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Onde d’Urto
Corso di Aerodinamica e Gasdinamica
A.A. 2013/2014
Docente: Prof. Renato Ricci
Equazione Conservazione attraverso superfici di discontinuità
n1
L’ipotesi di continuità del campo fluidodinamico fatta fin qui può non essere
sempre valida. Nel volume considerato possono esistere discontinuità
dr
ε
isolate; per convincersene basti pensare alla superficie di separazione fra un
n
mezzo ed un altro (aria ed acqua ad esempio): attraverso tale superficie la
σ
densità è discontinua.
Esistono altri casi in cui non ci sono vere proprie discontinuità ma variazioni
rapide in regioni di estensione limitata le quali possono essere trattate per
ε
comodità come discontinuità.
In tutti e due i casi citati le equazioni di conservazione devono essere
sempre soddisfatte. Nel seguito sarà trattata l’equazione di conservazione di
n2
una generica grandezza “x” attraverso una superficie di discontinuità.
Si consideri il caso in figura dove attraverso la superficie σ una o più
grandezze siano discontinue ma siano continue sulle due “facce” di questa
superficie.
Sia dA l’area dell’intorno del punto P


appartenente a σ.
 xd    φ x  nd  xd 
t  
L’equazione di conservazione per la generica

 
grandezza “x” viene applicata al cilindro retto di
base dA= π(dr)2, con l’asse lungo la direzione del
versore n, di altezza 2 ε. Il cilindro è simmetrico
rispetto alla superficie σ.
Flusso Convettivo Produzione


+
Flusso Diffusivo

Equazione Conservazione attraverso superfici di discontinuità


  xd   
t  

 φ

x
 nd   xd 



  x 

dA  
dz    φ x  n 1   φ x  n 2   xdz   2 dr  φ x  n dz  0
3
  t 





Consideriamo il caso in cui ε → 0
Se il flusso totale sulla superficie laterale del cilindro retto è finito allora l’ultimo termine è nullo. Il secondo ed
terzo termine tendono ai valori dei flussi normali calcolati sulle facce della superficie σ.
Nei due integrali in dz si hanno due possibilità:
• integrando finito che implica il limite tendente a zero;
• integrando di opportuna “forma” tale che il limite sia finito (in questo caso l’integrando deve essere
infinito).
Il caso di “accelerazione” locale infinita viene escluso.
La produzione della grandezza “x” può essere molto intensa in alcune regioni dello spazio di modo che per ε
→ 0 l’integrale della produzione possa essere finito:

lim  xdz  xs
 0

Equazione Conservazione attraverso superfici di discontinuità


  x 

dA  
dz    φ x  n 1   φ x  n 2   xdz   2 dr  φ x  n dz  0
3
  t 




 φx 1   φx 2   n
=
=
0

0
In definitiva avremo che :
 φx 1   φx 2   n  xs
  n  φ    φx 1   φx 2   n
  n  φx   xs
Tale relazione è detta relazione di discontinuità e rappresenta le condizioni che devono essere necessariamente
soddisfatte attraverso una superficie di discontinuità a patto che i flussi e le accelerazioni siano finite.
Superfici di discontinuità fluidodinamica
Tutte le possibili superfici di discontinuità per un gas a composizione costante e due gdl termodinamici devono
necessariamente soddisfare la conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia totale nella loro
forma discontinua.
Si assuma l’ipotesi di trascurabilità degli effetti dissipativi.
un  comp. normale alla superficie di discontinuità
n  normale alla superficie di discontinuità
 f  f 2  f1  discontinuità della grandezza f
  n  φx   xs
φm   u     un   0
φu  u  u  pI  un  u    pn  0
2

u 
0
φ E   uH   un  h 

2 

Urti Normali
In fluidodinamica con il termine onda d’urto si intende un sottile strato di fortissima variazione delle proprietà
termofluidodinamiche.
Si definisce onda d’urto normale l’urto che si forma in direzione ortogonale alla direzione del moto. Nel tratto di
campo di moto che interessa l’urto normale il moto è assolutamente non reversibile e, pertanto, non può essere
considerata valida l’ipotesi di moto isoentropico. L’urto può essere modellato matematicamente come una
superficie di discontinuità alla quale applicheremo le relazioni di discontinuità appena ricavate.
  un   0  1u1  2u2
2

u 
  0  h10  h20  T10  T20
 un  h 


2


A monte e a valle dell’urto il campo di moto è isoentropico quindi possono essere utilizzate le relazioni per tale
categoria di flussi.
T10
 1 2
 1
M1
T1
2
T20
 1 2
 1
M2
T2
2
1     1 2 M 12
T2

T1 1     1 2 M 2 2
Urti Normali
p1
p2
T2 p2u2 p2 M 2 T2
u1 
u2 


RT1
RT2
T1
p1u1
p1M 1 T1
p2 M 1 T2

p1 M 2 T1
Introducendo il rapporto delle temperature fra monte e valle dell’urto è possibile ricavare a questo punto, in
maniera banale, il rapporto delle pressioni il quale risultata funzione dei rispettivi numeri di Mach e del rapporto
trai i calori specifici.
M1 1     1 2 M12
p2

p1 M 2 1     1 2 M 2 2
E’ possibile ottenere il numero di Mach a valle dell’urto, noto esclusivamente quello di monte, a partire dalla
relazione dei salto della quantità di moto. Tuttavia bisogna tener presente che:

p
p
2
u 
M   RT
M  a 
RT
RT
2

2
 pkM 2
Urti Normali
Dalla relazione di salto della quantità di moto si ottiene che:
φu  u  u  pI  un  u    pn  0
p1  1u12  p2   2u22
 u 2  pkM 2



p1 1  kM12  p2 1  kM 2 2

Utilizzando la relazione fra la pressione a monte e valle dell’urto si ottiene:


 
 


M1 1     1 2 M12
p2



2
2
p1
1  kM 2
1  kM 2
M 2 1     1 2 M 2 2
1  kM12
1  kM 12
M2 
  1 M12  2
2 M 12     1
Urti Normali
Le relazioni appena ricavate possono essere
rappresentate su un grafico in funzione del solo
numero di Mach a monte dell’urto.
Il flusso a valle dell’urto è sempre subsonico; il numero
di Mach a valle dell’urto diminuisce all’aumentare del
Mach a monte dell’urto. Inoltre, il rapporto fra
pressione, densità e temperatura a valle dell’onda
d’urto e i rispettivi valori di monte sono maggiori di
uno e sono crescono all’aumentare del numero di
Mach di monte.
La pressione di ristagno a cavallo di un’onda d’urto
normale (contrariamente a quanto accade nei processi
isoentropici non si conserva) diminuisce all’aumentare
del numero di Mach a monte dell’urto.
Relazione di Prandtl
L’equazione dell’energia per flussi isoentropici può essere scritta in termini di velocità del suono
1 2
 RT u 2  RT * a*2
h  u  const 



2
 1 2
 1
2
a2
u2
  1 *2


a
  1 2 2    1
La relazione di salto per la q.d.m. può essere riscritta nel seguente modo:
p1
p2
a12
a22
p1   u  p2   u 
 u1 
 u2 
 u1 
 u2
1u1
 2 u2
 u1
 u2
2
1 1
2
2 2
Sostituendo l’equazione dell’energia scritta in velocità del suono nell’ultima relazione ricavata si ottiene:
  1 a*2   1
  1 a*2   1

u1  u1 

u2  u2
2 u1
2
2 u2
2
Da cui:
u2  u1
a
 u2  u1
u1 u2
*2
Relazione di Prandtl
u u
a 2 1  u2  u1
u1 u2
*2

u1  u2
 *2

a  u1 u2
Soluzione banale
Relazione di Prandtl
Una formulazione equivalente per la relazione Prandtl prevede l’introduzione del Mach critico: numero di Mach
calcolato rispetto alla velocità sonica allo stato critico.
M 1* M 2*  1
Un espressione per il Mach critico in funzione del Mach “classico” si può ricavare dall’equazione dell’energia in
termini di velocità del suono.
a2
u2
  1 *2
1
1
 1 1
 1
*2


a 



M

  1 2 2    1
2 M 2    1
  1 M 2 2 2   1 M *2
Ricordando l’equazione di salto per la massa attraverso l’urto normale si può ricavare un’equazione per il salto di
densità:
  1 M1

 2 u1 u12
*2

 *2  M 1 
1 u2 a
2     1 M 12
2
Urti Normali
M1 1     1 2 M12
p2

p1 M 2 1     1 2 M 2 2
1     1 2 M 12
T2

T1 1     1 2 M 2 2
Dalla relazione di salto dell’entropia, sotto
riportata, tenendo presente il postulato di
produzione entropica, si ottiene che l’entropia a
cavallo di un urto non può diminuire (essendo
l’urto un processo adiabatico) .
un  s   ss  0  s2  s1  0
La variazione di entropia per la trasformazione che
il gas subisce nel passaggio attraverso l’onda d’urto
può essere calcolata mediante la nota relazione:
T2
p2
s  c p ln  R ln
T1
p1
utilizzando le relazioni di salto appena ricavate si
può “plottare” l’andamento della variazione di
entropia in funzione del numero Mach a monte
dell’urto. Si evince banalmente l’impossibilità di
avere onde d’urto in regime subsonico.
Onde d’Urto Oblique
Onda d’urto Obliqua
ut2=ut1
ut1
θ
β u1>a1
u2
un2<a2
Angolo di Deviazione
un1>a1
β
La geometria del flusso atttaverso un urto obliquo è
rappresentata a sinistra. Il flusso incidente forma un
angolo β con la superficie dell’urto che sarà detto
angolo di inclinazione. Il flusso a valle dell’urto verrà
deviato un angolo θ detto angolo di deviazione. La
velocità a monte e valle dell’urto può essere scomposta
in una componente normale alla superficie dell’urto ed
in una tangenziale.
un1
M n1 
 M1 sin 
a1
M n2 
Le relazioni di discontinuità per questo caso possono essere scritte come:
  un   0  1un1  2un 2
2

u 
  0  h10  h20
 un  h 

2 

un 2
 M 2 sin     
a1
Onde d’Urto Oblique
Per il salto della q.d.m. è opportuno considerare le componenti normali e tangenziali all’urto:
un  u    pn  0  1un1  un1n  ut1t   p1n  2un 2  un 2n  ut 2t   p2n
Moltiplicando scalarmente la relazione di salto della q.d.m. per il versore tangente alla superficie dell’urto e
ricordando l’equazione della massa si ottiene l’importante risultato per cui la componente tangenziale di velocità
viene trasportata attraverso l’urto obliquo.
ut1  ut 2
Le relazioni di salto attraverso un urto obliquo possono essere quindi riscritte come:
1un1   2un 2
1un21  p1   2un22  p2
1 2
1 2
h1  un1  h2  un 2
2
2
Le quali sono del tutto analoghe a quelle dell’urto normale se si considera solo la componente di velocità normale
all’urto. Perciò noto il Mach normale a monte dell’urto è possibile calcolare i salti di pressione densità e
temperatura con le medesime relazioni che sono state ottenute per gli urti normali.
Onde d’Urto Oblique
Le relazioni caratteristiche per l’urto obliquo possono essere quindi riassunte come:
M n2 
1     1 2 M n12
T2

T1 1     1 2 M n 2 2
  1 M n12  2
2 M n12     1
M n1 1     1 2 M n12
p2

p1 M n 2 1     1 2 M n 2 2
  1 M n1

2

1 2     1 M n12
2
Il problema principale resta quello di determinare l’angolo di deviazione noto quello di inclinazione dell’urto ed il
numero di Mach monte urto.
un1
un 2
un 2 tan     
 tan  ;
 tan      

ut1
ut 2
un1
tan 
2
2
un 2 tan      1 2     1 M 1 sin 



un1
tan 
2
  1 M12 sin 2 
Dopo alcuni passaggi algebrici e l’utilizzo di qualche identità
trigonometrica si giunge al risultato cercato.
Onde d’Urto Oblique

M 12 sin 2   1 
tan   2 cot  

2
2

M


cos
2





1
• Per un dato valore del numero di Mach (M>1)
l’angolo di deviazione ha un valore nullo in
corrispondenza di un valore di beta β* compreso
fra 0° e 90° tanto più piccolo quanto maggiore
è il Mach.
•Le onde d’urto oblique possono esistere per un
dato valore del numero di Mach per β*< β<90°.
•Se il semiangolo di apertura del cuneo su cui si
forma l’urto obliquo δ è maggiore del massimo
dell’angolo di deviazione allora l’onda d’urto
diventa curva e si separa dal punto angoloso
dell’ostacolo formando un’onda d’urto obliqua
staccata.
• Per θ< θmax si hanno due valori di β. Il più basso
caratterizza le onde d’urto oblique deboli quello
più le onde d’urto oblique forti. Le onde forti in
natura sono piuttosto rare.
Onde d’Urto Oblique
•Per un dato M esiste un’unica coppia (β**,θ**)
in corrispondenza di cui il Mach valle urto è
unitario. Per β >β** il Mach valle urto è minore di
uno; per β <β** il flusso a valle dell’urto è
supersonico.
•Gli urti forti sono sempre subsonici a valle
dell’urto.
•Gli urti deboli sono subsonici per β** <β < β(θ<
θmax ) mentre sono supersonici per β*<β<β**.
•Per un dato valore del numero di Mach l’angolo
di deviazione si annulla in corrispondenza di due
angoli di inclinazione β =β* e β =90°. Per β
=90° si ha un urto forte che corrisponde ad un
urto normale. Nel caso in cui β =β* si ha l’onda
d’urto più debole possibile per quel dato numero
di Mache e prende il nome di onda di Mach.
•Le onde di Mach non hanno alcuna influenza sul
moto in quanto sono estremamente deboli.
L’angolo di inclinazione μ delle onde di Mach è
funzione univoca del Mach e si calcola ponendo
tan(θ)=0.
 1 
  arcsin 

M
 1
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