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Moto armonico:
d
equazione del moto:
soluzione:
ω=2π/ Τ
U.Gasparini, Fisica I
2
x (t)
dt
x (t) =
2
= −ω
2
x (t )
A s in (ω t + φ )
T : periodo, ω = pulsazione
A: ampiezza, φ : fase
1
spostamento:
x (t) =
X
0
s in (ω t )
velocità:
dx (t )
=
dt
= X 0ω cos(ωt )
v (t ) ≡
accelerazione:
dv(t )
=
dt
= − X0ω 2 sin(ωt ) =
a(t ) ≡
= −ω 2 x(t )
U.Gasparini, Fisica I
2
Esempi di moto armonico:
i) moto di un punto materiale di massa m sotto l’azione di una “forza elastica”:
- forza la cui intensita’ cresce linearmente con la distanza da un punto (x≡0,
punto di equilibrio) in cui la forza e’ nulla;
- la forza e’ una forza “di richiamo”, ossia e’ diretta sempre verso il punto
di equilibrio
F = -k x ux
F
x < 0.
Fx = -k x > 0.
x
x≡0. (posizione di equilibrio)
x > 0.
F
Fx = -k x < 0.
x
x≡0.
Dalla legge di Newton: F = m a
− kx (t) = m
U.Gasparini, Fisica I
con:
d
2
Fx = m ax
x (t)
d t
2
ω ≡ √ k/m
d
2
x (t)
d t
2
= − ω
2
x (t)
Moto di un “pendolo semplice”
Moto in un piano verticale di un punto materiale sospeso ad un filo, sotto l’azione
della forza peso mg , per piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio
(asse verticale):
ma = Ftot = mg + τ
l
θ
τ
m
forza di tensione del filo
Proiezione lungo l’asse T tangente alla traiettoria:
maT = mg sin θ
a
θ
m
mg
T
Vale la relazione geometrica: ds = - l dθ
θ
l
dθ
ds
2
s(t)
dt
2
d
2
= m g s in θ ( t )
θ (t)
dt
2
= m g s in θ ( t )
Per piccole oscillazioni: sinθ
θ≈θ
d
2
θ (t)
d t
U.Gasparini, Fisica I
2
− ml
d s (t )
d ϑ (t )
=
−
l
dt 2
dt 2
2
d
2
= − ω
2
θ (t)
dove:
ω
≡
Equazione di un moto armonico nella variabile ϑ(t)
g / l
Legge oraria del moto del pendolo :
Moto di un pendolo semplice per piccole oscillazioni:
d
2
θ (t)
d t
= − ω
2
2
θ (t)
Legge oraria:
θ (t) = θ
Il periodo:
T
=
2π
ω
0
s in (ω t + ϕ )
≡ 2π
l
g
e’ indipendente dalla massa m del pendolo:
“isocronismo” del moto;
Dalla misura di T ⇒ determinazione di g
U.Gasparini, Fisica I
5
Energia in un moto armonico
x (t) = X
spostamento:
velocità:
0
d x (t )
d t
v (t ) ≡
s in (ω t + φ )
=
X
0
ω
c o s (ω t + φ )
≡
k
m
1
kX
2
2
0
ω
2
Energia cinetica:
1
1
1
2
2
E k (t ) ≡ mv 2 = mX 02ω 2 [cos( ω t + φ ) ] = X 02 k [cos( ω t + φ ) ]
2
2
2
Energia potenziale:
x
E p ( t ) ≡ − ∫ F ( x ' ) dx ' =
0
x
∫
0
kx ' dx ' =
1
kx
2
2
=
[sin(
ω t + φ ) ]2
E(t)
U.Gasparini, Fisica I
t
Energia meccanica in funzione della posizione:
E
≡ E
M
+ E
k
p
=
[
]
[
1
1
2
2
2
=
mX 0ω
c o s (ω t + φ )
+
k X 02 s i n ( ω t + φ )
2
2
1
1
2
2
2
=
k X 0 c o s (ω t + φ ) + s in (ω t + φ ) =
k X 02
2
2
[
ω
2
≡
k
m
]
“Diagramma dell’ energia di un moto armonico”
E
2
EM= k X0 /2 = costante
E
p
=
]
2
E(x)
=
k
E
=
M
E
−
M
− E
1
kx
2
1
kx 2
2
U.Gasparini, Fisica I
-X0
x
0.
X0
2
p
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