Potenza in regime sinusoidale - Università degli studi di Pavia

Facoltà di Ingegneria
Università degli studi di Pavia
Corso di Laurea Triennale in
Ingegneria Elettronica e Informatica
Campi Elettromagnetici e Circuiti I
Potenza in regime sinusoidale
Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2013/14
Prof. Luca Perregrini
Potenza in regime sinusoidale, pag. 1
Sommario
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Potenza istantanea in regime sinusoidale
Potenza media
Massimo trasferimento di potenza
Valori efficaci
Relazione tra potenza media e valori efficaci
Potenza apparente e fattore di potenza
Potenza complessa
Conservazione della potenza complessa
Rifasamento
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 2
Potenza istantanea in regime sinusoidale
i
generatore
sinusoidale
+
v
–
rete lineare
passiva
v(t )  V cos (t   v )
i (t )  I cos (t   i )
La potenza istantanea è:
p (t )  v(t )  i (t )  V  I cos (t   v )cos (t   i )
1
1
 V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i )
2
2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 3
Potenza istantanea in regime sinusoidale
1
1
p (t )  V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i )
2
2
p
1
V I
2
1
V  I cos ( v   i )
2
0
T/2
T
t
La potenza istantanea è periodica con periodo T/2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 4
Potenza istantanea in regime sinusoidale
1
1
p (t )  V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i )
2
2
p
1
V I
2
1
V  I cos ( v   i )
2
T/2
0
p > 0 potenza assorbita
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T
t
p < 0 potenza erogata
Potenza in regime sinusoidale, pag. 5
Potenza media
Ogni qualvolta si osserva un fenomeno periodico per un
tempo di gran lunga superiore al periodo (ad esempio
l’assorbimento della luce da parte dell’occhio umano,
l’energia assorbita da un utente, il riscaldamento a
microonde, ecc.) non è rilevante il valore che la potenza
assume istante per istante, ma piuttosto il valore medio
della potenza nel tempo:
1
P
T
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
T
0
p(t ) dt
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 6
Potenza media
1
P
T

T
0
poiché
1
1

 V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i ) dt
2
2

1
T
1
T
T

0

T
0
1
1
V  I cos ( v   i ) dt  V  I cos ( v   i )
2
2
1
V  I cos (2t   v   i ) dt  0
2
si ha
1
P  V  I cos ( v   i )
2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 7
Potenza media
Considerando i fasori di tensione (V = Vv) e corrente
(I = Ii) si ha:
1
1
*
V  I  V  I ( v   i )
2
2
1
 V  I cos ( v   i )  j sin ( v   i ) 
2
da cui
1
1
*
P  Re V  I  V  I cos ( v   i )
2
2

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
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 8
Potenza media
Se v = i (tensione e corrente in fase  carico resistivo)
si ha:
1
1
1
1
2
2
P  V  I cos ( v   i )  V  I  R  I  R | I |
2
2
2
2
Se v – i = ± 90 (tensione e corrente in quadratura 
carico reattivo) si ha:
1
P  V  I cos ( v   i )  0
2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 9
Potenza media assorbita da un carico
I
VTh
ZTh
+
–
+
V
–
ZTh = RTh + j XTh
ZL
ZL = RL + j XL
La potenza media assorbita dal carico ZL è:
1
1
1
RL
*
*
2
P  Re V  I  Re Z L  I  I  ReZ L | I | 
| I |2
2
2
2
2




RL
VTh

2 Z Th  Z L
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2
| VTh |2 RL / 2

( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 10
Massimo trasferimento di potenza media
Per quale valore di ZL si ha il massimo trasferimento di
potenza media?
| VTh |2 RL / 2
P
( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2
P
| VTh |2 RL ( X Th  X L )

X L
( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2



2
0

P | VTh |2 ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L )  2 RL ( RTh  RL )

0
2
RL
2 ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2


RL = RTh
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XL = –XTh
Potenza in regime sinusoidale, pag. 11
Massimo trasferimento di potenza media
In regime sinusoidale, il massimo trasferimento
di potenza media si ha quando
RL = RTh, XL = –XTh  ZL = Z*Th
e la potenza media fornita al carico è
Pmax
| VTh |2

8 RTh
Quando ZL = Z*Th si dice che il
carico è adattato al generatore
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 12
Valori efficaci
Il valore efficace di una corrente (tensione)
periodica è la corrente (tensione) costante
in grado di fornire ad un resistore la stessa
potenza della corrente (tensione) periodica
I cos (t+i)
Ieff
+
+
V cos (t+v)
R
–
–
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Veff
R
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 13
Valore efficace della corrente
Si ha:
1 T
1 T
2
P   R  i (t ) dt   R  I 2 cos 2 (t   i ) dt
T 0
T 0
1 T
1
2 1  cos(2t  2 i )
  RI
dt  R  I 2
T 0
2
2
ma anche:
2
P  R  I eff
e quindi:
I eff
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I

2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 14
Valore efficace della tensione
Si ha:
1
P
T

T
0
2
v (t )
1
dt 
R
T

T
0
2
V
2
cos (t   v ) dt
R
2
2
1 V 1  cos(2t  2 v )
1V
 
dt 
T 0 R
2
2 R
T
ma anche:
2
eff
V
P
R
e quindi:
Veff
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V

2
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 15
Potenza media e valori efficaci
1
P  V  I cos( v   i )
2
V
I


cos( v   i )
2 2
 Veff  I eff cos( v   i )
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 16
Potenza apparente e fattore di potenza
P  Veff  I eff cos( v   i )  S cos( v   i )
S = Veff·Ieff è detta potenza apparente e si misura
in VA (voltampere)
pf = P/S = cos(v–i) è il fattore di potenza
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 17
Fasori efficaci
Definendo i fasori efficaci:
Veff
V

 Veff  v
2
I eff
I

 I eff  i
2
si ha:
V Veff Veff
Z 

( v   i )
I I eff
I eff
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 18
Fattore di potenza
Il fattore di potenza è il coseno dello sfasamento
tra la tensione e la corrente e coincide con il
coseno dell’argomento dell’impedenza:
V V v V
Z 
 ( v   i )
I
I i
I
• carico resistivo  v–i = 0  pf = 1
La potenza media coincide con la potenza apparente
• carico reattivo  v–i = ±90°  pf = 0
La potenza media è nulla
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 19
Potenza complessa
La potenza complessa è:
1
1
*
S  V  I  V  I cos ( v   i )  j sin ( v   i ) 
2
2
 Veff  I *eff  Veff  I eff cos ( v   i )  j sin ( v   i ) 
I
Poiché V = Z·I e Veff = Z·Ieff si ha:
2
2
1
1
|
V
|
|
V
|
eff
S  Z | I |2  Z | I eff |2 

*
*
2
2 Z
Z
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+
V
–
Z
Potenza in regime sinusoidale, pag. 20
Potenza complessa
Poiché Z = R +j X si ha:
2
S  ( R  jX ) | I eff |  P  jQ
Vale anche:
S  Veff  I eff cos ( v   i )  j sin ( v   i ) 
e quindi:
P  Veff  I eff cos ( v   i )
Q  Veff  I eff sin ( v   i )
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potenza reale o attiva
potenza reattiva
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 21
Potenza complessa
P = Veff·Ieff cos(v–i) è la potenza media fornita al carico.
Questa è l’unica potenza utile ed è anche la potenza che
il carico realmente dissipa. Si misura in watt (W).
Q = Veff·Ieff sin(v–i) misura lo scambio di energia fra il
generatore e la parte reattiva del carico. Si misura in
volt-ampere reattivi (VAR).
Q = 0 per carichi resistivi
Q < 0 per carichi capacitivi (v < i)
Q > 0 per carichi induttivi (v > i)
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 22
Potenza complessa: riassunto
1
S  V  I *  P  jQ  Veff  I eff ( v   i )
2
2
S | S | Veff  I eff  P  Q
2
potenza
complessa
potenza
apparente
P  Re{S}  S cos ( v   i )
potenza
reale o attiva
Q  Im{S}  S sin ( v   i )
potenza
reattiva
P
 cos ( v   i )
S
fattore di
potenza
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 23
Triangolo delle potenze
Im
Im
S
Z
Q
v–i
P
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X
v–i
R
Re
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Re
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Triangolo delle potenze
Im
Im
S
Q
v–i
P
P
v–i
Re
S
Carico induttivo Q > 0
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Re
Q
Carico capacitivo Q < 0
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 25
Conservazione della potenza complessa
In un circuito, la potenza complessa, la potenza
reale e la potenza reattiva si conservano
Se il circuito include N elementi, con la convenzione
degli utilizzatori si ha:
N
S
N
n
0
n 1
N
P
n
Q
0
n
n 1
0
n 1
In generale, la legge di conservazione non vale per le
N
N
potenze apparenti:
 S  | S
n
n 1
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n
|0
n 1
Potenza in regime sinusoidale, pag. 26
Rifasamento
Molti carichi domestici e industriali
sono di tipo induttivo. Essi hanno
quindi un fattore di potenza pf > 0.
+ IL
R
Im
1
V
IL
S1
Q1
1
P
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V
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L
c
a
r
i
c
o
i
n
d
u
t
t
i
v
o
–
Re
Potenza in regime sinusoidale, pag. 27
Rifasamento
I
Il fattore di potenza può essere
massimizzato introducendo una
capacità in parallelo al carico.
Im
IC
QC
1 2
I
IL
V
S1
S2
IC
1 2
P
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+ IL
R
IC
V
C
Q1
L
Q2
–
Re
Potenza in regime sinusoidale, pag. 28
Rifasamento
Per il carico induttivo originale si ha:
P = S1cos1
Q1 = S1sin1 = P tg1
Per aumentare il fattore di potenza da cos1 a cos2 senza alterare
la potenza reale (P = S2cos2) si deve avere
Q2 = S2sin2 = P tg2
Im
da cui
QC
QC = Q1 – Q2 = P (tg1 – tg2)
Ricordando che QC =
V2
eff/XC =
CV2
eff
QC
P( tg1  tg 2 )
C

2
Veff
Veff2
si ottiene
S1
S2
1 2
P
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Q1
Q2
Re
Potenza in regime sinusoidale, pag. 29
Rifasamento
Il rifasamento riduce l’ampiezza della
corrente in ingresso al carico (|I| < |IL|)
a parità di potenza reale assorbita.
IC
1 2
I
IL
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V
I
+ IL
R
IC
V
C
L
IC
–
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Potenza in regime sinusoidale, pag. 30

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