Lezione 7

Costruzioni in zona
sismica
Lezione 7
 Sistemi a più gradi di libertà
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Il problema dinamico viene formulato con riferimento a
strutture con un numero finito di gradi di libertà.
Consideriamo le masse concentrate nei nodi o ai piani della struttura (masse
concentrate). Questo implica un numero limitato di gradi di libertà dinamici.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear-type a due piani
Il telaio è soggetto a forze esterne dinamiche: p1(t), p2(t)
Trascuriamo la deformazione assiali di travi e colonne e consideriamo le travi
rigide flessionalmente
Le masse sono assunte concentrate a livello di piano
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equations of motion.
Caso 1: telaio shear type a due piani
I gradi di libertà del sistema (cioè il numero di spostamenti indipendenti richiesti
per definire la posizione deformata di tutte le masse rispetto alla configurazione
indeformata) sono due: u1, u2.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton.
p j (t )  f Dj  f Sj  mj uj
dove j=1, 2
mj uj  f Dj  f Sj  p j (t )
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton
m1 u1  f D 1  f S 1  p1 (t )

m2 u2  f D 2  f S 2  p2 (t )
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton
In forma matriciale
m1 0  u1   f D 1   f S 1   p1 (t ) 
 0 m  u    f    f    p (t ) 

 D2  S2  2 
2 2
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
in forma matriciale compatta
 f
m u+
D
+f
S
= p (t)
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
 f
m u+
m1 0 
 0 m
2

u1 
  

(mass matrix) u2 
D
+f
S
 fD 1 


f
 D2
= p (t)
 fS 1 


 f S 2   p (t ) 
1


(
)
p
t
 2 
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto
Forze elastiche
Assumendo un comportamento lineare del laio, fs dipende dagli spostamenti u
introducendo la rigidezza laterale di piano kj.
Infatti, il taglio Vj ad ogni piano risulta:
dove j è lo spostamento relativo.
Vj  kj  (uj  uj 1 )  kj   j
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto
Forze elastiche
Sulla base di queste considerazioni segue:
fS 1  f S  f S
a
b
1
1
f S 1  ku
1 1  k2 (u1  u2 )
Il taglio ha segno opposto
f S 2  k2 (u2  u1 )
fS 2
In forma matriciale:
 f S 1  k1  k2


f
 S 2   k2
k2  u1 
 
k2  u2 
f
s
 k u
Matrice di rigidezza del sistema
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto
Forze di smorzamento
Le forze di smorzamento sono funzione della velocità
In altre parole, i coefficienti di smorzamento di piano cj sono relativi al taglio di
 associata alla deformazione di piano:
piano Vj dovuti agli effetti della velocità 
j
Vj  cj  (uj  uj 1 )  cj   j
f D 1  c1u1  c2 (u1  u2 )
f D 2  c2 (u2  u1 )
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Forze di smorzamento
In forma matriciale
 f D 1  c1  c2


f
 D 2   c2
c2  u1 
 
c2  u2 
f
D
 c u
Matrice
sistema
di
smorzamento
del
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
In accordo alla definizione di forza elastica e di forza di smorzamento, le equazioni
del moto assumono la seguente forma:
m u  c u  k u  p (t )
Sono due equazioni differenziali ordinarie negli spostamenti u1(t), u2(t) del sistema
soggetto alle forze esterne.
In aggiunta le due equazioni sono accoppiate.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Le equazioni del moto possono essere dedotte anche utilizzando il principio di
D’Alambert’s, introducendo le forze d’inerzia fI,1, fI,2 e derivando le altre componenti
sulla base delle stesse assunzioni.
m u  c u  k u  p (t )
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Le equazioni del moto possono essere derivate anche con riferimento alla classica
schematizzazione utilizzando semplici equilibri..
 cu1  c2 (u2  u1 )  ku
mu
1 1 
1 1  k2 (u2  u1 ) 
  p1 (t )

m2u2  c2 (u2  u1 )  k2 (u2  u1 )  p2 (t )
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Esempio
Scrivere le equazioni del moto del telaio shear type in figura trascurando la
deformazione assiale.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
massa
rigidezza
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto
Equazioni governanti
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
Il sistema può essere idealizzato come combinazione di tre
elementi separati:
1) Componente rigidezza
2) Componente smorzamento
3) Componente massa
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
1-discretizzazione
Una struttura può essere idealizzata come un assemblaggio di
elementi interconnessi nei nodi.
Gli spostamenti dei nodi sono i gradi di libertà
Le forze esterne applicate dinamicamente proprio nei nodi
I momenti esterni sono nulli in molti casi pratici
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
2-FORZE ELASTICHE
Queste forze sono correlate alla componente di rigidezza con gli
spostamenti.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
2-FORZE ELASTICHE
I coefficienti di rigidezza Kij sono derivati applicando uj=1 e
tenendo fermi gli altri nodi
La forza relativa al grado di libertà i sarà pari a:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
2-FORZE ELASTICHE
L’insieme delle N equazioni può essere scritto in forma matriciale:
O nella forma compatta:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
3-FORZE DI SMORZAMENTO
I coefficienti di smorzamento cij possono essere determinati
imponendo una velocità unitaria lungo il grado di libertà j ponendo
pari a zero le altre velocità
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
3-forze di smorzamento
Il set di N equazioni può essere scritto in forma matriciale:
o in forma compatta:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
4-forze d’inerzia
I coefficienti relativi alle masse mij possono essere determinati
imponendo un’accelerazione unitaria lungo il grado di libertà j e
annullando le altre accelerazioni
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
4-forze d’inerzia
Il set di N equazioni può essere scritta in forma matriciale:
O in forma compatta:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
4-forze d’inerzia
Nella realtà la massa è diffusa negli elementi, ma può essere
idealizzata come masse concentrate nei nodi di una struttura
discretizzata.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
4-forze d’inerzia
L’inerzia rotazionale ha un’influenza trascurabile sulla dinamica in
molte applicazioni pratiche.
Le masse concentrate nei nodi sono associate con tutti I gradi di
libertà traslazionali del nodo.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Approccio generale per sistemi lineari
Equazioni del moto
Tenendo conto delle forze associate agli spostamenti, velocità ed
accelerazioni, si possono derivare le equazioni del moto:
Il sistema di N equazioni differenziali ordinarie per ricavare gli
spostamenti u(t) indotti dalle forze p(t).
I termini fuori diagonale sono noti ed accoppiati. L’accoppiamento
dipende dalla scelta dei gradi di libertà.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
 esempio
Scrivere le equazioni del moto del telaio riportato in figura
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Il sistema ha sei gradi di libertà: spostamenti laterali e
rotazioni.
Il vettore degli spostamenti è:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
La matrice delle masse è la seguente:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
La matrice di rigidezza risulta :
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Il vettore delle forze applicate risulta:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Le equazioni del moto sono:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
CONDENSAZIONE STATICA
Questo metodo è utilizzato per eliminare quei gradi di libertà ai
quali corrisponde massa nulla.
Trascurando le
deformazioni assiali: 8
gradi di libertà
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
CONDENSAZIONE STATICA
I gradi di libertà rotazionali
possono essere eliminati
dall’analisi dinamica in
quanto non ci sono forze
esterne duali ai gradi di
libertà rotazionali
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
CONDENSAZIONE STATICA
Le equazioni del moto nel caso di assenza di smorzamento
possono essere scritte partizionando le matrici:
dove u0 indica I gradi di libertà con massa nulla e ut i gradi di
libertà rimanenti.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
CONDENSAZIONE STATICA
Le due equazioni che ne derivano sono:
Poichè non ci sono forze esterne associatecon u0, può essere
ricavata la seguente relazione tra u0 e ut:
Sostituendo questo risultato si ottiene:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
CONDENSAZIONE STATICA
Matrice di rigidezza
condensata
Appaiono solo i gradi di libertà dinamici.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Scrivere le equazioni del moto utilizzando la condensazione statica.
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Vettore degli spostamenti partizionato:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Matrice di rigidezza:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
E la matrice di rigidezza condensata:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Matrice delle masse e vettore delle forze partizionati:
Lezione 7

Sistemi a più gradi di libertà
Equazioni del moto:
Lezione 7
 Sistemi a
 Moto alla base
più gradi di libertà
ug è lo spostamento del suolo
utj è lo spostamento totale della
massa j
uj è lo spostamento relativo
rispetto al suolo
Lezione 7
 Sistemi a
 Moto alla base
più gradi di libertà
Possono essere scritte come
vettore:
dove 1 è un vettore unitario di
ordine N.
Lezione 7
 Sistemi a
 Moto alla base
più gradi di libertà
L’equazione di equilibrio dinamico è:
Solo gli spostamenti relativi u
producono forze elastiche e di
smorzamento, mentre le forze di
inerzia sono relative
all’accelerazione totale
Lezione 7
 Sistemi a
 Moto alla base
più gradi di libertà
di conseguenza:
N equazioni differenziali di secondo
ordine.
La matrice di rigidezza è ottenuta
dalla condensazione
Lezione 7
 Sistemi a
 Moto alla base
più gradi di libertà
Il moto alla base può essere trasformato in forze:
Lezione 7
 Sistemi a
 Moto alla base
più gradi di libertà
Derivare le equazioni del moto della struttura in figura
(trascurare le deformazioni assiali)
EIb
EIc
EI=
EIc
m2
m1
EIc
EIc

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