Controllo Non Lineare - Programma del Corso a.a. 2013/2014 I ANALISI DEI SISTEMI NON LINEARI. 1) Introduzione. Introduzione ai sistemi non lineari. Modello di un sistema non lineare. Sistema non forzato. Sistema autonomo. Definizione di punto di equilibrio. Caratteristiche proprie dei sistemi non lineari: finite escape time, punti di equilibrio multipli isolati, cicli limite. Esempi: pendolo, oscillatore a resistenza negativa. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.1. 2) Propriet` a fondamentali delle soluzioni di un’equazione differenziale non lineare. Richiami sugli insiemi e sulle norme, sulla continuit`a di una funzione. Definizione di gradiente e di Jacobiano di una funzione. Esistenza ed unicit`a della soluzione: condizione di Lipschitz. Funzione di Lipschitz, localmente di Lipschitz, globalmente di Lipschitz. Teoremi per verificare la condizione di Lipschitz. Prolungamento della soluzione, finite escape time. Condizioni globali di esistenza ed unicit`a della soluzione. Condizioni di unicit`a quando la soluzione rimane in un compatto. Esempi. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.3. 3) Stabilit` a. Stabilit`a di un punto di equilibrio di un sistema non lineare autonomo. Definizioni: stabilit`a semplice e stabilit`a asintotica. Criterio di Lyapunov: enunciato e dimostrazione. Funzioni definite positive e semi-definite positive. Funzioni quadratiche, condizioni affinch´e una funzione quadratica sia definita positiva. Esempi. Regione di attrazione, funzione radialmente illimitata, esempio di funzione che non `e radialmente illimitata con linee di livello aperte, condizioni di stabilit`a asintotica globale: enunciato e dimostrazione. Condizioni per l’instabilit`a di un punto di equilibrio, teorema di Chetaev: enunciato e dimostrazione. Il principio di invarianza di La Salle. Applicazione di tale principio allo studio della stabilit`a asintotica di un punto di equilibrio. Esempi di applicazione del principio di invarianza di La Salle allo studio della stabilit`a di un insieme di punti di equilibrio equilibrio e di un ciclo limite. Stabilit`a dei sistemi lineari e stazionari, equazione di Lyapunov, condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza e l’unicit`a della soluzione dell’equazione di Lyapunov: enunciato e dimostrazione. Studio della stabilit`a di un punto di equilibrio di un sistema non lineare tramite linearizzazione: metodo indiretto di Lyapunov, enunciato, dimostrazione solo nel caso di stabilit`a. Funzioni di confronto: definizione di funzione di classe K, K∞ , KL, propriet`a principali, esempi. Stabilit`a nei sistemi non autonomi, stabilit`a uniforme. Stabilit`a esponenziale. Teoremi per la stabilit`a uniforme e uniforme asintotica di un punto di equilibrio di un sistema non autonomo: enunciato e dimostrazione. Teoremi per la stabilit`a esponenziale: enunciato e dimostrazione. Definizione di boundedness e di ultimate boundedness: teorema per il calcolo dell’ultimate bound e relativa dimostrazione. Esempi. Input to State Stability (ISS): definizione, teoremi per verificare che un sistema sia ISS e relative dimostrazioni, esempi. Input to state stability per sistemi interconnessi. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.4. 1 II SINTESI DEI SISTEMI NON LINEARI 1) Introduzione al controllo di sistemi non lineari. Richiami sul problema del controllo. Retroazione dallo stato e dall’uscita. Sensibilit`a e robustezza. Stabilizzazione, regolazione, tracking, reiezione dei disturbi. Stabilizzazione globale e semiglobale. Approccio al controllo dei sistemi non lineari tramite linearizzazione: esempio del pendolo. Problema di regolazione: azione integrale, sintesi del controllore stabilizzante tramite linearizzazione, esempio del pendolo. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.12. 2) Feedback Linearization. Introduzione al problema. Definizione di Lie derivative e di grado relativo. Esempi. Esempio dei sistemi lineari e stazionari: calcolo del grado relativo. Decomposizione della dinamica di un sistema non lineare: catena di integratori, dinamica zero, sistemi a fase minima, esempi. Stabilizzazione di un sistema non lineare con linearizzazione tramite feedback e successiva assegnazione degli autovalori. Effetto delle incertezze: condizioni di stabilit`a e di ultimate boundedness (enunciato e dimostrazione nel caso in cui ρ = n). Problema del tracking. Distribuzioni, distribuzioni non singolari ed involutive. Lie Brackets, condizioni per la completa linearizzabilit`a tramite feedback, esempi. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.13. 3) Sliding Mode Control. Esempio introduttivo: superficie di sliding, sliding mode, controllo a struttura variabile, problema del chattering, boundary layer. Caso generale: stabilizzazione tramite sliding mode in presenza di matched uncertainties, condizioni di esistenza dello sliding mode, calcolo del controllo equivalente e della legge di controllo complessiva. Boundary layer nel caso generale: teorema sulla ultimate boundedness delle traiettorie (enunciato e dimostrazione). Esempi. Controllo sliding mode per il problema del tracking. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.14. 4) Passivity based control. Introduzione. Definizione di sistema passivo e di sistema osservabile nello stato zero. Teorema sulla sintesi di una legge di controllo basata sulla propriet`a di passivit`a: enunciato e dimostrazione. Trasformazione di sistemi non passivi in sistemi passivi: scelta dell’equazione dell’uscita (enunciato e dimostrazione), esempi, feedback passivation, esempio di un manipolatore robotico. Sistemi in cascata: teorema e dimostrazione. Sistema in cascata: osservabilit`a nello stato zero soltanto del sistema pilota: teorema e dimostrazione. Esempi. Riferimenti: H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall, Cap.14 5) Casi di studio. Convertitori di potenza di tipo boost: introduzione. Modello del convertitore boost. Trasformazione di coordinate. Dinamica zero: sistema a fase non minima. Controllo della tensione di uscita del convertitore boost: superficie di sliding, condizioni di esistenza dello sliding mode e legge di controllo. Calcolo del regime permanente corrispondente allo sliding mode. Calcolo di kη che garantisce errore di regime nullo. Osservatore per la stima di ∆R. Cenni al controllo della velocit`a di una turbina eolica. Riferimenti: Dispense a cura del docente, disponibili nel sito: http://www.dii.univpm.it/C51314/ 2 III BIBLIOGRAFIA • H. K. Khalil: Nonlinear Systems - Third Edition, Prentice Hall. • A. Isidori: Nonlinear Control Systems - Third Edition, Springer. • J.J. E. Slotine, W. Li: Applied Nonlinear Control, Prentice Hall. • V.I. Utkin: Sliding Modes in Control and Optimization, Springer-Verlag. 3
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