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Corso di dottorato: “Metodi variazionali per la
meccanica e i materiali”
Lezione 3: Variazione prima
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Michela Eleuteri
Università degli Studi di Milano
Università degli Studi di Firenze
January 19, 2014
Differenziabilità per funzionali
Sia Y ⊂ X aperto di uno spazio normato X .
Definizione
Differenziale secondo Fréchet: Un funzionale F si dice differenziabile
secondo Fréchet in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyF0 : X → R detto
differenziale di Fréchet di F in y0 tale che
F (y0 + h) − F (y0 ) − LyF0 (h)
→0
||h||
se ||h|| → 0.
Osserviamo che per una funzione reale di più variabili reali, la nozione
di differenziabilità coincide con la nozione di differenziabilità secondo
Fréchet
Se si richiede che LyF0 sia anche continuo (o condizioni equivalenti...),
allora la differenziabilità secondo Fréchet implica la continuità (anche in
dimensione infinita) (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Differenziabilità per funzionali
Sia Y ⊂ X aperto di uno spazio normato X .
Definizione
Differenziale secondo Fréchet: Un funzionale F si dice differenziabile
secondo Fréchet in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyF0 : X → R detto
differenziale di Fréchet di F in y0 tale che
F (y0 + h) − F (y0 ) − LyF0 (h)
→0
||h||
se ||h|| → 0.
Osserviamo che per una funzione reale di più variabili reali, la nozione
di differenziabilità coincide con la nozione di differenziabilità secondo
Fréchet
Se si richiede che LyF0 sia anche continuo (o condizioni equivalenti...),
allora la differenziabilità secondo Fréchet implica la continuità (anche in
dimensione infinita) (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Differenziabilità per funzionali
Sia Y ⊂ X aperto di uno spazio normato X .
Definizione
Differenziale secondo Fréchet: Un funzionale F si dice differenziabile
secondo Fréchet in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyF0 : X → R detto
differenziale di Fréchet di F in y0 tale che
F (y0 + h) − F (y0 ) − LyF0 (h)
→0
||h||
se ||h|| → 0.
Osserviamo che per una funzione reale di più variabili reali, la nozione
di differenziabilità coincide con la nozione di differenziabilità secondo
Fréchet
Se si richiede che LyF0 sia anche continuo (o condizioni equivalenti...),
allora la differenziabilità secondo Fréchet implica la continuità (anche in
dimensione infinita) (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Differenziabilità per funzionali
Definizione
Differenziale secondo Gâteau: Un funzionale F si dice differenziabile
secondo Gâteau in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyG0 : X → R detto
differenziale di Gâteau di F in y0 tale che
F (y0 + th) − F (y0 )
− LyG0 (h) → 0
t
se t → 0.
Se F è differenziabile secondo Fréchet, allora è differenziabile secondo
Gâteau (. ESERCIZIO); il viceversa non vale. Controesempio:
f (x, y) =
1
0
|y| > x2 ∨ y = 0
altrove
La differenziabilità secondo Gâteau non implica la continuità (.
ESERCIZIO )
Michela Eleuteri
Lezione 3
Differenziabilità per funzionali
Definizione
Differenziale secondo Gâteau: Un funzionale F si dice differenziabile
secondo Gâteau in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyG0 : X → R detto
differenziale di Gâteau di F in y0 tale che
F (y0 + th) − F (y0 )
− LyG0 (h) → 0
t
se t → 0.
Se F è differenziabile secondo Fréchet, allora è differenziabile secondo
Gâteau (. ESERCIZIO); il viceversa non vale. Controesempio:
f (x, y) =
1
0
|y| > x2 ∨ y = 0
altrove
La differenziabilità secondo Gâteau non implica la continuità (.
ESERCIZIO )
Michela Eleuteri
Lezione 3
Differenziabilità per funzionali
Definizione
Differenziale secondo Gâteau: Un funzionale F si dice differenziabile
secondo Gâteau in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyG0 : X → R detto
differenziale di Gâteau di F in y0 tale che
F (y0 + th) − F (y0 )
− LyG0 (h) → 0
t
se t → 0.
Se F è differenziabile secondo Fréchet, allora è differenziabile secondo
Gâteau (. ESERCIZIO); il viceversa non vale. Controesempio:
f (x, y) =
1
0
|y| > x2 ∨ y = 0
altrove
La differenziabilità secondo Gâteau non implica la continuità (.
ESERCIZIO )
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Se F è differenziabile secondo Gâteau in y0 , si può definire per t e ||h||
“ammissibili”
G(t) = F (y0 + th)
Vogliamo calcolare
G0 (0).
Si ha
G(t + s) − G(t)
F (y0 + (t + s)h) − F (y0 + th)
= lim
s→0
s→0
s
s
G0 (t) = lim
da cui
F (y0 + sh) − F (y0 )
= LyG0
s→0
s
G0 (0) = lim
Possiamo anche scrivere
G0 (0) =
dF (y0 + th)
dt
t=0
e si può far vedere che se il funzionale
dF (y0 + th)
h 7→
dt
t=0
è lineare, allora coincide col differenziale secondo Gâteau
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Se F è differenziabile secondo Gâteau in y0 , si può definire per t e ||h||
“ammissibili”
G(t) = F (y0 + th)
Vogliamo calcolare
G0 (0).
Si ha
G(t + s) − G(t)
F (y0 + (t + s)h) − F (y0 + th)
= lim
s→0
s→0
s
s
G0 (t) = lim
da cui
F (y0 + sh) − F (y0 )
= LyG0
s→0
s
G0 (0) = lim
Possiamo anche scrivere
G0 (0) =
dF (y0 + th)
dt
t=0
e si può far vedere che se il funzionale
dF (y0 + th)
h 7→
dt
t=0
è lineare, allora coincide col differenziale secondo Gâteau
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Se F è differenziabile secondo Gâteau in y0 , si può definire per t e ||h||
“ammissibili”
G(t) = F (y0 + th)
Vogliamo calcolare
G0 (0).
Si ha
G(t + s) − G(t)
F (y0 + (t + s)h) − F (y0 + th)
= lim
s→0
s→0
s
s
G0 (t) = lim
da cui
F (y0 + sh) − F (y0 )
= LyG0
s→0
s
G0 (0) = lim
Possiamo anche scrivere
G0 (0) =
dF (y0 + th)
dt
t=0
e si può far vedere che se il funzionale
dF (y0 + th)
h 7→
dt
t=0
è lineare, allora coincide col differenziale secondo Gâteau
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Definizione
Variazione prima secondo Gâteau: Diremo variazione prima secondo
Gâteau del funzionale F in y0 ∈ Y e la indicheremo con δ F (h), il funzionale
definito in X da
δ F (h) =
dF (y0 + th)
dt
t=0
δ F (h) è lineare se e solo se F è differenziabile secondo Gâteau
Esempio: g : R2 → R definita da
g(x, y) =



xy2
x2 + y2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
g(th,tk)
t 3 hk2
hk2
= lim 3 2
=
t→0
t→0 t (h + k2 )
t
h2 + k2
quindi siccome δ g(h, k) non è lineare, g non è differenziabile secondo
δ g(h, k) = lim
Gâteau e quindi nemmeno secondo Fréchet (cioè non è differenziabile)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Definizione
Variazione prima secondo Gâteau: Diremo variazione prima secondo
Gâteau del funzionale F in y0 ∈ Y e la indicheremo con δ F (h), il funzionale
definito in X da
δ F (h) =
dF (y0 + th)
dt
t=0
δ F (h) è lineare se e solo se F è differenziabile secondo Gâteau
Esempio: g : R2 → R definita da
g(x, y) =



xy2
x2 + y2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
g(th,tk)
t 3 hk2
hk2
= lim 3 2
=
t→0
t→0 t (h + k2 )
t
h2 + k2
quindi siccome δ g(h, k) non è lineare, g non è differenziabile secondo
δ g(h, k) = lim
Gâteau e quindi nemmeno secondo Fréchet (cioè non è differenziabile)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Definizione
Variazione prima secondo Gâteau: Diremo variazione prima secondo
Gâteau del funzionale F in y0 ∈ Y e la indicheremo con δ F (h), il funzionale
definito in X da
δ F (h) =
dF (y0 + th)
dt
t=0
δ F (h) è lineare se e solo se F è differenziabile secondo Gâteau
Esempio: g : R2 → R definita da
g(x, y) =



xy2
x2 + y2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
g(th,tk)
t 3 hk2
hk2
= lim 3 2
=
t→0
t→0 t (h + k2 )
t
h2 + k2
quindi siccome δ g(h, k) non è lineare, g non è differenziabile secondo
δ g(h, k) = lim
Gâteau e quindi nemmeno secondo Fréchet (cioè non è differenziabile)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale
omogeneo, cioè
δ F (λ h) = λ δ F (h)
∀λ ∈ R
(. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche
λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...)
L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare
attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il
Teorema
Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di
un funzionale F se e solo se
F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h)
lim
t→0
ε(th)
=0
t
La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale
variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la
variazione prima è univocamente determinata.
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale
omogeneo, cioè
δ F (λ h) = λ δ F (h)
∀λ ∈ R
(. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche
λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...)
L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare
attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il
Teorema
Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di
un funzionale F se e solo se
F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h)
lim
t→0
ε(th)
=0
t
La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale
variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la
variazione prima è univocamente determinata.
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale
omogeneo, cioè
δ F (λ h) = λ δ F (h)
∀λ ∈ R
(. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche
λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...)
L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare
attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il
Teorema
Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di
un funzionale F se e solo se
F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h)
lim
t→0
ε(th)
=0
t
La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale
variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la
variazione prima è univocamente determinata.
Michela Eleuteri
Lezione 3
Variazione prima secondo Gâteau
Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale
omogeneo, cioè
δ F (λ h) = λ δ F (h)
∀λ ∈ R
(. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche
λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...)
L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare
attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il
Teorema
Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di
un funzionale F se e solo se
F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h)
lim
t→0
ε(th)
=0
t
La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale
variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la
variazione prima è univocamente determinata.
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Assegnato F : U → R, con U ⊂ X , se U non è un aperto o un
sottospazio di X , si deve considerare lo spazio delle variazioni
ammissibili
H = {h ∈ X : x + h ∈ U }
per ogni x ∈ U
Definizione
Diremo che x0 è minimo locale se esiste δ tale che per ogni h ∈ H con
||h|| < δ vale F (x0 ) ≤ F (x0 + h)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Assegnato F : U → R, con U ⊂ X , se U non è un aperto o un
sottospazio di X , si deve considerare lo spazio delle variazioni
ammissibili
H = {h ∈ X : x + h ∈ U }
per ogni x ∈ U
Definizione
Diremo che x0 è minimo locale se esiste δ tale che per ogni h ∈ H con
||h|| < δ vale F (x0 ) ≤ F (x0 + h)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Teorema
Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima
e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X ,
allora
δ F (h) = 0
per ogni h ∈ H
Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del
funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della
variazione prima (. ESERCIZIO)
Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni
Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0
Z b
g(x)h(x) dx = 0.
a
Allora g(x) = 0 in [a, b].
Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Teorema
Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima
e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X ,
allora
δ F (h) = 0
per ogni h ∈ H
Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del
funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della
variazione prima (. ESERCIZIO)
Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni
Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0
Z b
g(x)h(x) dx = 0.
a
Allora g(x) = 0 in [a, b].
Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Teorema
Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima
e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X ,
allora
δ F (h) = 0
per ogni h ∈ H
Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del
funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della
variazione prima (. ESERCIZIO)
Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni
Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0
Z b
g(x)h(x) dx = 0.
a
Allora g(x) = 0 in [a, b].
Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat
Teorema
Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima
e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X ,
allora
δ F (h) = 0
per ogni h ∈ H
Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del
funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della
variazione prima (. ESERCIZIO)
Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni
Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0
Z b
g(x)h(x) dx = 0.
a
Allora g(x) = 0 in [a, b].
Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO)
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat: Esempi (1/3)
Esempio
Sia
F1 (u) =
Z 1
2
(1 − u0 )2 dx
0
nella classe U = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = 0, u(1) = −1}. Sia u0 un minimo
locale di F1 in U . Allora
δ F1 (h) = −
Z 1
0
2
4(1 − u00 )u00 h0 dx = 0
per ogni h ∈ C 1 ([0, 1]) con h(0) = h(1) = 0.
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat: Esempi (2/3)
Esempio
Sia
F2 (u) =
Z 1
2
(1 + u0 ) dx
0
nella classe U = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0}. Sia u0 un minimo
locale di F2 in U . Allora
δ F2 (h) =
Z 1
0
2u00 h0 dx = 0
per ogni h ∈ C 1 ([0, 1]) con h(0) = h(1) = 0. Quindi prendendo h = u0 si
ottiene u00 = 0 quindi u0 costante perché nulla agli estremi
Michela Eleuteri
Lezione 3
Generalizzazione del Teorema di Fermat: Esempi (3/3)
Il Teorema di Fermat non si può invertire
Sia
F3 (u) =
Z 1
(u2 + xu0 ) dx
0
nella classe U = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = 1, u(1) = 0}. Sia u0 tale che la
variazione prima di F3 in u0 sia il funzionale nullo
δ F3 (h) =
Z 1
0
(2u0 h + xh0 ) dx = 0
per ogni h ∈ C 1 ([0, 1]) con h(0) = h(1) = 0. Integrando per parti, essendo
[xh]10 = 0 si ha
Z 1
0
(2u0 − 1) dx = 0
quindi dal Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni si ha u0 = 1/2
che non soddisfa le condizioni agli estremi. Quindi F non ha minimi locali.
Michela Eleuteri
Lezione 3
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