Risultati esame scritto Fisica 1 - 01/09/2014 orali: 05/09/2014 alle

Risultati esame scritto Fisica 1 - 01/09/2014
orali: 05/09/2014 alle ore 09:30 presso aula G7
(gli studenti interessati a visionare lo scritto sono pregati di
presentarsi il giorno dell'orale)
Nuovo Ordinamento
BIANCO
BRUNELLI
CUSTURERI
DE MARIA
ESPOSITO
FELICETTA
GRILLO
IANNACCARI
IERACI
LIONTE
MANCUSO
MARTINIS
MESSONE
MORELLO
PUPA
ROCCA
ROMEO
SCUMACI
SERGI
SOLLAZZO
TASSONE
TRONO
TULINO
nc=non classificato
MARIANNA
IVAN
FRANCESCO
MARIDA
ANTONIO
GIANLUIGI
TERESA
ANNALISA
WALTER
LEYLA
DANILA
MARIA CHIARA
BEATRICE
MARIA CATERINA
PIERPAOLO
LOREDANA
VALENTINA
FRANCESCO
CARLA
AMALIA
ANTONIO
MICAELA
CONSUELO ROSARIA
voto
14
12
10
nc
10
15
14
10
21
13
14
12
nc
14
14
14
10
11
13
14
14
nc
12
ammesso
Esame di Fisica 1
Corso Interateneo di Ing. Informatica e Biomedica – 01/09/2014
Problema 1
Un proiettile sparato in direzione orizzontale attraversa una lastra di legno di spessore Dx=0.05m. Supponendo che
all'interno della lastra il moto sia uniformemente decelerato, calcolare l'accelerazione a all'interno della lastra sapendo
che la velocità di ingresso del proiettile è v1=110m/s e la velocità di uscita è v2=100m/s. Si determini inoltre il tempo t
impiegato a percorrere lo spessore Dx della lastra.
Problema 2
Sia dato un piano orizzontale con assi cartesiani (x,y) e un punto materiale di massa m=8.0kg che si muove su di esso.
Le leggi orarie per le coordinate x e y del punto materiale sono date dalle seguenti equazioni:
x(t)=Rsin(w×t);
y(t)=Rcos(w×t)
con distanza R=2m e pulsazione w=4p Hz (1Hz=1s-1).
1) Si indichi di che tipo di moto si tratta, e si calcoli il modulo dell'accelerazione e l'energia cinetica K del moto.
2) Si consideri il caso in cui R sia funzione del tempo t con la seguente legge: R(t)=C×t, con C=4.0m/s. Si tratta ora di un
moto a spirale. Si determini l'espressione dell'energia cinetica K(t) in funzione di t e della potenza istantanea (in
funzione di t) che bisogna fornire dall'esterno per realizzare questo moto a spirale.
3) Si calcoli il passo d della spirale, dove per passo si intende la distanza che c'è fra due anelli successivi della spirale.
Problema 3
Sia dato un recipiente cilindrico in posizione verticale e avente sezione S=0.1m2, chiuso in alto da un pistone che si può
muovere senza attrito. All'interno del recipiente si trova n=1 mole di gas perfetto (costante dei gas perfetti
R=8.31J/K×mol) alla pressione p1=0.20×105Pa, mentre la pressione esterna è trascurabile. Il recipiente ha pareti
perfettamente conduttrici di calore ed è immerso in un serbatoio termico a temperatura T1. Il pistone ha massa
M=10.0kg ed è legato al fondo del recipiente con una molla di massa trascurabile, lunghezza a riposo nulla e costante
elastica k=1000N/m.
1) Si calcoli la distanza x1 che c'è fra il fondo del recipiente e la posizione del
pistone quando quest'ultimo è in equilibrio, e si determini la temperatura T1.
2) Il pistone viene bloccato in posizione x1 e il serbatoio termico passa da
temperatura T1 a temperatura T2=2×T1. Dopo che tutto il gas ha raggiunto la
nuova temperatura T2, il pistone viene sbloccato ed è libero di muoversi. Si
calcoli la nuova distanza di equilibrio x2 e la pressione p2 che il gas possiede
quando il pistone è in posizione x2.
3) Nel punto 2) del problema il pistone parte con velocità nulla dalla
posizione x1; supponendo che passi da posizione x1 a posizione x2 con una
trasformazione quasistatica, si determini con quale velocità arriva in posizione
x2. [Suggerimento: si tenga presente che il lavoro compiuto dal gas è
convertito in energia meccanica].
Soluzione problema 1
Dato che si ha un moto uniformemente decelerato, vale la seguente relazione:
v22 = v12 + 2aDx
v22 - v12
a=
» -21×103 m/s2
2Dx
Per calcolare il tempo t impiegato a percorrere la distanza Dx con accelerazione a, possiamo applicare la seguente
relazione:
v2 = v1 + a × t
t=
v2 - v1
» 0.48ms
a
Soluzione problema 2
Punto 1): Le leggi orarie lungo x e lungo y rappresentano due moti armonici con uguale pulsazione w e ampiezza R, ma
sfasati di p/2, dato che uno è una funzione sin(w×t) e l'altro una funzione cos(w×t). La loro combinazione nel piano
cartesiano realizza un moto circolare avente centro nell'origine degli assi, raggio R e pulsazione w costanti. Si tratta
allora di un moto circolare uniforme con raggio R e pulsazione w.
Poiché si tratta di un moto circolare uniforme, il modulo dell'accelerazione è pari all'accelerazione centripeta:
v2
a = = Rw 2 = 32π 2 m/s2 » 316m/s2
R
Dato che il moto è circolare uniforme, il modulo della velocità è costante e pertanto l'energia cinetica K durante il moto
è costante:
1
1
K = mv 2 = mR 2w 2 = 256π 2 J » 2.53kJ
2
2
Punto 2): Per determinare l'energia cinetica K in funzione del tempo bisogna determinare il modulo della velocità v. Per
fare questo partiamo dalle leggi orarie e deriviamo rispetto al tempo:
ì x(t ) = Ct × sin(wt )
í
î y(t ) = Ct × cos(wt )
ìv x (t ) = C × sin(wt ) + Cwt × cos(wt )
í
îv y (t ) = C × cos(wt ) - Cwt × sin(wt )
Il modulo quadro della velocità, v2(t), è dato da:
v 2 (t ) = v x2 + v 2y = [C × sin(wt ) + Cwt × cos(wt )] + [C × cos(wt ) - Cwt × sin(wt )]
2
v 2 (t ) = C 2 sin 2 (wt ) + C 2w 2t 2 cos2 (wt ) + 2C 2wt sin(wt ) cos(wt ) +
+ C 2 cos2 (wt ) + C 2w 2t 2 sin 2 (wt ) - 2C 2wt sin(wt )cos(wt )
(
v 2 (t ) = C 2 + C 2w 2t 2 = C 2 1 + w 2t 2
)
Quindi l'energia cinetica in funzione di t è data da:
2
1
K (t ) = mv 2 (t )
2
1
K (t ) = mC 2 1 + w 2t 2
2
(
)
Dato che l'energia cinetica aumenta col tempo t bisogna fornire lavoro dall'esterno per realizzare il moto a spirale. La
potenza P istantanea fornita è data da:
P=
dK
= mC 2w 2t
dt
Punto 3): Possiamo calcolare la distanza fra due anelli successivi della spirale considerando ad esempio due intersezioni
successive della spirale col semiasse positivo delle y. Detto T=2p/ w il periodo di rivoluzione per un singolo anello della
spirale, si considerino due istanti t1=n×T e t2=(n+1)×T separati da un periodo T (sia n un numero intero positivo).
Partendo dalle equazioni orarie si vede che per t= t1 e t= t2:
ì x(t ) = Ct × sin(wt )
í
î y(t ) = Ct × cos(wt )
si ha x(t1)=x(t2)=0 (ovvero sono intersezioni con l'asse y).
Per i rispettivi valori di y si ha invece che:
ì y(t1 ) = CnT × cos(wnT )
í
î y(t 2 ) = C (n + 1)T × cos(w (n + 1)T )
ì
2p
2p
æ 2p ö
ïï y(t1 ) = Cn w × cosç wn w ÷ = Cn w × cos(2pn )
è
ø
í
ï y(t ) = C (n + 1) 2p × cos(2p (n + 1))
ïî 2
w
2p
ì
y
(
t
)
=
Cn
1
ïï
w
í
ï y(t ) = C (n + 1) 2p
ïî 2
w
La distanza Dy=y(t2)- y(t1) fra questi due punti è pari al passo d della spirale:
d = y(t 2 ) - y(t1 ) = (n + 1)
d=
2pC
w
2pC
w
-n
2pC
w
= 2.0m
Soluzione problema 3
Punto 1): Sul pistone agiscono la forza peso FP diretta verso il basso, la forza elastica FK che è sempre diretta verso il
basso perché la lunghezza a riposo della molla è pari a zero, e la forza verso l'alto esercitata dalla pressione del gas.
All'equilibrio le forze verso l'alto sono pari a quelle verso il basso:
Mg + kx1 = p1 S
x1 =
p1 S - Mg
» 1.9m
k
Considerato che il volume occupato dal gas è pari a S×x1, l'equazione di stato dei gas perfetti si scrive come:
p1 Sx1 = nRT1
T1 =
p1 Sx1
» 458K
nR
Punto 2): Dopo che il pistone viene sbloccato, si ha un'espansione isoterma del gas a temperatura T2 durante la quale
vale sempre l'equazione di stato dei gas perfetti, p×Sx=nRT2. Il pistone è nella nuova posizione di equilibrio quando
forza peso e forza elastica (verso il basso) bilanciano la spinta data dalla pressione p2 del gas (verso l'alto):
Mg + kx2 = p2 S
Nell'ultima equazione sono incognite sia x2 che p2; mettiamo allora a sistema con l'equazione di stato dei gas perfetti:
ìMg + kx2 = p2 S
í
î p 2 Sx2 = nRT2
ìMg + kx2 = p2 S
ï
nRT2
í
p
=
2
ï
Sx2
î
nRT2
ì
Mg
+
kx
=
S
2
ï
Sx
ï
2
í
ï p = nRT2
ïî 2
Sx2
ìkx22 + Mgx2 - nRT2 = 0
ï
nRT2
í
ï p 2 = Sx
2
î
Nel sistema le soluzioni della prima equazione, che è di II grado, ci danno i possibili valori per la nuova posizione di
equilibrio x2:
kx22 + Mgx2 - nRT2 = 0
x2 =
- Mg ± M 2 g 2 + 4knRT2
2k
® x2 » 2.7m
Si tenga presente che solo la soluzione col segno + ha senso fisicamente e che T2=2×T1. Sostituendo il valore trovato per
x2 nell'espressione di p2 si ha che:
p2 =
nRT2
» 0.28 × 10 5 Pa
Sx2
Punto 3): Durante l'espansione isoterma a temperatura T2, il gas compie lavoro DW sul pistone. Questo lavoro serve
ovviamente ad aumentare l'energia meccanica totale del pistone, ovvero sia la sua energia potenziale, DU, che energia
cinetica, DK. Il lavoro svolto dal gas nell'espansione isoterma da x1 a x2 è pari a:
x2
DW =
x2
nRT2
Sdx
Sx
x1
ò pdV = ò
x1
æx ö
dx
= nRT2 lnçç 2 ÷÷ » 2.67kJ
x
è x1 ø
x1
x2
DW = nRT2 ò
La variazione di energia potenziale DU è costituita da un contributo gravitazionale e uno elastico:
1
1
DU = kx22 - kx12 + Mgx2 - Mgx1
2
2
DU » 1.92kJ
Dato che DW=DU+DK e che l'energia cinetica iniziale è nulla, ne segue che l'energia cinetica finale è:
K 2 = DW - DU » 0.75kJ
Quindi la velocità con cui il pistone arriva in posizione x2 è pari a:
1
Mv 2
2
2K 2
v=
» 12.2m/s
M
K2 =

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