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Compito A

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Compito A
Esercizio 1.
Un mattone si trova a riposo sul pianale di un
autocarro a distanza l dalla fine del pianale.
g 1. Se il coefficiente di attrito statico tra il mattone
y e il pianale `e µS , calcolare l’accelerazione massima
amax che il camion pu`o avere affinch´e il mattone non
ℓ inizi a scivolare lungo il pianale.
a 2. Se l’accelerazione invece `e a = 1.5 amax e il coefficiente di attrito dinamico `e µD = 0.85 µs , si calcoli
l’intervallo di tempo tout che impiega il mattone a
raggiungere il bordo del pianale.
3.
Se al tempo t = 0 l’autocarro ha una velocit`a pari a v0 , e sapendo che l’altezza del
pianale dal suolo `e h, si scriva le legge oraria del moto del mattone nel sistema di riferimento
di un osservatore fermo ai bordi della strada nei due intervalli di tempo 0 < t < tout e
t > tout .
Dati: l = 3.4 m, µS = 0.14, v0 = 15 m/s, h = 50 cm.
Esercizio 2.
Un corpo di massa m1 `e appeso ad un filo inestensibile
di massa trascurabile collegato ad un corpo di massa m2
g
m2
attraverso un vincolo fisso di attrito trascurabile. Il corpo
m2 `e appoggiato su di un piano scabro di coefficiente di
attrito statico µS .
1.
Inizialmente la massa m1 viene fatta oscillare nel
piano verticale con ampiezza θ1 e il corpo di massa m2
rimane in quiete sulla superficie orizzontale. Si calcoli
la forza di attrito massima che agisce su m2 durante
m1
l’oscillazione.
2. In un secondo tempo il pendolo `e fatto oscillare con
ampiezza via via maggiore. Quando l’ampiezza raggiunge un valore θ2 , la massa m2 inizia a
muoversi. Calcolare il valore del coefficiente di attrito statico µS .
Dati: m1 = 0.50 Kg, m2 = 3.0 Kg, θ1 = 25◦ , θ2 = 40◦ .
Compito B
Esercizio 1.
Un mattone si trova a riposo sul pianale di un
autocarro a distanza d dalla fine del pianale.
g 1. Se il coefficiente di attrito statico tra il mattone
y e il pianale `e µS , calcolare l’accelerazione massima
amax che il camion pu`o avere affinch´e il mattone non
ℓ inizi a scivolare lungo il pianale.
a 2. Se l’accelerazione invece `e a = 1.5 amax e il coefficiente di attrito dinamico `e µD = 0.75 µs , si calcoli
l’intervallo di tempo tout che impiega il mattone a
raggiungere il bordo del pianale.
3.
Se al tempo t = 0 l’autocarro ha una velocit`a pari a v0 , e sapendo che l’altezza del
pianale dal suolo `e z, si scriva le legge oraria del moto del mattone nel sistema di riferimento
di un osservatore fermo ai bordi della strada nei due intervalli di tempo 0 < t < tout e
t > tout .
Dati: d = 4.0 m, µS = 0.20, v0 = 20 m/s, z = 50 cm.
Esercizio 2.
Un corpo di massa m `e appeso ad un filo inestensibile
di massa trascurabile collegato ad un corpo di massa M
g
M
attraverso un vincolo fisso di attrito trascurabile. Il corpo
M `e appoggiato su di un piano scabro di coefficiente di
attrito statico µS .
1.
Inizialmente la massa m viene fatta oscillare nel
piano verticale con ampiezza θ1 e il corpo di massa M
rimane in quiete sulla superficie orizzontale. Si calcoli
la forza di attrito massima che agisce su M durante
m
l’oscillazione.
2. In un secondo tempo il pendolo `e fatto oscillare con
ampiezza via via maggiore. Quando l’ampiezza raggiunge un valore θ2 , la massa M inizia a
muoversi. Calcolare il valore del coefficiente di attrito statico µS .
Dati: M = 3.5 Kg, m = 1.0 Kg, θ1 = 20◦ , θ2 = 35◦ .
Soluzioni
Esercizio 1.
1. Nel riferimento solidale coll’autocarro, lungo la direzione orizzontale
~ τ , e la forza di trascinamento f~T R =
agiscono la forza di attrito R
~ τ | ≤ µS mg si trova amax = µS g.
−ma xˆ. All’equilibrio, imponendo |R
[A: amax = 1.37 m/s2 , B: amax = 1.96 m/s2 ]
2. Nel riferimento dell’autocarro
x¨0 = (µD g − a)
x˙ 0 = (µD − a)t
x0 (t) = (µD − a)
da cui
s
x0 (tout ) = −l
=⇒
tout =
t2
2
2l
a − µD g
(1)
[A: tout = 2.76 s, B: tout = 2.33 s]
3. Nel sistema inerziale l’autocarro si muove con equazione oraria
t2
X(t) = a + v0 t
2
Y (t) = h
Per 0 < t < tout l’equazione oraria del mattone nel sistema inerziale `e
dunque:
t2
µD g + v 0 t
2
y(t) = y 0 (t) + Y (t) = h
x(t) = x0 (t) + X(t) =
Per t > tout il mattone descrive un moto parabolico
x(t) = vx (tout )(t − tout ) + x(tout )
(t − tout )2
y(t) = −g
+h
2
dove vx (tout ) = v0 + µD g tout , x(tout ) = v0 tout + µD g t2out /2. [A: x(tout ) =
45.8 m , vx (tout ) = 18.2 m. B: x(tout ) = 50.6 m , vx (tout) = 23.4 m]
1
Esercizio 2.
1. L’equazione della dinamica proiettata lungo la direzione radiale implica
che la tensione del filo `e pari a
T (t) = m1 g cos θ(t) + m1 lω 2 (t)
Usando la conservazione dell’energia, per oscillazioni di ampiezza θ1 si
ha:
2g
ω 2 (t) = (cos θ(t) − cos θ1 )
l
~ τ che agisce su m2 uguale e contraria alla
Essendo la forza di attrito R
tensione del filo, si ricava che il massimo valore di |Rτ | si ha per θ = 0:
~ τ (θ = 0)| = m1 g(3 − 2 cos θ1 )
|R
(2)
~ τ (θ = 0)| = 5.82 N; B: |R
~ τ (θ = 0)| = 11.0 N]
[A: |R
2. Il massimo valore che il modulo la forza di attrito pu`o assumere prima
che il corpo m2 si muova `e Rτmax = µS m2 g. Dunque
µS =
m1
(3 − 2 cos θ2 )
m2
[A: µS = 0.24; B: µS = 0.39.]
2
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