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Anno Accademico 2013 – 2014 – Ing. Aerospaziale Esa

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Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 - 17 Gennaio 2014
UNIVERSITA' DEGLI STUDI di ROMA "LA SAPIENZA"
Anno AccademicoDEGLI
2013 – 2014
– Ing. Aerospaziale
UNIVERSITA’
STUDI
DI ROMA “LA SAPIENZA”
Esercizio 1 (8 punti)
Esame
di
Fisica
II
(ord.
270,
9
CFU)
), esercizi
A1, A2,
A3,A.
A4,
domande
B1, B2 εr
Facolt`
a
di
Ingegneria
A.
2006
- 2007
Una lastra piana di dielettrico omogeneo, di costante εr , infinitaEsame di Elettromagnetismo (ord.
509,
6 CFU), esercizi A1,II
A2,
A3,18
domande
B1, B2, B3
diuna
Fisica
del
Dicembre
mente estesa nel vuoto e Esame
spessa d, su
faccia Generale
possiede una distriσ 2007
Prova scritta del 11 Luglio 2014
buzione superficiale uniforme di carica libera, di densit`a σ. Rispetto
x
al sistema di riferimento indicato, si calcoli l’espressione del poten1
0
d
ziale elettrostatico
V (x) in tutto lo spazio, assumendo V (d) = 0.
Un
modello
molto
semplificato
di
atomo
con
numero
atomico
Z
consiste
in
una
carica
Si tracci
anche unche
grafico
qualitativo
V (x). x con velocità v = 10^7 m/s è sottoposto, per elettrica ne
A1)
Un elettrone
si muove
lungo ladidirezione
0
tiva (−Ze), con e pari al modulo della carica dell’elettrone,
corrispondente all’insieme degli elettr
un tratto lungo d = 4 cm, ad un campo elettrico uniforme E0 = 10^4 V/m ortogonaleI alla sua
orbitanti, uniformemente distribuita all’interno di una sfera di raggio R, al cui centro `e posta u
velocità. Calcolare l’angolo che la direzione dell’elettrone forma con l’asse delle x dopo
carica
puntiforme
positiva
corrispondente
al nucleo. Ricavare l’espressione del campo elet
essere
dalla regione
in cui (+Ze),
è presente
il campo elettrico.
Esercizio
2uscito
(8 punti)
co in funzione della distanza r dal centro.
Un conduttore di resistivit`a ρ ha una forma di tronco di cono con
h
basi circolari di raggi, rispettivamente, a e b ed altezza h. Assu2
mendo una densit`a di corrente uniforme attraverso ogni sezione,
R2
Un generatore
di forza
elettromotrice fresistenza
e resistenza
inA2)
Un generatore
di di
forza
elettromotrice
calcolare
la resistenza
questo
conduttore fe emostrare
cheinterna
il risul-r è
r
terna ad
r `euncollegato
ad
un circuito
in figura.
Calcollegato
come
in conduttore
figura.come
Calcolare
in condizioni
tato si
riconduce
alla circuito
resistenza
di un
cilindrico
quando
a
colare in condizioni stazionarie la corrente che scorre
R1
a = b.stazionarie la corrente che scorre nel generatore e la potenza che
I
nel calcolare
generatore
la potenza
che eroga;
poeroga;
la epotenza
dissipata
in R1calcolare
ed R2 elal’energia
C2
C1
tenza dissipata
in R1 in
edciascuno
R2 e l’energia
elettrostatica
elettrostatica
immagazzinata
dei due condensatori.
f
µr
immagazzinata in ciascuno dei due condensatori.
Esercizio 3 (8 punti)
Un cavo coassiale lungo `e costituito da due conduttori cilindrici
3 di raggi a e b. Il conduttore centrale `e attraversato
concentrici
ha
I
Una spira
a e b corrente,
si muove con
da una corrente
I erigida
quellorettangolare
esterno da di
−Ilati
(stessa
verso
velocit`
a ⃗v costante
un piano `eche
contiene un materiale
filo retopposto).
spazio
frarappresentato
i dueinconduttori
A3)
Nel Locircuito
in riempito
figura, dii unraggi
delle
tilineo
indefinito
percorso
da
una
corrente
costante
I.
b
ferromagnetico
di costante
. Calcolare
l’energia
m
semicirconferenze
sonoµra=10
cm e b=15
cm. Semagnetica
la correnteUvale
Un
lato
della
spira
resti
parallelo
al
filo
e
la
distanza
al
d
0
immagazzinata
in un tratto
h deldi cavo.
Ricavare
poi l’induttanza
i=20A, calcolare
il campo
induzione
magnetica
nel centro O
v b
tempo
t
=
0
della
spira
dal
filo
sia
d
.
Trovare
la
f.e.m.
0
per unit`
a disemicirconferenze.
lunghezza del cavo.
delle
indotta nella spira.
I
Esercizio4 4 (8 punti)
Una
corrente
continua
I passando
in raggio
un solenoide
con N spire produce un flusso concatenato c
All’esterno
di un
solenoide
a sezione
circolare di
a, alimentato
A4)
All’esterno
di
un
solenoide
a
sezione
circolare
di
raggio
a, con
n
le
spire
pari
a
Φ.
Si
calcoli
la
forza
elettromotrice
media
nel solenoidenI(t)
se si interrompe
dalla densit`a di corrente quasi stazionaria nI(t) = nI0 sin (ωt),
`e indotta
spire
per
unità
lunghezza,
alimentato
dalla
corrente
corrente
in
unditempo
∆t, il valore
dell’induttanza
del solenoide
e l’energia immagazzinata nel
S cam
inserito
un
anello
coassiale
di dielettrico
omogeneo
di costante
εrquasi
,
r
stazionaria
I(t)
=
I
sin(ωt),
è
inserito
un
anello
coassiale
di
dielettrico
2
0
raggio r emagnetico
sezione Sprima
≪
πrdell’interruzione.
. Si calcoli l’espressione del vettore
di
2
a
Dare
i
valori
numerici
per
omogeneo
di
costante
ε
,
raggio
r
e
sezione
S≪πr
.
Si
calcoli
⃗
r
polarizzazione P nel dielettrico. Calcolare inoltre
la
corrente
di
−4
I =
2del
A;
N = 400
spire; Φ = 10nel
Wb;
∆t = 0.08 s
l’espressione
vettore
di
polarizzazione
dielettrico.
polarizzazione
ip (t)
presente
nell’anello.
5
εr
Un’onda elettromagnetica piana e monocromatica di frequenza ν = 10 MHz si propaga nel vu
nella direzione delle x positive. Essa `e polarizzata linearmente, con il campo elettrico lungo l’a
Rispondere
y,aiedseguenti
investequesiti:
una spira quadrata, di lato a = 1 cm e resistenza R = 100 Ω, posta sul piano xy.
Domanda
2
⃗ costante
ha di
un’intensit`
a media
I¯ = 2 W/m
, si calcoli
l’ampiezza
della
corrente
circolante nella spi
Descriverel’onda
il moto
una carica
q puntiforme
di massa
m e velocit
v⃗0 in un
campo
B
B1)
Ricavare
le condizioni
continuità
del campo elettrico alla superficie di separazione fra
trascurando
fenomeni
di autoinduzione.
nel tempo
ed uniforme
nellodispazio.
due mezzi con diverso valore della costante dielettrica.
B2)
Enunciare la seconda formula di Laplace e spiegarne l’origine.
B3)
Enunciare e ricavare l’equazione di continuità .
x
ay =
F
qE
=−
m
m
Soluzione: Il campo
imprime
che loelettrico
fa spostare
nellaall’elettrone
direzione y un’accelerazione
secondo la legge
Soluzioni
F
qE
1
a y = STUDI
=−
y = a y t 2”LA SAPIENZA”
UNIVERSITA’ DEGLI
m
m di ROMA
2
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
A1)
A. la
A.legge
2006 - 2007
che lo fa spostare
nellalungo
direzione
y xsecondo
mentre
l’asse
si muove
con moto uniforme
Esame
di
Fisica
Generale
II
- Soluzioni adel
18 Dicembre 2007
Il campo elettrico imprime all’elettrone un’accelerazione
y=F/m=−qE/m che lo fa spostare
Politecnico di Torino Fisica
1 II 2
= v0 t l’asse x si muove con moto
nella direzione CeTeM
y secondo la legge y = a y t mentre xlungo
2
Esercizio N. 1
!
Politecnico di Torino
Fisica
II
uniformeEliminando
x=v0t
Esercitazioni
Ze
Qint
la variabile t1dalle equazioni
si ottiene
⃗
ρ
=
−
r
≤
R
ρ
=
0
r
>
R
E
·
n
ˆ
dS
=
CeTeM
el
mentre lungo l’asseel x si muove
4
3 con moto uniforme
ϵ0
S
3 πR
1
Esercitazioni
qE 2
y
=
−
x
qEd
Eliminando
la
variabile
t
dalle
equazioni
si
ottiene
x
=
v
t
2
!
v y = 2a y y"=0 # r $3 %v x =2vmv
0 0
⃗ ·n
mv0
E
ˆ dS = 4πr 2 E
Qint = Ze 1 −
(r ≤ R)
Qint = 0 (r > R)
R
S
qEd
Eliminando
la variabile
t dalle
equazioni
si ottiene
v y = 2sono
ay y =
vx = v0
Le componenti
della
velocità
dell’elettrone
all’uscita delall’uscita
campo sono
Le componenti
della
velocità
dell’elettrone
del
campo
&
' la direzione dell’elettrone forma con l’assemv
da cui è possibile ricavare
l’angolo
che
x
0
1
r
⃗ = 0 (r > R)
⃗ = Ze
E
− 3 che
rˆ (r
qE≤ R)
2
2
da cui è possibile
ricavare
l’angolo
dell’elettroneEforma
con l’asse x
4πϵ0 r
R y = −la direzione
x
−da
v y cui
è 02possibile ricavare l’angolo che la direzione dell’elettrone
2qEx
mv
tan θ =
=
= −0.7 θ = −35°
mv02
© Politecnico di Torinov x
Pagina 3 di 6
− v y Alberto
qEx
Le componenti
della
velocità
dell’elettrone
all’uscita
del
campo
sono Giovanni
Autore:
DataN.ultima
revisione 30/06/00
Esercizio
2
tan
θ
=
=
= −Ummarino
0.7 θ = −35°
2
A2)
Esercizio 1.5
vx
mv0
In piano
condizioni
stazionarie,
nel poste
ramo contenente
R2 eqnei
condensatori
scorre dall’altra.
corrente.
Su un
orizzontale
sono
due cariche
addue
una
distanza non
2a l’una
La corrente I che scorre nel generatore
`
e
Esercizio
1.5
Determinare il punto appartenente all’asse
x (perpendicolare
alla congiungente delle due
© Politecnico
di
Torino
Pagina
3
di
6
cariche e passante per il suo puntoSumedio)
in fcui
il campo sono
elettrico
raggiunge
il valore
un piano
orizzontale
poste
due cariche
q ad una d
IAutore:
=
Giovanni
Alberto
Ummarino
Data
ultima revisione 30/06/00
massimo.
Determinare
il punto
appartenente all’asse x (perpendicolare al
R1 +
r
Esercizio 3
cariche e passante per il suo punto medio) in cui il campo el
e la
generatore `e la somma di quella dissipata su R1 e su r, cio`er
Lapotenza
densit`a W
di erogata
energiaqdal
magnetica
massimo.
2a
2
1 2 + R1µI02µ=
r (r
BH =
H 2 + R1 ) I = fqI.
umW== rI
2
x2
La potenza dissipata su R2 `e nulla e quella dissipata su 2a
R1 vale W1 =R1 I 2 . L’energia immagazDal
teorema
di
Ampere
per
H,
dentro
al
cavo
coassiale
(a < r < b)
inata nella capacit`a Cj q(j = 1, 2) `e
drx
!
IR1
1
Soluzione:
⃗ · d⃗ℓ = 2πrH
H
q
Uj = =CjIV 2 −→
con H
V =
=
f.
2πr
q
2
r + R1
E=k 2
E x = E1 cos θ
E = E1 sen θ
# $
"
"
" b y Soluzione:
a + x2
µ0 µr I 2 h
b
µ0 µr I 2 h b dr
Esercizio
N.
3
=
ln
Um = um dτ =x
um 2πrhdr q= · · · =
a
E=k 2
E4π
E y 4π
= E1 sen θ a
r
sen θA3)
=
cosθ =
x = E1 cos θ
a
Ad un
a +della
x 2 spira dal filo.a Il flusso concatenato sar`a:
x 2 istante
+ a 2 generico t, sia
x 2 +x(t)
a 2 la distanza
# $
a
!µx+a
!1x+a2
L
bx
0 µr
#x $ !
′
q
x
θ = −→
dx
µ0 Ib x + a
µ0 Ib= cosθ =
ln
Um =senLI
′
⃗
⃗
Ex = k 2
⋅
=
kq
2 = 2h
=a2 + a 2 ln
Φ 2 B 2=
B · 2⃗ndS 2= 3 / 22
Bbdx
2
4π
x
+
a
x
′
a +x
2π x
x
2π
x
a +x
S (a + x ) x
q
x
x
2
2
2
E x =xk2 +2a 2 2 2⋅
= kq
dEx Ma `e( ax(t)
+=
x 2d)03 / +
−vt,
3xsegue
a2 +
x2
allora:
a 2 +3 x( a +ax22 +−x32x 2 ) ( a 2 + x 2 ) 3 / 2
= kq
=
kq
2
2 3
2
dx
(a + x )
a +x )
# ($
d02 +3 /a2 + vt 2
2
2
2
2
2
Esercizio 4
⃗ = µ0(Ib
Φ
B
dE
a ln+ x ) − 3x a + x
x +a
x
dEx
a
d0 +
vt 2 3
= kq2π
= kq 2
( a 2 + x 2 − 3x 2 )
2
2 3
= 0 ⇒ a 2 − 2x 2 = 0
x=±
2
2
dx
(
a
+
x
)
(
a
+
x
)
dB 2# $
d
a
a
dx
A4) Faraday: E 2πr = − dΦπa2B
⃗dE −→ E = − [µ0 nI0 sin (ωt)] a = −µ0 nI0 ω cos ωt
dt
2r
2r
µ0 Iabv 2 dt 2 1
x
x=±
== 0 ⇒ a − 2 x = 0
f =−
dt dx
2π raggio
(d0 +r acon
+ vt)(d
vt) 2
Sia tˆ versore tangente alla circonferenza
di
verso0 +
antiorario,
Esercizi proposti
2
⃗ = −µ0 ε0 (εr − 1)nI0 ω a cos ωt tˆ.
P⃗ = ε0 χE
Esercizio 1.6
Esercizi proposti 2r
Un dipolo elettrico di momento∂P
p è posto
puntiforme
2
d a distanza a= 1 m da una2 acarica
S =Esercizio
(ε0 χE)S1.6
= µ0 ε0 (εr − 1)nI0 ω
S sin (ωt)
ip (t) =
-10
Q=+10
coulomb parallelamente
aldt
campo elettrico generato da quest’ultima.
∂t
2r
Un
dipolo
momento
posto a distanza
a= 1 m da u
Se sul dipolo agisce una forza di intensità
F= 1elettrico
newton,diquanto
valepil èmomento
di dipolo?
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