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Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie
Corso Integrato: Matematica e Statistica
Modulo: Matematica (6 CFU)
(4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni)
Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
e del Paesaggio Agro-Forestale
Corso di Matematica (6 CFU)
(4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni)
Prof. Ing. S. Pascuzzi
Materiale di studio
ü  Appunti dalle lezioni
ü  BIGATTI Anna Maria – ROBBIANO Lorenzo
MATEMATICA DI BASE
Casa Editrice Ambrosiana
ü  ZWIRNER Giuseppe
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
Parte prima CEDAM Editrice
Funzioni continue
3
Funzione continua in un punto
Una funzione f(x) definita nell’intervallo (a,b), si dice
(1) se risulta:
continua in un punto c (di questo intervallo),
lim f ( x) = f (c)
x→c
Si verificano le seguenti circostanze:
-  esiste il valore della funzione nel punto c;
-  esiste il limite della funzione per x→c;
-  il limite coincide con il valore della funzione nel punto c
4
Definizione di funzione continua in un punto
Quando vale soltanto la relazione:
lim+ f ( x) = f (c)
x→c
la funzione si dice continua a destra del punto c
Analogamente, se vale soltanto la relazione:
lim− f ( x) = f (c)
x→c
la funzione si dice continua a sinistra del punto c
Se la f(x) è definita nell’intervallo chiuso (a,b) , nel
punto x = a c’è solo continuità a destra; nel punto
x = b c’è solo continuità a sinistra
5
Teorema
Se due funzioni sono continue in un punto c , sono pure
continue in c , la loro somma , la loro differenza , il loro
prodotto , il loro quoziente , ammesso in quest’ultimo
caso che la funzione denominatore non si annulli in c
6
Esempi di funzioni continue
1) Una funzione costante è continua in qualsiasi punto
f ( x) = k
con k costante
2) La variabile x è continua in qualsiasi punto:
f ( x) = x
La potenza intera e positiva:
f ( x) = x
n
è una funzione continua in qualsiasi punto
n
(n volte)
x = x ⋅ x ⋅ x ⋅ ..... ⋅ x
7
Esempi di funzioni continue
f ( x) = k ⋅ x
La funzione
n
con k costante
è funzione continua, perché prodotto di due funzioni
continue ; quindi la funzione:
n
f ( x) = a0 x + a1 x
n −1
+ a2 x
n−2
+ .... + an −1 x + an (1)
è funzione continua, perché somma di funzioni continue
( funzioni razionali intere )
Le funzioni razionali intere sono continue per ogni valore della
variabile
Ogni funzione razionale fratta:
n
n −1
a0 x + a1 x + ... + an−1 x + an
f ( x) =
m
m −1
b0 x + b1 x + ... + bm−1 x + bm
è continua per ogni valore della x che non annulla il
8
denominatore, perché quoziente di due funzioni continue
Esempi di funzioni continue
3) Le funzioni
f ( x) = senx
,
f ( x) = cos x
sono continue per ogni valore della x
4) La funzione
senx
f ( x) = tgx =
cos x
Come quoziente di due funzioni continue, è pure
continua, purché si escludano quei valori della x che
annullano il denominatore, cioè i multipli dispari di π/2 ,
per i quali la tg x non ha significato
9
Esempi di funzioni continue
x
5) La funzione y = a , (a > 0)
è continua per ogni valore della x, cioè risulta, qualunque
sia c:
lim a x = a c
x →c
Si ha:
x
lim a = 0
x →−∞
x
lim a = +∞
se è:
a>1
x
se è:
0<a<1
x →+∞
a =0
lim a = +∞ xlim
→+∞
x
x →−∞
10
Esempi di funzioni continue
6) La funzione
y = log a x, (a > 0, a ≠ 1)
è continua per ogni valore positivo della x, cioè risulta,
qualunque sia il numero positivo c:
lim loga x = loga c
x→c
Si ha:
lim+ loga x = −∞
x→0
lim loga x = +∞
x→+∞
11
Esempi di funzioni continue
n
y= x
7) La funzione
è continua per ogni valore non negativo della x, cioè
risulta, qualunque sia il numero non negativo c:
n
n
lim x = c
x →c
12
Esempi
π 1
lim senx = sen =
π
6 2
x→
6
3
2
lim( x − 5 x + 7) = 8 − 20 + 7 = −5
x →2
lim 5 x = 53 = 125
x →3
2 ⎞
⎛ x
lim⎜ 3 + 2 log x + ⎟ = 3 + 2 log 1 + 2 = 5
x →1
x ⎠
⎝
1 13
lim 2tg x + cos x = 2tg
+ cos = 6 + =
π
3
3
2 2
x→
3
2
x − 3x + 7 25 − 15 + 7 17
lim
=
=
x →5
2x +1
10 + 1
11
(
2
)
2
π
π
13
Continuità delle funzioni in un intervallo
Sia y = f(x) funzione definita nell’intervallo (a,b)
La funzione f(x) si dice continua nell’intervallo (a,b) se essa è
continua in ogni punto di questo intervallo
Valgono i seguenti teoremi
1. - Se una funzione è
continua in un intervallo
chiuso (a,b) essa assume
ivi il massimo assoluto e
il minimo assoluto
2. - Se una funzione è continua in un intervallo chiuso (a,b) essa
assume ogni valore compreso fra il suo minimo e il suo massimo
3. - Se una funzione è continua in un intervallo chiuso (a,b) e se
agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa
si annulla in almeno un punto all’interno dell’intervallo
14
Funzione di funzione
Sia:
z = ϕ (x)
(1)
definita nell’intervallo (a,b) e :
y = f (z )
(2)
definita per ogni valore di z che si ricava dalla (1)
Preso un punto qualunque x0 ∈ (a,b) → z0 = ϕ(x0) → y0 = f(z0)
La y risulta, quindi, funzione della variabile x ;
questo
legame viene indicato con la seguente scrittura:
y = f [ϕ (x )]
Questa funzione viene chiamata funzione di funzione oppure
funzione composta
Le funzioni (1) e (2) sono chiamate componenti della funzione
di funzione
15
Esempi di funzione di funzione
3
(
z = 2 x + x , y = tgz → y = tg 2 x + x
3
2
(
3
z = 1 + x , y = tgz → y = tg 1 + x
2
3
)
)
16
Funzione di funzione
Teorema. - Se la funzione ϕ(x) ammette, per x→x0, limite
finito l e se f(z) è continua per z = l , allora risulta:
⎡
⎤
lim f [ϕ (x )] = f lim ϕ (x ) = f (l )
⎢⎣ x→ x0
⎥⎦
x → x0
Segue il seguente corollario:
Se ϕ(x) è continua nel punto x0 e f(z) è continua nel punto
z0 = ϕ(x0), allora la funzione f [ϕ(x)] è continua nel punto x0
Con questo risultato si può dimostrare la continuità di
funzioni complicate; ad esempio è continua la funzione:
3
y = log x
2
perché lo sono le due funzioni componenti:
3
y = log z, z = x
2
17
Limiti di funzioni
(
n
lim a0 x + a1 x
x →∞
n −1
)
+ ... + an−1 x + an = ∞
ove n è un numero intero positivo
n
n −1
a0 x + a1 x + ... + an −1 x + an a0
lim
=
n
n
−
1
x →∞ b x + b x
+ ... + bn −1 x + bn b0
0
1
n
n −1
a0 x + a1 x + ... + an−1 x + an
lim m
=
m
−
1
x →∞ b x + b x
+ ... + bm−1 x + bm
0
1
0→n<m
∞→n>m
18
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