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Calendario 2015 - Genova di corsa

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Revisione effetti
campionamento finito
Razionalizzazione delle approssimazioni dovute al campionamento finito
Utilizzo dei teoremi di convoluzione per analisi di:
- Effetti del campionamento nel tempo (Aliasing)
- Effetti della finestratura nel tempo (Leakage / Smearing)
1
Introduzione
Con le operazioni legate all’analisi di un segnale attraverso i dati
acquisiti da un sistema di acquisizione operiamo in vario modo sul
segnale originale:
• Campionamento
C
i
• Finestratura
Da chiedersi quindi se le informazioni che vengono ricavate sulla
base di questi dati siano convenientemente rappresentative di quelle
della funzione originale
Ci serve uno strumento analitico adeguato
Formalmente entrambe le operazione sono modellabili con un
prodotto nel tempo tra la funzione originale e una opportuna
funzione di “campionameno” e di “finestratura
2
1
Teoremi di convoluzione
Date tre funzioni e
le relative trasformate:
x(t) ⇔ X(ω)
y(t) ⇔ Y(ω)
Se una delle funzioni è il prodotto nel tempo delle altre:
esiste una qualche relazione tra le trasformate
di queste e quella del prodotto?
z(t) ⇔ Z(ω)
z(t) = x(t)y(t)
Z(ω) = f (X(ω), Y(ω))?
+∞
+∞
z(t) = x(t)y(t) = ∫−∞ X(ω) e jωt dω ∫−∞ Y(ω′) e jω′t dω′ =
Dimostrazione:
+∞ +∞
∫−∞ ∫−∞ X(ω)Y(ω′) e j( ω+ω′)t dω′ dω
Introducendo la variabile fittizia ϕ e ricordando che eseguendo ll’integrazione
integrazione in
ϕ, ω è costante:
ϕ = ω′ + ω
+∞
(
,
ω′ = ϕ − ω
,
)
+∞
dω′ = dϕ
+∞
z(t) = ∫−∞ ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω e jϕt dϕ = ∫−∞ Z(ϕ) e jϕt dϕ
3
Teoremi di convoluzione
Abbiamo ottenuto il teorema della convoluzione in frequenza: il prodotto di
due funzioni nel tempo ha come trasformata la convoluzione delle rispettive
trasformate.
z(t) = x(t)y(t)
+∞
Z(ϕ) = ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω = X(ω) ⊗ Y(ω)
La convoluzione prevede l’integrale del prodotto delle due funzioni una volta
che una di esse sia stata ritardata in frequenza della quantità ϕ e ribaltata
rispetto all’asse delle frequenze.
Si può verificare che il risultato è indipendente dalla scelta della funzione sulla
quale operare ritardo e ribaltamento:
+∞
+∞
Z(ϕ) = ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω = ∫−∞ X(ϕ − ω)Y(ω)dω
4
2
Calcolo della convoluzione
X(ω)
Y(ω)
ω
ω
per ognii punto
t dell’asse
d ll’
delle
d ll frequenze
f
ϕ sii costruisce:
t i
Y(ϕ − ω)
Shift ϕ
Ribaltamento
Y(−ω)
Y(ϕ − ω)
ω
ϕ
ω
Prodotto
X(ω)Y(ϕ − ω)
ϕ
ω
Integrale
Area
tratteggiata
+∞
I(ϕ) = ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω
ϕ
5
Teoremi di convoluzione
Anche nel dominio delle frequenze usiamo modelli nei quali si
effettua il prodotto di due funzioni della frequenza: la risposta in
frequenza di un sistema si ottiene eseguendo il prodotto tra la
trasformata
f
ddell’ingresso
ll’i
e la
l funzione
f i
di trasferimento
f i
del
d l sistema
i
stesso
Ipotizzabile che tra le leggi temporali di ingresso e di risposta
impulsiva del sistema (antitrasformata della funzione di
trasferimento) possa esistere un legame di convoluzione
6
3
Teoremi di convoluzione
Date tre funzioni e
le relative trasformate:
x(t) ⇔ X(ω)
y(t) ⇔ Y(ω)
z(t) ⇔ Z(ω)
Eseguendo il prodotto in frequenza di due funzioni
Z(ω) = X(ω) Y(ω)
L’antitrasformata (storia temporale) del prodotto
è una funzione delle antritrasformate delle due?
z(t) = f (x(t), y(t))?
Dimostrazione:
+∞
+∞
Z(ω) = X(ω) Y(ω) = ∫−∞ x(t)e − j ωt dt ∫−∞ y(t ′)e − j ωt′dt ′ =
+∞ +∞
∫−∞ ∫−∞ x(t)y(t ′)e− j ω(t + t′) dt dt ′ =
(
)
+∞ +∞
+∞
( )y( τ − t)dt
) e− j ωτ dτ = ∫−∞ z((τ)e
) j ωτ dτ
∫−∞ ∫−∞ x(t)y(
Teorema della convoluzione nel tempo: il prodotto di due funzioni in
frequenza ha come antitrasformata la convoluzione delle rispettive storie
temporali.
+∞
z(t) = ∫−∞ x(τ)y(t − τ)dτ = x(t) ⊗ y(t)
7
Teoremi di convoluzione
La risposta u(t) di un sistema lineare, caratterizzato dalla funzione di
trasferimento H(ω) (trasformata delle risposta impulsiva h(t)), ad una
forzante p(t) (di trasformata P(ω)) è data dall’anti-trasformata (IFT, Inverse
Fourier Transform)) del pprodotto H(ω)P(ω).
( ) ( )
U(ω) = H(ω)P(ω)
⇒
u(t) = IFT(U(ω))
o, visto da un punto di vista differente, dalla convoluzione delle risposta
impulsiva e della storia temporale del carico.
+∞
u(t) = ∫−∞ p(τ)h(t − τ)dτ
+∞
= ∫−∞ h(τ)p(t − τ)dτ
8
4
Il campionamento e la finestratura
I problemi che derivano dal campionamento e dalla finestratura,
aliasing e leakage, possono essere approfonditi utilizzando la chiave
di lettura fornita dai due teoremi di convoluzione.
Tutti gli aspetti già discussi rimangono validi ma ne viene data
un’interpretazione basata maggiormente sulle logiche matematiche
dell’effettiva implementazione della trasformata discreta di Fourier
piuttosto che lasciati ad un livello più intuitivo.
9
Il campionamento e l’aliasing
10
5
Il campionamento
Consideriamo una funzione del tempo con spettro limitato (-fMax e +fMax):
Tempo
Frequenza
X(ω)
x(t)
−f Max f Max
e la funzione di campionamento, che viene applicata nel dominio del
tempo. Il segnale campionato, sempre nel dominio del tempo, è il prodotto
delle due funzioni:
Y(ω)
y(t)
Il prodotto nel tempo porta ad avere la
convoluzione in frequenza
z(t) = x(t)y(t)
Z(ϕ) = X(ω) ⊗ Y(ω)
11
Il campionamento
Che aspetto ha la convoluzione?
+∞
X(ω) ⊗ Y(ω) = ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω
L’operatore prevede il calcolo con i seguenti passi:
per ogni punto dell’asse delle frequenze ϕ:
Y(−ω)
¾ Ribaltamento della funzione Y(ω):
¾ Applicazione di uno shift in frequenza ϕ:
Y(ϕ − ω)
¾ Calcolo della funzione prodotto con X(ω):
X(ω)Y(ϕ − ω)
¾ Calcolo dell’integrale:
+∞
I(ϕ) = ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω
¾ Assegnazione del valore alla funzione Z(ϕ)
12
6
Il campionamento
X(ω)
Y(ω)
per ognii punto
t dell’asse
d ll’
delle
d ll frequenze
f
ϕ:
Ribaltamento
Shift ϕ
Y(−ω)
Y(ϕ − ω)
ϕ
Prodotto
X(ω)Y(ϕ − ω)
Integrale
ϕ
+∞
I(ϕ) = ∫−∞ X(ω)Y(ϕ − ω)dω
ϕ
13
Il campionamento
Essendo la trasformata della funzione di campionamento un pettine, la
convoluzione porta alla replica della trasformata del segnale
campionato in corrispondenza di ognuno dei suoi picchi
1 / TC
o 2f Nyquist −f Max f Max
Possiamo quindi avere tre casi:
fMax
Minore
fMax
Uguale
di fC/2 o di fNyquist
fMax
Maggiore
Esaminiamo i tre casi graficamente.
7
Il campionamento
Tempo
Caso di frequenza massima del
segnale minore alla frequenza di
Nyquist (fMax<fC/2).
La banda in frequenza
correttamente osservabile è
quella attorno a frequenza nulla.
Le immagini alias sono distinte
da quella principale e nella
finestra di osservazione c’è solo
l’immagine principale.
15
Frequenza
Il campionamento
Tempo
Caso di frequenza massima pari
alla frequenza di Nyquist
(fMax=fC/2).
Se fMax
M aumenta la banda in
frequenza osservabile viene
progressivamente riempita dalla
banda del segnale da campionare
e, per fMax=fNyquist, si arriva ad
avere il completo riempimento.
Le immagini alias arrivano a
toccare la
l curva reale,
l sono peròò
ancora distinte da quella
principale e nella finestra di
osservazione c’è solo l’immagine
principale.
16
Frequenza
8
Il campionamento
Tempo
Caso di Frequenza massima
superiore alla frequenza di
Nyquist (fMax>fC/2).
La banda in frequenza
calcolata dalla DFT (-fC/2:fC/2)
non contiene tutta la banda del
segnale.
Si ha interferenza tra le
immagini alias e la porzione
effettiva dello spettro con
porzioni dello spettro fittizio
che entrano nella banda
esaminata.
17
Frequenza
La finestra di osservazione nel tempo e il leakage
18
9
La finestra di osservazione
Prima di utilizzare la convoluzione dobbiamo individuare un modello
per la finestratura, cioè la funzione che filtra il segnale originale
Si tratta di una funzione nulla all’esterno dell’intervallo di osservazione
e unitaria all’interno
A = 1 per una
finestra di osservazione
2T0 = T
Infatti il segnale osservato, cioè, limitato nel tempo non è altro che il
prodotto del segnale, considerato infinito nel tempo, con la finestra di
osservazione nulla all’esterno dell’intervallo –T0:T0.
19
La finestra di osservazione
Per poter applicare i teoremi di convoluzione ci serve la trasformata
nel dominio delle frequenze.
H ( f ) = A ⋅ 2T0 ⋅
sin(2π T0 f )
2π T0 f
2AT0
2T0 = T
L’altezza
L
altezza e la larghezza della campana sono rispettivamente
direttamente e inversamente proporzionali alla lunghezza della
finestra di osservazione.
Aumentare la dimensione della finestra temporale comporta la
riduzione della base e l’incremento dell’altezza del lobo principale.
21
10
La finestra di osservazione
La trasformata del prodotto della finestra di osservazione per il segnale
nel dominio del tempo si ottiene convolvendo le rispettive trasformate
(segnale e finestra).
22
La finestra di osservazione
L’operazione di convoluzione riproduce la trasformata della funzione
finestra in corrispondenza delle due linee spettrali della trasformata
della sinusoide (linee tratteggiate rossa e nera per frequenza f0 positiva
e negativa)
Ill risultato
i l
della
d ll convoluzione
l i
è dato
d dalla
d ll linea
li
nera continua
i
-ff0
f0
L’energia associata ad una frequenza, non più concentrata, viene
distribuita su un campo di frequenze tanto più ampio quanto più breve
è la finestra di osservazione
23
11
La finestra di osservazione
Nel caso di utilizzo di uno spettro discreto, tipico delle applicazionim
con un elaboratore, la discretizzazione della frequenza avviene con un
passo pari a 1/TO
Se il periodo del segnale è contenuto un numero di volte intero in TO
la frequenza della sinusoide coincide con una delle frequenze discrete
che derivano dalla DFT e ne risulta un solo tono (tutti gli altri sono in
corrispondenza degli zeri della funzione).
24
La finestra di osservazione
la frequenza della sinusoide coincide con una delle frequenze discrete
e viene “letto” solo un picco (tutti gli altri sono in corrispondenza
degli zeri della funzione) anche per sinusoidi di frequenza superiore
1.5
1
0.5
0
-0.3
-0.2
-0.1
Risoluzione in frequenza
Linea spettrale sin
0
0.1
0.2
0.3
Convoluzione box-sin
Trasformata digitale
25
12
La finestra di osservazione
Se il periodo di osservazione non è un multiplo intero della periodo
base la funzione è centrata su una frequenza che non è multiplo della
risoluzione in frequenza
Vengono rilevati valori in punti diversi dello spettro e il contenuto in
frequenza è disperso sullo spettro: è il fenomeno del Leakage
1.5
1
0.5
0
-0.3
-0.2
-0.1
Risoluzione in frequenza
Linea spettrale sin
0
0.1
0.2
0.3
Convoluzione box-sin (trasf. teorica)
Trasformata digitale (discreta)
26
La finestratura
Sappiamo già che per contenere gli effetti del Leakage si utilizza la
tecnica della «finestratura» nel tempo: gli istanti temporali del segnale
acquisito vengono pesati attraverso una funzione di «finestratura»
E quindi come se la box window utilizzata durante l’acquisizione
venisse sostituita da una funzione di ampiezza variabile nel periodo
osservato
Le finestre tipiche utilizzate
(Hanning, Hamming, Kaiser) hanno
equazioni della forma seguente:
wi = a + (1 − a ) cos
2πi
N
Dobbiamo pertanto analizzare la differenza tra le trasformate delle due
funzioni di finestratura
27
13
La finestratura
L’effetto della finestratura si comprende osservando la trasformata in
frequenza della funzione finestra stessa
Lo spettro in ampiezza della funzione di pesatura uniforme ha si il
primo lobo più stretto ma decade più lentamente
L’errore di leakage è distribuito su di un intervallo di frequenze più
ampio: con la finestratura il leakage è contenuto in ±2 Δf
28
La discretizzazione della frequenza
29
14
La discretizzazione della frequenza
Abbiamo visto che la discretizzazione del tempo può far nascere il
problema dell’aliasing.
Dato che utilizziamo sistemi digitali per l’elaborazione dei dati è
lecito chiedersi se anche la discretizzazione delle frequenze possa
portare a problemi della stessa natura.
30
La discretizzazione della frequenza
Supponiamo di aver campionato un segnale a banda limitata senza
commettere aliasing
Avendo campionato la storia temporale (fig.A) il corrispondente spettro
è continuo ma, per effetto del campionamento nel tempo e a differenza
di quello del segnale originale, sarà infinito e periodico (fig. B)
A
Spettro effettivo
B
- - - Immagini riflesse
dovute al
campionamento
31
15
La discretizzazione della frequenza
L’utilizzo di uno spettro discreto equivale ad effettuare un
campionamento del dominio delle frequenze [Δ(f )].
Alla funzione di «campionamento in frequenza» corrisponde, nel
dominio del tempo una serie di delta [Δ(t)] poste ad una distanza pari
al tempo totale di osservazione (T0=1/Δf ).
Δ(t)
Δ(f)
f
Δf
T0=1/Δf
t
Il campionamento in frequenza, prodotto della funzione di
campionamento e dello spettro continuo, ha come corrispettivo
temporale la convoluzione delle rispettive storie temporali
32
La discretizzazione della frequenza
In frequenza si è ottenuto uno spettro infinito e discreto campionando
nel tempo.
Frequenza
Tempo
TF
Discretizzazione
frequenza
1/Δf
1/Δf
1/Δf
TF
Δf
t
T=1/Δf
Prodotto
Convoluzione
TF
Si ha quindi la periodicizzazione della storia temporale.
33
16
La discretizzazione della frequenza
La convoluzione replica la funzione nel tempo con periodicità pari al tempo
di osservazione.
Segnale discreto “osservato”
Finestra di
osservazione
Antitrasformata digitale:
cioè il segnale temporale
corrispondente alla
trasformata discreta
Analizzando lo spettro campionato dell’intervallo temporale campionato è
come se si avesse a che fare con la funzione periodicizzata, non quella
originale.
Se la storia temporale fosse limitata, nulla all’esterno del periodo di
osservazione, sarebbe come osservare continuamente lo stesso fenomeno.
Non così se il segnale non è limitato nel tempo …
34
La discretizzazione della frequenza
Considerando una funzione non limitata nel tempo (sempre con contenuto in
frequenza limitato):
Frequenza
Tempo
Funzione
campionata
Finestratura
temporale
e
discretizzazione
frequenza
Discontinuità nel segnale temporale agli estremi del periodo di osservazione
Incoerenza tra il segnale reale originale e il segnale che la trasformata discreta
di Fourier (DFT) vede.
35
17
La discretizzazione della frequenza
La periodicizzazione nel tempo è un fenomeno duale alla replica delle
immagini in frequenza a seguito del campionamento nel tempo (al
prodotto in un dominio corrisponde la convoluzione nel codominio).
In questo caso NON si presenta un fenomeno di interferenza duale
all’aliasing, in quanto: la base di riproduzione nel tempo è data
dall’inverso della risoluzione in frequenza; questa, peraltro, coincide
con l’inverso del tempo di osservazione.
La replica della storia temporale è quindi coerente con la finestra di
osservazione e non si può presentare la sovrapposizione delle immagini
Il segnale può essere discontinuo a cavallo delle linee di replica.
L’effetto sulla trasformata può essere contenuto con le finestre non
uniformi.
Rif. Brigham “Fast Fourier Transform”
36
Da ricordare
Definizione ed utilizzo di uno strumento analitico estremamente
potente: la convoluzione.
Razionalizzazione dei limiti, aliasing e leakage, dell’approccio
digitale all’analisi dei segnali.
Capacità di gestione di tutti gli effetti del campionamento finito
(aliasing e risoluzione in frequenza)
Applicazioni ben oltre quelle viste
38
18
Domande?
39
19
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