Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione.
Corso di Analisi e Geometria 1
Docente: Federico Lastaria
9. Integrali di linea di prima specie
(Integrali di densit`a lungo cammini non orientati)
Dicembre 2014
Indice
1 Integrali di linea di prima specie
2
1.1
Elemento di lunghezza di una curva parametrizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Definizione di integrale curvilineo non-orientato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Alcune interpretazioni dell’integrale curvilineo
3
2.1
Interpretazione fondamentale: l’integrale di una densit`a di massa `e la massa totale . .
3
2.2
La lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Baricentri di linee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Carica totale su un filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.5
Area di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Invarianza di un integrale di linea di prima specie per riparametrizzazione
5
3.1
Formula del cambio di variabile nell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Invarianza per riparametrizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Esercizi
8
1
1
Integrali di linea di prima specie
1.1
Elemento di lunghezza di una curva parametrizzata
Una curva parametrizzata nello spazio R3 `e una funzione
C
[a, b] −→ R3
t 7−→ C(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈ [a, b]
Dunque, C assegna a ogni istante t ∈ [a, b] un punto C(t) nello spazio R3 .
Supponiamo che C sia di classe C 1 , cio`e che le sue componenti x(t), y(t), z(t) siano derivabili, con
derivata continua, sull’intervallo [a, b]. Il vettore C 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) `e il vettore tangente o
vettore velocit`
a istantanea della curva C in t.
Il sostegno di una curva C `e l’immagine Im C della funzione C, cio`e l’insieme di tutti i punti C(t),
al variare di t in [a, b]:
Sostegno di C = Im C = {C(t) ∈ R3 ,
t ∈ [a, b]}
Il modulo (o la lunghezza) di un vettore v = (v1 , v2 , v3 ) in R3 `e, per definizione,
q
|v| = v12 + v22 + v32
In particolare, se C 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)), abbiamo
p
|C 0 (t)| = x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2
L’elemento di lunghezza della curva C `e
ds = |C 0 (t)| dt =
p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt
Noi non daremo una definizione rigorosa dei simboli ds o dt, anche se ci`o si potrebbe fare. Ma sar`
a
utile dare loro un nome, perch´e sono espressioni che compariranno sotto il segno di integrale.
Una curva parametrizzata C si dice semplice se `e iniettiva.
1.2
Definizione di integrale curvilineo non-orientato
Sia ora f = f (x, y, z) una funzione reale continua definita (almeno) sul sostegno della curva C, ossia
una funzione il cui dominio includa il sostegno della curva C. (In generale f sar`a una funzione definita
su un aperto U di R3 contenente il sostegno della curva).
Definizione 1.1 L’integrale di linea (o curvilineo) di prima specie di f lungo la curva C `e
Z
Z b
f ds =
f (C(t)) |C 0 (t)| dt
(1.1)
a
C
Z
=
b
f (x(t), y(t), z(t))
p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt
a
Z
Dunque, l’integrale curvilineo di prima specie
f (x, y, z) ds si ottiene formalmente:
C
1) sostituendo al posto di x, y, z rispettivamente x(t), y(t), z(t);
2) sostituendo al posto dell’elemento di lunghezza ds della curva C l’espressione
p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt
3) integrando su [a, b].
2
(1.2)
Esempio 1.2 Sia C l’arco di curva (elica cilindrica) di equazioni parametriche
x = cos t
y = sin t
0 ≤ t ≤ 2π
C(t) =
z=t
Z
Calcolare
z ds.
C
Soluzione. Qui f (x, y, z) = z e
p
p
√
ds = x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt = (− sin t)2 + (cos t)2 + 12 dt = 2 dt
Dunque
Z
z ds =
Z2π √
√
t 2 dt = 2 2 π 2
0
C
2
Alcune interpretazioni dell’integrale curvilineo
Vediamo ora alcune importanti interpretazioni dell’integrale di linea di prima specie. Negli esempi
seguenti, prenderemo in considerazione una curva parametrizzata semplice e il suo sostegno (che si
pu`
o pensare, in termini fisici, come un filo). Dimostreremo pi`
u avanti che il risultato a cui si arriva
calcolando l’integrale di linea di prima specie non dipende da come si parametrizza il filo, n´e da
quale orientazione si fissi su di esso. (Invarianza dell’integrale di linea di prima specie rispetto alle
riparametrizzazioni).
2.1
Interpretazione fondamentale: l’integrale di una densit`
a di massa `
e la
massa totale
Z
Sia C una curva parametrizzata semplice. L’integrale di linea di prima specie
f (x, y, z) ds
C
Z
Z
f ds
b
f (C(t)) |C 0 (t)| dt
=
(2.1)
a
C
Z
=
b
f (x(t), y(t), z(t))
p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt
(2.2)
a
`e un limite di somme del tipo
n
X
f (Pi∗ ) ∆si
i=1
dove ∆si `e la lunghezza di un piccolo archetto della curva C e Pi∗ `e un punto scelto (in modo arbitrario)
su di esso. Non importa quale punto Pi∗ si scelga, perch´e il segmentino di lunghezza ∆si `e cos`ı piccolo
che, su di esso, la funzione f si pu`
o pensare costante. Pensiamo che il sostegno della curva C sia
l’idealizzazione di un filo e che la funzione f rappresenti una densit`
a lineare di massa. Questo significa
che la massa ∆mi di un piccolo archetto di lunghezza ∆si `e data da
∆mi = f (Pi∗ ) ∆si
(2.3)
Allora l’integrale
Z
f (x, y, z) ds
C
si interpreta come la massa totale del filo la cui densit`a lineare di massa `e f .
3
(2.4)
2.2
La lunghezza di una curva
La lunghezza di una curva si pu`
o vedere come un integrale di linea di prima specie: precisamente, `e
la massa totale quando la densit`
a di massa `e la funzione costante uguale a 1.
Definizione 2.1 Sia
C
[a, b] −→ R3
t 7−→ C(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈ [a, b]
una curva parametrizzata di classe C 1 . La lunghezza di C `e
Z
b
Z
ds =
|C 0 (t)| dt
(2.5)
p
(2.6)
a
C
b
Z
=
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt
a
Si noti che la definizione ha senso anche se la curva C non `e semplice (cio`e non `e iniettiva). Ad
esempio, C pu`
o essere la curva C(t) = (cos t, sin t), con t ∈ [0, 4π]. Questa curva C non `e semplice (`e la
circonferenza percorsa due volte) e la sua lunghezza `e 4π (due volte la lunghezza della circonferenza).
2.3
Baricentri di linee
C
Sia [a, b] −→ R3 , t 7−→ C(t) = (x(t), y(t), z(t)), una curva parametrizzata semplice. Pensiamo
al sostegno di C come a una linea materiale nello spazio, ossia come alla idealizzazione di un filo.
Supponiamo che la densit`
a lineare di massa del filo sia espressa da una funzione λ = λ(x, y, z).
Definizione 2.2 Il baricentro, o centro di massa, G della linea C `e il punto le cui coordinate sono
date da
R
R
R
y λ(x, y, z) ds
z λ(x, y, z) ds
x λ(x, y, z) ds
xG = CR
,
yG = CR
,
zG = CR
(2.7)
λ(x, y, z) ds
λ(x, y, z) ds
λ(x, y, z) ds
C
C
C
Se la densit`
a di massa λ `e costante, il baricentro si chiama anche centroide. In questo caso,
semplificando
il
fattore costante λ al numeratore e al denominatore delle formule (2.7) e ricordando
Z
che
ds = L `e la lunghezza della curva C, ricaviamo per le coordinate del centroide le seguenti
C
espressioni:
xG =
1
L
Z
x ds
yG =
1
L
C
2.4
Z
y ds
C
zG =
1
L
Z
z ds
(2.8)
C
Carica totale su un filo
Supponiamo che su un filo siano presenti cariche elettriche e sia λ la densit`a lineare di carica sul filo.
Allora la quantit`
a di carica ∆Q presente su un piccolo tratto di filo di lunghezza (positiva) ∆s `e
∆Q = λ(P ) ∆s
dove P `e un qualunque
punto sul tratto di filo. Allora, se il filo `e sostegno di una curva parametrizzata
Z
C, l’integrale
λ ds si interpreta come la quantit`a totale di carica elettrica sul filo.
C
4
2.5
Area di una superficie
Se C `e una curva nel piano
(x, y) e f (x, y) > 0 per ogni punto (x, y) sul sostegno della curva, possiamo
Z
intepretare l’integrale
f ds come l’area della superficie la cui base `e il sostegno di C e la cui altezza,
C
sul punto (x, y) della curva, `e f (x, y).
Z
Figura 1: L’integrale
f ds `e l’area della figura tratteggiata, al di sopra dela curva C.
C
3
Invarianza di un integrale di linea di prima specie per riparametrizzazione
Ora enunciamo e dimostriamo in modo rigoroso il fatto che l’integrale di linea di prima specie lungo
una curva non cambia se si riparametrizza la curva, anche magari cambiandone l’orientazione. Questo
`e ovvio, se si pensa al significato di tale integrale come massa totale, o come lunghezza, o come carica
totale.
Cominciamo con il ricordare la formula del cambio di variabile nell’integrale.
3.1
Formula del cambio di variabile nell’integrale
Torniamo a studiare il cambio di variabili in un integrale definito (di Riemann). (Il teorema seguente
`e gi`
a stato dimostrato; ne riportiamo qui l’enunciato per comodit`a).
f
Teorema 3.1 (Cambio di variabili negli integrali definiti) Sia [a, b] −→ R una funzione contiϕ
nua sull’intervallo [a, b] (a < b) e sia [α, β] −→ [a, b] una funzione biunivoca con derivata continua su
un intervallo [α, β] (α < β). Allora:
Z
ϕ(β)
Z
β
f (x)dx =
ϕ(α)
α
Distinguiamo esplicitamente i due casi possibili.
5
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
(3.1)
1) Se ϕ `e crescente (cio`e ϕ0 (t) ≥ 0, ϕ(α) = a e ϕ(β) = b), si ha:
Z b
Z β
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
(ϕ(α) = a, ϕ(β) = b)
a
(3.2)
α
Z
0
2) Se ϕ `e decrescente (cio`e ϕ (t) ≤ 0, ϕ(α) = b e ϕ(β) = a), ricordando che
Z b
−
f (x)dx, si ha:
a
f (x)dx =
b
a
Z
b
Z
β
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
f (x)dx = −
(ϕ(α) = b, ϕ(β) = a)
(3.3)
α
a
Si vede allora subito che i due casi (ϕ crescente o decrescente) si possono riassumere, oltre che nella
forma (3.1), anche nel modo seguente:
b
Z
Z
β
f (ϕ(t)) |ϕ0 (t)| dt
f (x)dx =
a
(3.4)
α
Infatti, quando ϕ0 (t) ≥ 0 si ha |ϕ0 (t)| = ϕ0 (t) e quindi la (3.4) si riduce alla (3.2), mentre se ϕ0 (t) ≤ 0
si ha |ϕ0 (t)| = −ϕ0 (t), e si ottiene la (3.3).
3.2
Invarianza per riparametrizzazione
Sia
C
[a, b] −→ R3
t 7−→ C(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈ [a, b]
1
una curva parametrizzata (di classe C ) e sia f una funzione definita sul sostegno di C. Ricordiamo
che l’integrale di linea di prima specie di f lungo C `e dato da
Z
Z b
f ds =
f (C(t)) |C 0 (t)| dt
(3.5)
a
C
Z
=
b
f (x(t), y(t), z(t))
p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt
(3.6)
a
Ora riparametrizziamo la curva C. Questo significa che consideriamo un cambio di parametro
ϕ
[α, β] −→ [a, b]
(3.7)
1
dove ϕ `e una funzione biunivoca di classe C . Se chiamiamo t il parametro su [a, b] e τ (si legge ‘tau’)
il parametro su [α, β], scriveremo
t = ϕ(τ ),
o pi`
u semplicemente t = t(τ )
(3.8)
γ
La curva [α, β] −→ R3 che si ottiene come composizione di ϕ e C
γ = C ◦ ϕ,
γ(τ ) = C(ϕ(τ ))
si chiama riparametrizzazione di C mediante ϕ:
C
[a, b]
R3
ϕ
γ =C ◦ϕ
[α, β]
6
(3.9)
Diremo che la curva γ = C ◦ ϕ e la curva C sono equivalenti.
Se ϕ0 (τ ) > 0 (per ogni τ ∈ [α, β]) si dice che C e γ hanno la stessa orientazione. Se invece ϕ0 (τ ) < 0,
si dice che hanno orientazioni opposte.
Teorema 3.2 Siano C e γ due curve parametrizzate equivalenti (non importa se con la stessa orientazione oppure no):
C
[a, b]
R3
ϕ
γ =C ◦ϕ
[α, β]
Sia f una funzione continua sul loro (comune) sostegno. Allora
Z
Z
f ds = f ds
(3.10)
γ
C
Dimostrazione. Per la regola di derivazione della funzione composta, applicata a γ(τ ) = C(ϕ(τ )), si
ha
d
[C(ϕ(τ )] = C 0 (ϕ(τ )) ϕ0 (τ )
(3.11)
γ 0 (τ ) =
dτ
Si ha allora:
Z
Z β
f ds =
f (γ(τ )) |γ 0 (τ )| dτ
Per definizione di integrale curvilineo.
α
γ
Z
β
f (C(ϕ(τ ))) |C 0 (ϕ(τ ))| |ϕ0 (τ )| dτ
=
Per la (3.11).
α
Z
=
b
f (C(t)) |(C 0 (t)| dt
Per la formula (3.4) del cambio di variabili: t = ϕ(τ ).
a
Z
=
f ds
Per definizione di integrale curvilineo.
C
Per la formula (3.4) di cambiamento di variabile nell’integrale, l’ultimo integrale scritto `e uguale a
Z β
Z b
f (C(ϕ(τ ))) |(C 0 (ϕ(τ ))| |ϕ0 (τ )| dτ =
f (C(t)) |(C 0 (t)| dt
(3.12)
α
a
2
In particolare, la lunghezza di una curva parametrizzata (porre f = 1) non dipende dal modo in
cui la si parametrizza.
7
4
Esercizi
Esercizio 4.1 Calcolare la lunghezza della circonferenza di raggio R.
Soluzione. Una parametrizzazione della circonferenza di raggio R `e
t ∈ [0, 2π]
γ(t) = (x(t), y(t)) = (R cos t, R sin t),
Il vettore tangente `e γ 0 (t) = (−R sin t, R cos t), il cui modulo `e
p
|γ 0 (t)| = R2 sin2 t + R2 cos2 t = R
Quindi la lunghezza della circonferenza `e data da:
Z 2π
Z
|γ 0 (t)| dt =
0
2π
R dt = 2πR
0
Esercizio 4.2 Calcolare la lunghezza della curva parametrizzata γ(t) = (e2t , 2et , t), t ∈ [0, 1]. Qual `e
la massa totale del sostegno della curva, se la sua densit`
a lineare di massa `e costante e uguale a δ?
Soluzione. La lunghezza della curva `e
Z
Z 1
Z 1p
Z 1
1
ds =
|γ 0 (t)| dt =
4e4t + 4e2t + 1 dt =
(2e2t + 1) dt = e2t + t 0 = e2
γ
0
0
0
Se la densit`
a lineare di massa δ `e costante, la massa totale `e data dall’integrale
Z
Z
δ ds = δ
ds = δ · Lunghezza = δ e2
γ
γ
Esercizio 4.3 Calcolare la lunghezza dell’elica cilindrica
γ(t) = (a cos t, a sin t, bt),
t ∈ [0, 2π]
(4.1)
Soluzione. Il vettore tangente `e
γ 0 (t) = (−a sin t, a cos t, b)
e il suo modulo `e
|γ 0 (t)| =
p
p
a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 = a2 + b2
Allora la lunghezza dell’elica `e data dall’integrale
Z 2π
Z 2π p
p
|γ 0 (t)| dt =
a2 + b2 dt = 2π a2 + b2
0
0
Pu`
o essere suggestivo arrivare a questo risultato anche con considerazioni geometriche, che presentiamo brevemente. L’elica `e avvolta su un cilindro, le cui direttrici sono rette parallele all’asse z.
8
Se tagliamo il cilindro lungo la direttrice passante per il punto (a, 0, 0) e lo srotoliamo su un piano,
l’elica diventa la diagonale di un triangolo rettangolo (perch´e la terza componente z(t) = bt dipende
lineamente da t) i cui cateti sono la circonferenza rettificata - di lunghezza 2πa - e l’altezza dell’elica,
che `e uguale a 2πb. Dunque la sua lunghezza `e
p
p
(2πa)2 + (2πb)2 = 2π a2 + b2
Esercizio 4.4 Calcolare la lunghezza della curva che `e grafico della funzione
√
x ∈ [0, 1]
y = x3 ,
Soluzione. Il grafico pu`
o essere visto come il sostegno della curva parametrizzata
√
x(t) = t,
y(t) = t3 ,
t ∈ [0, 1]
Il vettore tangente `e
1,
3√
t
2
la cui lunghezza `e
r
9
1+ t
4
La lunghezza del grafico `e
√
3/2 1
Z 1r
9
4 2
8
13 13 − 8
9
13 3/2
1 + t dt =
·
=
1+ t
( ) −1 =
4
9 3
4
27
4
27
0
0
Esercizio 4.5 Calcolare la lunghezza della cicloide:
γ(t) = (R(t − sin t), R(1 − cos t)),
t ∈ [0, 2π]
(4.2)
Figura 2: La cicloide `e la curva descritta da un punto di una circonferenza di raggio a quando la
circonferenza rotola, senza strisciare, sull’asse delle x.
Soluzione. Si ha:
q
√ √
|γ (t)| = R2 (1 − cos t)2 + R2 sin2 t = R 2 1 − cos t
0
9
Ricordando la formula di bisezione
r
1 − cos t
t
= sin
2
2
t ∈ [0, 2π]
abbiamo:
Z
Lunghezza =
2π
Z
√ √
R 2 1 − cos t dt = 2R
0
0
2π
sin
2π
t
t
dt = 2R −2 cos = 8R
2
2 0
Z
(3x − y + z) ds, dove C `e la curva
Esercizio 4.6 Calcolare l’integrale (curvilineo di prima specie)
parametrizzata C(t) = (3t, 4t − 1, t + 5), con t ∈ [0, 2].
C
Soluzione. La curva parametrizzata `e un segmento di retta, il cui elemento di linea ds `e uguale a
p
p
√
ds = x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt = 32 + 42 + 12 dt = 26 dt
La funzione f (x, y, z) = 3x − y + z, ristretta lungo la curva C, `e
f (x(t), y(t), z(t)) = (3(3t) − (4t − 1) + (t + 5)),
t ∈ [0, 2]
Quindi l’integrale da calcolare `e
Z
Z 2
Z 2
p
√
√
(3x − y + z) ds =
(3(3t) − (4t − 1) + (t + 5)) 32 + 42 + 12 dt =
(6t + 6) 26 = 24 26
C
0
0
Esercizio 4.7 Trovare le coordinate del baricentro della semicirconferenza γ di equazioni parametriche:
x(t) = R cos t,
y(t) = R sin t,
t ∈ [0, π]
(4.3)
pensata come un filo di densit`
a lineare costante.
Soluzione. Per motivi di simmetria, il baricentro si deve trovare sull’asse delle y. Le sue coordinate
(x, y) sono date, per definizione, da:
Z
Z
1
1
x=
x ds,
y=
y ds
L γ
L γ
dove L `e la lunghezza della curva. Nel nostro caso L = πR e ds = R dt. Quindi:
Z π
Z
1
R π
x=
R cos t R dt =
cos t dt = 0
πR 0
π 0
Z π
Z
1
R π
2
y=
R sin t R dt =
sin t dt = R
πR 0
π 0
π
10
Esercizio 4.8 Si consideri la curva r, nello spazio tridimensionale R3 , di equazioni parametriche:
r(t) = t2 i + 2 cos t j + 2 sin t k,
t ∈ [0, π].
Si dimostri che la curva `e semplice (cio`e iniettiva). Si calcoli la massa totale del filo costituito
dall’immagine della curva r, nell’ipotesi che la densit`
a lineare di massa sia
√
δ(x, y, z) = x.
Soluzione. Per dimostrare che la curva `e iniettiva, basta osservare che la sua prima componente
x(t) = t2 `e una funzione iniettiva sull’intervallo [0, π].
Si ha
r˙ (t) = 2t i − 2 sin t j + 2 cos t k,
t ∈ [0, π],
e quindi:
|˙r(t)| =
La funzione δ(x, y, z) =
√
p
p
4t2 + 4 = 2 t2 + 1,
t ∈ [0, π].
x, ristretta alla curva r(t) = (t2 , 2 cos t, 2 sin t), `e data da:
√
p
δ(x(t), y(t), z(t)) = x(t) = t2 = |t| = t
(|t| = t perch´e t ∈ [0, π]). Quindi la massa totale `e data dal seguente integrale curvilineo:
Z π
Z πp
Z π p
p
2
δ(r(t)) |˙r(t)| dt =
x(t) 2 t + 1 dt =
2t t2 + 1 dt
0
0
=
2h
3
0
t2 + 1
3/2 iπ
0
11
=
2h
3
π2 + 1
3/2
i
−1
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