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4- Flessione elasto plastica e coefficiente di intaglio

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Flessione elasto-plastica
e coefficiente di intaglio
A. Manes
Flessione elasto-plastica
2
Un altro modo per valutare il comportamento meccanico dei
materiali è quello di sottoporre un provino a flessione, sia a tre
punti (quindi con gradiente del momento flettente lungo il provino)
sia a 4 punti, con una zona centrale ove il momento flettente è
costante.
A. Manes
Flessione elasto-plastica
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A differenza della prova di trazione, che induce nel materiale
uno stato di sforzo uniforme su tutta la sezione del provino,
la flessione induce un gradiente di sforzo, per cui le fibre del
materiale non sono tutte sollecitate allo stesso modo.
A. Manes
Flessione elasto-plastica
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Consideriamo un caso elementare della prova di flessione
eseguita su un provino prismatico, a sezione rettangolare
(flessione retta). Il materiale sia un materiale duttile,
schematizzabile con il modello elastico-perfettamente plastico
e simmetrico a trazione-compressione
A. Manes
Flessione elasto-plastica
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•La prova consiste nell’applicare al provino un momento
flettente M crescente attraverso l’incremento del carico
centrale P.
•Le sezioni del provino si mantengono piane man mano
che aumenta M e tutte le fibre sono indipendenti le une
dalle altre, ossia non vi è scambio di sollecitazioni nella
direzione normale all’asse del provino.
A. Manes
Flessione elasto-plastica
Il momento flettente applicato M cresce
linearmente fino a quando viene raggiunto il
valore cioè fino a quando le fibre esterne
(tese e compresse) raggiungono lo sforzo di
snervamento σsn.
Oltre questo valore di deformazione lo sforzo
nelle fibre non può che rimanere costante al
livello di σsn; quindi man mano che il momento
flettente cresce le sezioni continuano a
deformarsi mantenendosi piane, sollecitando al
livello σsn fibre via via sempre più interne; il
diagramma M-ε non è più lineare dall’inizio
della plasticizzazione in poi. In una condizione
generica il fronte plastico ha raggiunto una
distanza ĥ/2 dall’asse neutro
A. Manes
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Flessione elasto-plastica
A. Manes
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Flessione elasto-plastica
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E’ intuitivo pensare che, man mano che il fronte plastico si
avvicina all’asse neutro, la capacità di sopportare incrementi
di M diminuisca, come dimostra l’andamento del diagramma M-ε,
che tende a un asintoto che rappresenta il momento flettente Mpt
sopportato dalla sezione quando è plasticizzata fino all’asse
neutro. Trattasi di una condizione del tutto astratta, in quanto vi
corrisponderebbe ε = ∞ sulla fibra esterna; ma è un’utile
condizione di riferimento, anche perchè è facile dimostrare che
Mpt è quasi uguale al momento che plasticizza, per esempio,
il 90% della sezione.
A. Manes
Flessione elasto-plastica
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Si definisce momento di inizio plasticizzazione il momento
Me per il quale le fibre esterne della sezione raggiungono lo
snervamento σsn. Si definisce momento di plasticizzazione
totale Mpt il momento per il quale tutta la sezione è
plasticizzata.
Si definisce il coefficiente di collaborazione a snervamento
a flessione CSf il rapporto:
che quantifica l’ulteriore capacità della sezione di sopportare
carico dopo che è stato raggiunto lo snervamento nella fibra
più esterna.
A. Manes
Flessione elasto-plastica
A. Manes
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Flessione elasto-plastica
A. Manes
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Flessione elasto-plastica
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Nel caso di sezione rettangolare e di materiale elasticoperfettamente plastico simmetrico. In una situazione generica,
con parziale plasticizzazione, il momento sopportato dalla sezione
può essere diviso in due parti; la parte Mel del cuore elastico
di altezza
e la parte Mpe della parte esterna plasticizzata:
A. Manes
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Flessione elasto-plastica
Sommando i due contributi la sezione sopporta:
I due casi estremi sono l’inizio
plasticizzazione, cui corrisponde
= h e il momento flettente
e la plasticizzazione totale, cui corrisponde
flettente:
A. Manes
= 0 e il momento
Flessione elasto-plastica
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Ne deriva che il coefficiente di collaborazione a snervamento a
flessione vale:
Per = 0,1h, ossia quando la sezione è
plasticizzata al 90% e resta un nucleo
elastico del 10%, il momento sopportato
dalla sezione vale:
cioè il 99,97% di quello di
plasticizzazione totale Mpt.
A. Manes
Flessione elasto-plastica
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La fase di scarico (ossia di rimozione del momento flettente M)
equivale alla sovrapposizione di un momento uguale e di
segno contrario a quello applicato in fase di carico. Il
modello di materiale che è stato adottato (elasto-plastico
perfetto e simmetrico) comporta che la fase di scarico (dopo
una fase di carico che ha plasticizzato il materiale) avvenga
linearmente con pendenza pari al modulo elastico E fino a
raggiungere lo sforzo −σsn; proseguendo la deformazione, lo
sforzo deve restare costante al valore −σsn
A. Manes
Flessione elasto-plastica
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Dunque lo scarico equivale ad applicare −M alla barra già
caricata con M. Poniamoci nella condizione di parziale
plasticizzazione, ossia con 0 < < h . L’applicazione di −M
comporta la deformazione della sezione indicata nella figura e,
poichè il legame σ-ε allo scarico segue una legge lineare, ne
consegue lo stato di sforzo residuo nella sezione che
è indicato con b)
A. Manes
Flessione elasto-plastica
plasticizzazione totale
A. Manes
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Flessione elasto-plastica
Un caso reale
Bending
180
simulation
160
140
Load (kN)
120
experiment
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
Deflection (mm)
A. Manes
35
40
45
50
55
60
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Flessione elasto-plastica
Un caso reale
Bending
180
simulation
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Load (kN)
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experiment
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25
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Deflection (mm)
A. Manes
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50
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Effetto di intaglio
La forma è molto diversa da quella di una trave ideale
Come calcoliamo lo stato di sforzo ?
A. Manes
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Effetto di intaglio
concetto di intaglio
Coefficiente d’intaglio, che quantifica l’effetto
geometrico sulla sollecitazione e che ci permetterà di
ricavare la sollecitazione massima della particolare
geometria di interesse
Condizione limite di un organo di macchina al variare
del tipo di materiale e della sollecitazione imposta, per
ricavare il carico massimo che un organo di macchina
può sopportare.
A. Manes
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Effetto di intaglio
Spesso, i vincoli, le modalità di applicazione dei carichi e la
forma dei componenti meccanici differiscono da quelle
ipotizzate nelle analisi teoriche.
Questo comporta modifiche nella distribuzione degli sforzi e
provoca localmente sollecitazioni più elevate, ma in genere
confinate in una piccola zona attorno alla discontinuità.
Concentrazione degli sforzi detta effetto di forma o di intaglio
Nelle zone prossime alla discontinuità geometrica non è quindi
lecito riferirsi alla distribuzione teorica degli sforzi (detta anche
distribuzione nominale), ma occorre conoscerne il reale
andamento, e in particolare il punto di massima sollecitazione,
allo scopo di impostare una corretta verifica di resistenza.
A. Manes
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Effetto di intaglio
Nella zona 2 raccordata con
raggio r , che segna la
variazione della larghezza da h
a H, non è verificata l’uniformità
della sezione.
Con le ipotesi di de Saint Venant possiamo allora
calcolare lo stato di sforzo esclusivamente nelle
zone 1 e 3, lontane dalla variazione di sezione,
per le quali risulta:
A. Manes
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Effetto di intaglio
Lo sforzo al centro della sezione
è invece minore di σnom, in
quanto nella sezione intagliata
deve essere verificata la
relazione di equilibrio:
A. Manes
L’effettiva distribuzione degli sforzi
nella sezione 2, rappresentata
qualitativamente nella Figura, è quindi
caratterizzata da un valore massimo
dello sforzo σmax al bordo che è
maggiore dello sforzo nominale σnom,
calcolato facendo riferimento alle
formule di de SaintVenant.Tale
concentrazione degli sforzi è detta
effetto d’intaglio. La sezione 2, la
sezione minima della trave in
corrispondenza della variazione di
forma, è detta sezione d’intaglio o
sezione intagliata.
25
Effetto di intaglio
Analogia del
flusso di un
fluido
Poichè l’addensamento delle linee di flusso dipende dai
rapporti delle dimensioni che caratterizzano la discontinuità, si
può intuire come le grandezze dalle quali dipende l’effetto
d’intaglio siano ancora i rapporti adimensionali H/h, che
descrive l’entità del restringimento della sezione, e r/h, che
descrive la severità dell’intaglio.
A. Manes
26
Effetto di intaglio
Dal punto di vista del calcolo della resistenza, il problema della
valutazione dell’effetto di intaglio si affronta introducendo un
opportuno coefficiente correttivo, detto coefficiente d’intaglio
teorico o coefficiente di sovrasollecitazione teorico Kt, che
esprime il rapporto tra lo sforzo effettivo massimo dovuto
all’intaglio e lo sforzo in assenza di intaglio: quest’ultimo è
definito sforzo nominale.
A. Manes
27
Effetto di intaglio
Tale definizione presuppone il rispetto della linearità del
legame costitutivo del materiale (ipotizzato anche
omogeneo e isotropo): Kt dipende allora solo dalla
geometria del problema in esame e dal tipo di carico
applicato (flessione, trazione, torsione ecc.), come sarà
illustrato tra breve, e non dal materiale. Quindi con
geometrie che presentano gli stessi rapporti
geometrici caratteristici il valore di Kt è lo stesso.
A. Manes
28
Effetto di intaglio
Il coefficiente di sovrasollecitazione teorico Kt di solito viene
rappresentato graficamente in funzione dei parametri
adimensionali che caratterizzano la geometria dell’intaglio.
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
Un tipo comune di intaglio in una trave
sottile a sezione rettangolare sottile è il
foro passante, con asse perpendicolare
al piano della trave. In questo caso la
massima perturbazione del flusso degli
sforzi si ha in corrispondenza del piano
contenente l’asse del foro e normale
all’asse della barretta, e il massimo
valore degli sforzi è posto su questo
piano, in corrispondenza del bordo del
foro. La sollecitazione nominale nella
sezione minima è data da:
A. Manes
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Effetto di intaglio
Se il foro è di piccole dimensioni rispetto alla trave
(d/H → 0), il coefficiente d’intaglio vale Kt = 3. E’
altresì interessante notare come per un foro molto
grande rispetto alla larghezza della trave Kt → 2.
A. Manes
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Effetto di intaglio
 c
Kt = 1 + 2 ⋅  
 a
Kt per fori ellittici
Kt = 1 + 2 ⋅
A. Manes
c
ρ
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Effetto di intaglio
Si consideri un intaglio a U in una trave sottile soggetta ad
azione assiale e un analogo intaglio in un albero a sezione
circolare, anch’esso sollecitato da un carico assiale: lo stato di
sforzo dei due componenti risulta completamente
diverso. Nella lastra si ha uno stato di sforzo monoassiale nel
punto pi`u sollecitato, mentre nell’albero, per la presenza
dell’intaglio, lo stato di sforzo è biassiale poichè è presente
una componente di sforzo σ2 circonferenziale, dovuta alle
contrazioni trasversali impedite nella zona dell’intaglio, che
tende a ν · σ1
A. Manes
34
Effetto di intaglio
In questi casi il Kt si definisce come il rapporto tra lo sforzo
principale massimo σ1 e lo sforzo monoassiale nominale:
Per alberi soggetti a torsione si definisce un coefficiente
d’intaglio per gli sforzi torsionali come:
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
A. Manes
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Effetto di intaglio
Per valutare le conseguenze della presenza degli intagli sul
dimensionamento degli organi di macchina occorre analizzare in
dettaglio la condizione limite dei componenti intagliati al variare del
tipo di materiale. La conoscenza del Kt, infatti, non esaurisce il
problema della verifica di resistenza dei componenti intagliati, in
quanto non si tiene conto dell’effettiva legge costitutiva del
materiale, che può presentare estese plasticizzazioni prima del
cedimento, condizione che qui viene assunta come limite
Si definisce allora coefficiente d’intaglio statico sperimentale,
indicato con Ks, il rapporto tra il carico limite in un elemento liscio
Flim e l’effettivo carico limite Flim del provino intagliato con la
stessa sezione resistente del provino liscio.
A. Manes
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Effetto di intaglio
Materiale perfettamente fragile, caratterizzato da un
diagramma lineare fino al carico di rottura σm. Un provino
liscio avente la medesima sezione A della trave forata cede
quando lo sforzo nominale raggiunge il carico di rottura,
ovvero in corrispondenza di una forza Flim:
La condizione limite del componente intagliato si raggiunge
quando nel punto più sollecitato della sezione, cioè sulla
superficie interna del foro, si raggiunge uno sforzo pari a Rm:
La forza massima Flim che il pezzo è
in grado di sopportare è quindi pari
al carico che provoca lo sforzo Rm
nel punto più sollecitato
A. Manes
43
Effetto di intaglio
Consideriamo ora lo stesso componente realizzato con un
materiale a comportamento elasto-plastico perfetto. La
forza F1 (possiamo chiamarla forza di prima plasticizzazione
Fsn) cheprovoca uno sforzo massimo pari allo snervamento del
materiale nell’intaglio vale:
A differenza di quanto accade per il materiale fragile, il
componente è in grado di sopportare carichi maggiori di F1.
Infatti, sollecitando il pezzo oltre F1 le fibre del materiale, se
deformate oltre ¯ ε (ricordiamo che ¯ ε = σsn/E), non cedono
localmente, ma si allungano mantenendo costante lo sforzo,
pari allo sforzo di snervamento, fino a esaurire il campo di
deformazioni plastiche.
A. Manes
44
Effetto di intaglio
Aumentando ulteriormente la forza, il diagramma delle
deformazioni cresce in modo continuo, mentre nel
diagramma degli sforzi la parte con sforzo costante
σ = σsn, corrispondente alle fibre snervate, si
estenderà. Come condizione limite tale
plasticizzazione interesserà tutta la sezione utile del
componente e quindi:
A. Manes
45
Effetto di intaglio
Se consideriamo una struttura di riferimento senza intaglio,
costruita con lo stesso materiale e avente la medesima
sezione resistente (h − d) · b, la sua condizione limite è
ancora la completa plasticizzazione della sezione, cioè:
Quindi per il componente intagliato in materiale perfettamente
elasto-plastico risulta:
A. Manes
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Effetto di intaglio
Supponiamo, per semplicità, di partire dal componente non completamente
plasticizzato visto in precedenza, soggetto alla forza F2, e immaginiamo di
rimuovere il carico. Rimuovere il carico corrisponde a sovrapporre alla
distribuzione di sforzo corrente quella corrispondente a una forza uguale e
contraria, pari quindi a −F2. Se il materiale ha un comportamento elastoplastico simmetrico, le fibre plasticizzate durante la fase di carico possono
sopportare uno sforzo lineare elastico fino a −σsn: ovvero ogni fibra può
sopportare uno sforzo pari a −2σsn prima di plasticizzare a compressione.
A. Manes
47
Effetto di intaglio
Se la forza −F2 non `e in grado di plasticizzare il materiale
(ovvero se Kt · σnom < 2σsn), il diagramma degli sforzi dovuti
alla forza −F2 fornisce una distribuzione di sforzi
corrispondente al caso elastico.
Lo stato di sforzo risultante `e dato dalla differenza dei due:
A. Manes
48
Effetto di intaglio
Riassumiamo le relazioni necessarie per la verifica di
organi di macchina soggetti a carichi statici.
materiali fragili:
materiali duttili
A. Manes
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