massimo comun divisore e algoritmo di Euclide

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Esercizi di EML (con soluzioni),
C.S. in Informatica, a.a.2014-2015.
Algoritmo euclideo
Es. 1. Trovare le cifre del proprio anno di nascita in base 2 , in base 8 e in base 16 (in quest’ultimo
caso usare A, B, C, D, E, F per indicare le cifre esadecimali 10, 11, 12, 13, 14, 15 ).
Es. 2. Dati i numeri in base esadecimale 10, 16 e C0DE, scriverli in base 10 e in base 8.
Es. 3. Scrivere l’identit`
a di Bezout per 1876 e 365 .
Es. 4. Usando l’algoritmo euclideo trovare d = MCD(241133, 159477) e due interi s e t tali che
d = 241133 s + 159477 t .
Es. 5. Esistono x, y ∈ Z tali che 10 = 3752 x + 730 y ? e tali che 3752 x + 730 y = 25 ?
Es. 6. Determinare tutte le soluzione intere dell’equazione 18 x + 84 y = 42 .
Es. 7. Determinare tutte le soluzione intere dell’equazione 40 x − 18 y = 8 .
Es. 8. Quali sono i fattori primi di n = 6469693230 . Calcolare il MCD tra n e il numero d ottenuto
giustapponendo il proprio anno mese e giorno di nascita (es. 3 feb 1986 7→ 19860203).
Es. 9. Siano a, b, c ∈ Z∗ . Provare che MCD(a, MCD(b, c)) = MCD(MCD(a, b), c) .
Es. 10. Siano a, b, c numeri naturali non nulli e sia d = MCD(a, b) . Provare o confutare le seguenti
affermazioni:
1.
d | a−d e d | b−d.
2.
d = M CD(a − d, b − d) .
3. Se c è primo con a ma non con b , allora MCD(ac, b) = c d .
4. Se a e b sono primi tra loro, allora MCD(ac, bc) = c .
5. Se a + b è dispari, allora MCD(a + b, a − b) = d .
6. Se a è primo e d 6= 1 allora a divide b .
7. Se MCD(a, c) = d , allora c divide b oppure b divide c .
2
Soluzione di alcuni esercizi
Soluzione di alcuni esercizi
Es. 2 Si ha:
(10)16 = (16)10 = (20)8 ,
(16)16 = (22)10 = (26)8 ,
(C0DE)16 = (49374)10 = (140336)8 .
J
Es. 3 I metodo (Divisioni euclidee e successive riscritture.
1876 = 365 · 5 + 51
51 = 1876 − 365 · 5
365 = 51 · 7 + 8
8 = 365 − 51 · 7
51 = 8 · 6 + 3
3 = 51 − 8 · 6
8=3·2+2
2=8−3·2
3=2·1+1
1=3−2·1
e quindi con sostituzioni successive
1=3−2·1
= 3 − (8 − 3 · 2) = 8 · (−1) + 3 · 3
= 8 · (−1) + 3 · (51 − 8 · 6) = 51 · (3) + 8 · (−19)
= 51 · (3) + (365 − 51 · 7) · (−19) = 365 · (−19) + 51 · 136
= 365 · (−19) + (1876 − 365 · 5) · 136 = 1876 · 136 + 365 · (−699)
Quindi MCD(1876, 365) = 1 = 1876 · 136 + 365 · (−699) .
II metodo (Calcolo simultaneo del MCD e dell’identit`
a di Bezout).
i
inizializzazione
iterazione
ri−2 = ri−1 qi + ri
qi
si
ti
−1
a = 1876
1
0
0
b = 365
0
1
1
1876 = 365 · 5 + 51
5
1
−5
2
365 = 51 · 7 + 8
7
−7
36
3
51 = 8 · 6 + 3
6
43
−221
4
8=3·2+2
2
−93
478
5
3=2·1+1
1
136
−699
quindi
MCD(1876, 365) = 1 = 1876 · 136 + 365 · (−699) .
Oss. Nella fase di iterazione, al resto ri , calcolato al passo i con la divisione ri−2 = ri−1 qi + ri , si associa la
coppia (si , ti ) = (si−2 , ti−2 ) − qi (si−1 , ti−1 ) , quindi ad ogni passo si ha : ri = asi + bti e pertanto la coppia
(sn , tn ) corrispondente all’ultimo resto non nullo rn soddisfa l’identit`
a di Bezout.
J
3
Soluzione di alcuni esercizi
Es. 4
(s−1 , t−1 )
=
(1, 0)
(s0 , t0 )
=
(0, 1)
241133
=
159477
×
1
+
81656
(s1 , t1 )
=
(1, 0) − 1 · (0, 1) = (1, −1)
159477
=
81656
×
1
+
77821
(s2 , t2 )
=
(0, 1) − 1 · (1, −1) = (−1, 2)
81656
=
77821 ×
1
+
3835
(s3 , t3 )
=
(1, −1) − 1 · (−1, 2) = (2, −3)
77821
=
3835 ×
20
+
1121
(s4 , t4 )
=
(−1, 2) − 20 · (2, −3) = (−41, 62)
3835
=
1121
×
3
+
472
(s5 , t5 )
=
(2, −3) − 3 · (−41, 62) = (125, −189)
1121
=
472
×
2
+
177
(s6 , t6 )
=
(−41, 62) − 2 · (125, −189) = (−291, 440)
472
=
177 ×
2
+
118
(s7 , t7 )
=
(125, −189) − 2 · (−291, 440) = (707, −1069)
177
=
118 ×
1
+
59
(s8 , t8 )
=
(−291, 440) − 1 · (707, −1069) = (−998, 1509)
118
=
59 ×
2
Quindi MCD(241133, 159477) = 59 e 59 = 241133 · (−998) + 159477 · (1509) .
J
Es. 6 L’equazione ha soluzioni se e solo se MCD(18, 84) divide 30 ; in tal caso possiamo trovare una
particolare soluzione con l’algoritmo euclideo e sommando a questa la soluzione generale dell’equazione
omogenea associata otteniamo la soluzione generale dell’equazione data.
Si ha
84 = 18 · 4 + 12
18 = 12 · 1 + 6
12 = 6 · 2
quindi MCD(18, 84) = 6 divide 42 quindi
l’equazione ha soluzioni.
L’identit`
a di Bezout è :
6 = 18 − 12 = 18 − (84 − 18 · 4) = 18 · (5) + 84 · (−1)
Poiché 42/ MCD(18, 84) = 7 , una soluzione particolare è quindi x = 7 · 5 = 35 e y = 7 · (−1) = −7 .
L’equazione omogenea associata è 18x + 84y = 0 ; dividiamo coefficienti per il loro MCD , cos`ı da avere
coefficienti primi tra loro, si ottiene 3x + 14y = 0 cioè 3x = −14y ; ora 14 divide 3x , 14 è primo con
3 , ne segue che x = 14t e y = −3t con t ∈ Z .
Le soluzioni dell’equazione sono
x = 35 + 14t,
y = −7 − 3t
(t ∈ Z)
J
Es. 8 6469693230 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 .
J
Es. 9 Poniamo d = MCD(a, MCD(b, c)) e d0 = MCD(MCD(a, b), c) . Allora, per definizione di MCD
si ha: (1) d | a e d | MCD(b, c) e quindi (2) d | b e (3) d | c ; dalla (1) e (2) segue che d divide
MCD(a, b) e siccome divide anche c si ha che d divide MCD(MCD(a, b), c) = d0 .
In modo analogo si prova che d0 divide d e, poiché possiamo assumere che d e d0 siano positivi, ne
segue che d = d0 .
Es. 10
1) V;
J
2) F;
3) F;
4) V;
5) V;
6) V;
7) F.
J

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