Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 1 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (1, −1), (2, 1), (3, 3) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (3/2). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 5x+3x3 +1+4x2 . (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: x + y = 0, 3x + y = 1, (4 punti) 3x + y = 3. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (A, B, C); y = x · x + 69z, variabili: (x, z). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con −1 ≤ α < 0, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto) R1 3. Ponendo −α = 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x4 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula di Simpson ha ordine polinomiale pari a 2 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti ) 1 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 1 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 2 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (0, −2), (1, 1), (2, 4) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (2/3). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 5x2 + 3x + x3 + 4. (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: x + y = 1, (4 punti) x − y = 3, 2x + y = 0. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (A, B, C); y = x1 + 69z, variabili: (x, z). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di −α la formula trovata `e chiusa. (1 punto) R1 3. Ponendo α = 31 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x6 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula dei Trapezi ha ordine polinomiale pari a 1 e ordine di precisione pari a 1. (2 punti ) 2 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 2 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 3 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (1, 1), (3, −1), (5, −3) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (2). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = −2x2 +3x+4x3 + 2. (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: 2x + 3y = 0, (4 punti) x + 2y = 1, x + 2y = 0. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili indicate: y = Ax2 + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (x, B, C); y = A ln x + 69z, variabili: (z, A). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di α la formula trovata `e chiusa. (1 punto) R1 3. Ponendo α = 1, utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x4 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula di Newton (Regola dei 3/8) ha ordine polinomiale pari a 3 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti ) 3 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 3 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 4 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (−2, 1), (0, 3), (2, 5) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (−3). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 7x2 + x3 + 19 − x. (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: x + 3y = −1, (4 punti) 5x + 3y = 2, x + y = 0. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C 2 , variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (A, B, C); y = 5x + 69z, variabili: (x, z). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con −1 ≤ α < 0, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto) R1 3. Ponendo α = − 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x6 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula delle parabole ha ordine polinomiale pari a 2 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti ) 4 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 4 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 5 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (1, −1), (3, 3), (2, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (5/2). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 3x+1+5x3 +4x2 . (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: 3x + y = 1, (4 punti) x + y = 0, 3x + y = 3. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx + C, variabili: (x, B); y = 5x + 69z · z, variabili: (x, z). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con −1 ≤ α < 0, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto) R1 3. Ponendo α = − 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x3 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula di Simpson ha ordine polinomiale pari a 2 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti ) 5 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 5 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 6 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (0, −2), (2, 4), (1, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (4/3). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 5x2 − 3x + x3 − 4. (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: x − y = 3, (4 punti) x + y = 1, 2x + y = 0. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, B); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (A, B, C); y = x1 + 69z, variabili: (x, z). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto) R1 3. Ponendo α = 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x6 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula del Trapezio ha ordine polinomiale pari a 1 e ordine di precisione pari a 1. (2 punti ) 6 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 6 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 7 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (2, 5), (0, 3), (−2, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (1). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 7x2 −x3 −19+2x. (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: 5x + 3y = 2, x + 3y = −1, (4 punti) x + y = 0. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (A, B, C); y = 5x−1 + 69z, variabili: (x, z). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di −α la formula trovata non `e aperta. (1 punto) R1 3. Ponendo α = 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x3 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula Newton (Regola dei 3/8) ha ordine polinomiale pari a 3 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti ) 7 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 7 Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica 6 Maggio 2014 (2 ore) 8 Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ). 1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi (5, −3), (3, −1), (1, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (4). (6 punti ) 2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 2x+3x2 +4x3 +2. (1 punto) 3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti ) Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ). 1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle equazioni normali: x + 2y = 0, 2x + 3y = 0, (4 punti) x + 2y = 1. 2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni matriciali. (2 punti ) 3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto) 4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta. (2 punti ) 5. In quale dei seguenti casi il modello in esame `e lineare nelle variabili indicate: y = Ax2 + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili: (x, B, C); y = A ln x + 69z, variabili: (z, x). (1 punto) Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ). 1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti ) 2. Dire per quale valore di −α la formula trovata `e chiusa. (1 punto) R1 3. Ponendo α = 1, utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x5 dx e calcolare l’errore commesso. (3 punti ) 4. Spiegare perch´e la formula di Simpson ha ordine polinomiale pari a 2 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti ) 8 non ` e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni. 8
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