I CONDENSATORI

I CONDENSATORI
Si è mostrato che è necessario compiere lavoro per assemblare una
qualsiasi distribuzione di carica: nel campo elettrico è perciò sempre
immagazzinata ENERGIA di tipo ELETTROSTATICO
Si definisce CONDENSATORE un dispositivo che immagazzina
energia elettrostatica: anche un semplice conduttore isolato carico
costituisce un esempio di condensatore, ma esso genera un campo
elettrico in tutto lo spazio esterno. Per poter concentrare il campo
elettrico in un volume limitato si considera in genere una coppia di
conduttori di forma arbitraria (PIATTI o ARMATURE) isolati e caricati
uno con carica +q e l’altro con carica uguale e opposta –q (il
condensatore è globalmente neutro). Quando si dice che sul
condensatore c’è una carica q, si intende q>0 per convenzione.
Si può cambiare la carica sui piatti collegando questi ai due terminali
di una batteria. Tutta la differenza di potenziale (V ) si manifesta fra i
piatti, essendo ognuno di questi a potenziale costante. Quando si
parla genericamente di differenza di potenziale fra i piatti del
condensatore si intende per convenzione V >0
Il modulo della carica e della differenza di potenziale sono fra
loro proporzionali: si definisce CAPACITA’ del condensatore la
costante di proporzionalità C, definita dalla:
L’unità di misura è il FARAD:
1 farad = 1 coulomb/volt
q
C=
V
La capacità di un condensatore dipende dalla geometria del condensatore.
Per determinare la capacità di un condensatore avente geometria ad
elevata simmetria si deve:
supporre una carica ±q sui piatti
calcolare il campo elettrico in funzione di q utilizzando la legge di Gauss
noto E, determinare la differenza di potenziale V fra le armature (per il
calcolo conviene scegliere un percorso lungo il quale campo elettrico e
versore spostamento sono paralleli: dal piatto positivo al negativo,
ottenendo –V e prendendo poi il valore assoluto)
ottenere C dalla relazione C=q/V
Condensatore piano
Condensatore sferico
Condensatore cilindrico
Sfera singola
CONDENSATORE PIANO
Le armature di un condensatore PIANO sono conduttori piani di sezione A
paralleli fra loro e distanti d: si trascurano per semplicità gli EFFETTI di
BORDO, supponendo il campo elettrico UNIFORME nella regione di spazio
fra le armature e NULLO in tutto lo spazio circostante
E
++++++++++++++
E
++++++++++++++
+σ0 /2
++++++++++++++++++++
+ σ0
piano carico infinitamente sottile:
densità superficiale di carica +σ0
E
applicando la legge di Gauss si ottiene:
modulo del campo elettrico
E=σ0 / 2ε0
+σ0 /2
E
Se la stessa quantità di carica per unità di
superficie +σ0 è collocata in eccesso su una
lastra piana condutrice, metà della carica si
distribuirà su una faccia della lastra e metà
sull’altra, in modo da avere campo elettrico nullo
all’interno del conduttore: la densità superficiale
su ogni faccia della lastra sarà perciò +σ0/2. Per
il principio di sovrapposizione, il modulo del
campo elettrico all’esterno del conduttore sarà
però anche in questo caso E=σ0 / 2ε0
σ0
σ0
2
2
−
σ0
2
−
σ0
±σ0
2
A (+)
Dal teorema di Gauss e dal
principio di sovrapposizione
si ottiene il campo elettrico,
che risulta proporzionale alla
densità superficiale di carica:
ds B (-)
2σ 0 σ 0
q
=
=
E=
2ε 0 ε 0 ε 0 A
Si ottiene quindi la differenza di
potenziale fra le armature :
B
La capacità del
condensatore piano
risulta pertanto
dipendente dai fattori
geometrici caratteristici
del condensatore:
B
r r
VB − VA = − ∫ E ⋅ ds = − E ∫ ds = − Ed = −V
A
C=
A
q
q
q
ε A
=
=
= 0
V Ed qd ε 0 A
d
CONDENSATORE CILINDRICO
L
Il condensatore cilindrico è formato da due
conduttori cilindrici coassiali di lunghezza L:
il campo elettrico è diverso da zero solo nella
intercapedine fra i due conduttori, di raggio
interno a e raggio esterno b. Si considera
L>>b in modo da poter trascurare le
distorsioni del campo elettrico agli estremi
del condensatore (EFFETTI di BORDO)
La superficie gaussiana per il calcolo del campo
elettrico è una superficie cilindrica di lunghezza L
coassiale al condensatore e raggio r, tale che a≤r≤b:
Su di essa il campo ha modulo costante e direzione del
versore area (radiale e perpendicolare all’asse)
B
A
E
q = ε 0 EA = ε 0 E (2πrL )
B
b
r r
VB − VA = − ∫ E ⋅ ds = − ∫
A
a
q
2πε 0 Lr
dr = −
La capacità del condensatore cilindrico
dipende solo dalle sue caratteristiche
geometriche :
q
2πε 0 L
E=
(ln b − ln a ) = −
q
2πε 0 Lr
b
ln  = −V
2πε 0 L  a 
q
q
q
L
C= =
= 2πε 0
V q ln (b a ) 2πε 0 L
ln(b a )
CONDENSATORE SFERICO
Il condensatore sferico è formato da due conduttori
sferici concentrici: il campo elettrico è diverso da zero
solo nella intercapedine fra i due conduttori, di raggio
interno a e raggio esterno b.
La superficie gaussiana per il calcolo del campo
elettrico è una superficie sferica concentrica con le
due sfere conduttrici e raggio r, tale che a≤r≤b: su di
essa il campo ha modulo costante e direzione radiale
(
q = ε 0 EA = ε 0 E 4πr 2
B
b
r r
VB − VA = − ∫ E ⋅ ds = − ∫
A
=−
a
)
E=
q
4πε 0 r 2
− q −1
dr
=
−
dr =
2
2
∫
4πε 0 r
4πε 0 a r
q
b
−q 1 1
q b−a
= −V
 − =−
4πε 0  b a 
4πε 0 ab
La capacità del condensatore sferico dipende solo
dalle sue caratteristiche geometriche :
q
q
ab
ab
C= =
= 4πε 0
V q 4πε 0 b − a
b−a
SFERA SINGOLA
Un conduttore singolo isolato può essere visto come
caso limite di una coppia di conduttori di cui uno è
collocato all’infinito: nel caso particolare di una sfera
conduttrice quindi la capacità può essere ottenuta da
quella del condensatore sferico per b →∞
a
q
q
1
C= =
= 4πε 0 a
V q 4πε 0 1 b − 1 a
b→∞
COLLEGAMENTI IN SERIE E IN PARALLELO
Collegamento in parallelo
Quando si collegano in parallelo due o più
condensatori ai capi di ognuno di essi
compare la STESSA differenza di potenziale V
che compare fra i due morsetti della batteria. I
piatti collegati allo stesso morsetto della
batteria ed i fili di collegamento sono allora
EQUIPOTENZIALI. La carica totale q fornita
dalla batteria si distribuisce ai vari
condensatori in base alla loro capacità
q1 = C1V
q2 = C2V
q3 = C3V
q = q1 + q2 + q3
I condensatori collegati in parallelo si comportano come un
unico condensatore equivalente di capacità Ceq tale che:
CeqV = C1V + C2V + C3V
q = CeqV
Ceq = C1 + C2 + C3 = ∑ Ciparallelo
i
La capacità del condensatore equivalente è MAGGIORE di ogni capacità singola
Collegamento in serie
Quando si collegano in serie due o più condensatori, sui
piatti di ognuno di essi si accumula la stessa quantità di
carica q, mentre la differenza di potenziale V che
compare fra i due morsetti della batteria uguaglia la
somma delle differenze di potenziale. Infatti
considerando due condensatori adiacenti, la coppia di
piatti posti in collegamento costituiscono un unico
conduttore globalmente neutro, quindi se su uno di essi
compare la carica +q sull’altro compare la carica –q.
V = V1 + V2 + V3
q = C1V1 = C2V2 = C3V3
I condensatori collegati in serie si comportano come un
unico condensatore equivalente di capacità Ceq tale che:
q = CeqV
q Ceq = q C1 + q C2 + q C3
1
1
1
1
1
=
+
+
= ∑ serie
Ceq C1 C2 C3
i Ci
La capacità del condensatore equivalente è MINORE di ogni capacità singola
Collegamento misto: esempio
I condensatori C1 e C2 sono
collegati in parallelo:
C12 = C1 + C 2
Il condensatore equivalente C12 ed il condensatore C3 sono
collegati in serie:
1
1
1 C12 + C3 C1 + C2 + C3
=
+
=
=
C123 C12 C3
C12C3
C1C3 + C2C3
Nei quattro casi riportati a lato il
collegamento è sempre dello
stesso tipo: C1 è collegato in
parallelo con C2 ed i due insieme
sono collegati in serie con C3
(infatti il condensatore C3 ha
sempre una armatura collegata
alla batteria e l’altra ai due
condensatori C1 e C2; l’altro polo
della batteria è in tutti i casi
collegato ai condensatori C1 e
C2). Nei quattro casi mostrati,
quindi, la capacità del
condensatore equivalente è la
stessa trovata sopra:
1
1
1 C12 + C3 C1 + C2 + C3
=
+
=
=
C123 C12 C3
C12C3
C1C3 + C2C3
Collegamento misto: esempio
I condensatori C1 e C2 sono
collegati in serie:
1
1
1
=
+
C12 C1 C 2
Il condensatore equivalente C12 ed il condensatore C3 sono
collegati in parallelo:
C123
C1C2 + C1C3 + C2C3
C1C2
= C12 + C3 =
+ C3 =
C1 + C2
C1 + C2
ENERGIA IMMAGAZZINATA NEL CAMPO ELETTRICO
Per caricare un condensatore viene spesa energia: tale energia è
immagazzinata nel campo elettrico sotto forma di energia potenziale
elettrostatica. Si può calcolare il lavoro necessario per spostare una
carica q da un piatto ad un altro di un condensatore di capacità C
Si considera che una carica q’ sia già stata trasferita da un piatto all’altro
del condensatore: la differenza di potenziale fra i piatti è allora V’= q’/C.
Una carica dq’ è successivamente spostata da un piatto all’altro con una
variazione di energia potenziale elettrica pari a:
q'
dU = V ' dq' =
dq'
C
q
q'
q2 1
U = ∫ dU = ∫ dq' =
= CV 2
C
2C 2
0
L’energia spesa nel complesso si ottiene
integrando su tutta la carica:
Se per semplicità si considera un
condensatore piano, essendo il campo
Si può dimostrare che questo
elettrico uniforme in tutto lo spazio, è
risultato è generale: se è presente
facile ottenere la DENSITA’ di energia per
un campo elettrico E in una regione
UNITA’ di VOLUME:
di spazio (vuoto), in tale spazio
2
è immagazzinata una
U
CV 2 2 (ε 0 A d )V 2 ε 0  V 
1
energia per unità di
u=
=
=
=   = ε0E2
Ad
Ad
2 Ad
2 d 
2
volume pari a ε0E2/2
I DIELETTRICI
Fino ad ora si è calcolato il campo elettrico nello spazio vuoto. Si è già visto
cosa accade se si inserisce un conduttore in una regione in cui è presente
un campo elettrico: nel volume di spazio occupato dal conduttore il campo
elettrico si annulla (il campo esterno provoca una ridistribuzione della
carica libera sulla superficie del conduttore).
In generale in una regione di spazio in cui c’è materia il campo elettrico ha
valore diverso rispetto al vuoto perché il campo stesso induce modifiche
nella distribuzione di cariche presenti nella materia.
In particolare se il materiale è isolante non ci sono
cariche libere però il campo elettrico può:
(i) se sono presenti dipoli elettrici permanenti, per
esempio molecole polari, RUOTARE tali dipoli
allineandoli (almeno in parte) al campo stesso
(materiali DIELETTRICI POLARI); oppure:
(ii) INDURRE dipoli elettrici allineati con il campo
stesso, per deformazione delle nuvole
elettroniche atomiche o molecolari. Questo
fenomeno è possibile sia in materiali
DIELETTRICI NON POLARI che POLARI. Il
momento di dipolo elettrico indotto è
PROPORZIONALE al campo elettrico.
POLARIZZAZIONE
del dielettrico
CONDENSATORI E DIELETTRICI
Se un dielettrico è inserito all’interno di un condensatore ne varia la
capacità. Si considera per semplicità un condensatore piano sui cui piatti è
accumulata una carica q: in assenza del dielettrico il campo elettrico interno
è E0 ; se viene invece inserita una lastra di materiale dielettrico, essa viene
polarizzata dal campo E0, portando alla comparsa di una carica q’ positiva
sulla faccia della lastra prossima al piatto del condensatore carico
negativamente, viceversa sull’altro lato. Tale distribuzione di carica è
definita carica superficiale indotta e genera a sua volta un campo elettrico
E’ uniforme, di intensità minore di E0 e proporzionale a q’, ma diretto in
verso opposto ad E0. All’interno del condensatore quindi il campo elettrico
risulta indebolito E=E0-E’, così come la differenza di potenziale ai capi del
condensatore. La capacità risulta perciò aumentata.
ESPERIMENTI DI FARADAY
Un condensatore VUOTO viene collegato ad una batteria. Successivamente:
V
V
Viene inserito un dielettrico fra le
armature del condensatore senza
togliere il collegamento con la batteria
Viene inserito un dielettrico fra le
armature del condensatore dopo
avere scollegato la batteria
Il fattore moltiplicativo che aumenta la capacità può essere definito come
C
κe =
C0
dove C0 è la capacità del condensatore in assenza
del dielettrico
κe è denominato costante dielettrica relativa; è una grandezza adimensionale
caratteristica del materiale e indipendente dalla forma o dimensione del
blocco di materiale.
Il dielettrico però limita la massima
differenza di potenziale applicabile
ai capi del condensatore: vi è infatti
un valore massimo del campo
elettrico applicabile oltre il quale si
induce un processo di scarica a
valanga che danneggia il materiale
(rigidità dielettrica, caratteristica
del materiale)
Nel caso di un condensatore piano con
dielettrico si trova per la capacità
C = κe
ε0A
d
INSERIMENTO DI PIÙ DIELETTRICI
Questo condensatore equivale a due condensatori piani
posti in parallelo, di sezione A/2 e
spessore d, riempiti con dielettrici
diversi, di costante dielettrica
relativa εr1 ed εr2 rispettivamente
Questo condensatore equivale a due
condensatori piani posti in serie, di sezione A e
spessore d/2, riempiti con dielettrici diversi, di
costante dielettrica εr1 ed εr2 rispettivamente
Questo condensatore equivale a
un insieme di tre condensatori
piani di sezione A/2, due dei
quali, di spessore d/2 e riempiti
con dielettrici di costante
dielettrica εr2 ed εr3, sono posti in
serie fra loro. Questi sono poi
collegati in parallelo con il terzo
condensatore di spessore d
riempito con dielettrico di costante dielettrica εr1
E’ possibile esprimere il campo elettrico totale nella
materia attraverso il coefficiente κe, ad esempio il campo
generato da una carica puntiforme in una regione di
spazio in cui è presente un dielettrico è:
1
q
E=
4πε 0κ e r 2
In generale il campo elettrico è indebolito rispetto al campo prodotto nel
vuoto dalla stessa distribuzione di carica: E=E0 /κe
Il campo elettrico
all’interno di un
condensatore piano
diventa:
Per la legge di
Gauss si ha:
σ
q
=
=
E=
κ e κ eε 0 κ eε 0 A
E0
(q − q' ) (σ − σ ' )
E=
=
= E0 − E '
ε0 A
ε0
Dal confronto delle
due si ottiene:
La carica indotta
q' è quindi:
Si può riscrivere la legge di Gauss nella forma:
dove q sono le SOLE cariche LIBERE ed
E è il campo elettrico totale nella materia
q − q' = q κ e
q' = q(1 − 1 κ e ) < q
r r
ε 0 ∫ κ e E ⋅ dA = q

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