In(finito)
1. Introduzione
Bruno Codenotti
1
Introduzione
2
Corrispondenze biunivoche
3
Infiniti infiniti
Introduzione – Prima Parte
Matematica, realt`a, infinito
Introduzione – Prima Parte
Matematica, realt`a, infinito
Anticipazioni su Cantor
Introduzione – Prima Parte
Matematica, realt`a, infinito
Anticipazioni su Cantor
L’infinito nella letteratura: esempi
Introduzione – Prima Parte
Matematica, realt`a, infinito
Anticipazioni su Cantor
L’infinito nella letteratura: esempi
L’esperienza dell’infinito
Matematica, realt`a, infinito
Come `e possibile che la matematica, un prodotto della
mente umana, si accordi tanto bene agli oggetti della
realt`a fisica?
Matematica, realt`a, infinito
Come `e possibile che la matematica, un prodotto della
mente umana, si accordi tanto bene agli oggetti della
realt`a fisica?
Qual `e il mistero della irragionevole corrispondenza tra
speculazione matematica e realt`a fisica?
Matematica, realt`a, infinito
Come `e possibile che la matematica, un prodotto della
mente umana, si accordi tanto bene agli oggetti della
realt`a fisica?
Qual `e il mistero della irragionevole corrispondenza tra
speculazione matematica e realt`a fisica?
Il fisico inglese James Jeans (1877-1946) afferm`o:
Sembra che l’universo sia stato progettato da un
matematico puro.
Perch´e l’infinito in matematica?
Il matematico si accorge che per riuscire a trattare alcuni problemi pratici occorre immergerli in un quadro ideale molto vasto.
Un semplice esempio ci viene dall’aritmetica: nessun calcolo
numerico utilizzer`a numeri con un milione di cifre; tuttavia
`e impossibile fare una teoria dell’aritmetica semplice, pratica
e coerente in cui non vale il teorema esistono infiniti numeri
primi.
(Ennio De Giorgi, Dizionario interdisciplinare scienza fede , vol
I, pp. 843 - 844)
Perch´e l’infinito in matematica?
La matematica `e costretta a immergere la realt`a finita e visibile
in un quadro infinito sempre pi`
u esteso; l’ordine delle cose pu`o
essere concepito solo come un intreccio di relazioni tra enti
materiali ed ideali che nel loro complesso formano una rete
infinita.
(Ennio De Giorgi, Dizionario interdisciplinare scienza fede , vol
I, pp. 843 - 844)
Matematica, realt`a, infinito
Ogni audacia spirituale poggia oggi sulle scienze esatte. Noi
non impariamo da Goethe, Hebbel, H¨
olderlin, bens`ı da Mach,
Lorentz, Einstein, Minkowski, da Couturat, Russell, Peano.
(Robert Musil, 1912)
Matematica, realt`a, infinito
Ogni audacia spirituale poggia oggi sulle scienze esatte. Noi
non impariamo da Goethe, Hebbel, H¨
olderlin, bens`ı da Mach,
Lorentz, Einstein, Minkowski, da Couturat, Russell, Peano.
(Robert Musil, 1912)
La matematica `e un’ostentazione di audacia della pura ratio;
uno dei pochi lussi oggi ancora possibili. [...] La matematica
abbraccia alcune delle avventure pi`
u appassionanti e incisive
dell’esistenza umana.
(Robert Musil, L’uomo matematico, 1913)
Matematica, realt`a, infinito
Le affermazioni di Musil trovano giustificazione
negli straordinari sviluppi della matematica
dalla seconda met`a del diciannovesimo secolo
alla prima met`a del ventesimo:
Nuove teorie e scoperte hanno portato a concetti che sembrano contraddire il senso comune...
Un’anticipazione sul protagonista
George Cantor (1845 - 1918) nacque a San Pietroburgo da
una famiglia ebraica convertita al cristianesimo. Dal 1856 in
poi visse in Germania.
Un’anticipazione sul protagonista
George Cantor (1845 - 1918) nacque a San Pietroburgo da
una famiglia ebraica convertita al cristianesimo. Dal 1856 in
poi visse in Germania.
Tra il 1867 e il 1887 cre`
o la teoria degli insiemi, che `e il
fondamento dell’intera matematica.
Un’anticipazione sul protagonista
George Cantor (1845 - 1918) nacque a San Pietroburgo da
una famiglia ebraica convertita al cristianesimo. Dal 1856 in
poi visse in Germania.
Tra il 1867 e il 1887 cre`
o la teoria degli insiemi, che `e il
fondamento dell’intera matematica.
Le innovazioni pi`
u audaci di questa teoria sono il concetto di
infinito attuale e l’introduzione dei numeri transfiniti, che
porta ad una vera a propria aritmetica dell’infinito.
Un’anticipazione sul protagonista
Cantor era consapevole della portata rivoluzionaria dei suoi
risultati e dovette scontrarsi con forti resistenze.
Un’anticipazione sul protagonista
Cantor era consapevole della portata rivoluzionaria dei suoi
risultati e dovette scontrarsi con forti resistenze.
Nel 1885-86 ebbe uno scambio epistolare con il cardinale
Franzelin, un noto teologo, a cui scrisse: [...] ho dimostrato
che ci sono pi`
u infiniti, in realt`a infiniti infiniti diversi [...]
Un’anticipazione sul protagonista
Cantor era consapevole della portata rivoluzionaria dei suoi
risultati e dovette scontrarsi con forti resistenze.
Nel 1885-86 ebbe uno scambio epistolare con il cardinale
Franzelin, un noto teologo, a cui scrisse: [...] ho dimostrato
che ci sono pi`
u infiniti, in realt`a infiniti infiniti diversi [...]
Le sue scoperte vennero rigettate vigorosamente dal
tradizionalista Kronecker e da altri autorevoli matematici.
Un’anticipazione sul protagonista
Dalla sua parte troviamo personaggi come Dedekind e Hilbert.
Un’anticipazione sul protagonista
Dalla sua parte troviamo personaggi come Dedekind e Hilbert.
David Hilbert dichiar`
o: Nessuno potr`a cacciarci dal Paradiso
che Cantor ha creato.
Un’anticipazione sul protagonista
Dalla sua parte troviamo personaggi come Dedekind e Hilbert.
David Hilbert dichiar`
o: Nessuno potr`a cacciarci dal Paradiso
che Cantor ha creato.
Dopo il 1890, Cantor entr`
o in depressione.
Un’anticipazione sul protagonista
Dalla sua parte troviamo personaggi come Dedekind e Hilbert.
David Hilbert dichiar`
o: Nessuno potr`a cacciarci dal Paradiso
che Cantor ha creato.
Dopo il 1890, Cantor entr`
o in depressione.
Mor`ı in povert`a nel 1918, ospite di un istituto.
Un’anticipazione sul protagonista
Dopo Kant ha acquistato cittadinanza tra i
filosofi la falsa idea che il limite ideale del finito
sia l’assoluto, mentre in verit`a tale limite pu`o
venir pensato solo come transfinito [...] e precisamente come il minimo di tutti i transfiniti...
(G. Cantor 1885)
L’infinito nella letteratura
Giacomo Leopardi, Zibaldone.
L’infinito nella letteratura
Giacomo Leopardi, Zibaldone.
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me.
L’infinito nella letteratura
Giacomo Leopardi, Zibaldone.
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me.
Jorge Luis Borges, La biblioteca di Babele.
L’infinito nella letteratura
Giacomo Leopardi, Zibaldone.
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me.
Jorge Luis Borges, La biblioteca di Babele.
Jorge Luis Borges, Il libro di sabbia.
Giacomo Leopardi, Zibaldone
L’infinito `e un parto della nostra immaginazione, della nostra piccolezza ad un tempo
e della nostra superbia [...] l’infinito `e un’idea,
un sogno, non una realt`a: almeno niuna prova
abbiamo noi dell’esistenza di esso, neppur per
analogia.
(Leopardi, Zibaldone, 1817-1832)
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me (1931)
Nel Capitolo 16 viene narrata la seguente vicenda.
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me (1931)
Nel Capitolo 16 viene narrata la seguente vicenda.
Mio padre ed io giungemmo all’Accademia quando il
presidente Maust stava cominciando l’appello dei partecipanti
alla gara mondiale di matematica.
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me (1931)
Nel Capitolo 16 viene narrata la seguente vicenda.
Mio padre ed io giungemmo all’Accademia quando il
presidente Maust stava cominciando l’appello dei partecipanti
alla gara mondiale di matematica.
Uno, due, tre, quattro, cinque,... Nella sala si udiva solamente
la voce dei gareggianti.
Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me (1931)
Nel Capitolo 16 viene narrata la seguente vicenda.
Mio padre ed io giungemmo all’Accademia quando il
presidente Maust stava cominciando l’appello dei partecipanti
alla gara mondiale di matematica.
Uno, due, tre, quattro, cinque,... Nella sala si udiva solamente
la voce dei gareggianti.
Alle diciassette circa avevano oltrepassato il ventesimo
migliaio.
Parliamo tanto di me
Alle venti, i superstiti erano sette. 36747, 36748, 36749,
36750,...
Parliamo tanto di me
Alle venti, i superstiti erano sette. 36747, 36748, 36749,
36750,...
Alle ventidue precise avvenne il primo colpo di scena:
l’algebrista Pull scatt`
o: Un miliardo.
Parliamo tanto di me
Alle venti, i superstiti erano sette. 36747, 36748, 36749,
36750,...
Alle ventidue precise avvenne il primo colpo di scena:
l’algebrista Pull scatt`
o: Un miliardo.
Mio padre guard`o intorno con superiorit`a e cominci`o: Un
miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi
di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi, di
miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi.
Parliamo tanto di me
Alle venti, i superstiti erano sette. 36747, 36748, 36749,
36750,...
Alle ventidue precise avvenne il primo colpo di scena:
l’algebrista Pull scatt`
o: Un miliardo.
Mio padre guard`o intorno con superiorit`a e cominci`o: Un
miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi
di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi, di
miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi.
La folla delirava: Evviva, evviva!
Parliamo tanto di me
A poco a poco la sua voce si smorz`
o, l’ultimo fievole di
miliardi, gli usc`ı dalle labbra come un sospiro, indi si abbatt´e
sfinito sulla sedia.
Parliamo tanto di me
A poco a poco la sua voce si smorz`
o, l’ultimo fievole di
miliardi, gli usc`ı dalle labbra come un sospiro, indi si abbatt´e
sfinito sulla sedia.
Il principe Ottone gli si avvicin`
o, e stava per appuntargli la
medaglia sul petto, quando Gianni Binacchi url`o: Pi`
u uno!
Parliamo tanto di me
A poco a poco la sua voce si smorz`
o, l’ultimo fievole di
miliardi, gli usc`ı dalle labbra come un sospiro, indi si abbatt´e
sfinito sulla sedia.
Il principe Ottone gli si avvicin`
o, e stava per appuntargli la
medaglia sul petto, quando Gianni Binacchi url`o: Pi`
u uno!
La folla precipitatasi nell’emiciclo port`
o in trionfo Gianni
Binacchi.
Parliamo tanto di me
A poco a poco la sua voce si smorz`
o, l’ultimo fievole di
miliardi, gli usc`ı dalle labbra come un sospiro, indi si abbatt´e
sfinito sulla sedia.
Il principe Ottone gli si avvicin`
o, e stava per appuntargli la
medaglia sul petto, quando Gianni Binacchi url`o: Pi`
u uno!
La folla precipitatasi nell’emiciclo port`
o in trionfo Gianni
Binacchi.
Quando tornammo a casa, mia madre ci aspettava ansiosa
sulla porta. Pioveva. Il babbo, appena sceso dalla diligenza, le
si gett`o tra le braccia singhiozzando: Se avessi detto pi`
u
due avrei vinto io.
Jorge Luis Borges, La Biblioteca di Babele (1941)
Una biblioteca infinita `e composta da infinite stanze esagonali
contenenti tutti i possibili libri formati da 410 pagine
Jorge Luis Borges, La Biblioteca di Babele (1941)
Una biblioteca infinita `e composta da infinite stanze esagonali
contenenti tutti i possibili libri formati da 410 pagine
nei quali si trovano tutte le possibili combinazioni di caratteri
che possono dare luogo a frasi di senso compiuto o a frasi
senza alcun significato.
Jorge Luis Borges, La Biblioteca di Babele (1941)
Una biblioteca infinita `e composta da infinite stanze esagonali
contenenti tutti i possibili libri formati da 410 pagine
nei quali si trovano tutte le possibili combinazioni di caratteri
che possono dare luogo a frasi di senso compiuto o a frasi
senza alcun significato.
Gli uomini cercano disperatamente il Libro della Verit`a.
Jorge Luis Borges, La Biblioteca di Babele (1941)
Una biblioteca infinita `e composta da infinite stanze esagonali
contenenti tutti i possibili libri formati da 410 pagine
nei quali si trovano tutte le possibili combinazioni di caratteri
che possono dare luogo a frasi di senso compiuto o a frasi
senza alcun significato.
Gli uomini cercano disperatamente il Libro della Verit`a.
La loro ricerca non potr`a avere fine: come distinguere tale
libro da una qualsiasi delle altre sue versioni e in particolare
dalla versione opposta?
Jorge Luis Borges, Il libro di sabbia (1942)
“La linea `e costituita da un numero infinito di punti; il
piano, da un numero infinito di linee; il volume, da un
numero infinito di piani; l’ipervolume, da un numero
infinito di volumi... No, decisamente non `e questo, more
geometrico, il modo migliore di iniziare il mio racconto”.
Jorge Luis Borges, Il libro di sabbia (1942)
“La linea `e costituita da un numero infinito di punti; il
piano, da un numero infinito di linee; il volume, da un
numero infinito di piani; l’ipervolume, da un numero
infinito di volumi... No, decisamente non `e questo, more
geometrico, il modo migliore di iniziare il mio racconto”.
Il protagonista entra in possesso di un libro con infinite
pagine. Questo libro diventer`a un’ossessione al punto che
sar`a costretto a liberarsene.
Jorge Luis Borges, Il libro di sabbia (1942)
“La linea `e costituita da un numero infinito di punti; il
piano, da un numero infinito di linee; il volume, da un
numero infinito di piani; l’ipervolume, da un numero
infinito di volumi... No, decisamente non `e questo, more
geometrico, il modo migliore di iniziare il mio racconto”.
Il protagonista entra in possesso di un libro con infinite
pagine. Questo libro diventer`a un’ossessione al punto che
sar`a costretto a liberarsene.
“C’`e un concetto che corrompe e altera tutti gli altri. Non
parlo del Male, il cui limitato impero `e l’Etica; parlo
dell’Infinito” (Otras Inquisiciones, 1952).
Infinito potenziale e in atto
Aristotele distingue fra infinito potenziale e infinito in atto:
Infinito potenziale e in atto
Aristotele distingue fra infinito potenziale e infinito in atto:
Infinito potenziale: la possibilit`a di aggiungere sempre
qualcosa a una quantit`a determinata senza che ci sia mai
un elemento ultimo
Infinito potenziale e in atto
Aristotele distingue fra infinito potenziale e infinito in atto:
Infinito potenziale: la possibilit`a di aggiungere sempre
qualcosa a una quantit`a determinata senza che ci sia mai
un elemento ultimo
Infinito attuale: una collezione infinita, compiutamente
data, di tutti i punti di un insieme geometrico.
Spazio e tempo
•
IERI
OGGI
DOMANI
Spazio e tempo
•
IERI
OGGI
Passato infinito o c’`e un inizio?
DOMANI
Spazio e tempo
•
IERI
OGGI
Passato infinito o c’`e un inizio?
Futuro infinito o c’`e una fine?
DOMANI
Spazio e tempo
•
MILANO
VERONA
VENEZIA
Spazio e tempo
•
MILANO
VERONA
Spazio finito o infinito?
VENEZIA
Spazio e tempo
ESTATE
PRIMAVERA
AUTUNNO
INVERNO
Spazio e tempo
ESTATE
PRIMAVERA
AUTUNNO
INVERNO
Ciclicit`a nella nostra esperienza del tempo
Spazio e tempo
CASA
PIAZZA
BAR
SCUOLA
Spazio e tempo
CASA
PIAZZA
BAR
SCUOLA
Ciclicit`a nella nostra esperienza dello spazio
Emergono alcune rappresentazioni
Emergono alcune rappresentazioni
{1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
Emergono alcune rappresentazioni
{1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
Emergono alcune rappresentazioni
{1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
L’uroboro: un simbolo antico
Introduzione – Seconda Parte
Paradossi
Introduzione – Seconda Parte
Paradossi
Finito e infinito
Introduzione – Seconda Parte
Paradossi
Finito e infinito
Quantit`a enormi e infinito
Introduzione – Seconda Parte
Paradossi
Finito e infinito
Quantit`a enormi e infinito
Un esempio di enumerazione
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Due persone a passeggio in campagna sentono delle voci...
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Due persone a passeggio in campagna sentono delle voci...
A una certa distanza c’`e un uomo, in cammino attraverso
la sconfinata pianura, che sta parlando da solo.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Due persone a passeggio in campagna sentono delle voci...
A una certa distanza c’`e un uomo, in cammino attraverso
la sconfinata pianura, che sta parlando da solo.
Ho quasi finito, ho quasi finito, non sto pi`u nella pelle.
Sette, quattro, sei, sei, zero, tre, due, otto, due tre.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Due persone a passeggio in campagna sentono delle voci...
A una certa distanza c’`e un uomo, in cammino attraverso
la sconfinata pianura, che sta parlando da solo.
Ho quasi finito, ho quasi finito, non sto pi`u nella pelle.
Sette, quattro, sei, sei, zero, tre, due, otto, due tre.
I due lo seguono, cercando di non perdere nemmeno una
parola.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Uno, cinque, sei, otto, zero, otto, quattro, uno, due, otto.
Anche questa parte `e fatta. Ancora un po’ e ho finito.
Non devo scoraggiarmi proprio adesso. Avanti, forza!
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Uno, cinque, sei, otto, zero, otto, quattro, uno, due, otto.
Anche questa parte `e fatta. Ancora un po’ e ho finito.
Non devo scoraggiarmi proprio adesso. Avanti, forza!
Continuando a camminare con il suo passo malfermo,
procede nella recitazione:
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Uno, cinque, sei, otto, zero, otto, quattro, uno, due, otto.
Anche questa parte `e fatta. Ancora un po’ e ho finito.
Non devo scoraggiarmi proprio adesso. Avanti, forza!
Continuando a camminare con il suo passo malfermo,
procede nella recitazione:
Nove, sette, sei, zero, sette, uno, uno, due, quattro, tre,
cinque, due otto, quattro, tre, zero, otto, due, sei, otto.
Adesso mi riposo un attimo. Non ho pi`u fiato.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Uno, cinque, sei, otto, zero, otto, quattro, uno, due, otto.
Anche questa parte `e fatta. Ancora un po’ e ho finito.
Non devo scoraggiarmi proprio adesso. Avanti, forza!
Continuando a camminare con il suo passo malfermo,
procede nella recitazione:
Nove, sette, sei, zero, sette, uno, uno, due, quattro, tre,
cinque, due otto, quattro, tre, zero, otto, due, sei, otto.
Adesso mi riposo un attimo. Non ho pi`u fiato.
Mostrando evidenti segni di spossatezza, l’uomo riprende
la strada e ricomincia a declamare:
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Nove, nove, otto, zero, due, sei, otto, due, sei, zero,
quattro, sei, uno, otto, sette, zero, tre, due, nove, cinque.
Ah, che gioia, ormai vedo il traguardo. Quattro, quattro,
nove, quattro, sette, nove, zero, due, otto, cinque, ...,
nove, cinque, uno, quattro, uno, tre. Ho finito! Ho finito!
Ce l’ho fatta!
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Nove, nove, otto, zero, due, sei, otto, due, sei, zero,
quattro, sei, uno, otto, sette, zero, tre, due, nove, cinque.
Ah, che gioia, ormai vedo il traguardo. Quattro, quattro,
nove, quattro, sette, nove, zero, due, otto, cinque, ...,
nove, cinque, uno, quattro, uno, tre. Ho finito! Ho finito!
Ce l’ho fatta!
I due osservatori si avvicinano e lo salutano.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Nove, nove, otto, zero, due, sei, otto, due, sei, zero,
quattro, sei, uno, otto, sette, zero, tre, due, nove, cinque.
Ah, che gioia, ormai vedo il traguardo. Quattro, quattro,
nove, quattro, sette, nove, zero, due, otto, cinque, ...,
nove, cinque, uno, quattro, uno, tre. Ho finito! Ho finito!
Ce l’ho fatta!
I due osservatori si avvicinano e lo salutano.
Salve!
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Nove, nove, otto, zero, due, sei, otto, due, sei, zero,
quattro, sei, uno, otto, sette, zero, tre, due, nove, cinque.
Ah, che gioia, ormai vedo il traguardo. Quattro, quattro,
nove, quattro, sette, nove, zero, due, otto, cinque, ...,
nove, cinque, uno, quattro, uno, tre. Ho finito! Ho finito!
Ce l’ho fatta!
I due osservatori si avvicinano e lo salutano.
Salve!
Salve a voi. Chi siete?
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Io sono Anna. Lui `e Marco.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Io sono Anna. Lui `e Marco.
L’uomo sembra imbarazzato ed esita a presentarsi.
Finalmente, dopo aver tirato un sospiro, si decide a
parlare.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Io sono Anna. Lui `e Marco.
L’uomo sembra imbarazzato ed esita a presentarsi.
Finalmente, dopo aver tirato un sospiro, si decide a
parlare.
Il fatto `e che non ricordo pi`u il mio nome. Da illo tempore
sono stato impegnato col mio compito... E adesso mi
accorgo di non ricordare granch´e d’altro.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Io sono Anna. Lui `e Marco.
L’uomo sembra imbarazzato ed esita a presentarsi.
Finalmente, dopo aver tirato un sospiro, si decide a
parlare.
Il fatto `e che non ricordo pi`u il mio nome. Da illo tempore
sono stato impegnato col mio compito... E adesso mi
accorgo di non ricordare granch´e d’altro.
Di che compito si tratta?
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Ricordo solo l’ultimo pezzo. Lo posso persino recitare al
contrario. Ecco:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Ricordo solo l’ultimo pezzo. Lo posso persino recitare al
contrario. Ecco:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993
Non mi dica che sono le prime cifre di pi greco! – esclama
subito Marco.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Ricordo solo l’ultimo pezzo. Lo posso persino recitare al
contrario. Ecco:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993
Non mi dica che sono le prime cifre di pi greco! – esclama
subito Marco.
Per me sono le ultime. Che fatica! Pensi che sono riuscito
a recitarle tutte! – esclama l’uomo con una punta di
soddisfazione.
Una contraddizione cara a Wittgenstein
Ricordo solo l’ultimo pezzo. Lo posso persino recitare al
contrario. Ecco:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993
Non mi dica che sono le prime cifre di pi greco! – esclama
subito Marco.
Per me sono le ultime. Che fatica! Pensi che sono riuscito
a recitarle tutte! – esclama l’uomo con una punta di
soddisfazione.
Ma `e impossibile! Pi greco ha infinite cifre!
Passato infinito
Paradosso di Wittgenstein: mancanza dell’inizio
Passato infinito
Paradosso di Wittgenstein: mancanza dell’inizio
Viene portata a compimento un’azione che non
ha avuto un’origine
Passato infinito
Paradosso di Wittgenstein: mancanza dell’inizio
Viene portata a compimento un’azione che non
ha avuto un’origine
Ne possiamo dare la seguente rappresentazione
Il paradosso della biografia
Vita e opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo (Laurence
Sterne, 1760).
Il paradosso della biografia
Vita e opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo (Laurence
Sterne, 1760).
Tristram Shandy impieg`
o due anni a descrivere i primi due
giorni della sua vita.
Il paradosso della biografia
Vita e opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo (Laurence
Sterne, 1760).
Tristram Shandy impieg`
o due anni a descrivere i primi due
giorni della sua vita.
Si lamentava del fatto che di questo passo non avrebbe mai
potuto terminare il proprio lavoro.
Il paradosso della biografia
Vita e opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo (Laurence
Sterne, 1760).
Tristram Shandy impieg`
o due anni a descrivere i primi due
giorni della sua vita.
Si lamentava del fatto che di questo passo non avrebbe mai
potuto terminare il proprio lavoro.
A questo proposito, il filosofo e matematico Bertrand Russell
afferm`o: Se Tristram Shandy vivesse in eterno, nessuna parte
della sua biografia resterebbe incompiuta.
Il paradosso della biografia
Supponiamo che Tristram Shandy sia nato il primo gennaio del
1700 e abbia iniziato a scrivere il primo gennaio del 1720.
Il paradosso della biografia
Supponiamo che Tristram Shandy sia nato il primo gennaio del
1700 e abbia iniziato a scrivere il primo gennaio del 1720.
Anno Descrizione Giorno Evento
1720
1-1-1700
1721
2-1-1700
1722
3-1-1700
1723
4-1-1700
1724
5-1-1700
Il paradosso della biografia
Per ogni anno in cui Tristram Shandy scrive, esiste un giorno
della sua vita.
Il paradosso della biografia
Per ogni anno in cui Tristram Shandy scrive, esiste un giorno
della sua vita.
Per ogni giorno della sua vita, esiste un anno in cui lo descrive.
Il paradosso della biografia
Per ogni anno in cui Tristram Shandy scrive, esiste un giorno
della sua vita.
Per ogni giorno della sua vita, esiste un anno in cui lo descrive.
Nell’anno 2000, Tristram Shandy avrebbe scritto eventi
accaduti nell’autunno del 1700.
Il paradosso della biografia
Per ogni anno in cui Tristram Shandy scrive, esiste un giorno
della sua vita.
Per ogni giorno della sua vita, esiste un anno in cui lo descrive.
Nell’anno 2000, Tristram Shandy avrebbe scritto eventi
accaduti nell’autunno del 1700.
Gli avvenimenti dell’anno 2000, li avrebbe scritti nell’anno
106846!
Il paradosso della biografia
vita
Il paradosso della biografia
vita
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
•
2000
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
1700
•
•
2000
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
1700
•
•
2000
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
1700
•
2000
•
•
2000
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
1700
•
2000
•
•
2000
•
106846
Il paradosso della biografia
vita
descrizione
1700
•
2000
•
•
2000
•
106846
Il paradosso della biografia
Tristram Shandy accumula un ritardo sempre maggiore.
Il paradosso della biografia
Tristram Shandy accumula un ritardo sempre maggiore.
Per ogni anno trascorso a scrivere, i tempi si allungano di 364
giorni.
Il paradosso della biografia
Tristram Shandy accumula un ritardo sempre maggiore.
Per ogni anno trascorso a scrivere, i tempi si allungano di 364
giorni.
Tuttavia Russell ha ragione: nessuna parte della sua biografia
rester`a incompiuta.
Il paradosso della biografia
Tristram Shandy accumula un ritardo sempre maggiore.
Per ogni anno trascorso a scrivere, i tempi si allungano di 364
giorni.
Tuttavia Russell ha ragione: nessuna parte della sua biografia
rester`a incompiuta.
Prima o poi, ogni giorno verr`a descritto!
Futuro infinito
Paradosso di Russell: mancanza della fine
consente di compensare i ritardi...
Futuro infinito
Paradosso di Russell: mancanza della fine
consente di compensare i ritardi...
Ne possiamo dare la seguente rappresentazione
Futuro infinito
Paradosso di Russell: mancanza della fine
consente di compensare i ritardi...
Ne possiamo dare la seguente rappresentazione
Esistono ritardi non compensabili in un futuro
infinito?
Futuro infinito
Supponiamo che Tristram Shandy diventi di anno in anno
pi`u lento.
Futuro infinito
Supponiamo che Tristram Shandy diventi di anno in anno
pi`u lento.
Nel corso del primo anno dedicato alla biografia descrive il
primo giorno della sua vita, nel successivo descrive mezza
giornata, il terzo anno un quarto, e cos`ı via.
Futuro infinito
Supponiamo che Tristram Shandy diventi di anno in anno
pi`u lento.
Nel corso del primo anno dedicato alla biografia descrive il
primo giorno della sua vita, nel successivo descrive mezza
giornata, il terzo anno un quarto, e cos`ı via.
Sappiamo che ha a disposizione un futuro senza fine.
Futuro infinito
Supponiamo che Tristram Shandy diventi di anno in anno
pi`u lento.
Nel corso del primo anno dedicato alla biografia descrive il
primo giorno della sua vita, nel successivo descrive mezza
giornata, il terzo anno un quarto, e cos`ı via.
Sappiamo che ha a disposizione un futuro senza fine.
Gli baster`a?
Futuro infinito
Anno
⇒ Numero giorni
Primo
⇒
1
Secondo ⇒
1
2
Terzo
⇒
1
4
Quarto
⇒
1
8
Quinto
⇒
1
16
Futuro infinito
Quanti giorni riuscir`a a descrivere?
Futuro infinito
Quanti giorni riuscir`a a descrivere?
1 + 21 + 14 + 18 +
1
16
+ . . . ≤ 2.
Futuro infinito
Quanti giorni riuscir`a a descrivere?
1 + 21 + 14 + 18 +
1
16
+ . . . ≤ 2.
Nonostante abbia a disposizione un tempo
infinito, riuscir`a a descrivere solo due giorni della
propria vita
I due paradossi
Paradosso di Wittgenstein: mancanza dell’inizio
I due paradossi
Paradosso di Wittgenstein: mancanza dell’inizio
Paradosso della biografia: mancanza della fine
La domanda di fondo
In matematica, `e possibile dare un senso alla
parola infinito?
La domanda di fondo
In matematica, `e possibile dare un senso alla
parola infinito?
Possiamo parlare dell’infinito senza incorrere in
contraddizioni logiche?
Una costruzione su cui riflettere
•
•
•
A
B
C
Una costruzione su cui riflettere
•
•
•
A
B
C
Il segmento AB ha lunghezza pari a due volte la lunghezza di BC .
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
A
•
•
•
B
C
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
Il segmento AB ha lunghezza
pari a due volte la lunghezza
di BC
A
•
•
•
B
C
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
Il segmento AB ha lunghezza
pari a due volte la lunghezza
di BC
A
•
• •
•
B
C
x
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
Il segmento AB ha lunghezza
pari a due volte la lunghezza
di BC
A
•
• •
•
B
C
x
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
Il segmento AB ha lunghezza
pari a due volte la lunghezza
di BC
A
•
y
•
• •
•
B
C
x
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
Il segmento AB ha lunghezza
pari a due volte la lunghezza
di BC
A
•
Per ogni punto x su BC esiste
un corrispondente punto y su
AB.
y
•
• •
•
B
C
x
Corrispondenza tra i punti di AB e i punti di BC
Il segmento AB ha lunghezza
pari a due volte la lunghezza
di BC
A
•
Per ogni punto x su BC esiste
un corrispondente punto y su
AB.
Per ogni punto y su AB esiste
un corrispondente punto x su
BC .
y
•
• •
•
B
C
x
Un principio che vacilla
Un principio che vacilla
Il tutto `e pi`u grande di una delle sue parti
(Euclide).
Un principio che vacilla
Il tutto `e pi`u grande di una delle sue parti
(Euclide).
Principio della piccionaia: se n piccioni volano in
meno di n buche per piccioni, ci sar`a una buca
che contiene pi`u di un piccione.
Un principio che vacilla
Il tutto `e pi`u grande di una delle sue parti
(Euclide).
Principio della piccionaia: se n piccioni volano in
meno di n buche per piccioni, ci sar`a una buca
che contiene pi`u di un piccione.
` anche detto Principio dei cassetti, Legge del
E
buco della piccionaia, Principio di Dirichlet.
Il numero di conoscenze
Il numero di conoscenze
In una stanza ci sono varie persone. Sia n il loro
numero.
Il numero di conoscenze
In una stanza ci sono varie persone. Sia n il loro
numero.
Alcuni si conoscono tra loro, altri no.
Il numero di conoscenze
In una stanza ci sono varie persone. Sia n il loro
numero.
Alcuni si conoscono tra loro, altri no.
Dimostriamo che devono esserci due persone
che hanno lo stesso numero di conoscenti.
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
una
conoscenza
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
due
conoscenze
una
conoscenza
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
tre
conoscenze
due
conoscenze
una
conoscenza
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
tre
conoscenze
due
conoscenze
quattro
conoscenze
una
conoscenza
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
quattro
conoscenze
zero
conoscenze
Se ciascuno di loro avesse un numero diverso di conoscenti,
allora...
conosce
tutti
non
conosce
nessuno
Il numero di conoscenze
Il numero di conoscenze
Per ciascuna persona, ci sono n possibilit`a:
0, oppure 1, oppure 2, . . ., oppure n − 1 conoscenti.
Il numero di conoscenze
Per ciascuna persona, ci sono n possibilit`a:
0, oppure 1, oppure 2, . . ., oppure n − 1 conoscenti.
Se ciascuno conoscesse un numero diverso di persone, per
non violare il principio della piccionaia, dovremmo usare
tutte queste n possibilit`a.
Il numero di conoscenze
Per ciascuna persona, ci sono n possibilit`a:
0, oppure 1, oppure 2, . . ., oppure n − 1 conoscenti.
Se ciascuno conoscesse un numero diverso di persone, per
non violare il principio della piccionaia, dovremmo usare
tutte queste n possibilit`a.
Pertanto dovrebbero esserci
Il numero di conoscenze
Per ciascuna persona, ci sono n possibilit`a:
0, oppure 1, oppure 2, . . ., oppure n − 1 conoscenti.
Se ciascuno conoscesse un numero diverso di persone, per
non violare il principio della piccionaia, dovremmo usare
tutte queste n possibilit`a.
Pertanto dovrebbero esserci
una persona con n − 1 conoscenti (conosce tutti)
Il numero di conoscenze
Per ciascuna persona, ci sono n possibilit`a:
0, oppure 1, oppure 2, . . ., oppure n − 1 conoscenti.
Se ciascuno conoscesse un numero diverso di persone, per
non violare il principio della piccionaia, dovremmo usare
tutte queste n possibilit`a.
Pertanto dovrebbero esserci
una persona con n − 1 conoscenti (conosce tutti)
un’altra con 0 conoscenti (non conosce nessuno).
Il numero di conoscenze
Per ciascuna persona, ci sono n possibilit`a:
0, oppure 1, oppure 2, . . ., oppure n − 1 conoscenti.
Se ciascuno conoscesse un numero diverso di persone, per
non violare il principio della piccionaia, dovremmo usare
tutte queste n possibilit`a.
Pertanto dovrebbero esserci
una persona con n − 1 conoscenti (conosce tutti)
un’altra con 0 conoscenti (non conosce nessuno).
Questa `e una contraddizione.
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
I dati del problema:
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
I dati del problema:
In media le persone hanno circa 150000 capelli.
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
I dati del problema:
In media le persone hanno circa 150000 capelli.
` ragionevole supporre che nessuno ne abbia pi`u di un
E
milione.
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
I dati del problema:
In media le persone hanno circa 150000 capelli.
` ragionevole supporre che nessuno ne abbia pi`u di un
E
milione.
Roma ha pi`u di un milione di abitanti.
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Consideriamo uno schedario con un milione di cassetti
numerati.
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Consideriamo uno schedario con un milione di cassetti
numerati.
Schedario
1
2
..
.
k
..
.
1M
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Consideriamo l’elenco degli abitanti di Roma.
Abitanti
Schedario
1
1
2
..
.
k
..
.
1M
2
3
4
..
.
> 1M
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Assegniamo al cassetto k ogni abitante con k capelli.
Abitanti
Schedario
1
1
2
..
.
k
..
.
1M
2
3
4
..
.
> 1M
Due abitanti di Roma hanno lo stesso numero di capelli
Per il principio della piccionaia, ci dovranno essere due persone
nello stesso cassetto, e quindi con lo stesso numero di capelli.
Abitanti
Schedario
1
1
2
..
.
k
..
.
1M
2
3
4
..
.
> 1M
Il paradosso di Galileo
Il paradosso di Galileo
Non tutti i numeri interi positivi sono quadrati perfetti,
eppure...
Il paradosso di Galileo
Non tutti i numeri interi positivi sono quadrati perfetti,
eppure...
1
2
3
...
911
...
n
...
l
l
l
l
l
l
l
l
1
4
9
...
829921
...
n2
...
Il paradosso di Galileo
Non tutti i numeri interi positivi sono quadrati perfetti,
eppure...
1
2
3
...
911
...
n
...
l
l
l
l
l
l
l
l
1
4
9
...
829921
...
n2
...
I quadrati perfetti, pur essendo una minima parte degli interi,
sono altrettanto numerosi che questi...
Definizione di infinito
Un insieme `e infinito quando pu`o essere messo in corrispondenza uno-a-uno con un suo sottoinsieme proprio
(Dedekind)
Definizione di infinito
Un insieme `e infinito quando pu`o essere messo in corrispondenza uno-a-uno con un suo sottoinsieme proprio
(Dedekind)
Definizione di infinito = negazione del principio della piccionaia
Definizione di infinito
Un insieme `e infinito quando pu`o essere messo in corrispondenza uno-a-uno con un suo sottoinsieme proprio
(Dedekind)
Definizione di infinito = negazione del principio della piccionaia
Ne abbiamo visto due esempi:
Due segmenti con lunghezze diverse hanno lo stesso “numero”
di punti
La corrispondenza tra interi e quadrati perfetti
Finito e infinito
Insieme finito ↔ Principio della piccionaia
(Conforme all’intuizione)
Finito e infinito
Insieme finito ↔ Principio della piccionaia
(Conforme all’intuizione)
Insieme infinito ↔ Negazione del principio della piccionaia
(Contrasta con l’intuizione)
Finito e infinito
Insieme finito ↔ Principio della piccionaia
(Conforme all’intuizione)
Insieme infinito ↔ Negazione del principio della piccionaia
(Contrasta con l’intuizione)
` difficile parlare di infinito in modo sensato...
E
Se n’era accorto gi`a Galileo Galilei
Gli attributi di eguale maggiore e minore non
hanno luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle quantit`a
terminate (Galileo, 1638)
Definizione (vaga e imprecisa) da un dizionario
` infinito ci`o che non ha confini e che `e
E
pi`u grande di ogni quantit`a della natura
stessa.
Schemi mentali conformi a questa definizione
Quando immaginiamo un disegno che rappresenti una
linea retta pensiamo a prolungarla a piacere.
Schemi mentali conformi a questa definizione
Quando immaginiamo un disegno che rappresenti una
linea retta pensiamo a prolungarla a piacere.
Quando diciamo che qualcuno ha una pazienza infinita
indichiamo una pazienza superiore alle difficolt`a da
superare.
Schemi mentali conformi a questa definizione
Quando immaginiamo un disegno che rappresenti una
linea retta pensiamo a prolungarla a piacere.
Quando diciamo che qualcuno ha una pazienza infinita
indichiamo una pazienza superiore alle difficolt`a da
superare.
` opportuno un chiarimento...
E
Numero di atomi nell’universo
Il numero di atomi presenti nell’universo non `e conosciuto.
Stime basate
sul numero di galassie,
sul numero di stelle mediamente presenti in ogni galassia,
sul numero di atomi che mediamente costituiscono una stella
fanno ritenere che il numero di atomi presenti nell’universo sia
compreso fra 1079 e 1081 .
Il limite di Bremermann
Il numero 1093 `e detto limite di Bremermann.
Il limite di Bremermann
Il numero 1093 `e detto limite di Bremermann.
` il numero di bit che possono essere elaborati da un ipotetico
E
computer grande come il pianeta terra che sta funzionando da
un tempo pari all’et`a della terra.
Il limite di Bremermann
Il numero 1093 `e detto limite di Bremermann.
` il numero di bit che possono essere elaborati da un ipotetico
E
computer grande come il pianeta terra che sta funzionando da
un tempo pari all’et`a della terra.
Ogni numero maggiore o uguale a 1093 `e detto
transcomputazionale.
Il limite di Bremermann
Il numero 1093 `e detto limite di Bremermann.
` il numero di bit che possono essere elaborati da un ipotetico
E
computer grande come il pianeta terra che sta funzionando da
un tempo pari all’et`a della terra.
Ogni numero maggiore o uguale a 1093 `e detto
transcomputazionale.
Se immaginiamo che uno di questi numeri sia un granello di
sabbia e consideriamo tutti i granelli di sabbia di un’intera
galassia, il numero che otteniamo `e ancora finito.
Googol e Googleplex
Il googol `e il numero intero esprimibile con 1 seguito da 100
zeri, ossia 10100 .
Googol e Googleplex
Il googol `e il numero intero esprimibile con 1 seguito da 100
zeri, ossia 10100 .
Il googleplex l’intero esprimibile con 1 seguito da un googol di
zeri.
Googol e Googleplex
Il googol `e il numero intero esprimibile con 1 seguito da 100
zeri, ossia 10100 .
Il googleplex l’intero esprimibile con 1 seguito da un googol di
zeri.
Il termine fu coniato da Edward Kasner nel 1938. Nel 1940,
scrisse con James Roy Newman un libro divulgativo, tradotto
in italiano come La matematica e l’immaginazione, dove
appare per la prima volta il termine google.
Googol e Googleplex
Il googol `e il numero intero esprimibile con 1 seguito da 100
zeri, ossia 10100 .
Il googleplex l’intero esprimibile con 1 seguito da un googol di
zeri.
Il termine fu coniato da Edward Kasner nel 1938. Nel 1940,
scrisse con James Roy Newman un libro divulgativo, tradotto
in italiano come La matematica e l’immaginazione, dove
appare per la prima volta il termine google.
Il termine `e all’origine del nome Google, scelto da Larry Page
e Sergey Brin...
Dobbiamo fare molta attenzione
Definizioni vaghe e talvolta scorrette di infinito.
Dobbiamo fare molta attenzione
Definizioni vaghe e talvolta scorrette di infinito.
Confusione tra quantit`a enormi e infinito.
Dobbiamo fare molta attenzione
Definizioni vaghe e talvolta scorrette di infinito.
Confusione tra quantit`a enormi e infinito.
I numeri transcomputazionali sono fuori dalla nostra
portata, ma sono quantit`a finite.
Dobbiamo fare molta attenzione
Definizioni vaghe e talvolta scorrette di infinito.
Confusione tra quantit`a enormi e infinito.
I numeri transcomputazionali sono fuori dalla nostra
portata, ma sono quantit`a finite.
Ha messo ordine e dato rigore George Cantor (1845-1918).
Insiemi di numeri
Insiemi di numeri
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Insiemi di numeri
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Insiemi di numeri
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
N+ = {1, 2, 3, 4, . . .}
Insiemi di numeri
Insiemi di numeri
Z, N e N+ ci serviranno per...
Insiemi di numeri
Z, N e N+ ci serviranno per...
contare l’infinito, come ci ha insegnato a fare
Cantor
Insiemi di numeri
Z, N e N+ ci serviranno per...
contare l’infinito, come ci ha insegnato a fare
Cantor
Vediamo un primo esempio
Prima esplorazione di una struttura infinita
Prima esplorazione di una struttura infinita
Definiamo il campo di battaglia
Prima esplorazione di una struttura infinita
Definiamo il campo di battaglia
Chiariamo il nostro obiettivo
Prima esplorazione di una struttura infinita
Definiamo il campo di battaglia
Chiariamo il nostro obiettivo
Cerchiamo una strategia
Il campo di battaglia
Il campo di battaglia
L’obiettivo
Viene imposto un sistema di coordinate, in modo che ogni
cella possa essere indicata con una coppia di numeri interi.
L’obiettivo
Viene imposto un sistema di coordinate, in modo che ogni
cella possa essere indicata con una coppia di numeri interi.
Viene scritta su un foglio la coppia di numeri che
corrisponde alla cella dove si trova il tesoro.
L’obiettivo
Viene imposto un sistema di coordinate, in modo che ogni
cella possa essere indicata con una coppia di numeri interi.
Viene scritta su un foglio la coppia di numeri che
corrisponde alla cella dove si trova il tesoro.
Naturalmente il foglio ci viene nascosto.
L’obiettivo
Viene imposto un sistema di coordinate, in modo che ogni
cella possa essere indicata con una coppia di numeri interi.
Viene scritta su un foglio la coppia di numeri che
corrisponde alla cella dove si trova il tesoro.
Naturalmente il foglio ci viene nascosto.
In tempo finito, dobbiamo arrivare alla cella con il tesoro.
Dov’`e nascosto il tesoro?
Dov’`e nascosto il tesoro?
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Alla ricerca di una strategia
Partire da una casella qualsiasi.
Alla ricerca di una strategia
Partire da una casella qualsiasi.
Cercare una regola di spostamento grazie a cui
prima o poi raggiungeremo la casella dove si
trova il tesoro.
Alla ricerca di una strategia
Partire da una casella qualsiasi.
Cercare una regola di spostamento grazie a cui
prima o poi raggiungeremo la casella dove si
trova il tesoro.
` possibile?
E
Primo tentativo
Primo tentativo
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Primo tentativo
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Fallimento
Funziona solo se il tesoro sta sotto al punto di
partenza, nella stessa colonna.
Fallimento
Funziona solo se il tesoro sta sotto al punto di
partenza, nella stessa colonna.
Se il tesoro `e altrove, non lo troveremo mai,
perch´e siamo eternamente impegnati a scendere
lungo una sola colonna!
Secondo tentativo
Secondo tentativo
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Fallimento
Funziona solo se il tesoro sta nella stessa
colonna del punto di partenza, sotto o sopra.
Fallimento
Funziona solo se il tesoro sta nella stessa
colonna del punto di partenza, sotto o sopra.
Se il tesoro `e altrove, non lo troveremo mai,
perch´e siamo eternamente impegnati a salire e
scendere lungo una sola colonna!
Terzo tentativo
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Terzo tentativo
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1
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Terzo tentativo
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1
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Terzo tentativo
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1
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2
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Terzo tentativo
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7
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1
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2
3
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Terzo tentativo
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7
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5
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8
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2
3
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Terzo tentativo
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7
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5
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8
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9
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3
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Terzo tentativo
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7
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8
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9
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10
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Terzo tentativo
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7
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8
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10
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Terzo tentativo
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7
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8
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9
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10
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Terzo tentativo
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7
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5
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8
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9
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10
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12
13
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Terzo tentativo
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7
6
5
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8
1
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9 10
2 11
3 12
14 13
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Terzo tentativo
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7
6
5
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8 9 10
1 2 11
4 3 12
15 14 13
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Terzo tentativo
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7 8 9 10
6 1 2 11
5 4 3 12
16 15 14 13
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Successo
Ci spostiamo alternativamente nelle quattro direzioni
Successo
Ci spostiamo alternativamente nelle quattro direzioni
Restiamo nella stessa riga o colonna per un numero finito di
passi
Successo
Ci spostiamo alternativamente nelle quattro direzioni
Restiamo nella stessa riga o colonna per un numero finito di
passi
Allarghiamo la ricerca senza lasciare buchi nella zona esplorata
Successo
Ci spostiamo alternativamente nelle quattro direzioni
Restiamo nella stessa riga o colonna per un numero finito di
passi
Allarghiamo la ricerca senza lasciare buchi nella zona esplorata
Qualunque siano le coordinate della casella col tesoro, prima o
poi ci arriviamo
Finito e infinito
L’infinito `e sorgente di fraintendimenti
Finito e infinito
L’infinito `e sorgente di fraintendimenti
Idea chiave: rapporto tra il tutto e una sua parte
Finito e infinito
L’infinito `e sorgente di fraintendimenti
Idea chiave: rapporto tra il tutto e una sua parte
Affermazione o negazione del principio della piccionaia
Finito e infinito
L’infinito `e sorgente di fraintendimenti
Idea chiave: rapporto tra il tutto e una sua parte
Affermazione o negazione del principio della piccionaia
Abbiamo visto un primo esempio di battaglia per
addomesticare l’infinito
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