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6_MCD e mcm - Salesiani Bra

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M.C.D. e m.c.m.
Def:
si dice massimo comun divisore di due o più numeri (M.C.D.) il maggiore dei loro
divisori comuni.
Es:
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
divisori di 18
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } divisori di 24
D(18, 24) = { 1, 2, 3, 6}
Massimo divisore comune:
divisori in comune a 18 e 24
M.C.D. (18, 24) = 6
REGOLA
Per calcolare l’M.C.D. di due o più numeri, con il metodo della scomposizione in
fattori primi:
1) si scompongono in fattori primi i numeri dati;
2) si moltiplicano fra loro i fattori primi in comune, ciascuno preso una sola volta
con l’esponente più piccolo.
Esempio:
Calcolare l’M.C.D. (540, 840, 1188)
1
540 2 2 33 5
840 23 3 5 7
2
si evidenziano i fattori in comune
3
1188 2 3 11
Si scelgono quelli con l’esponente più piccolo:
22 e 3
e si moltiplicano
tra loro
MCD(540 ,840 ,1188 )
22 3 4 3 12
Def:
due o più numeri si dicono PRIMI FRA LORO o COPRIMI se hanno MCD = 1,
ovvero se NON hanno divisori comuni.
Es:
9 32
14 2 7
 non hanno numeri primi in comune  MCD(9, 14) = 1
Osservazioni:
 Due o più numeri primi sono primi fra loro
Es:
3 1 3
7 1 7
 l’unico fattore in comune è 1 
MCD(3, 7) = 1
 Due o più numeri primi fra loro non sono necessariamente primi
Es:
8 23
15 3 5
 8 non è primo, 15 non è primo 
MCD(8, 15) = 1
2
Def:
si dice minimo comune multiplo di due o più numeri (m.c.m.) il minimo dei loro
multipli comuni (il più piccolo).
Es:
Calcolare l’ m.c.m. tra 6 e 8.
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, …} multipli di 6
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ….}
multipli di 8
M(6, 8) = {24, 48, 72, …..} multipli in comune di 6 e di 8
 m.c.m.
(6, 8) = 24
il più piccolo multiplo in comune
REGOLA:
per calcolare l’m.c.m di due o più numeri con il metodo della scomposizione in
fattori primi:
1. si scompongono i numeri dati in fattori primi;
2. si moltiplicano fra loro tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ciascuno
preso una sola volta con l’esponente più grande.
Es:
Calcolare m.c.m.(540, 840, 1188).
1. Scomponiamo i numeri in fattori primi
540 2 2 33 5
840 2 3 3 5 7
2
3
si prendono TUTTI i fattori solo una volta
1188 2 3 11
3
2. Prendiamo tutti i fattori, se ce ne sono di uguali si scelgono quelli con
l’esponente più grande
m.c.m.(540 ,840 ,1188 )
23 33 5 7 11 8 27 5 7 11 83'160
PROBLEMI CHE SI RISOLVONO CON M.C.D. E m.c.m.
1. Se si devono dividere le grandezze date in PARTI UGUALI, che siano le
maggiori possibili, si deve trovare il loro M.C.D.
2. Se si hanno avvenimenti periodici e si vuole sapere quando capiteranno
insieme, si deve trovare il loro m.c.m.
Es. 129 pag. 249.
R = 180
G = 150
B = 120
numero di mazzi uguali = ?
quante rose uguali ci sono in ogni mazzo = ?
Numero mazzi uguali = M.C.D. (180, 150, 120) =
180 =
150 =
120 =
Rose rosse in ogni mazzo =
Rose gialle in ogni mazzo =
Rose bianche in ogni mazzo =
Rose in totale in ogni mazzo = R + G + B = 6 + 5 + 4 = 15
4
Es. 134 pag. 250
P=6s
S=8s
T = 15 s
m.c.m. (6, 8, 15) =
dopo quanti s si accendono insieme = ?
=2m
6=
8=
15 =
5
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