2 ρ ⎢⎣ ∂y ⎥⎦
ρ
ρ
⎣
⎦ y= 0
y= 0
(12)
Il terzo integrale al primo membro della (10) si può effettuare per parti:
Dimostrazione
δ
∂(U e − u)
v
∫0 ∂y dy = ⎡⎣ v (Ue − u )⎤⎦
δ
y= δ
y= 0
δ
− ∫ (U e − u)
0
∂v
dy ⇒ sostituendo l 'eq. di continuità ⇒
∂y
δ
∂(U e − u)
∂u
⇒ ∫v
dy = − ∫ (U e − u) dy (13)
∂y
∂x
0
0
Inserendo nella (10) i risultati di (11), (12) e (13) si ottiene:
δ
dU e
∂u ⎤
τ
⎡ ∂(U e − u)
δ Ue
+ ∫ ⎢u
+ (U e − u) ⎥ dy = w (14)
dx
∂x
∂x ⎦
ρ
0 ⎣
*
Poiché per l’integrale a primo membro vale la relazione:
δ
δ
∂ [ u(U e − u)]
∂u ⎤
d
d
⎡ ∂(U e − u)
u
+
(U
−
u)
dy
=
dy
=
u(U
−
u)
dy
=
U e2θ (15)
e
e
∫0 ⎢⎣ ∂x
∫
∫
⎥
∂x ⎦
∂x
dx 0
dx
0
δ
(
La relazione (14) diventa:
dU e d(U e2θ ) τ w
δ Ue
+
=
(C.V.D.)
dx
dx
ρ
*
)
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