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Classe 4E - A.S. 2013/14 - prof. Daniele TREVISANI SISTEMI

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Classe 4E - A.S. 2013/14 - prof. Daniele TREVISANI
SISTEMI AUTOMATICI
Quesiti ed esercizi per il recupero del debito di fine anno scolastico
Sistemi automatici - generalità: parte 2
1) Definizione di sistema automatico.
2) Spiegare il significato del termine variabile manipolabile.
3) Spiegare il significato del termine regolazione a valore programmato.
4) Descrivere un sistema di controllo ad anello chiuso, con i vari blocchi che lo costituiscono.
5) Spiegare il significato del termine regolazione PID, aiutandosi con uno schema a blocchi..
6) Attraverso quale dei seguenti blocchi funzionali di Simulink è possibile simulare un regolatore
ON/OFF, un regolatore derivativo ed uno integrativo?
a)
b)
c)
d)
e)
7) Disegnare e commentare lo schema a blocchi di un sistema di controllo digitale in retroazione in
soluzione mista.
_________________________________________________________________________________________
Analisi e Progetto dei Sistemi di controllo
8) Cosa si intende per “analisi” dei sistemi lineari e tempo-invarienti (LTI)?
9) Quali sono le cause di un funzionamento non corretto di un sistema di controllo?
10) Cosa si intende con il concetto di “prontezza” di un sistema? Quali sono i parametri utilizzati
per indicare la prontezza di un sistema del secondo ordine?
11) Descrivere il concetto di precisione.
12) Cosa si intende per “progetto di un sistema di controllo”?
_________________________________________________________________________________________
Sistemi di ordine 0, 1 e 2 – Risposta nel tempo.
13) Cosa si intende per “sistema di ordine 0”? Fornire una definizione indicando le ragioni fisiche
di tale denominazione e fare degli esempi di sistemi di ordine 0.
14) Attraverso quale modello matematico è possibile rappresentare la risposta al gradino di un
sistema del primo ordine? Quali ne sono i parametri caratteristici?
15) Individuare il valore di massima sovraelongazione ed il tempo di assestamento che si ha in un
sistema del secondo ordine quando il coefficiente di smorzamento vale 0,4 e la pulsazione naturale
10 rad/s.
16) Quali sono e che caratteristiche hanno i segnali di prova solitamente utilizzati per affrontare lo
studio della risposta di un sistema nel dominio del tempo?
17) Un resistore R=150Ω viene collegato in serie a due condensatori di capacità 2 mF, collegati fra
loro in parallelo, con lo scopo di realizzare un circuito RC serie alimentato in continua.
Si suppongono i condensatori inizialmente scarichi nell’istante iniziale di osservazione del sistema
(t=0), momento in cui il circuito viene alimentato a 10V chiudendo uno switch opportunamente
predisposto.
a) disegnare lo schema del circuito;
b) calcolare il valore del tempo di risposta;
c) calcolare il valori che la tensione ai capi dei condensatori assume all’istante t1 = 1,5τ
d) Se si aggiunge in serie al resistore un induttore con induttanza L=5mH, che tipo di sistema si
ottiene e con quale smorzamento?
18) Si consideri un motore in continua montato coassialmente a una dinamo tachimetrica la cui
uscita in tensione rappresenta l'ingresso di un partitore di tensione. Quando al motore viene
applicata una tensione di 200 V il motore stesso gira a una velocità angolare di 3000 giri/min.
Quando il motore gira a una velocità angolare di 139 rad/s la tensione all'uscita della dinamo
tachimetrica vale 160 V.
Un partitore di tensione provvede a ridurre a 20 V la tensione prodotta a vuoto dalla dinamo quando
il motore viene alimentato a 220 V. Si richiede di:
a) determinare il rapporto di riduzione del partitore necessario per ottenere tale tensione;
b) rappresentare in condizioni di regime il sistema motore-dinamo-partitore utilizzando uno
schema a blocchi che metta in evidenza le costanti di guadagno dei tre elementi costitutivi del
sistema.
_________________________________________________________________________________________
La trasformata di Laplace
19) Evidenziare le motivazioni che inducono all’uso delle trasformate funzionali come metodo di
calcolo nello studio dei sistemi.
20) Quali sono i principali teoremi-proprietà della trasformata di Laplace?
21) E’ dato il componente riportato in fig. 1. Determinarne il circuito
equivalente nel dominio trasformato ricordando il teorema
(completo) della trasformata di Laplace della derivata di un segnale.
Nota V(s), quanto vale I(s)?
Fig. 1
22) Con riferimento alla trasformata di Laplace si enunci il “teorema della traslazione complessa”
(o della “traslazione in frequenza”) e lo si illustri con un esempio.
23) Individuare la trasformata della seguente funzione in dominio reale:
f(t) = ൜
0
‫ < ݐ ݁ݏ‬0
,
2 ∙ exp(−6 ∙ t) ∙ cos(3 ∙ t) + 2 ∙ t, ‫ ≥ ݐ ݁ݏ‬0
24) Individuare l’antitrasformata della seguente funzione in dominio complesso:
‫= )ݏ(ܨ‬
25) E’ dato il circuito elettrico riportato in fig. 4.
Ipotizzando un segnale d’ingresso u(t) a gradino di
ampiezza pari a 6V,
14
10
+ ଶ
‫(ݏ‬2‫ ݏ‬+ 6) ‫ݏ‬
a) disegnarne il circuito equivalente nel dominio
trasformato [punti 10];
b) determinare la trasformata V2(s) della tensione ai
capi di R2, con il circuito inizialmente a riposo.
Fig. 4
_________________________________________________________________________________________
Funzioni di trasferimento, risposta nel tempo, stabilità dei sistemi SISO-LTI
Transitorio riscaldamento ideale dei cavi elettrici..
26) In cosa consiste e su quale principio si basa il “metodo della scomposizione in fratti semplici di
una trasformata di Laplace”? Quali sono i casi notevoli che si possono presentare e come si devono
trattare?
27) Cosa e quali sono le “forme fattorizzate” o “canoniche” di una f.d.t.?
28) Cosa si intende per “risposta di un sistema alle sollecitazioni”? In che modo si può valutare,
attraverso la trasformata di Laplace, nel caso dei sistemi lineari tempo-invarianti?
29) Si esponga e si commenti il “teorema del valore finale”.
30) Classificare un sistema in relazione alla presenza di poli nulli.
31) Analizzare le caratteristiche dei modi di risposta nel caso di poli semplici con molteplicità uno.
32) Spiegare il significato dei termini costanti di posizione, di velocità e di accelerazione.
33) Definire le relazioni che sussistono tra posizione dei poli del sistema sul piano complesso e
stabilità.
34) Un sistema lineare tempo-invariante è sollecitato da un gradino unitario ed ha la seguente
funzione di trasferimento:
௦ାଵ଴
‫= )ݏ( ܩ‬
ଶ௦∙(ଶ௦ା଺)
a) Classificare il sistema.
b) Determinare poli e zeri del sistema e rappresentarli sul piano di Gauss.
c) Discutere relativamente alla stabilità del sistema.
d) Ricavare le forme fattorizzate canoniche della funzione di trasferimento ed evidenziarne
la costante di guadagno e le costanti di tempo.
e) Determinare il valore iniziale ed il valore a regime della risposta del sistema.
f) Scomporre la risposta nel dominio trasformato in fratti semplici.
g) Determinare l’espressione analitica della risposta del sistema nel dominio del tempo.
h) Calcolare che valore assume la variabile d’uscita dopo un tempo t = 1,5 secondi
dall’istante di applicazione del segnale d’ingresso.
35) Un cavo unipolare con conduttore di rame isolato in gomma tipo FG7OR – 1x10 mm2 (riportato
nella tabella seguente), ha un coefficiente globale di dispersione termica stimato in circa 5,20 W/(m
K).
Utilizzando i dati di densità 8,92kg/dm3 e calore specifico 385 J/(kg K) del conduttore di rame:
a) disegnare il circuito equivalente (per 1 metro di cavo) rappresentante il riscaldamento
del cavo nel dominio trasformato di Laplace e determinarne i parametri;
b) determinarne la funzione di trasferimento G(s) (sovratemperatura in funzione della
potenza dissipata) ed in particolare la costante di tempo del cavo.
_________________________________________________________________________________________
Risposta nel dominio della frequenza.
36) Cosa si intende per “guadagno” di un sistema? Come si passa dalla sua rappresentazione
decimale a quella in decibel e viceversa? Si faccia un esempio.
37) Cos’è la “risposta in frequenza” ovvero “la funzione di risposta armonica”? Cosa rappresenta?
Come si può determinare?
38) Fornire una definizione di “sfasamento o fase” di un sistema. In quali modi può e viene
misurata e che relazione esiste fra essi? Quanto vale nel caso di un sistema che ad un ingresso
గ
‫ = )ݐ(ݔ‬2 ∙ sin (2 ∙ ߨ ∙ 50 ∙ ‫ ݐ‬+ ସ ) risponde con un segnale d’uscita ‫ = )ݐ(ݕ‬0,6 ∙ sin (2 ∙ ߨ ∙ 50 ∙ ‫ ݐ‬+
గ
ଷ
)?
39) Un segnale x(t) sinusoidale (armonica pura) di periodo 300 ms, ampiezza 10V e fase iniziale di
45° viene elaborato dal sistema lineare riportato nella figura 5.
a) Determinare il guadagno e lo sfasamento del sistema alla frequenza del segnale
b) Determinare l’espressione del segnale d’uscita y(t).
x(t)
Fig. 5
‫= )ݏ(ܩ‬
60 + ‫ݏ‬
20 + ‫ݏ‬
y(t)
గ
40) Il segnale ‫ = )ݐ(ݔ‬2 ∙ sin (2 ∙ ߨ ∙ 0,1 ∙ ‫ ݐ‬+ ) viene elaborato dal sistema lineare riportato nella
଺
figura 6. Determinare l’espressione del segnale d’uscita y(t). [10 punti]
‫= )ݏ(ܩ‬
x(t)
Fig. 6
10 ∙ ‫ݏ‬
1+5∙‫ݏ‬
y(t)
_________________________________________________________________________________________
Analisi in frequenza, teorema di Fourier.
41) Cosa afferma il teorema di Fourier? In quali “forme” può essere rappresentato e come si passa
da una forma all’altra? [6 punti]
42) Un segnale x(t) ad onda quadrata presenta le seguenti caratteristiche:
- periodo: 100 ms
- valore medio: -3V
- ampiezza (valore di picco) della componente alternata: UM=5V
- coefficienti dello sviluppo di Fourier:
an = ൝
0
‫ > ݅ݎܽ݌ ݊ ݎ݁݌‬0
(−1)
೙షభ
మ
ସ∙௎ಾ
గ ∙௡
‫ > ݅ݎܽ݌ݏ݅݀ ݊ ݎ݁݌‬0
bn = 0 per ogni n > 0
a) Disegnare la forma d’onda del segnale.
b) Determinare e disegnare lo spettro del segnale fino alla 5a armonica.
c) Scrivere una espressione analitica per x(t), approssimata alla quinta armonica (polinomio di
Fourier di ordine 5).
_________________________________________________________________________________________
Diagrammi di Bode.
43) Ricavare (dimostrazione matematica) i diagrammi di Bode di un polo generico reale (ovvero di
un sistema del primo ordine con guadagno statico unitario e senza zeri). [4 punti]
44) In base a quali considerazioni è possibile ricavare i diagrammi di Bode di “una costante K”
(ovvero di un sistema lineare che presenta una funzione di trasferimento costante)? [4 punti]
45) Determinare i diagrammi di Bode del sistema lineare rappresentato in figura 7. Ricavare poi i
valori del guadagno e dello sfasamento del sistema per ω = 250 rad/s. [25 punti]
x(t)
Fig. 7
‫= )ݏ(ܩ‬
20 ∙ (1 + 0,1 ∙ ‫)ݏ‬
‫( ∙ ݏ‬1 + 0,01 ∙ ‫)ݏ‬
y(t)
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