Politecnico di Milano. Facolt` a di Ingegneria Industriale e dell’Informazione. Corso di Analisi e Geometria 2. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 2014 Introduzione ai sistemi differenziali lineari Indice 1 Sistemi differenziali lineari omogenei a coefficienti costanti 1 1.1 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Trasformare un’equazione del secondo ordine in un sistema lineare . . . . . . 3 1.3 Autovalori reali distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Il caso delle radici complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Autovalori doppi (Cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Sistemi differenziali lineari omogenei a coefficienti costanti Un sistema differenziale lineare di due equazioni in due incognite, a coefficienti costanti, `e del tipo x0 = ax + by y 0 = cx + dy dove a, b, c, d sono costanti reali. Possiamo scrivere questo sistema in forma matriciale come X 0 = AX dove a b A = c d x(t) X= y(t) (1.1) 0 x (t) X = 0 y (t) 0 Una soluzione di questo sistema `e costituita da una coppia di funzioni1 x(t), y(t) che soddisfino, per ogni t, le uguaglianze: x0 (t) = a x(t) + b y(t) y 0 (t) = c x(t) + d y(t) 1 A priori, si richiede che le funzioni x(t), y(t) siano definite su uno stesso intervallo di R. Ma un’importante propriet` a dei sistemi lineari `e che ogni soluzione (x(t), y(t)) `e definita su tutto R. Questo fatto sar` a evidente, quando si vedr` a che le soluzioni sono, in sostanza, combinazioni lineari di esponenziali. 1 In modo equivalente, una soluzione 1.1 `e una singola funzione reale a valori vet del sistema x(t) della variabile reale t, a valori in R2 , soddisfacente, toriali, cio`e una funzione X(t) = y(t) per ogni t, l’uguaglianza X 0 (t) = A X(t). Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo `e uno spazio vettoriale: Teorema 1.1. L’insieme delle soluzioni X(t) del sistema lineare X 0 = AX (dove A `e una matrice n × n) `e uno spazio vettoriale. Dimostrazione. Supponiamo che X1 e X2 siano soluzioni del sistema lineare X 0 = AX: X10 = AX1 X20 = AX2 Allora, anche X1 + X2 `e soluzione di X 0 = AX, perch´e (X1 + X2 )0 = X10 + X20 = AX1 + AX2 = A(X1 + X2 ) Analogamente, supponiamo che X soddisfi X 0 = AX. Allora, per ogni c ∈ R, (cX)0 = c(X 0 ) = c(AX) = A(cX) Quindi, anche cX `e una soluzione dello stesso sistema. 2 Il risultato seguente `e fondamentale. (Non ne diamo la dimostrazione). Teorema 1.2. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo X 0 = AX, dove A `e una matrice n × n, ha dimensione n. Dunque, per risolvere un sistema differenziale lineare omogeneo X 0 = AX, (A matrice n × n), basta, in linea di principio, trovare n soluzioni X1 , ..., Xn linearmente indipendenti. Per il teorema appena enunciato, tali soluzioni costituiscono una base (detta anche sistema fondamentale di soluzioni) dello spazio delle soluzioni. La soluzione generale del sistema X 0 = AX `e dato allora da tutte le possibili combinazioni lineari c1 X1 (t) + · · · · · · + Xn (t) (1.2) con c1 , ..., cn ∈ R. 1.1 Autovalori e autovettori Sia A una matrice quadrata reale n × n. Ora dimostriamo un fatto fondamentale: ogni autovettore di A fornisce una soluzione del sistema X 0 = AX. Teorema 1.3. [Soluzione su linea retta2 : a ogni autovettore `e associata una soluzione] Supponiamo che V1 ∈ R2 sia autovettore di una matrice reale A, 2 × 2, con autovalore reale λ1 . Allora Y1 (t) = eλ1 t V1 , t ∈ R (1.3) `e soluzione del sistema differenziale lineare X 0 = AX. 2 La soluzione Y1 (t) = eλ1 t V1 , t ∈ R, si chiama ‘soluzione su linea retta’ perch´e i vettori Y1 (t) = eλ1 t V1 (se λ1 6= 0) descrivono la semiretta generata dall’autovettore V1 . (Se λ1 = 0, la curva X(t) `e costante). 2 Dimostrazione. Per ipotesi, AV1 = λ1 V1 . Dobbiamo dimostrare che, posto Y1 (t) = eλ1 t V1 , si ha Y10 (t) = A Y1 (t). Infatti: Y10 (t) = (eλ1 t V1 )0 = λ1 eλ1 t V1 = eλ1 t (λ1 V1 ) = eλ1 t (AV1 ) = A(eλ1 t V1 ) 2 = A Y1 (t) 1.2 Trasformare un’equazione del secondo ordine in un sistema lineare Un’equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ax00 + bx0 + cx = 0 (1.4) si pu`o trasformare in un sistema del primo ordine (cio`e lineare) omogeneo a coefficienti costanti. L’idea consiste nel diminuire di uno l’ordine dell’equazione, aumentando di uno il numero delle variabili. Precisamente, poniamo: x1 = x (1.5) x2 = x0 Allora ( x01 (= x0 ) = x2 (1.6) c b c b x02 (= x00 ) = − x − x0 = − x1 − x2 a a a a Dunque l’equazione del secondo ordine ax00 +bx0 +cx = 0 equivale al sistema lineare X 0 = AX, dove 0 1 A= c b − − a a Si noti che gli autovalori di A, cio`e le radici di b c λ2 + λ + a a coincidono con le radici dell’equazioni caratteristica aλ2 + bλ + c (I due polinomi differiscono solo per una costante moltiplicativa, e quindi hanno le stesse radici). 3 1.3 Autovalori reali distinti Teorema 1.4 (Autovalori reali distinti; soluzione generale). Sia A una matrice reale 2 × 2, con due autovalori reali e distinti λ1 , λ2 , e con relativi autovettori V1 , V2 . Allora le soluzioni Y1 (t) = eλ1 t V1 e Y2 (t) = eλ2 t V2 sono linearmente indipendenti e Y (t) = c1 eλ1 t V1 + c2 eλ2 t V2 , c1 , c2 ∈ R (1.7) `e la soluzione generale del sistema X 0 = AX. Dimostrazione Abbiamo gi` a dimostrato che eλ1 t V1 e eλ2 t V2 sono soluzioni di X 0 = AX. Poich´e sono linearmente indipendenti e lo spazio delle soluzioni di X 0 = AX ha dimensione due, esse formano una base. Dunque ogni soluzione si scrive, in modo unico, come combinazione lineare di queste due soluzioni fondamentali. 2 Esempio. (Due autovalori reali distinti, negativi). Consideriamo l’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti x00 + 3x0 + 2x = 0 Si tratta dell’equazione di un pendolo (o di un oscillatore armonico) con attrito. Nel nostro caso, la massa `e 1, la costante elastica `e 2 e il coefficiente di attrito `e 3. L’equazione si pu`o scrivere come un sistema (ponendo x1 = x, x2 = x0 ): 0 1 0 X = X = AX −2 −3 1 Gli autovalori sono λ1 = −1 e λ2 = −2 e i rispettivi autovettori sono −1 soluzione generale del sistema `e −t 1 −2t 1 + c2 e X(t) = c1 e −1 −2 Dunque la posizione della massa oscillante `e data da x1 (t) = x(t) = c1 e−t + c2 e−2t mentre la sua velocit` a `e data dalla seconda componente: x2 (t) = x0 (t) = −c1 e−t − 2c2 e−2t 4 1 , −2 . La 2 Figura 1: Ritratti di fase di un pendolo con un forte attrito. Il pendolo non compie oscillazioni smorzate, ma va direttamente alla posizione di equilibrio. La sua velocit`a x2 cambia segno non pi` u di una volta. Nodo stabile. Esempio. (Due autovalori reali distinti, uno negativo, l’altro positivo). Risolviamo il sistema X 0 = AX, dove 1 3 A= 1 −1 Si tratta del sistema differenziale lineare x0 = x + 3y y0 = x − y Gli autovalori di A sono λ1 = −2 e λ2 = 2. Un autovettore relativo a λ1 = −2 `e 1 V1 = −1 mentre un autovettore relativo λ2 = 2 `e 3 V2 = 1 Allora le due funzioni 3 X2 (t) = e 1 1 −1 , −2t X1 (t) = e 2t sono soluzioni del sistema X 0 = AX. Dal fatto che i vettori V1 e V2 siano linearmente indipendenti3 , segue che le due funzioni X1 e X2 sono linearmente indipendenti. Dunque (poich´e 3 Si ricordi che autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti. 5 sappiamo che lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2), la soluzione generale (integrale generale) del sistema X 0 = AX `e dato da c1 X1 (t) + c2 X2 (t) con c1 , c2 costanti reali arbitrarie. In modo pi` u esplicito, c1 e−2t c2 3e2t c1 e−2t + c2 3e2t = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) = + −c1 e−2t c2 e2t −c1 e−2t + c2 e2t Dunque, le soluzioni del sistema sono tutte e soltanto le funzioni del tipo: x(t) = c1 e−2t + c2 3e2t y(t) = −c1 e−2t + c2 e2t 2 con c1 , c2 ∈ R. Figura 2: Due autovalori reali distinti. In rosso sono disegnate le soluzioni su linea retta, date dagli autovettori. Sella. Esempio. (Due autovalori reali distinti, uno nullo). Risolviamo il sistema X 0 = AX, dove −1/2 1 A = −1 2 2 Gli autovalori di A sono λ1 = 0 e λ2 = 3/2. Un autovettore relativo a λ1 = 0 `e V1 = , 1 1 mentre un autovettore relativo λ2 = 3/2 `e V2 = Poich´e, per lambda1 = 0, eλ1 t = e0t = 1, 2 la soluzione fondamentale eλ1 t V1 `e costante. Allora la soluzione generale `e data da 2 3 1 t X(t) = c1 + c2 e 2 2 1 6 al variare di c1 , c2 in R. Figura 3: Un autovalore nullo. 1.4 Il caso delle radici complesse Cominciamo con un esempio semplice, ma che illustra le idee pi` u importanti. Il fatto fondamentale, che dimostriamo nell’esercizio qui sotto, `e che la parte immaginaria e la parte immaginaria di una soluzione complessa, sono soluzioni reali. Esempio. (Sistema di tipo centro). Consideriamo il sistema X 0 = AX, dove 0 β A= −β 0 (1.8) con β ∈ R. Gli autovalori di A sono i due numeri complessi coniugati iβ e −iβ. Procediamo esattamente come nel caso degli autovalori reali. Scegliamo uno dei due autovalori, diciamo iβ, e cerchiamo un corrispondente autovettore V1 . Tale autovettore avr`a componenti complesse. Si trova 1 (1.9) V1 = i Ora si dimostra, esattamente come nel caso reale (teorema 1.3), che la funzione a valori complessi iβt 1 X(t) = e i cos βt + i sin βt = i(cos βt + i sin βt) cos βt + i sin βt = − sin βt cos βt = XRe (t) + iXIm (t) 7 `e una soluzione complessa di X 0 = AX. Qui, separando la parte reale e la parte immaginaria della soluzione, abbiamo posto sin βt cos βt , XIm (t) = XRe (t) = cos βt − sin βt Ora dimostriamo un fatto importante: Se X(t) = XRe (t) + iXIm (t) `e una soluzione complessa del sistema differenziale lineare X 0 = AX, allora sia la parte reale XRe (t), sia la parte immaginaria XIm (t) sono soluzioni reali dello stesso sistema X 0 = AX. Per convincersene, basta fare una verifica diretta: 0 0 XRe (t) + iXIm (t) = X 0 (t) = A X(t) = A(XRe (t) + iXIm (t)) = AXRe (t) + i A XIm (t) Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, otteniamo 0 XRe (t) = AXRe (t), 0 (t) = AXIm (t) XIm Abbiamo allora dimostrato che sia XRe (t), sia XIm (t) sono soluzioni reali del sistema X 0 = AX. Allora lo spazio delle soluzioni reali del sistema X 0 = AX `e descritto da tutte le combinazioni lineari c1 XRe (t) + c2 XIm (t) con c1 , c2 ∈ R. La soluzione generale `e dunque cos βt sin βt c1 + c 2 cos βt − sin βt che si pu`o scrivere anche4 c1 cos βt + c2 sin βt −c1 sin βt + c2 cos βt con c1 , c2 ∈ R. 4 Ognuna delle due soluzioni fondamentali XRe (t), XIm (t) `e periodica con periodo 2π/β. Si noti che i due vettori XRe (t), XIm (t) formano una base ortonormale e quindi, fissati c1 e c2 (cio`e, per ogni condizione iniziale), il quadrato della norma del vettore c1 XRe (t) + c2 XIm (t) `e costante (uguale a c21 + c22 ). Dunque, le orbite di tutte le soluzioni sono cerchi centrati nell’origine. 8 Figura 4: Autovalori complessi coniugati: i, −i. Sistema di tipo (1.8), con ω = 1. Centro. Esempio. (Spiral Sink, Spiral Source) Consideriamo, in modo pi` u generale, il sistema X 0 = AX, dove α β (1.10) A= −β α con α, β reali, entrambi non nulli. Il polinomio caratteristico `e λ2 − 2αλ + α2 + β 2 = 0, le cui radici sono gli autovalori complessi α ± iβ. Scegliamo uno di questi due autovalori (non importa quale), diciamo α + iβ. Un autovettore con autovalore α + iβ si trova come soluzione (non nulla) dell’equazione −iβ x + β y = 0 Quindi abbiamo la soluzione complessa della forma (α+iβ)t 1 X(t) = e i cos βt αt αt sin βt + ie = e cos βt − sin βt = XRe (t) + iXIm (t) La parte reale XRe (t) e la parte immaginaria XIm (t) sono soluzioni reali linearmente indipendenti del sistema lineare X 0 = AX. La soluzione genrale `e allora cos βt αt sin βt αt X(t) = c1 e + c2 e − sin βt cos βt 9 Figura 5: Autovalori complessi coniugati: α + iβ, α − iβ. ‘Spiral source’. Sorgente (se α > 0, come nel caso della figura) o pozzo (se α < 0) a spirale. Fuoco instabile. Figura 6: Autovalori complessi coniugati: α + iβ, α − iβ. Caso α < 0: ‘Spiral sink’. Fuoco stabile. 1.5 Autovalori doppi (Cenni) Studiamo due tipi di matrici 2×2 con un autovalore (reale) doppio λ, la prima diagonalizzabile (gi`a in forma diagonale), l’altra non diagonalizzzabile: λ 0 λ 1 (1.11) 0 λ 0 λ Questi due tipi di matrici (esempi di ‘blocchi di Jordan’) sono importanti, perch´e si dimostra facilmente che una qualunque matrice 2 × 2 con un autovalore doppio λ `e simile a λ 0 λ 1 0 λ oppure a 0 λ . Detto altrimenti, a meno di un cambio lineare di variabili, questi sono gli unici due casi possibili (per l’autovalore doppio). 10 Esempio. (Autovalore doppio; matrice in forma diagonale). differenziale lineare X 0 = AX si scrive esplicitamente λ 0 Se A = 0 λ , il sistema x0 = λx y 0 = λy Da qui ricaviamo x(t) = c1 eλt , y(t) = c2 eλt , con c1 , c2 costanti reali arbitrarie. (Autovalore doppio; matrice non diagonalizzabile). Supponiamo ora A = Esempio. λ 1 a geometrica (dim Ker (A − λI)) dell’autovalore λ `e 1; quindi non 0 λ . La molteplicit` esiste una base di R2 formata da autovettori di A. Procediamo allora in modo diretto, nel modo seguente. Scriviamo il sistema: x0 = λx + y y 0 = λy La seconda equazione ha come soluzione generale y(t) = c2 eλt . Sostituendo nella prima equazione, otteniamo x0 = λx + c2 eλt , ossia (x0 − λx)e−λt = c2 Ora il primo membro `e la derivata di xe−λt : 0 xe−λt = c2 Dunque, xe−λt = c1 + c2 t; quindi x(t) = c1 e−λt + c2 te−λt In definitiva, la soluzione generale del sistema X 0 = AX `e x = c1 e−λt + c2 te−λt y = c2 eλt 11
© Copyright 2024 Paperzz
