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Urti Normali
Meccanica dei Fluidi: Modulo di Fluidodinamica
AA 2013-2014
A cura di: Alessandro Di Marco, PhD
Effetto del Ma sul flusso compressibile nei
condotti
Flusso Stazionario compressibile quasi unidimensionale (QU)
Condotto a sezione debolmente variabile
Re  , Fr  , St  
u2=u3=0
 



d


 0,

 0
 x1 dx1
  x2  x3

Valutiamo condizioni di flusso in funzione dell’area A. Dalla CdM:
 u A  const
Differenzio:
d
  u A  0
dx
Divido per uA:
1 dA 1 du 1 d


0
A dx u dx  dx
Ricordo che CQM:
 


 u   u  P
d
dA
du
u
A uA
0
dx
dx
dx
du
dP
u

dx
dx
du
2 d 
u
 c0 
dx
dx
Effetto del Ma sul flusso compressibile nei
condotti
Quindi:
1 dA 1 du 1 d 1 dA 1 du u du 1 dA 1 du  u 2 
1  2   0




 2


A dx u dx  dx A dx u dx c0 dx A dx u dx  c0 
Da cui:
1 dA 1 du

Ma 2  1
A dx u dx


Ugello Convergente-Divergente (De Laval)
• Consente di accelerare i gas oltre Mach 1;
• È una delle configurazioni più usate in alcune applicazioni aerospaziali
(propulsione);
• Inventata da Gustaf de Laval nel 1888 per essere utilizzata nelle
turbine a vapore;
• Utilizzata nei razzi da Robert Goddard;
• La temperatura e la pressione statica diminuiscono all’aumentare del
Mach dei gas di scarico;
• Maggiore è il Mach in uscita maggiore sarà la spinta.
Ugello Convergente-Divergente (De Laval)
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
a) Pressione esterna (pe) poco inferiore a p0
Il flusso accelera nel convergente
Non raggiunge M=1 nella sezione di
gola
Essendo quindi Subsonico si
ricomprime nel divergente.
b) Diminuisco Pressione esterna (pe)
Il flusso accelera ma non abbiamo ancora
condizioni soniche in gola.
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
c) Diminuisco pressione esterna (pe)
Si raggiunge una condizione per la
quale si ha M=1 in gola.
Il flusso è ancora subsonico nel
divergente.
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
j) Condizioni di progetto (pe= pj)
Il flusso si espande isentropicamente
fino alla pressione pj.
Il flusso è supersonico nel
divergente.
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
d-f) Condizione (pf≤pe< pc)
Abbassando la pe da pc la pressione
in gola non varia più.
La portata non aumenta
ulteriormente (choking).
In queste condizioni non esiste
alcuna soluzione isentropica. Si
verificherebbe una discontinuità!
Si ha la comparsa di un Onda D’Urto:
dopo l’espansione supersonica si ha
una brusca ricompressione. Poi
subsonico.
Al diminuire della pe l’onda si sposta
verso l’uscita. In f l’urto si verifica
nella sezione di uscita.
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
g-h) Condizione (pj<pe< pf)
Il flusso è supersonico in tutto il
divergente ma la pressione di uscita
è inferiore a quella esterna.
La compressione si verifica
all’esterno con un sistema di Urti
Obliqui. Ugello sovraespanso.
Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso
in un ugello di De Laval
k) Condizione (pe< pj)
L’espansione prosegue all’esterno del
divergente. Ugello Sottoespanso.
Modello matematico per onda d’urto
Modello Matematico
Processi dissipativi quindi non si può far uso
delle isentropiche. Notevoli variazioni di
entropia.
Urto di spessore infinitesimo dell’ordine del
cammino medio.
Ipotesi di Unidimensionalità.
Equazioni di partenza
1u1   2u2
Equazione di CdM
1u12  P1  2 u22  P2
Equazione di CQM
Modello Unidimensionale (U)
Si trascurano:
 



d


 0,

 0
 x1 dx1
  x2  x3

u2=u3=0
Si trascurano le variazioni di area, quindi:
d   u
0
dx
 
D
    u   0
Dt


    u  0


Du

 P
Dt
d   u2  d P

0
dx
dx
 u  cos t
d
u 2  P  0

dx
 u 2  P  cost
Da cui:
1u1   2u2
 u  P1   u  P2
2
1 1
2
2 2
Onda d’urto normale
Dalla QM sostituendo l’equazione di stato:
P1 2
P2 2
P1 
u1  P2 
u2
RT1
RT2
Riarrangio con g:


g u12 
g u2 2 
  P2 1 

P1 1 
 g R T1 
 g R T2 
Ottengo il rapporto delle pressioni monte e valle dell’urto:
P1 1  g M 22

P2 1  g M 12
Onda d’urto normale
Dalla CdM e dall’equ di stato:
P1 1 RT1 u2 T1 gRT2  T1 M 2



P2 2 RT2 u1T2 gRT  12 T2 M1
1
1
2
Cioè:
P1  T1 
 
P2  T2 
1
2
M2
M1
T1
 H  M1 , M 2 
T2
1  g M 22
M2
1
2
M1 , M 2 

2  H
M1
1  g M1
Combinando le precedenti equazioni si ottengono:
2
 M 12
g 1
2
M2 
2g M 12
1
g 1

γ  1 2  2γ

M 1 
M 12  1
1 
2
T2

 γ  1

.
γ  1 M 2
T1
1
2γ  1
2
P2 2 g M 1  g  1

P1
g 1
g  1 M12

2

1 2  g  1 M12
Onda d’urto normale
Dalle relazioni precedenti eliminando M1 si
ottengono le relazioni di Rankine-Hugoniot:
P2   g  1 P2 
 
1  
P1   g  1 P1 
P
T2

 f1  2 
P2 g  1
T1
 P1 

P1 g  1
P2  g  1

 1
P1  g  1
P 
2

 f2  2 
P2 g  1
1
 P1 

P1 g  1
2  g  1

 1
1  g  1
 
P2

 f3 2 
g  1 2
P1
 1 

g  1 1
Variazione dell’entropia nell’urto
Nell’urto c’è una degradazione di energia meccanica in energia termica che darà luogo ad un aumento di entropia.
La temperatura totale si conserva:
Tt 1  Tt 2  Tt
Che implica: Ct 1  Ct 2  Ct
Variazione dell’entropia nell’urto
Ricordando che:
R
cv 
g 1
Integro tra due stati 1 e 2:
 dp
d 
dT
dv
  cv
dS  cv   g
R
 
T
v
 p
g 1

 T2 
 v2 
 T2 
 1  

S 2  S1  cv ln   cv g  1 ln   cv ln   ln 
  T1 
2  
 T1 
 v1 



T  
S 2  S1  cv ln 2  1 
T1   2 
g 1
g
T   
p  
 cv ln 2 2  1   cv ln 2  1 
T1 1   2 
p1   2 
g

 2g
S 2  S1
2
g  1
g  1
2
Si può ottenere un’equazione:
 f  M 1   g ln 

M1 
  ln 

2
Cv
g  1
 g  1 M 1 g  1
 g  1
Variazione dell’entropia nell’urto
L’andamento dell’equazione:

 2g
S 2  S1
2
g  1
g  1
2
 f  M 1   g ln 

M1 
  ln 

2
Cv
g  1
 g  1 M 1 g  1
 g  1
M1<1 non è fisicamente realizzabile
Intorno a M1=1 urti deboli
Aumentando M1 cresce l’intensità
dell’urto
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