[26.05.14] Caratteristiche degli strumenti: considerazioni preliminari

Caratteristiche degli strumenti:
considerazioni preliminari
Argomenti:
¾ caratteristiche degli strumenti;
¾ modello dinamico di uno strumento;
¾ risposta ad un ingresso sinusoidale;
¾ distorsione d’ampiezza e fase;
¾ definizione della banda passante.
1
Introduzione
Abbiamo visto che uno strumento può essere rappresentato come un
sistema a più ingressi ed una singola uscita.
Ingressi: desiderato
di interferenza
di modifica
Uscita:
misura
di interferenza
desiderato
di modifica
STRUMENTO
misura
La completa caratterizzazione dello strumento prevede l’individuazione
sperimentale della sua funzione di trasferimento.
Misura=f(desiderato(t), interferenze(t), modifiche(t))
La misura è in genere dipendente, attraverso le sensibilità incrociate, a
molti ingressi diversi da quello desiderato. Particolare importanza
rivestono anche il tempo e la frequenza che, pur non essendo ingressi
del sistema ma piuttosto caratteristiche del segnale, possono alterare l’
uscita prevista dello strumento.
2
1
Caratteristiche degli strumenti
La trattazione delle caratteristiche degli strumenti è classicamente divisa in
due parti: statiche e dinamiche:
¾ le prime fanno riferimento al comportamento dell’uscita dello strumento
quando tutti gli ingressi sono assunti costanti.
costanti
Misura=f(misurando, interferenze, modifiche)
¾ le seconde fanno riferimento esclusivamente al solo ingresso
desiderato ed alla sua variabilità temporale.
Misura=f(misurando(tempo))
Le caratteristiche statiche sono complementari a quelle dinamiche. Queste
ultime diventano rilevanti solo quando le misure variano rapidamente nel
tempo.
Si noti che lo studio delle caratteristiche di uno strumento al variare della
frequenza dell’ingresso può essere assimilato allo studio di un segnale
tempo variante.
3
Strumento idealizzato
Definendo la calibrazione di un sensore abbiamo assunto la possibilità di
ricondurre lo strumento ad un modello:
¾ lineare a parametri variabili (retta di calibrazione);
¾ a più ingressi ed una singola uscita.
Lo strumento idealizzato semplifica la legge di funzionamento di uno
strumento reale:
Out = K ( InModif ) ⋅ InDes + H ( InInterf )
Out = K ⋅ InDes
Nel caso di ingressi tempo varianti, quindi scomponibili secondo Fourier nella
sovrapposizione di più sinusoidi, lo strumento per poter essere usato in
ambito sperimentale si deve comportare esattamente come nel caso statico.
Esso deve fornire una misura direttamente proporzionale al solo ingresso
desiderato senza che il coefficiente di calibrazione sia influenzato dalle
desiderato,
caratteristiche del segnale in ingresso (suo contenuto in frequenza).
Occorre stabilire per quale campo di frequenze la funzione di
trasferimento rimane una costante
E capire in quali condizioni le caratteristiche di calibrazione valgono
anche per misure dinamiche
4
2
Un problema dinamico
Allo scopo di chiarire la separazione tra caratteristiche statiche e
dinamiche nello studio degli strumenti prendiamo in considerazione
come esempio un voltmetro: anche se non rappresentativo di tutte le
casistiche possibili, ci permetterà di evidenziare diversi aspetti di rilievo.
N l caso di una ttensione
Nel
i
variante
i t nell ttempo è
necessario registrare le informazioni per analizzarle
successivamente. A tale scopo si sostituisce
l'indicatore con un pennino che traccia una curva su
di un nastro di carta, svolto a velocità uniforme
In linea teorica, basandoci sull’equazione di misura,
tutte le oscillazioni scritte dovrebbero essere dovute
ad una modifica della tensione in ingresso.
Quello che queste modulo si prefigge di fare è
capire se la precedente affermazione è vera, o
meglio, in che ambito si può ritenere tale.
Per rispondere non possiamo più considerare il galvanometro attraverso
la sola legge idealizzata per condizioni statiche ma dobbiamo vederlo
come un sistema dinamico.
5
Equilibrio dinamico
A determinare il movimento del pennino, dovuto alla variazione di
tensione, ci sono la reazione elastica, le forze di inerzia e quelle viscose.
L’equilibrio in presenza di forze dipendenti dal tempo è:
F_inerzia + F_viscose + F_elastiche = F_esterne
Per l'equipaggio mobile del galvanometro:
Jr&&(t ) + Cr&(t ) + Kr (t ) = M (t )
J , C , K = cost
Intuitivamente più i termini inerziale, J, e viscoso, C, sono piccoli rispetto a
quello statico, K, più la misura sembrerebbe ideale: seguirebbe cioè
direttamente l’andamento del carico esterno.
Lo smorzamento sembrerebbe quindi dover essere piccolo per evitare
isteresi e effetti non-lineari.
Il momento di inerzia dell'equipaggio mobile, asta che regge il pennino,
sembrerebbe dover essere minimo (es. corto); così facendo però si
ridurrebbe anche l’amplificazione e quindi la risoluzione.
Occorre gestire razionalmente il problema.
6
3
Equilibrio dinamico
Con un approccio formale del tutto generale si adotta la trasformata di
Fourier come strumento di indagine per l’analisi dinamica risolvendo il
problema in termini di risposta armonica.
&
J &&
r(t)+ C r(t)+
K r(t)= M(t)
FT
( -ω J + iωC + K ) r(ω) = M(ω)
2
Attenzione: a sinistra r=r(t),dominio del tempo, mentre a destra r=r(ω),
dominio della pulsazione o della frequenza (ω =2πf).
Come già visto l’operatore iω è l’operatore di derivazione nel dominio
delle frequenze.
L’analisi si semplifica passando da un problema differenziale ad un
sistema algebrico lineare a coefficienti complessi
complessi:
-1
r(ω)= ⎡⎣-ω2 J + iωC + K ⎤⎦ M(ω)
Per quanto già visto in merito alla scomposizione di un segnale in termini
di trasformata di Fourier la risposta ad un ingresso sinusoidale è un caso
particolare ma sufficiente per i nostri scopi.
7
Risposta ad un ingresso sinusoidale
L’esempio che stiamo discutendo è modellabile come un sistema
dinamico a un grado di libertà soggetto ad una forzante armonica di
periodo assegnato Tf , al quale corrisponde la pulsazione : ωf = 1/ Tf
Senza perdere di generalità, per utilizzare una rappresentazione del
problema a cui siamo maggiormente avvezzi
avvezzi, si preferisce mostrare un
caso lineare piuttosto che rotazionale.
Mx&& + Cx& + Kx = F cos(ωf t )
L'equazione di moto, in analogia, è:
La soluzione nel dominio
del tempo è:
x(t ) =
F / k (cos(ωf t − θ))
(1 − (ωf / ωs )2 )2 + (2ζ (ωf / ωs ))2
I parametri introdotti sono:
¾ pulsazione propria del sistema dinamico: ωs = 1 − ζ 2
(
¾ smorzamento: ζ = C /CCrit = C / 2 K M
¾ angolo di fase tra x e F :
θ = tan −1
)
K
M
[ rad / s ]
2ζ (ωf / ωs )
1 − (ωf / ωs )2
8
4
Risposta ad un ingresso sinusoidale
F
k
x(t ) =
1
cos(ωf t − θ)
2 2
(1 − (ωf / ωs ) ) + (2ζ (ωf / ωs ))2
Esaminando la struttura della risposta si osserva che:
¾ a causa del coseno è armonica con la stessa pulsazione della forzante;
¾l’ampiezza varia in funzione sia del rapporto tra la frequenza propria e
quella di eccitazione sia del valore di smorzamento.
Consideriamo solo i termini della risposta non dipendenti dal tempo ovvero
l'ampiezza della risposta:
⎛ω ⎞
= cost ⋅ f ⎜ f ⎟
⎝ ωs ⎠
(1 − (ωf / ωs ) ) + (2ζ (ωf / ωs ))
termine funzione della
termine funzione della caratteristica
caratteristica statica k
dinamica del sistema, ωs, e di quella della
del sistema (guadagno)
forzante, ωf : rapporto di frequenze
A=
F
k
1
2 2
2
9
Risposta di un sistema dinamico
Se si diagrammano la ampiezza e la fase della risposta si ottengono i
diagrammi di ampiezza e fase in frequenza.
Poiché si sta rappresentando una funzione di trasferimento (FRF), ovvero
un rapporto fra uscita ed ingresso nel dominio delle frequenze, è prassi
normalizzare ll’ampiezza
ampiezza della risposta rispetto al suo valore statico (valore a
frequenza nulla) pari a F/k.
Si ottiene un grafico dell’ampiezza con valore unitario a frequenza nulla (con
valore nullo a frequenza nulla se l’asse delle ordinate è espresso in dB).
1
180
0.00
0.00 0.05
0.05
0.4
0
10
0.7
1
2
5
100
Frequenza adimensionale
10
80
60
0
10
2.0
5
20
-1
-1
0.7
0.4
1.0
120
40
10
10
0.10
140
0.1
0.3
0.30
160
Ritardo
di F
Fase
Fase
Rapporto ampiezza risposta/
Ampiezza
atica
risposta
sta
10
0
10
Frequenza adimensionale
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Frequenza adimensionale
3
Frequenza adimensionale
3.5
4
10
5
Risposta di un sistema dinamico
1
10
0.00
0.05
0.1
0.3
Ampiezza
Per frequenze basse il rapporto delle ampiezze
si mantiene praticamente unitario (dB=0).
Al variare dello smorzamento la risposta lontano
dalla risonanza è essenzialmente invariante
finché si mantiene ζ<0.7 e ad una frequenza
sufficientemente
ffi i t
t minore
i
della
d ll risonanza.
i
0.4
0
10
0.7
1
2
5
10
-1
10
-1
0
10
10
Frequenza adimensionale
I sistemi reali sono sempre smorzati: la sovraelongazione massima della
risposta è per valori di frequenza leggermente inferiori a quella di
risonanza, in funzione dell’entità dello smorzamento stesso.
Per sistemi con smorzamento superiore a quello critico, ζ>1, la risposta
non presenta sovra-elongazione rispetto a quella statica.
La dinamica del sistema è un filtro che altera i rapporti di ampiezza (ma
anche di fase) tra i contenuti armonici dell’ingresso alle diverse frequenze:
¾ a frequenze sufficientemente inferiori a quella di risonanza l'ampiezza
rimane quella statica, F/k: assenza di effetti dinamici;
¾ a frequenze sufficientemente superiori a quella di risonanza l'ampiezza
decade rapidamente: l’ingresso è attenuato dalla dinamica dello
strumento che si comporta come un filtro passabasso del secondo ordine.
11
Risposta di un sistema dinamico
Dal diagramma di fase del sistema non smorzato, ζ=0, si può notare
come il ritardo della risposta si mantenga nullo sino alla risonanza, dove
ha una variazione di 180°, per rimanere costante a frequenze superiori.
180
Si mantiene invece il passaggio per
una fase di 90°
90 in corrispondenza
della risonanza.
0.00 0.05
0.30
160
0.10
140
Ritardo
di fase
Fase
La presenza di smorzamento modifica
l’andamento su tutto il campo di
frequenze: anche per valori di
smorzamento relativamente bassi la
risposta viene ritardata in maniera
significativa.
0.7
0.4
2.0
1.0
120
5
100
10
80
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Frequenza adimensionale
3
3.5
4
Il problema dello sfasamento del segnale letto, sebbene spesso non
critico nell’ambito sperimentale, diviene di importanza fondamentale nel
controllo in quanto si traduce in un ritardo temporale.
12
6
Distorsione
Come sappiamo dallo studio della trasformata di Fourier, ogni segnale
tempo variante può essere scomposto in una sommatoria, al limite infinita,
di componenti sinusoidali ciascuna con la propria ampiezza, fase e
frequenza.
g segnale
g
in ingresso
g
ad uno strumento p
può essere q
quindi interpretato
p
Ogni
come la sommatoria di sinusoidi, o toni.
Ogni sinusoide dello spettro d’ingresso viene modificata (possiamo usare
il termine filtrata) dalle proprietà dinamiche che caratterizzano il
trasduttore in corrispondenza di quelle frequenza (funzione di
trasferimento, FRF). Tale alterazione è in linea generale differente da
sinusoide a sinusoide e dipende proprio dalla sua frequenza.
Il segnale in uscita può essere anch’esso interpretato come composizione
di più sinusoidi: in particolare l’uscita
l uscita avrà un numero di toni pari a quello
del segnale d’ingresso, ciascuno con la stessa frequenza dell’ingresso
corrispondente ma con ampiezza e fase differente.
Il segnale temporale in uscita risulterà non essere una semplice scalatura
dell’ingresso: risulterà distorto quando il guadagno non è costante in
frequenza e la variazione di fase, se non nulla, non è proporzionale
alla frequenza.
13
Distorsione di ampiezza
Consideriamo un segnale, costituito da una armonica di base e due
armoniche superiori, in ingresso ad un sistema dinamico, strumento.
Esaminiamo come lo strumento altera ciascuna delle tre componenti e come
queste si ricompongono nell’uscita del sistema.
Ampiezza segnali
3
Segnale completo
Prima armonica
Seconda armonica
Terza armonica
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
60
80
100
120
Tempo
Essendo il fenomeno lineare analizziamo indipendentemente il contributo
delle tre componenti; al termine dell’analisi li sommeremo nell’uscita.
14
7
Distorsione di ampiezza
1
10
Per studiare la distorsione in ampiezza
consideriamo noti i diagrammi di risposta
in frequenza dello strumento e ricaviamo
da essi il valore del rapporto di ampiezza
per le tre frequenze che costituiscono il
segnale
segnale.
0.00
0.05
0.1
A
Ampiezza
0.3
0.4
0
10
0.7
1
2
5
Questi valori, che dipendono dallo
smorzamento del sistema, sono dei
coefficienti moltiplicativi dei diversi toni
componenti l’ingresso e sono differenti tra
di loro: nel tempo la risposta sarà data
dalla combinazione di curve sinusoidali
variamente amplificate ( curve tratteggiate
anziché continue)
continue).
10
-1
10
-1
0
10
10
Frequenza adimensionale
2
0.6
1.5
0.1
1
0.3
05
0.5
0
Un trasduttore, che abbia una caratteristica
assimilabile ad un sistema dinamico del
secondo ordine, altera un segnale
armonico in ingresso in funzione della
posizione di tale tono rispetto alla
frequenza di risonanza.
-0.5
-1
-1.5
-2
0
10
20
30
Tempo
40
50
60
15
Distorsione di ampiezza
Poiché il segnale è dato dalla somma delle tre risposte indipendenti
otterremo una risposta che ha una forma diversa dall'ingresso.
E’ questo effetto che prende il nome di distorsione.
4
Segnale Originale
Segnale distorto in ampiezza
3
2
risposta/k
Nella figura
g
sono confrontati il
segnale originale, blu, con quello in
uscita da un trasduttore la cui
frequenza di risonanza é troppo
bassa rispetto alla massima
frequenza contenuta nel segnale
d’ingresso, rosso.
Si nota chiaramente l’introduzione di
un errore sensibile.
1
0
-1
-2
-3
-4
0
10
20
30
40
50
60
La curva blu è caratterizzata da un guadagno costante sulle frequenze del
segnale di ingresso. La curva rossa presenta l’amplificazione del contenuto
a frequenza maggiore troppo prossimo alla risonanza, quindi in campo di
amplificazione dinamica.
Nell’impiego di uno strumento la distorsione in ampiezza deve essere
evitata.
16
8
Distorsione di fase
Dal punto di vista della fase lo strumento ideale dovrebbe avere smorzamento
nullo (errore di fase 0 sino alla risonanza) per evitare distorsione. Effetti
dissipativi sono però sempre presenti nei sistemi reali quindi un errore di fase è
inevitabile.
Sebbene alti valori di smorzamento portino a sfasamento, spesso gli strumenti
sono costruiti in modo tale da avere un ζ=0.7.
ζ=0 7
Tale scelta è dettata da
considerazioni relative alla banda di
frequenza in cui il rapporto fra uscita
ed ingresso rimane costante.
Guardando i diagrammi delle
ampiezze si nota che il rapporto tra le
ampiezze rimane pari a k per un
intervallo di frequenze maggiori se si
ha circa ζ=0.7.
1.2
1
0.8
0.6
Ampiezza normalizzata
0.4
0.2
-2
10
-1
0
10
10
0
-20
-40
-60
Fase
-80
-100
-2
10
-1
0
10
10
17
Distorsione di fase
Analizziamo analiticamente l’effetto di un caso particolare, ritardo
lineare, su di un segnale composto da due sinusoidi; per semplicità
assumiamo fase iniziale nulla per entrambe:
u(t) = sin(ω1t) + sin(ω2 t)
Nel caso di ritardo lineare, nell’uscita si ha uno
ritardo delle due componenti proporzionale alla
frequenza:
u(t)
G =1
y(t))
y(
θ = kω
θi = k ωi
y(t) = sin(ω1t + θ1 ) + sin(ω2 t + θ2 ) =
sin(ω1t + kω1 ) + sin(ω2 t + kω2 ) =
sin ( ω1 ( t + k ) ) + sin ( ω2 ( t + k ) ) = sin ( ω1 t ) + sin ( ω2 t )
L’effetto è solo di una ridefinizione dell’origine del tempo, ma il rapporto
temporale tra le componenti rimane inalterato.
La distorsione di fase può essere quindi evitata non solo se lo strumento
produce una distorsione nulla ma anche se ne origina una lineare. 19
9
Distorsione di fase
Un errore di fase lineare ritarda di un angolo proporzionale alla frequenza
tutti i contenuti armonici. Tale sfasamento angolare si traduce in un ritardo
temporale uguale per tutte le componenti mantenendo quindi inalterata la
forma del segnale.
Il segnale
l è solo
l ttraslato
l t sull’asse
ll’
d
deii ttempi.i
Per leggi di sfasamento diverse si ha una distorsione nel tempo
significativa, pur in presenza di contenuti armonici equivalenti in
ampiezza.
Nell’impiego di uno strumento deve essere evitata anche la
distorsione di fase.
20
Distorsione di fase
Si ha un’alterazione della fase pressoché lineare con smorzamenti
prossimi a ζ=0.7, nella banda di frequenze 0 – frequenza di risonanza
180
0.00
0.05
0.30
160
0.10
Ritardo
di fase
Fase
140
0.7
0.4
2.0
1.0
120
5
100
10
80
60
40
Curva di fase per smorzamento 0.7
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Frequenza adimensionale
3
3.5
4
22
10
Strumento come sistema dinamico
Uno strumento, per poter essere ritenuto idoneo ad un’applicazione dinamica,
deve avere in tutto l’intervallo di frequenze di interesse un comportamento che
non risente degli effetti dinamici ovvero avere guadagno costante.
Per un sistema del secondo ordine come quello analizzato ciò si realizza in un
inter allo di freq
intervallo
frequenze
en e a partire dalla nulla
n lla fino ad una
na frazione
fra ione della
frequenza di risonanza, dipendente dallo smorzamento, detta banda
passante.
In questa banda la risposta in frequenza è costante e la fase è o nulla o lineare
(per altri trasduttori ciò può essere diverso).
Per smorzamenti elevati (fase lineare) la frazione utile della frequenza propria è
relativamente elevata (20-30%), per smorzamenti bassi è ridotta (10%), campo
per il quale l’errore di fase è quasi nullo.
1.2
Ritardo di fase
80
80
1
60
60
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
10
40
40
Ampiezza
normalizzata
20
20
-1
10
0
10
0
0
0
0
0.5
1
23
Strumento come sistema dinamico
¾ Se si riesce ad evitare qualsiasi tipo di distorsione per una certo
intervallo di frequenze potremo affermare che, limitatamente a tale
intervallo, che è poi la banda passante, lo strumento ha un
comportamento statico ovvero nessun effetto dinamico.
¾ La caratterizzazione dinamica consente di individuare il campo di
frequenze in cui si opera in maniera statica: cioè in assenza di effetti
dinamici nell’uscita dovuti allo strumento.
¾ La conoscenza della banda passante consente di definire i limiti di
utilizzo dello strumento per i quali è valido il modello metrologico
che può essere identificato con la calibrazione.
¾ La banda passante dello strumento isolato può non essere
g
in relazione ad una specifica
p
applicazione:
pp
occorrerà
significativa
prestare attenzione tutte le volte che l’inserimento dello
strumento/trasduttore può modificarne il comportamento dinamico
dell’oggetto investigato (intrusività).
25
11
Considerazioni
Si sottolinea che:
¾ la definizione di comportamento statico non fa riferimento all’assenza
di un contenuto in frequenza nel problema ma all’assenza di distorsioni
dovute alla dinamica interna dello strumento;
¾ il legame tra ingresso ed uscita è la funzione di trasferimento dello
strumento. Uno strumento (un sistema) esibisce un comportamento
statico, o ideale, in quella parte della funzione di trasferimento in cui
risulta costante indipendentemente dal contenuto in frequenza
dell’ingresso, quindi:
u(t)=k i(t)
quasi ideale in
Alcuni traduttori ammettono naturalmente un modello q
tutta la banda di frequenza operativa mentre per altri vale solo in una
limitata banda di frequenze.
¾ Al di là degli effetti dovuti alla frequenza del segnale il legame è
puramente proporzionale ovvero non risente dell’entità dell’ingresso.
26
Considerazioni
Gli elementi che concorrono alla determinazione delle caratteristiche
statiche (ad esempio attriti, isteresi ed in generale le non linearità, ma
anche le tecniche di manipolazione, quali quelle statistiche) sono
incompatibili sia con lo studio delle equazioni differenziali, modello dello
strumento, che con una caratterizzazione sperimentale di tipo dinamico.
Tali elementi vengono quindi trascurati nella caratterizzazione dinamica, i
due ambiti vengono valutati separatamente.
Le caratteristiche statiche definiscono la qualità della misura e sono alla
base anche delle applicazioni dinamiche.
Se le caratteristiche statiche si mantengono inalterate per un intervallo di
frequenze lo strumento avrà una banda passante e potrà essere
utilizzato per acquisire segnali dinamici mantenendo la qualità statica
statica.
27
12
Da ricordare
Necessità di individuazione di un campo di frequenza utile per impiego
metrologico.
Necessità della definizione di modelli dinamici in base ai quali prevedere
la banda passante utile di uno strumento
strumento.
Definiti i concetti di distorsione in ampiezza e fase.
Definiti alcuni concetti generali in base ai quali lavorare per la definizione
della banda passante.
28
Domande?
29
13

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