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06.05.2014 - Dipartimento di Matematica e Informatica

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Corso di Laurea Triennale in: Informatica / Matematica
Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica
6 Maggio 2014 (2 ore) 1
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(1, −1), (2, 1), (3, 3) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (3/2). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 5x+3x3 +1+4x2 .
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

x + y = 0,

3x + y = 1, (4 punti)


3x + y = 3.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili
indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(A, B, C); y = x · x + 69z, variabili: (x, z). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con −1 ≤ α < 0, costruire una formula
di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica
funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto)
R1
3. Ponendo −α = 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x4 dx
e calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula di Simpson ha ordine polinomiale pari a 2 e
ordine di precisione pari a 3. (2 punti )
1 non
`
e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
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Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica
6 Maggio 2014 (2 ore) 2
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(0, −2), (1, 1), (2, 4) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (2/3). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 5x2 + 3x + x3 + 4.
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

x + y = 1,

(4 punti)
x − y = 3,


2x + y = 0.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili
indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(A, B, C); y = x1 + 69z, variabili: (x, z). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di
quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di −α la formula trovata `e chiusa. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = 31 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x6 dx
e calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula dei Trapezi ha ordine polinomiale pari a 1 e
ordine di precisione pari a 1. (2 punti )
2 non
`
e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
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6 Maggio 2014 (2 ore) 3
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(1, 1), (3, −1), (5, −3) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (2). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = −2x2 +3x+4x3 +
2. (1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

2x + 3y = 0,

(4 punti)
x + 2y = 1,


x + 2y = 0.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili
indicate: y = Ax2 + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(x, B, C); y = A ln x + 69z, variabili: (z, A). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di
quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di α la formula trovata `e chiusa. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = 1, utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x4 dx e
calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula di Newton (Regola dei 3/8) ha ordine polinomiale pari a 3 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti )
3 non
`
e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
3
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Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica
6 Maggio 2014 (2 ore) 4
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(−2, 1), (0, 3), (2, 5) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (−3). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 7x2 + x3 + 19 − x.
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

x + 3y = −1,

(4 punti)
5x + 3y = 2,


x + y = 0.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili
indicate: y = AeB + C 2 , variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(A, B, C); y = 5x + 69z, variabili: (x, z). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con −1 ≤ α < 0, costruire una formula
di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica
funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = − 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x6 dx
e calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula delle parabole ha ordine polinomiale pari a 2
e ordine di precisione pari a 3. (2 punti )
4 non
`
e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
4
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Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica
6 Maggio 2014 (2 ore) 5
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(1, −1), (3, 3), (2, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (5/2). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 3x+1+5x3 +4x2 .
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

3x + y = 1,

(4 punti)
x + y = 0,


3x + y = 3.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx + C, variabili: (x, B);
y = 5x + 69z · z, variabili: (x, z). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con −1 ≤ α < 0, costruire una formula
di quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica
funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = − 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x3 dx
e calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula di Simpson ha ordine polinomiale pari a 2 e
ordine di precisione pari a 3. (2 punti )
5 non
`
e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
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Prova in itinere di: Calcolo Numerico / Analisi Numerica
6 Maggio 2014 (2 ore) 6
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(0, −2), (2, 4), (1, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (4/3). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 5x2 − 3x + x3 − 4.
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

x − y = 3,

(4 punti)
x + y = 1,


2x + y = 0.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame `e lineare nelle variabili indicate: y = AeB + C, variabili: (A, B); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(A, B, C); y = x1 + 69z, variabili: (x, z). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di
quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di α la formula trovata non `e aperta. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x6 dx
e calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula del Trapezio ha ordine polinomiale pari a 1 e
ordine di precisione pari a 1. (2 punti )
6 non
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e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
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6 Maggio 2014 (2 ore) 7
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(2, 5), (0, 3), (−2, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (1). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 7x2 −x3 −19+2x.
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

5x + 3y = 2,

x + 3y = −1, (4 punti)


x + y = 0.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame non `e lineare nelle variabili
indicate: y = AeB + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(A, B, C); y = 5x−1 + 69z, variabili: (x, z). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di
quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di −α la formula trovata non `e aperta. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = 21 , utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x3 dx
e calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula Newton (Regola dei 3/8) ha ordine polinomiale
pari a 3 e ordine di precisione pari a 3. (2 punti )
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e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
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6 Maggio 2014 (2 ore) 8
Esercizio 1. Interpolazione Polinomiale (10 punti ).
1. Costruire il polinomio di interpolazione della generica funzione f sui nodi
(5, −3), (3, −1), (1, 1) utilizzando le forme di Lagrange e di Newton. Utilizzare il polinomio ottenuto per approssimare il valore f (4). (6 punti )
2. Fattorizzare secondo Horner-Ruffini il polinomio P (x) = 2x+3x2 +4x3 +2.
(1 punto)
3. Dare la definizione di famiglia di polinomi ortogonali e spiegare perch´e
vengono utilizzati nell’interpolazione polinomiale. (3 punti )
Esercizio 2. Metodo dei Minimi Quadrati (10 punti ).
1. Risolvere il seguente sistema attraverso la costruzione del sistema delle
equazioni normali:

x + 2y = 0,

2x + 3y = 0, (4 punti)


x + 2y = 1.
2. Verificare la correttezza del procedimento seguito, utilizzando le relazioni
matriciali. (2 punti )
3. Dire se l’esercizio svolto rientra “nell’approssimazione di dati sperimentali” o “nella validazione di modelli”. (1 punto)
4. In quale caso il risultato dell’approssimazione ai minimi quadrati deve
coincidere con quello dell’interpolazione polinomiale, motivare la risposta.
(2 punti )
5. In quale dei seguenti casi il modello in esame `e lineare nelle variabili indicate: y = Ax2 + C, variabili: (A, C); y = Ax3 + Bx2 + C, variabili:
(x, B, C); y = A ln x + 69z, variabili: (z, x). (1 punto)
Esercizio 3. Integrazione Numerica (10 punti ).
1. Utilizzando i nodi (−α, 0, α), con 0 < α ≤ 1, costruire una formula di
quadratura elementare per l’integrazione approssimata della generica funzione f sull’intervallo [−1, 1]. (4 punti )
2. Dire per quale valore di −α la formula trovata `e chiusa. (1 punto)
R1
3. Ponendo α = 1, utilizzare la formula trovata per approssimare −1 x5 dx e
calcolare l’errore commesso. (3 punti )
4. Spiegare perch´e la formula di Simpson ha ordine polinomiale pari a 2 e
ordine di precisione pari a 3. (2 punti )
8 non
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e consentito l’uso di appunti/dispense. Non cambiare l’ordine di nodi/equazioni.
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