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ANALISI MATEMATICA II (22ACI) 6 CFU (studenti immatricolati nell

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ANALISI MATEMATICA II (22ACI)
(studenti immatricolati nell’A.A. 2010/11 e successivi)
6 CFU
Prova di esame del 3 Febbraio 2014 ore 8,30
Versione A
Cognome e Nome (in stampatello):
Matricola:
Corso di Laurea:
Docente: Bacciotti
Esercizio 1. Calcolare
R
A
(1 − 2y)dxdy, dove
A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, |x| ≤ y ≤ 2 − x2 }
Esercizio 2. Sia V il solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse z del triangolo S di vertici
(1, 0), (1, 2), (2, 0) contenuto nel piano yz. Calcolare il volume di V , e calcolare inoltre il flusso del campo
vettoriale
F (x, y, z) = (3x2 − 4x2 z, 16xyz, −4xz 2 )
uscente dalla superficie che delimita V .
Esercizio 3. Si consideri la successione di funzioni
2nx − 5x2
n3
per n = 1, 2, 3, . . ., x ≥ 0. Determinare l’insieme C dei punti in cui la successione converge puntualmente
e determinare la funzione limite. Indicare, se esistono, dei sottoinsiemi di C sui quali la convergenza `e
uniforme.
fn (x) =
Esercizio 4. Determinare l’insieme di convergenza della serie
n+1
∞ X
2
√
(sin(4x))n
3
n=0
Determinare inoltre la somma della serie.
1
ANALISI MATEMATICA II (19ACI)
(studenti immatricolati prima dell’A.A. 2010/11)
7,5 CFU
Prova di esame del 3 Febbraio 2014 ore 8,30
Versione A
Cognome e Nome (in stampatello):
Matricola:
Corso di Laurea:
Docente: Bacciotti
Avvertenza: svolgere gli Esercizi 1, 2 e uno solo a scelta tra gli esercizi 3 e 4.
R
Esercizio 1. Calcolare A (1 − 2y)dxdy, dove
A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, |x| ≤ y ≤ 2 − x2 }
Esercizio 2. Determinare l’insieme di convergenza della serie
n+1
∞ X
2
√
(sin(4x))n
3
n=0
Determinare inoltre la somma della serie.
Esercizio 3. Sia V il solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse z del triangolo S di vertici
(1, 0), (1, 2), (2, 0) contenuto nel piano yz. Calcolare il flusso del campo vettoriale
F (x, y, z) = (6x − 4x2 z, 16xyz, −z − 4xz 2 )
uscente dalla superficie che delimita V .
` dato il sistema differenziale
Esercizio 4. E
x˙ = 2x + 4y
y˙ = 2x − 5y
1. Determinare l’integrale generale
2. Determinare la soluzione particolare tale che x(0) = 0, y(0) = −2
2
SVOLGIMENTO (nuovo ordinamento, 6 cfu)
Esercizio 1.
Il dominio di integrazione A `e simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (si veda la Figura 1). Quindi
possiamo scrivere l’integrale come
Z
Z
(1 − 2y) dxdy = 2
(1 − 2y) dxdy
A
A0
dove A0 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 2 − x2 }. Poich´e su A0 si ha x ≥ 0, abbiamo potuto sostituire |x|
con x. Pensando A0 come verticalmente convesso, si effettua la riduzione
Z
A
(1 − 2y) dxdy = 2
Z
1
0
Z
(
2−x2
x
(1 − 2y) dy) dx .
Quindi:
2
Z
1
0
Z
(
2−x2
x
(1 − 2y) dy) dx
=
=
2
Z
2
Z
1
x
0
1
0
2−x2
(y − y 2 )
dx =
(2 − x2 − (2 − x2 )2 − x + x2 ) dx = −
41
15
L’integrale pu`o essere calcolato anche pensando A0 come orizzontalmente convesso, ma in tal caso
bisogna ulteriormente suddividere l’integrale come due integrali, uno per 0 ≤ y ≤ 1 e l’altro per 1 ≤ y ≤
2 − x2 .
Esercizio 2.
Il triangolo S `e disegnato nella Figura 2. In particolare, i punti di coordinate (1, 2) e (2, 0) sono uniti
dalla retta di equazione z = −2y
p + 4. Nella rotazione, si ottiene il solido formato dalla parte interna di
un cono (di equazione z = −2 x2 + y 2 + 4) intersecata con la parte esterna di un cilindro (di equazione
x2 + y 2 = 1), ancora intersecata col semispazio delle z positive (vedi Figura 3). Per il Teorema sul volume
dei solidi di rotazione,
m(V ) = 2π
Z
y dydz
=
2
2π
Z
2
2π
Z
S
1
=
1
=
Z
(
−2y+4
y dz) dy =
0
y(4 − 2y) dy = 2π
Z
1
2
4y − 2y 2 ) dy =
8π
2 2
2π(2y 2 − y 3 ) =
3
3
1
avendo interpretato S come verticalmente convesso. S avrebbe potuto essere interpretato anche come
orizzontalmente convesso. Il volume di V avrebbe potuto essere calcolato anche direttamente come
integrale triplo della funzione 1: in tal caso, sarebbe stato conveniente procedere per strati.
Il flusso di F si pu`o calcolare applicando il Teorema di Gauss. A tal fine, `e necessario calcolare la
divergenza di F . Si trova facilmente div F = 6x. La funzione f (x, y, z) = 6x `e dispari rispetto al piano di
equazione x = 0; ma l’insieme V , che `e un solido di rotazione, `e simmetrico rispetto a tale piano. Dunque
l’integrale di f su V `e zero, cos`ı come il flusso di F attraverso la superficie che delimita VR . Alla stessa
conclusione si sarebbe potuto arrivare calcolando, per esempio per strati, l’integrale triplo V 6x dxdydz.
Esercizio 3.
2
Si verifica facilmente che limn→+∞ 2nx−5x
= 0 per ogni x fissata nell’intervallo [0, +∞). La succesn3
sione converge quindi puntualmente su [0, +∞) e ha per limite la funzione f (x) = 0.
Per studiare la convergenza uniforme, `e necessario studiare il comportamento della funzione fn (x) (per
n fissato) sul dominio [0, +∞). Il grafico `e tracciato nella Figura 4. Si nota in particolare che la funzione
3
n-esima ha uno zero per x = 2n/5 e un massimo nel punto di ascissa x = n/5; inoltre fn (n/5) = 1/(5n). Si
nota anche che limx→+∞ fn (x) = −∞ per ogni n. Ne segue che sup0≤x |fn (x) − f (x)| = sup0≤x |fn (x)| =
+∞ (il punto x = n/5 `e di massimo assoluto per fn (x), ma non per |fn (x)|). La convergenza pertanto
non `e uniforme su [0, +∞).
Invece, la convergenza `e uniforme su ogni intervallo limitato [a, b] ⊂ [0, +∞). Per dimostrarlo, `e
sufficiente limitarsi a intervalli del tipo [0, k]. Sia N tale che N > 5k. Per ogni n > N , fn (x) `e crescente
nell’intervallo [0, k]: infatti fn (0) = 0 e il massimo di fn (x) si trova alla destra di k ed `e positivo. Quindi,
lim
sup |fn (x)| = lim |fn (k)| = 0 .
n→∞ 0≤x≤k
n→∞
Esercizio 4.
La serie si pu`o scrivere come
∞
2 X 2
√
( √ sin(4x))n
3 n=0 3
e quindi interpretare (a meno di un fattore moltiplicativo) come una serie geometrica di ragione t =
√2 sin(4x). Essa converge se −1 < t < 1, cio`
e se
3
√
√
3
3
−
< sin(4x) <
2
2
ovvero
π
π
π
π
+k <x<
+k
12
4
12
4
Agli estremi dell’intervallo non vi `e convergenza. Ove la serie converge, la somma `e data da
−
2
√ ·
3 1−
1
.
sin(4x)
√2
3
SVOLGIMENTO (vecchio ordinamento 7,5 cfu)
L’Esercizio 1 `e uguale a quello del compito da 6 cfu. L’Esercizio 2 `e uguale all’Esercizio 4 del compito
da 6 cfu. L’Esercizio 3 si differenzia dall’Esercizio 2 del compito da 6 cfu in quanto la divergenza adesso
`e uguale a 5 (costante). Pertanto il flusso `e uguale a 5 volte il volume, cio`e 40π/3.
Esercizio 4.
La matrice che definisce il sistema omogeneo `e
2
A=
2
4
−5
.
I suoi autovalori (radici del polinomio caratteristico det (A − λI) = λ2 + 3λ − 18) sono λ = −6 e λ = 3.
La presenza di un autovalore positivo segnala che l’origine `e instabile. Un autovettore relativo a λ = −6
`e:
−1
;
u=
2
un autovettore relativo a λ = 3 `e:
4
.
v=
1
L’integrale generale si pu`o scrivere nella forma:
x(t)
= c1 e−2t u + c2 e3t v .
y(t)
4
2.5
2
1.5
A0
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figure 1:
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Figure 2:
5
0.5
1
1.5
2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
2
1
2
1
0
0
−1
−1
−2
−2
Figure 3:
0.5
0
−0.5
−1
−0.5
n=1
0
0.5
1
n=2
1.5
2
n=3
2.5
Figure 4:
6
3
n=4
3.5
4
4.5
5
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