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Autoimmersioni di ordini lineari e gradi di Turing - SELP

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Tesi di Laurea in
Matematica
AUTOIMMERSIONI DI
ORDINI LINEARI E
GRADI DI TURING
Relatore:
Prof. ALBERTO
MARCONE
Laureando:
ANDREA
CETTOLO
28 agosto 2014
Contesto
2
Contesto
Matematica computabile :
2
Contesto
2
Matematica computabile :
analisi degli aspetti effettivi, computabili dei risultati delle altre aree della
matematica, utilizzando la Teoria della
Calcolabilit`
a.
Contesto
2
Matematica computabile :
analisi degli aspetti effettivi, computabili dei risultati delle altre aree della
matematica, utilizzando la Teoria della
Calcolabilit`
a.
Teoria degli ordini lineari:
Contesto
2
Matematica computabile :
analisi degli aspetti effettivi, computabili dei risultati delle altre aree della
matematica, utilizzando la Teoria della
Calcolabilit`
a.
Teoria degli ordini lineari:
conseguenze di un classico teorema di
B.Dushnik e E.W.Miller.
Definizioni preliminari
3
Definizioni preliminari
3
Definizione di ordine lineare.
Relazione binaria, transitiva, antisimmetrica, antiriflessiva e totale.
Definizioni preliminari
3
Definizione di ordine lineare.
Relazione binaria, transitiva, antisimmetrica, antiriflessiva e totale.
Indicheremo con < o / gli ordini.
Definizioni preliminari
3
Definizione di ordine lineare.
Relazione binaria, transitiva, antisimmetrica, antiriflessiva e totale.
Indicheremo con < o / gli ordini.
Esempi:
Gli insiemi numerici N, Z, Q, R con i loro ordini naturali. L’ordine di N lo indichiamo con ω.
Definizioni preliminari
3
Definizione di ordine lineare.
Relazione binaria, transitiva, antisimmetrica, antiriflessiva e totale.
Indicheremo con < o / gli ordini.
Esempi:
Gli insiemi numerici N, Z, Q, R con i loro ordini naturali. L’ordine di N lo indichiamo con ω.
Anche ω ∗ = {x ∈ Z : x ≤ 0} `e un importante ordine
lineare. Come pure ω + ω ∗.
Definizioni preliminari
4
Definizione. Dati (A, <) e (B, /) ordini
lineari, f : A → B rispetta l’ordine se
∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ f (x) / f (y)).
Definizioni preliminari
4
Definizione. Dati (A, <) e (B, /) ordini
lineari, f : A → B rispetta l’ordine se
∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ f (x) / f (y)).
f `e iniettiva (un’immersione). Se `e biiettiva si parla
anche di isomorfismo.
Definizioni preliminari
4
Definizione. Dati (A, <) e (B, /) ordini
lineari, f : A → B rispetta l’ordine se
∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ f (x) / f (y)).
f `e iniettiva (un’immersione). Se `e biiettiva si parla
anche di isomorfismo.
Se (A, <) = (B, /), f viene chiamata autoimmersione.
Definizioni preliminari
4
Definizione. Dati (A, <) e (B, /) ordini
lineari, f : A → B rispetta l’ordine se
∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ f (x) / f (y)).
f `e iniettiva (un’immersione). Se `e biiettiva si parla
anche di isomorfismo.
Se (A, <) = (B, /), f viene chiamata autoimmersione.
Ogni ordine ammette l’identit`a come autoimmersione,
gli ordini finiti ammettono solo autoimmersioni banali.
Risultati preliminari
5
Risultati preliminari
5
Teorema (Dushnik-Miller,1940).
Ogni ordine lineare infinito e numerabile ammette un’autoimmersione non
banale.
Risultati preliminari
5
Teorema (Dushnik-Miller,1940).
Ogni ordine lineare infinito e numerabile ammette un’autoimmersione non
banale.
◦ Dim: Dato (L, ≤) ordine lineare, si effettua la sua condensazione.
Ovvero si considera il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza
≡ definita da
x ≡ y ⇐⇒ [x, y] ∪ [y, x] `e finito.
Si analizzano i seguenti due casi:
Risultati preliminari
5
Teorema (Dushnik-Miller,1940).
Ogni ordine lineare infinito e numerabile ammette un’autoimmersione non
banale.
◦ Dim: Dato (L, ≤) ordine lineare, si effettua la sua condensazione.
Ovvero si considera il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza
≡ definita da
x ≡ y ⇐⇒ [x, y] ∪ [y, x] `e finito.
Si analizzano i seguenti due casi:
1) Esiste un blocco infinito. Tale blocco `e isomorfo a ω, ω ∗ o Z.
Risultati preliminari
5
Teorema (Dushnik-Miller,1940).
Ogni ordine lineare infinito e numerabile ammette un’autoimmersione non
banale.
◦ Dim: Dato (L, ≤) ordine lineare, si effettua la sua condensazione.
Ovvero si considera il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza
≡ definita da
x ≡ y ⇐⇒ [x, y] ∪ [y, x] `e finito.
Si analizzano i seguenti due casi:
1) Esiste un blocco infinito. Tale blocco `e isomorfo a ω, ω ∗ o Z.
2) Tutti i blocchi sono finiti. L contiene un sottoinsieme denso.
Risultati preliminari
5
Teorema (Dushnik-Miller,1940).
Ogni ordine lineare infinito e numerabile ammette un’autoimmersione non
banale.
◦ Dim: Dato (L, ≤) ordine lineare, si effettua la sua condensazione.
Ovvero si considera il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza
≡ definita da
x ≡ y ⇐⇒ [x, y] ∪ [y, x] `e finito.
Si analizzano i seguenti due casi:
1) Esiste un blocco infinito. Tale blocco `e isomorfo a ω, ω ∗ o Z.
2) Tutti i blocchi sono finiti. L contiene un sottoinsieme denso.
Questo risultato non vale per ordini pi`u che numerabili.
Risultati preliminari
6
Definizione: Un ordine lineare (L, <) `
e
2
computabile se L ⊆ N e < ⊆ N sono
computabili.
Risultati preliminari
6
Definizione: Un ordine lineare (L, <) `
e
2
computabile se L ⊆ N e < ⊆ N sono
computabili.
Problema: Vale la versione effettivizzata del teorema di Dushnik e Miller?
Risultati preliminari
6
Definizione: Un ordine lineare (L, <) `
e
2
computabile se L ⊆ N e < ⊆ N sono
computabili.
Problema: Vale la versione effettivizzata del teorema di Dushnik e Miller?
` vero che: “Ogni ordine lineare computabile infinito
E
ammette autoimmersioni non banali computabili”?
Risultati preliminari
6
Definizione: Un ordine lineare (L, <) `
e
2
computabile se L ⊆ N e < ⊆ N sono
computabili.
Problema: Vale la versione effettivizzata del teorema di Dushnik e Miller?
` vero che: “Ogni ordine lineare computabile infinito
E
ammette autoimmersioni non banali computabili”?
La risposta `e negativa.
Risultati preliminari
7
Teorema (Hay-Rosenstein, 1977)
Esiste un ordine lineare computabile
infinito le cui autoimmersioni non sono
computabili.
Risultati preliminari
7
Teorema (Hay-Rosenstein, 1977)
Esiste un ordine lineare computabile
infinito le cui autoimmersioni non sono
computabili.
Costruzioni a stadi:
Risultati preliminari
7
Teorema (Hay-Rosenstein, 1977)
Esiste un ordine lineare computabile
infinito le cui autoimmersioni non sono
computabili.
Costruzioni a stadi:
si definiscono ricorsivamente delle operazioni da eseguire ad ogni stadio,
le operazioni devono essere computabili,
la costruzione si deve stabilizzare.
Risultati preliminari
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
8
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
L’ordine risulti isomorfo a ω e A = N.
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
L’ordine risulti isomorfo a ω e A = N.
Dovranno inoltre valere le seguenti condizioni Re per ogni e ∈ N:
• (Re) : Se ϕe 6= id allora non rispetta /.
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
L’ordine risulti isomorfo a ω e A = N.
Dovranno inoltre valere le seguenti condizioni Re per ogni e ∈ N:
• (Re) : Se ϕe 6= id allora non rispetta /.
Strategia: ci occupiamo di Re ad uno stadio s se:
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
L’ordine risulti isomorfo a ω e A = N.
Dovranno inoltre valere le seguenti condizioni Re per ogni e ∈ N:
• (Re) : Se ϕe 6= id allora non rispetta /.
Strategia: ci occupiamo di Re ad uno stadio s se:
∃x ∈ As tale che x0 := ϕe,s(x) ↓, x00 := ϕe,s(x0) ↓, x0, x00 ∈ As e
x /s x0 /s x00.
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
L’ordine risulti isomorfo a ω e A = N.
Dovranno inoltre valere le seguenti condizioni Re per ogni e ∈ N:
• (Re) : Se ϕe 6= id allora non rispetta /.
Strategia: ci occupiamo di Re ad uno stadio s se:
∃x ∈ As tale che x0 := ϕe,s(x) ↓, x00 := ϕe,s(x0) ↓, x0, x00 ∈ As e
x /s x0 /s x00.
Aggiungiamo elementi in [x, x0] in modo che |[x, x0]| > |[x0, x00]|.
Risultati preliminari
8
◦ Dim: Si costruisce un ordine (A, /) a stadi.
Stadio 0 : A0 = {0} e /0 = ∅.
Stadio s+1 : Si estende con un numero finito di elementi (As, /s) in
modo che:
L’ordine risulti isomorfo a ω e A = N.
Dovranno inoltre valere le seguenti condizioni Re per ogni e ∈ N:
• (Re) : Se ϕe 6= id allora non rispetta /.
Strategia: ci occupiamo di Re ad uno stadio s se:
∃x ∈ As tale che x0 := ϕe,s(x) ↓, x00 := ϕe,s(x0) ↓, x0, x00 ∈ As e
x /s x0 /s x00.
Aggiungiamo elementi in [x, x0] in modo che |[x, x0]| > |[x0, x00]|.
Si impedisce che vengano inseriti elementi sotto x00.
Risultati preliminari
9
Sorge naturale la seguente questione:
Determinare la complessit`
a computazionale (minimale) necessaria a calcolare almeno un’autoimmersione non banale di ogni ordine lineare infinito computabile.
Relativizzazione dei concetti 10
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Obiettivo. Formalizzare il concetto di
funzione A-computabile.
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Obiettivo. Formalizzare il concetto di
funzione A-computabile.
Due approcci:
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Obiettivo. Formalizzare il concetto di
funzione A-computabile.
Due approcci:
si aggiunge l’istruzione “oracolo” O(n) alle URM,
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Obiettivo. Formalizzare il concetto di
funzione A-computabile.
Due approcci:
si aggiunge l’istruzione “oracolo” O(n) alle URM,
si aggiunge χA alle funzioni iniziali nella definizione
di funzione ricorsiva.
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Obiettivo. Formalizzare il concetto di
funzione A-computabile.
Due approcci:
si aggiunge l’istruzione “oracolo” O(n) alle URM,
si aggiunge χA alle funzioni iniziali nella definizione
di funzione ricorsiva.
I due approcci sono equivalenti.
Relativizzazione dei concetti 10
Fissiamo A ⊆ N.
Obiettivo. Formalizzare il concetto di
funzione A-computabile.
Due approcci:
si aggiunge l’istruzione “oracolo” O(n) alle URM,
si aggiunge χA alle funzioni iniziali nella definizione
di funzione ricorsiva.
I due approcci sono equivalenti.
◦ ϕA
e indica la funzione calcolata dal programma e-simo con oracolo
collegato ad A.
Relativizzazione dei concetti 11
Definizione. B ⊆ N `
e A-computabile
χB = ϕA
e per qualche e.
Relativizzazione dei concetti 11
Definizione. B ⊆ N `
e A-computabile
χB = ϕA
e per qualche e.
In tal caso si scrive B ≤T A.
Relativizzazione dei concetti 11
Definizione. B ⊆ N `
e A-computabile
χB = ϕA
e per qualche e.
In tal caso si scrive B ≤T A.
B ≡T A sta per B ≤T A ∧ A ≤T B.
Relativizzazione dei concetti 11
Definizione. B ⊆ N `
e A-computabile
χB = ϕA
e per qualche e.
In tal caso si scrive B ≤T A.
B ≡T A sta per B ≤T A ∧ A ≤T B.
Osservazione. ≡T `
e una relazione di
equivalenza in P(N).
Relativizzazione dei concetti 11
Definizione. B ⊆ N `
e A-computabile
χB = ϕA
e per qualche e.
In tal caso si scrive B ≤T A.
B ≡T A sta per B ≤T A ∧ A ≤T B.
Osservazione. ≡T `
e una relazione di
equivalenza in P(N).
Gli elementi di D := P(N)/≡T sono chiamati gradi
di Turing e vengono indicati con a, b, c, . . .
Relativizzazione dei concetti 11
Definizione. B ⊆ N `
e A-computabile
χB = ϕA
e per qualche e.
In tal caso si scrive B ≤T A.
B ≡T A sta per B ≤T A ∧ A ≤T B.
Osservazione. ≡T `
e una relazione di
equivalenza in P(N).
Gli elementi di D := P(N)/≡T sono chiamati gradi
di Turing e vengono indicati con a, b, c, . . .
◦ Il grado di Turing degli insiemi computabili viene indicato con 0.
Relativizzazione dei concetti 12
Definizione. Il Jump di A ⊆ N `
e l’insieme A0 := {x : ϕA
x (x) ↓}.
Relativizzazione dei concetti 12
Definizione. Il Jump di A ⊆ N `
e l’insieme A0 := {x : ϕA
x (x) ↓}.
Vale A ≤T A0 e A T A0.
Relativizzazione dei concetti 12
Definizione. Il Jump di A ⊆ N `
e l’insieme A0 := {x : ϕA
x (x) ↓}.
Vale A ≤T A0 e A T A0.
Ha senso definire a0.
Relativizzazione dei concetti 12
Definizione. Il Jump di A ⊆ N `
e l’insieme A0 := {x : ϕA
x (x) ↓}.
Vale A ≤T A0 e A T A0.
Ha senso definire a0.
Iterando l’operazione di Jump si ottengono A00,A(3), . . .
Un limite superiore
13
Un limite superiore
13
Possiamo dare una prima risposta al
problema posto:
Un limite superiore
13
Possiamo dare una prima risposta al
problema posto:
Teorema Ogni ordine lineare computabile ammette un’autoimmersione non
00
banale computabile da ∅ .
Un limite superiore
13
Possiamo dare una prima risposta al
problema posto:
Teorema Ogni ordine lineare computabile ammette un’autoimmersione non
00
banale computabile da ∅ .
◦ Dim: Fissato (L, /), si definiscono
AL := {(x, y) ∈ L2 : y `e successore immediato di x},
BL := {(x, y) ∈ L2 : [x, y] ∪ [y, x] `e finito}.
Si dimostra che esiste un’autoimmersione computabile da AL ⊕ BL.
La dimostrazione ripercorre essenzialmente quella del teorema classico
di Dushnik e Miller. Si esegue un ragionamento per casi a seconda che
esista o meno un blocco infinito.
L’asserto segue dal fatto che AL ⊕ BL ≤T ∅00.
Un limite superiore
14
Il Teorema garantisce una prima risposta al problema.
000 `e in grado di calcolare autoimmersioni.
Un limite superiore
14
Il Teorema garantisce una prima risposta al problema.
000 `e in grado di calcolare autoimmersioni.
Problema. Determinare la migliore stima possibile alla complessit`
a necessaria a calcolare autoimmersioni di ogni
ordine lineare computabile.
Sappiamo che tale grado deve essere > 0 e ≤ 000.
Limiti inferiori
15
Limiti inferiori
15
Teorema (Downey-Lempp, 1999).
Esiste un ordine lineare infinito computabile tale che ogni sua autoimmersione
0
non banale computa ∅ .
Limiti inferiori
15
Teorema (Downey-Lempp, 1999).
Esiste un ordine lineare infinito computabile tale che ogni sua autoimmersione
0
non banale computa ∅ .
◦ Dim: Si definisce la seguente funzione:
c(x) := µs (∅0s|(x + 1) = ∅0|(x + 1))
dove ∅0s := {x : ϕx,s(x) ↓}.
(1)
Limiti inferiori
15
Teorema (Downey-Lempp, 1999).
Esiste un ordine lineare infinito computabile tale che ogni sua autoimmersione
0
non banale computa ∅ .
◦ Dim: Si definisce la seguente funzione:
c(x) := µs (∅0s|(x + 1) = ∅0|(x + 1))
(1)
dove ∅0s := {x : ϕx,s(x) ↓}.
Si costruisce l’ordine (L, /) a stadi, in modo che risulti isomorfo a ω e
L = N.
Limiti inferiori
15
Teorema (Downey-Lempp, 1999).
Esiste un ordine lineare infinito computabile tale che ogni sua autoimmersione
0
non banale computa ∅ .
◦ Dim: Si definisce la seguente funzione:
c(x) := µs (∅0s|(x + 1) = ∅0|(x + 1))
(1)
dove ∅0s := {x : ϕx,s(x) ↓}.
Si costruisce l’ordine (L, /) a stadi, in modo che risulti isomorfo a ω e
L = N.
Con una strategia simile a quella usata nel Teorema di Hay-Rosenstein
si fa in modo che ogni autoimmersione non banale computi la funzione
c.
Limiti inferiori
15
Teorema (Downey-Lempp, 1999).
Esiste un ordine lineare infinito computabile tale che ogni sua autoimmersione
0
non banale computa ∅ .
◦ Dim: Si definisce la seguente funzione:
c(x) := µs (∅0s|(x + 1) = ∅0|(x + 1))
(1)
dove ∅0s := {x : ϕx,s(x) ↓}.
Si costruisce l’ordine (L, /) a stadi, in modo che risulti isomorfo a ω e
L = N.
Con una strategia simile a quella usata nel Teorema di Hay-Rosenstein
si fa in modo che ogni autoimmersione non banale computi la funzione
c.
Basta quindi osservare che c ≡T ∅0.
Limiti inferiori
Questo risultato migliora quello di Hay-Rosenstein.
16
Limiti inferiori
16
Questo risultato migliora quello di Hay-Rosenstein.
Pone 00 come limite inferiore.
Un grado di Turing capace di calcolare autoimmersioni
di ogni ordine lineare dovr`a essere ≥ 00.
Limiti inferiori
Siano a, b due gradi di Turing.
17
Limiti inferiori
17
Siano a, b due gradi di Turing.
Definizione. b `
e PA su a (b a) se
ogni funzione a-computabile a valori in
{0, 1} ammette un’estensione totale bcomputabile.
Limiti inferiori
17
Siano a, b due gradi di Turing.
Definizione. b `
e PA su a (b a) se
ogni funzione a-computabile a valori in
{0, 1} ammette un’estensione totale bcomputabile.
Propriet`
a. 1. se b a allora b > a.
2. se b ≥ a0 allora b a.
Limiti inferiori
17
Siano a, b due gradi di Turing.
Definizione. b `
e PA su a (b a) se
ogni funzione a-computabile a valori in
{0, 1} ammette un’estensione totale bcomputabile.
Propriet`
a. 1. se b a allora b > a.
2. se b ≥ a0 allora b a.
◦ Dim: 1. I gradi PA su a separano insiemi a-computabilmente inseparabili.
Limiti inferiori
17
Siano a, b due gradi di Turing.
Definizione. b `
e PA su a (b a) se
ogni funzione a-computabile a valori in
{0, 1} ammette un’estensione totale bcomputabile.
Propriet`
a. 1. se b a allora b > a.
2. se b ≥ a0 allora b a.
◦ Dim: 1. I gradi PA su a separano insiemi a-computabilmente inseparabili.
A
2. Data ϕA
e con A ∈ a, il jump sa quando ∃s ϕe,s(x) ↓.
Limiti inferiori
18
Teorema (D.-Jockusch-Miller, 2006).
Esiste un ordine lineare computabile
infinito tale che ogni sua autoimmer0
sione non banale ha grado PA su 0 .
Limiti inferiori
18
Teorema (D.-Jockusch-Miller, 2006).
Esiste un ordine lineare computabile
infinito tale che ogni sua autoimmer0
sione non banale ha grado PA su 0 .
◦ Dim: Si usa il seguente:
Lemma. Esistono insiemi A0, A1 ∅0-c.e. disgiunti tali che ogni insieme
che li separa ha grado P A su 00.
Limiti inferiori
18
Teorema (D.-Jockusch-Miller, 2006).
Esiste un ordine lineare computabile
infinito tale che ogni sua autoimmer0
sione non banale ha grado PA su 0 .
◦ Dim: Si usa il seguente:
Lemma. Esistono insiemi A0, A1 ∅0-c.e. disgiunti tali che ogni insieme
che li separa ha grado P A su 00.
Si costruisce un ordine (L, /) a stadi computabili, in modo che L = N.
Si pone 0 e 1 rispettivamente come elementi di minimo e massimo di
L.
Limiti inferiori
18
Teorema (D.-Jockusch-Miller, 2006).
Esiste un ordine lineare computabile
infinito tale che ogni sua autoimmer0
sione non banale ha grado PA su 0 .
◦ Dim: Si usa il seguente:
Lemma. Esistono insiemi A0, A1 ∅0-c.e. disgiunti tali che ogni insieme
che li separa ha grado P A su 00.
Si costruisce un ordine (L, /) a stadi computabili, in modo che L = N.
Si pone 0 e 1 rispettivamente come elementi di minimo e massimo di
L.
Ogni autoimmersione dovr`a essere in grado di computare un insieme
che separa A0 e A1.
Limiti inferiori
Osservazioni:
19
Limiti inferiori
19
Osservazioni:
In questo caso l’ordine `e isomorfo a ω + Z · Q + ω ∗.
Limiti inferiori
19
Osservazioni:
In questo caso l’ordine `e isomorfo a ω + Z · Q + ω ∗.
Questo risultato migliora quello ottenuto da Downey e
Lempp nel 1999.
Limiti inferiori
19
Osservazioni:
In questo caso l’ordine `e isomorfo a ω + Z · Q + ω ∗.
Questo risultato migliora quello ottenuto da Downey e
Lempp nel 1999.
Non si pu`o estendere il risultato ottenuto per 000 a 00.
Conclusioni
20
Conclusioni
20
Abbiamo determinato i seguenti limiti:
Conclusioni
20
Abbiamo determinato i seguenti limiti:
Limite superiore: 000
Limite inferiore: gradi PA su 00
Conclusioni
20
Abbiamo determinato i seguenti limiti:
Limite superiore: 000
Limite inferiore: gradi PA su 00
0
Fatto: Esistono gradi PA su 0 strettamente minori di 000.
Conclusioni
20
Abbiamo determinato i seguenti limiti:
Limite superiore: 000
Limite inferiore: gradi PA su 00
0
Fatto: Esistono gradi PA su 0 strettamente minori di 000.
Rimane aperto il problema di determinare la migliore stima possibile.
Conclusioni
20
Abbiamo determinato i seguenti limiti:
Limite superiore: 000
Limite inferiore: gradi PA su 00
0
Fatto: Esistono gradi PA su 0 strettamente minori di 000.
Rimane aperto il problema di determinare la migliore stima possibile.
Data la complessit`a di D non `e detto che esista un
elemento minimale tra quelli cercati.
Risultati relativizzati
21
Risultati relativizzati
21
T. Hay-Rosenstein: Esiste un ordine lineare infinito A-computabile le cui autoimmersioni non sono Acomputabili.
Limite superiore: Ogni ordine lineare A-computabile
ammette autoimmersione non banale computabile da
A00.
T. Downey-Lempp: Esiste un ordine lineare infinito
A-computabile tale che per ogni autoimmersione non
banale f vale A0 ≤T A ⊕ f .
T. Downey-Jockusch-Miller: Esiste un ordine lineare
infinito A-computabile tale che per ogni autoimmersione non banale f vale A ⊕ f A0.
Bibliografia
22
Bibliografia
22
Bibliografia
◦ R. G. Downey, C. Jockusch, J.S. Miller, On self-embeddings of computable linear orderings, Annals of Pure and Applied Logic 138
(2006), 52-61.
◦ R.G. Downey, S. Lempp, On the proof theoretical strength of the
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