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Cap3 - Energia Potenziale e Metodo di Ritz-Rayleigh

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Università degli Studi di Cagliari - Facoltà di Ingegneria e Architettura
Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2013/’14)
CAP. 3 – ENERGIA POTENZIALE E METODO DI RAYLEIGH-RITZ
Nel secondo capitolo per generare le equazioni di equilibrio nella forma
∙
=
, abbiamo fatto
ricorso a degli argomenti di tipo fisico. In questo capitolo introdurremo la funzione “POTENZIALE TOTALE”:
si tratta di una funzione degli spostamenti che quando è minimizzata rispetto agli spostamenti, dà luogo ad
un insieme di equazioni di equilibrio. Così, in alternativa al metodo diretto presentato nel secondo capitolo,
per definire uno stato di equilibrio statico è possibile ricorrere al metodo del “minimo potenziale”. Nel caso
della struttura reticolare usata come esempio nel capitolo precedente, i due metodi conducono allo stesso
sistema di equazioni
∙
=
. Allora perché è necessario un altro metodo ? Il motivo è che con il
metodo diretto è difficile, se non impossibile, formulare adeguatamente elementi più complicati della
semplice asta tirante/puntone. Un metodo che si basa sulla minimizzazione del potenziale è più generale ed
affidabile. In questo capitolo spiegheremo il metodo della minimizzazione del potenziale e nei capitoli
successivi lo utilizzeremo per formulare gli elementi finiti.
3.1 Introduzione
Il metodo degli elementi finiti può essere visto come una forma del metodo di Rayleigh-Ritz, che a sua volta
è una tecnica che cerca la configurazione di equilibrio approssimata della struttura in esame. Usualmente, ma
non necessariamente, per descrivere il campo di spostamento approssimato si utilizza una funzione
polinomiale. Per un dato problema sono possibili numerosi polinomi, ma il metodo di soluzione ne sceglie
uno in particolare. In parole povere, tra tutti i polinomi possibili, il metodo di soluzione seleziona quello che
contemporaneamente minimizza l’energia potenziale e soddisfa, in modo approssimato, le condizioni di
equilibrio. Il tipo di approssimazione deve essere studiato con attenzione.
Una spiegazione matematica del metodo degli elementi finiti non deve basarsi necessariamente sul concetto
di minimo del potenziale; per esempio il metodo degli elementi finiti può essere visto come una forma del
metodo di Galerkin. Ma fino ad oggi il concetto di minimo del potenziale è stato il più utile per i problemi
che hanno a che fare con l’analisi degli sforzi ed è per questo che ci limiteremo a discutere questo metodo.
Quando si utilizza il metodo degli elementi finiti è molto utile avere una buona conoscenza della fisica dei
problemi in esame. Sono anche importanti buone competenze di carattere teorico che possano portare a
tecniche di soluzione efficaci, non dettate direttamente da ragionamenti di carattere fisico. Ciò suggerisce
che il metodo può essere applicato a problemi diversi dall’analisi degli sforzi e che, oltre all’energia
potenziale, come base possono essere usate altre funzioni.
3.2 Energia Potenziale Totale
Definiamo SISTEMA l’insieme costituito da una struttura elastica e dai carichi che su di essa agiscono. Il
sistema è conservativo se è nullo il lavoro complessivo necessario per deformarlo a partire da una
configurazione qualsiasi per poi riportarlo nella configurazione iniziale, indipendentemente dalla storia di
carico. L’ENERGIA POTENZIALE di un sistema è la somma dell’energia elastica in esso contenuta più la
capacità che hanno i carichi (che su di essa agiscono) di fornire lavoro quando il punto su cui sono applicati
subiscono uno spostamento. Se prendiamo il sistema e lo muoviamo, il lavoro che facciamo, positivo o
negativo che sia, si somma algebricamente all’energia potenziale già presente nel sistema conservativo.
Il PRINCIPIO DELLA MINIMA ENERGIA POTENZIALE afferma che:
fra tutte le configurazioni deformate compatibili con la continuità interna del solido e con le
condizioni al contorno, quelle che soddisfano anche le equazioni di equilibrio rendono
l’energia potenziale stazionaria. Se il valore stazionario è minimo, l’equilibrio è stabile.
I sistemi elastici che più facilmente ci vengono in mente hanno una sola posizione di equilibrio stabile. Ma il
principio così come enunciato è valido anche per sistemi non lineari, ma conservativi, con uno o più
configurazioni di equilibrio. E’ importante notare che non possiamo considerare tutte le configurazioni
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deformate, ma solo quelle che soddisfano le condizioni di congruenza. Queste prendono il nome di
CONFIGURAZIONI AMMISSIBILI. Per esempio un solido continuo non può dividersi internamente ed una
mensola non può spostarsi ne ruotare intorno all’incastro.
Consideriamo per esempio il sistema molla-forza della Fig.3.2.1. Le configurazioni ammissibili sono
indicate dallo spostamento d. Quando d è nullo, la molla è a riposo. L’energia potenziale vale:
= ∙
∙
−
∙
[3.2.1]
Il segno negativo che compare nell’eq. (3.2.1) è dovuto al fatto che P perde una parte della sua capacità di
produrre lavoro quando il suo punto di applicazione si sposta nello stesso verso del suo segno positivo. Si
può anche notare che se definiamo nullo lo “STATO ENERGETICO” che corrisponde a d = 0, il lavoro esterno
per deformare la molla e − ∙ per
che dobbiamo fornire per produrre lo spostamento d è pari a ∙ ∙
spostare il punto di applicazione della forza.
Questo lavoro è immagazzinato come ENERGIA POTENZIALE. Lo spostamento
a cui corrisponde lo stato di equilibrio, rende
stazionaria rispetto allo
spostamento virtuale . Quindi:
=
∙
−
∙
=0
L0
k
[3.2.2]
d
e la posizione di equilibrio (la configurazione deformata) è:
=
P
[3.2.3]
Fig.3.2.1 – Sistema molla - forza
il lavoro fatto dalle forze interne ∙ più il lavoro fatto dalle forze esterne P è nullo quando al
sistema si impone uno spostamento infinitesimo
a partire dalla sua posizione di equilibrio.
L’equazione (3.2.3) è una forma del PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI: esso afferma che
Si può anche dire che un osservatore deve fare un lavoro totale nullo per cambiare la configurazione da
a
+ .
Energia nulla per d = 0 mm
6000
Energia
Elastica
2000
Potenziale
del carico
0
-4000
0
20
Spostamento
40
Potenziale
Totale
Energia nulla per d = 20 mm
Energia
Elastica
6000
Potenziale
Potenziale
4000
-2000
8000
4000
Potenziale
del carico
2000
0
-2000 0
-4000
-6000
20
40
60
Potenziale
Totale
Spostamento
Dal grafico vediamo che il punto stazionario è un minimo, quindi l’equilibrio è stabile. Si può anche notare
che il valore nullo della parte di potenziale relativa al carico è arbitrario; per esempio avremmo potuto
scrivere − ∙
+ invece di − ∙ . In questo caso la curva
si sposterebbe rigidamente in direzione
verticale, verso l’alto o verso il basso in funzione del segno di L0, ma lo spostamento corrispondente allo
stato di equilibrio rimarrebbe
.
La forza ha energia potenziale − ∙ invece di − ∙ ∙ perché la forza non cresce con lo spostamento,
ma durante quest’ultimo rimane costante. Questa parte di potenziale è dovuta al valore della forza ed alla
sua capacità di spostarsi: non dipende in alcun modo dalle proprietà lineari della molla. In realtà potremo
bypassare il Principio del Minimo dell’Energia Potenziale notando che se la forza crescesse lentamente fino
al valore P, il lavoro da essa prodotto verrebbe immagazzinata come energia di deformazione. Quindi,
poiché ∙ = , allora:
∙ ∙ = ∙ ∙
da cui
=
[3.2.4]
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Comunque questo metodo fornisce solo un’equazione anche quando ci sono numerosi gradi di libertà e
quindi non è molto utile.
3.3 Numerosi gradi di libertà
Se per definire la configurazione di un sistema sono necessari n quantità indipendenti, si dice che il sistema
possiede n gradi di libertà (GdL). Le n quantità si chiamano “COORDINATE GENERALIZZATE”. In un dato
problema non è necessario che i GdL siano tutti dello stesso tipo, per esempio alcuni possono essere
spostamenti lineari, altri possono essere rotazioni oppure deformazioni.
Esprimiamo L’ENERGIA POTENZIALE
di un sistema in funzione delle coordinate generalizzate :
=
,
Quindi differenziando rispetto agli spostamenti abbiamo:
=
"#$
"%&
∙
+
"#$
"%'
∙
+ ⋯+
"#$
"%(
∙
,⋯,
!
=)
!
"#$ +
"%
* ∙
[3.3.1]
Perché la funzione sia stazionaria la variazione
deve essere nulla, per ogni insieme di spostamenti
infinitesimi
ammissibili. Ciò può verificarsi solo se il coefficiente che moltiplica ogni variazione
è nullo. Quindi deve risultare:
"#$
"%&
=0
i = 1, 2, …, n
$
)"% * = 0
"#
o in altri termini,
&
[3.3.2]
In accordo con il PRINCIPIO DEL MINIMO DELL’ENERGIA POTENZIALE, l’equazione (3.3.2) definisce la
configurazione di equilibrio del sistema. Le incognite sono le n coordinate generalizzate; abbiamo un
numero di equazioni pari al numero di incognite, quindi possiamo pensare di ottenere una soluzione. Per
esempio, consideriamo un sistema con 2 GdL (Fig.3.3.1). L’asta orizzontale è rigida e senza peso. Le
coordinate generalizzate necessarie per descrivere la configurazione deformata sono la traslazione d e la
rotazione θ. Poniamo d = θ = 0 quando le molle non sono tese. Se le rotazioni sono piccole possiamo
scrivere (,-. / ≈ /) :
= ∙
∙
∙
+/∙
+ ∙
∙
+/∙
Differenziando rispetto ai gradi di libertà abbiamo:
"#$
"%
"#$
"1
=
=
+
∙
∙
∙
+
+/∙
∙ −
−
−
+/∙-
=0
∙- =0
∙
3∙) * = )
*
∙
∙/
[3.3.3]
L
k1
P
a
che in forma matriciale si può scrivere nel modo seguente:
2
∙
k2
d
θ
[3.3.4]
Fig.3.3.1 – Sistema con due gradi di libertà
La matrice quadrata è una matrice di rigidezza ed il sistema è del tipo:
prendono il nome di FORZE GENERALIZZATE.
∙
=
. I termini P e
∙-
Da questo esempio possiamo trarre le seguenti conclusioni, di carattere generale:
1) La matrice di rigidezza di un sistema che lega i carichi lineari agli spostamenti è simmetrica; cioè
4 = 4 . Ciò avviene perché ogni copia di coefficienti disposti fuori della diagonale proviene da
un unico termine di
la cui forma è il prodotto di una costante per gli spostamenti generalizzati
∙ 4;
2) Ogni equazione "%$ = 0 è un’equazione di equilibrio. Nell’esempio preso in considerazione, le
"#
&
equazioni si possono ottenere considerando l’equilibrio delle forze verticali e dei momenti intorno
al bordo sinistro:
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∑ 67 = ∙ + ∙ + / ∙ − = 0
∑ 89 ! =
∙ +/∙ ∙ − ∙- =0
3) Il prodotto di ogni spostamento generalizzato per la corrispondente forza generalizzata ha come
unità di misura il lavoro o l’energia. In effetti, premoltiplicando l’eq.( 3.3.4) per il vettore trasposto
della soluzione si ottiene un’equazione scalare che esprime il bilancio energetico:
+
∙
/ ∙2
∙
3∙) *−
∙
/
/ ∙)
Eseguendo i prodotti e dividendo per due otteniamo:
∙
∙
+ ∙
∙
+ ∙/
= ∙
∙
∙-
+-∙/
*=0
Se si aggiunge una terza molla, la struttura diventa iperstatica, ma i due gradi di libertà d e θ sono ancora
sufficienti a descrivere la configurazione deformata: dobbiamo ancora risolvere solo due equazioni. Poiché
nel metodo del Minimo dell’Energia Potenziale le incognite indipendenti non sono le forze,
l’indeterminazione statica non modifica la procedura.
Consideriamo l’asta della Fig.3.3.2 che unisce i nodi i e j ed è inclinata, rispetto all’asse orizzontale,
dell’angolo : : la sua sezione trasversale sia ; , la sua lunghezza
ed il suo modulo di Young < . La
=>? ∙@>?
rigidezza risulta quindi pari a:
= A ; dati gli spostamenti nodali B , C , B4 e C4 , la variazione di
>?
lunghezza dell’asta vale:
= DB − B4 E ∙ FGH :
1
∙
2
L’Energia Potenziale Totale dell’asta ie-esima vale:
=
∙
+ DC − C4 E ∙ HI. :
− L ∙ B − M ∙ C − L4 ∙ B4 − M4 ∙ C4
Le derivate parziali rispetto agli spostamenti valgono:
"#$
"N>
"#$
"O>
"#$
"NP
"#$
"OP
=
=
=
=
∙
∙
∙
∙
∙ −FGH :
∙ −HI. :
∙ FGH :
∙ HI. :
−L =0
qj
y,v
−M =0
:
∙ FGH :
:
∙ FGH :
vj
vi
− L4 = 0
i
ui
x, u
− M4 = 0
HI. : ∙ FGH :
HI. :
−HI. : ∙ FGH :
−HI. :
j
uj
pi
Fig.3.3.2 – Elemento asta nel piano
Possiamo scrivere le precedenti equazioni in forma matriciale:
FGH
S
HI.
:
∙ RR
−FGH
R
Q−HI. :
pj
qi
−FGH :
−HI. : ∙ FGH :
FGH :
HI. : ∙ FGH :
−HI. : ∙ FGH :
−HI. :
HI. : ∙ FGH :
HI. :
3.4
Sforzi e deformazioni iniziali [da scrivere]
3.5
Espressione generale dell’Energia Potenziale
L
V B
C
U ∙ W X = WM X
L4
U B4
U C
M4
4
T
Consideriamo il caso in cui su un materiale elastico lineare agiscano le 6 componenti di sforzo. Sforzi e
deformazioni verranno indicati in forma vettoriale:
Y
]
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+
+
= YZ
= ^Z
Y7
^7
Y[
^[
\Z7
_Z7
\7[
_7[
\[Z
_[Z
[3.5.1]
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in cui si utilizza la definizione ingegneristica dello scorrimento: _Z7 =
= B
C
b
Gli spostamenti nelle direzioni x, y e z verranno indicati con il vettore:
+
Y = < ∙
"N
"7
+
"O
"Z
[3.5.2]
] − ]
= < ∙ ] − Y
La relazione sforzi – deformazioni può essere scritta nel modo seguente:
in cui < indica la matrice simmetrica delle costanti elastiche che descrivono il comportamento di un
materiale isotropo o anisotropo. Gli sforzi iniziali Y si manifestano se, per esempio, si impediscono le
deformazioni meccaniche ] che nascono quando si riscalda un solido.
[3.5.3]
L’incremento dell’energia di deformazione per unità di volume causato dallo spostamento infinitesimo di un
volume unitario è:
c = Y
+
∙
] = YZ ∙ ^Z + Y7 ∙ ^7 + Y[ ∙ ^[ + \Z7 ∙ _Z7 + \7[ ∙ _7[ + \[Z ∙ _[Z
[3.5.4]
Non verranno prese in considerazione le variazioni di Y causate dalle variazioni della deformazione ]
perché producono termini di ordine superiore: per esempio YZ + YZ ∙ ^Z ≅ YZ ∙ ^Z . Dall’eq. (3.5.4)
concludiamo che:
"ef
"gh
= YZ
"ef
"gi
;
= Y7 ;
⋯
;
"ef
"jkh
= \[Z
[3.5.5]
Esprimendo le eq. (3.5.5) in forma matriciale e usando le eq. (3.5.3) otteniamo 6 equazioni:
) "gf * = Y = < ∙ ] + Y
"e
L’integrazione rispetto alle deformazioni fornisce:
c =l < ∙ ] ∙ ^+l Y ∙ ^ = ∙ ]
+
La costante d’integrazione è superflua ed è stata scartata.
∙ < ∙ ] + ]
Nel caso di stato di sforzo piano abbiamo:
Y
+
da cui:
= YZ
Y7
\Z7
c = ∙ ]
;
∙ < ∙ ]
1
−
ν
∙ ^Z ^7 ^[ _Z7 ∙ m−ν
∙@
0
o]Z − 2 ∙ ν ∙ ]Z ∙ ]7 + ]7 + 2 ∙
+
]
+
= ^Z
^7
^[
_Z7
[3.5.6]
;
+
∙ Y
[3.5.7]
1 −ν
−ν 1
< = @ ∙ m−ν −ν
0
0
+ ] +∙ Y =
^Z
−ν
−ν 0
^7
1
−ν
0
n ∙ W ^ X + ^Z ^7 ^[
−ν
0
0
[
_Z7
0
0 2∙ 1+ν
1 + ν ∙ _Z7 p + o^Z ∙ YZ + ^7 ∙ Y7 + _Z7 ∙ \Z7 p
−ν 0
−ν
0
n
0
0
0 2∙ 1+ν
YZ
Y7
_Z7 ∙ W
0 X=
\Z7
[3.5.8]
∙@
∙
Prima di procedere dobbiamo definire le forze di massa per unità di volume: 6 + = 6Z 67 6[ e le
forze superficiali per unità di area che agiscono sulla superficie del solido : q + = qZ q7 q[ . Le
componenti di 6 e q si considerano positive quando agiscono nella direzione positiva degli assi
coordinati.
Usando l’eq.( 3.5.7) scriviamo l’espressione dell’Energia Potenziale:
= lOtu r ∙ ]
+
∙ < ∙ ] + ]
+
∙ Y s ∙ C + lOtu
+
∙ 6 ∙ C + l9N
+
∙ q ∙ H
[3.5.7]
Il primo integrale rappresenta il lavoro fatto dagli sforzi interni, immagazzinato in forma di energia di
deformazione. Gli ultimi due integrali rappresentano il lavoro fatto (quindi una caduta del potenziale)
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quando le forze di volume e di superficie si spostano nel verso concorde con il loro segno. Gli spostamenti
presenti negli integrali sono valutati sulla superficie.
3.6
Proprietà dell’Energia Potenziale Stazionaria
Questo capitolo ha due obiettivi: il primo è introdurre il “calcolo variazionale”, essenziale per uno studio
rigoroso del metodo degli elementi finiti e per la formulazione delle proprietà degli elementi, senza la
necessità di utilizzare un campo di spostamenti imposti. Il secondo obiettivo è dimostrare che una
soluzione che si basa sull’energia potenziale stazionaria tende a soddisfare le condizioni di equilibrio come
conseguenza automatica della procedura, purché siano soddisfatte le condizioni di compatibilità.
Consideriamo una trave sottoposta ad un carico assiale distribuito Q, dove Q è funzione di x ed ha le
dimensioni di una forza per unità di lunghezza [N/mm]. Lo stato di sforzo è monoassiale. L’espressione
dell’Energia Potenziale è quindi:
=l
A@
∙v w ∙;∙ x−l y∙B∙ x
A
"N
"Z
[3.6.1]
dove A indica la sezione trasversale della trave. Imponiamo a priori che u sia una funzione continua e tale
per cui si possa calcola l’integrale. In particolare zB⁄zx non deve mai diventare infinita. Per mezzo del
calcolo delle variazioni cerchiamo il valore corretto della funzione B = B x che rende stazionario il
potenziale . Ciò che otterremo è un’equazione differenziale dello spostamento u e certe condizioni al
contorno da imporre alla soluzione.
Una soluzione accettabile deve soddisfare le condizioni al contorno u = 0 in x = 0: si tratta di una
condizione cinematica cioè un vincolo sulle condizioni al contorno. Poniamo che la funzione H = H x sia
una funzione che soddisfi le stesse condizioni al contorno, ma per il resto indipendente dalla funzione u.
Nella Fig.3.6.1 abbiamo indicato con linea tratteggiata alcune possibili curve H = H x . Se “c” è un numero
arbitrario, allora B x + F ∙ H x è una configurazione deformata arbitraria e c = 0 indica la forma corretta.
Se indichiamo con F un numero piccolo a piacere, allora B x + F ∙ H x indica una piccola variazione
della configurazione deformata rispetto alla soluzione corretta B = B x . Che forma deve assumere la
diventi infinitesima quando ci si allontana di
deformata B = B x per cui la variazione del potenziale
poco dalla stessa configurazione ? Per rispondere alla domanda iniziamo a scrivere il potenziale nella sua
forma perturbata:
+
=l
A@
∙ v"Z + F ∙ "Zw ∙ ; ∙ x − l y ∙ B + F ∙ H ∙ x
"N
A
"9
[3.6.2]
Se dall’e.(3.6.2) sottraiamo l’eq. (3.6.1) e trascuriamo il termine d’ordine superiore v F ∙ "Zw , troviamo la
variazione del potenziale
nell’intorno di c = 0:
= F∙l
A@
∙ 2 ∙ "Z ∙ "Z ∙ ; ∙ x − F ∙ l y ∙ H ∙ x
"N
A
"9
Eseguiamo l’integrazione per parti:
l
A
∙ ∙ x = r"Z ∙ H x s − l
"Z "Z
A "N
"9
"N
A "' N
"Z '
"9
[3.6.3]
Q(x)
x, u
L
∙H x ∙ x
[3.6.4]
u, s
u=u(x)
s=s(x)
In seguito all’applicazione delle condizioni al contorno (s = 0 quando x = 0),
l’eq.(3.6.3) e l’eq.(3.6.4) danno luogo alla seguente equazione:
x
|#$
|}
=l <
A
"N "9
;
"Z "Z
x − l yH x = <;
A
"N A
"Z
∙H
− l r<; ' + ys ∙ H x ∙ x
"Z
A
"' N
Poiché per la configurazione deformata corretta B = B x il potenziale
|#$
|}
Fig.3.6.1
[3.6.5]
deve essere stazionario, allora
deve annullarsi, indipendentemente dal fatto che si tratti di un minimo, un massimo o un flesso.
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Poiché H = H x è una funzione arbitraria sia per
0 < x < che nel punto x = L, allora |} può
annullarsi solo se sono valide entrambe le condizioni:
|#$
<;
"N A
"Z
∙H
= 0 ; <;
"' N
"Z '
+y =0
[3.6.6]
c
c
c
Fig.3.6.2
La seconda è l’equazione differenziale che governa o descrive il problema. Si può notare che si tratta di
un’equazione di equilibrio: infatti esaminando un cubetto infinitesimo su cui agisce la forza distribuita di
trazione Q(x) e le azioni interne normali, per l’equilibrio delle forze orizzontale possiamo scrivere (vedi
fig.):
• 6Z = 2€ x +
da cui:
z€
∙ x3 ∙ ; + y x ∙ x ∙ ; − € x ∙ ; = 0
zx
y x +
"•
"Z
=0
Per uno stato di sforzo monoassiale, possiamo scrivere la legge di Hooke:
"N
Y = < ∙ ] = < ∙ "Z; inoltre abbiamo € = Y ∙ ; da cui
z€ z Y ∙ ;
z <∙]∙;
z B
=
=
= <;
zx
zx
zx
zx
x
€ x
y x
€ x +
z€
∙ x
zx
Fig.3.6.3
La prima equazione si chiama “Condizione al contorno naturale” perché si forma al di fuori della procedura
variazionale: essa afferma che nel punto x = L gli sforzi sono nulli; infatti:
zB
∙H
=;∙Y
∙H
=0
zx
Abbiamo un’equazione differenziale del secondo ordine e due condizioni al contorno (un vincolo e una
condizione “naturale”), quindi è possibile trovare una soluzione per B = B x .
<;
Che relazione esiste tra il problema qui discusso ed il METODO DEGLI ELEMENTI FINITI ?
La trave della fig.3.6.1 può essere modellata da una serie di n elementi “truss” (biella o tirante/puntone),
ognuno di lunghezza a = L/n, sottoposti ai carichi nodali y ∙ -, dove y è il valore di Q nel nodo i-esimo.
Con l’estremo sinistro incastrato, gli spostamenti nodali B arbitrari indicano una forma “perturbata”, analoga
alle curve tratteggiate della figura 3.6.1. Dato un valore qualsiasi n, la curva continua e regolare B = B x
viene approssimata da una serie di segmenti rettilinei, cioè con un’interpolazione polinomiale per tratti. La
deformazione zB⁄zxcambia bruscamente da un segmento all’altro, ma non tende mai all’infinito. In questo
modo quindi, sia nel problema continuo che nel suo analogo discreto, abbiamo soddisfatto le condizioni di
compatibilità (la congruenza) e le condizioni al contorno sugli spostamenti considerando solo condizioni
ammissibili. Se inoltre sono soddisfatte le equazioni differenziali dell’equilibrio per tutte le x e se sono
soddisfatte le condizioni al contorno sugli sforzi (le condizioni al contorno naturali), allora abbiamo trovato
la soluzione corretta.
La soluzione del problema continuo soddisfa le equazioni di equilibrio (3.6.6), ma ciò non capita con la
soluzione del problema discreto. La soluzione discretizzata è l’insieme degli spostamenti nodali ui che
soddisfano le equazioni dell’equilibrio ai nodi:
z ́
=0
zB
Il simbolo ́ indica che i due problemi, quello continuo e quello discretizzato, sono diversi ed hanno
potenziali diversi. Infatti non è detto che la soluzione discretizzata ui si sovrapponga perfettamente alla
soluzione continua B = B x . Come il numero di elementi aumenta, la forma H = H x diventa regolare, ́
si avvicina a
e gli spostamenti ui tendono a sovrapporsi a B = B x . Inoltre le equazioni di equilibrio
nodale si trasformano nell’eq. (3.6.6), e la soluzione discretizzata diventa esatta invece che approssimata.
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Per concludere, mettiamo in evidenza che se sono permessi solo spostamenti ammissibili, allora il metodo
del potenziale stazionario soddisfa implicitamente le condizioni di equilibrio come conseguenza naturale
della soluzione. Con una modifica della terminologia, le nostre osservazioni si applicano anche al metodo di
Rayleigh-Ritz.
Un’espressione come quella di
si chiama funzionale per indicare che
non è semplicemente una
funzione degli spostamenti e delle sue derivate, ma dipende dal loro effetto integrato. Se
è relativo al caso
dell’elasticità piana e se si applica il metodo del calcolo variazionale, la condizione
= 0 richiede che:
a) Le equazioni differenziali dell’equilibrio siano soddisfatte all’interno del volume;
b) Siano soddisfatte le condizioni di equilibrio al contorno, sui punti del confine dove non sono imposti
gli spostamenti
3.7
Il metodo di Rayleigh-Ritz
I problemi continui hanno un numero infinito di gradi di libertà perché ad ogni punto sono associati
spostamenti indipendenti. Un modo per affrontare il problema consiste nel tentare di generare e risolvere un
insieme di equazioni alle derivate parziali. Possibile evitare le difficoltà di questo metodo e ridurre il
problema ad un numero finito di gradi di libertà se è disponibile un funzionale
che governa il problema e
se ci accontentiamo di una soluzione approssimata. Invece di generare equazioni ale derivate parziali,
generiamo equazioni algebriche, in numero pari a quello delle coordinate generalizzate. In ciò che segue,
come funzionale useremo solo
, ma il metodo di Ritz-Rayleigh può essere applicato anche ad altri
funzionali.
Consideriamo un problema di elasticità bidimensionale. Un solido è soggetto a certe trazioni e spostamenti al
contorno. Il nostro obiettivo è trovare una soluzione approssimata degli spostamenti in ogni punto. Per fare
questo, con il metodo di Ritz-Rayleigh iniziamo costruendo una configurazione approssimata degli
spostamenti:
B = - ∙ „ x, … + - ∙ „ x, … + ⋯ + -† ∙ „† x, … ‰
[3.7.1]
ƒ
C = ‡ ∙ ℎ x, … + ‡ ∙ ℎ x, … + ⋯ + ‡† ∙ ℎ† x, …
Si impone che ogni funzione „ e ℎ abbia derivate continue e che abbia una forma tale da soddisfare tutte le
condizioni al contorno del problema, indipendentemente dai valori numerici che possono essere assegnati ai
parametri - , …, -† , ‡ , …, ‡† . La congruenza interna è soddisfatta automaticamente perché le
deformazioni dipendono dagli spostamenti attraverso le usuali relazioni ]Z = zB⁄zx, … , _Z7 = zB⁄z… + zC⁄zx .
Quindi l’energia potenziale
può essere espressa in funzione dei coefficienti - e ‡ : è il loro valore che
determina il valore di , come avveniva nell’eq. (3.3.1) con lo spostamento di. I coefficienti - e ‡ sono le
COORDINATE GENERALIZZATE: di conseguenza, i coefficienti - e ‡ che rendono stazionario
sono
determinati risolvendo un sistema di m + n equazioni algebriche del tipo:
"#$
"N>
=0
,
"#$
"N>
=0
[3.7.2]
I coefficienti - e ‡ calcolati risolvendo il sistema (3.7.2) possono essere sostituiti nell’eq. (3.7.1). Di
conseguenza lo spostamento è completamente definito e da esso è possibile calcolare sforzi e deformazioni.
Le equazioni differenziali dell’equilibrio dovrebbero essere soddisfatte in ogni punto del continuo.
L’equazione (3.7.2) “fa del suo meglio” per raggiungere questo risultato, ma in generale non ci riesce, perché
il sistema dipende da un numero finito di gradi di libertà. Di conseguenza la soluzione è solo una
approssimazione della soluzione esatta, ma può essere migliorata usando un numero maggiore di parametri
- e ‡ . Come sempre, le equazioni (3.7.2) danno luogo ad un sistema di equazioni di rigidezza, che può
essere scritto nella forma
∙
=
, dove il vettore
contiene i coefficienti - e ‡ . Non tutti i
termini del vettore
hanno le dimensioni dello spostamento. La forma che assume il vettore
dipende
dal campo di spostamento imposto e dal carico sulla struttura: esso contiene le forze generalizzate e mentre
non tutte le Ri hanno come unità di misura la forza, le Ri e le Di hanno unità di misura tali che il loro prodotto
RiDi ha come unità di misura il lavoro. Ciò è coerente con il concetto di lavoro virtuale, che afferma che se
un sistema è in equilibrio, allora durante uno spostamento infinitesimo arbitrario dalla posizione di
A cura di Filippo Bertolino: marzo 2014
Pag 8
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Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2013/’14)
equilibrio, il lavoro virtuale delle forze esterne è uguale al lavoro virtuale delle forze interne. In simboli,
indicando con
lo spostamento virtuale arbitrario, scriviamo:
+
equazione che esprime il lavoro virtuale.
∙
=
+
∙
∙
Consideriamo la mensola della figura 3.7.1, e trascuriamo i carichi
termici, i carichi distribuiti e la deformazione causata dal taglio.
Ricordando l’equazione della linea elastica:
%' O
%Z '
=
%•
%Z
=
• Z
@∙‘
l’energia potenziale vale:
= l ∙8∙ :−∑
:=
da cui
• Z
@∙‘
∙C =l ∙ ∙ x−∑
@∙‘
@∙‘
∙v
%' O
w
%Z '
y, C
x
Fig. 3.7.1
∙ x−∑
C x = - + - ∙ x + - ∙ x + -’ ∙ x ’ + ⋯ + -! ∙ x !
Imponiamo a priori un campo di spostamento di tipo polinomiale:
P2
L
L
∙ x
∙C =l
•'
P1
∙C
[3.7.3]
[3.7.4]
Poiché nel punto di coordinata x = 0 la mensola è incastrata, il campo di spostamento ammissibile deve
essere tale per cui, in x = 0 deve valere: C = C ⁄ x = 0, di conseguenza i coefficienti - e - devono essere
nulli. La derivata prima e seconda del campo di spostamento valgono rispettivamente:
%O Z
= 2 ∙ - ∙ x + 3 ∙ -’ ∙ x + ⋯ + . ∙ -! ∙ x !”
[3.7.5]
%Z
= 2 ∙ - + 6 ∙ -’ ∙ x + ⋯ + . ∙ . − 1 ∙ -! ∙ x
%' O Z
%Z '
!”
[3.7.6]
Nel punto di coordinata x = L, dove è applicata la prima forza, lo spostamento vale:
C x=
C x=2
=- ∙
+ -’ ∙
=- ∙ 2
’
+ ⋯ + -! ∙
+ -’ ∙ 2
!
+ ⋯ + -! ∙ 2
Nel punto di coordinata x = 2L, dove è applicata la seconda forza, lo spostamento vale:
’
=
∙ l D2 ∙ - + 6 ∙ -’ ∙ x + ⋯ + . ∙ . − 1 ∙ -! ∙ x
!
-! ∙
− ∙ - ∙ 2
+ -’ ∙ 2 ’ + ⋯ + -! ∙ 2 !
@∙‘
A
Sostituendo nella eq.3.7.3 abbiamo:
!”
!
E ∙ x−
∙ - ∙
+ -’ ∙
+ ⋯+
[3.7.7]
Se ci limitiamo ad esaminare il primo termine (cioè poniamo -’ = -– = ⋯ = -! = 0 abbiamo:
A
<∙—
=
∙˜ 4∙- ∙ x− ∙ - ∙
− ∙ - ∙ 2
= 4- ∙ <— − −4
2
"#$
"š'
da cui:
da cui:
da cui il campo di spostamento risulta:
- =
= 8- ∙ <— −
& œ– '
[email protected]
C x =
∙A
+4
8<—
Ricordando che il momento flettente vale: 8 x = <ž
%' O Z
%Z '
8 x =2∙- ∙<∙ž =
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−4
∙
=0
’
-
∙x
, possiamo scrivere:
+4
4
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Il momento flettente risulta costante, indipendente dalla coordinata x.
Usando i primi due termini, cioè - e -’ abbiamo:
da cui:
ed integrando:
=
=
@Ÿ
l
@Ÿ
l
A
A
2- + 6-’ x
x−
+ -’
-
4- + 24- -’ x + 36-’ x
’
x−-
= <ž 4 - + 24 - -’ + 48 ’ -’ − -
I coefficienti - e -’ che rendono stazionario
equazioni algebriche:
"#$
"š'
"#$
"š
= <ž 24 - + 96 ’ -’ −
- =
da cui:
-’ =
A' & œ– '
–A'
£
£
A & œ• ' ¤¥A
–A' ¦
@Ÿ¦ •A'
–A ¤¥A
A' & œ– '
£
A & ϥ '
'
–A ¦
@Ÿ¦ •A'
–A ¤¥A
•A
–A'
£
+4
+4
+4
+ -’ 2
− -’
− -’
’
’
+8
’
+8
=
=
=0
+8
’
24 3 ∙ )- * = ƒ
-’
96 ’
<ž 2 8
24
- 2
sono determinati risolvendo il seguente sistema di 2
= <ž 8 - + 24 -’ −
che in forma matriciale diventa:
−
+4
+8
’
=0
¢
=
¤¥A§ & œ– ' ” –A§ & œ• '
@Ÿ ¨¥•A© ”ª¨¥A©
•A© & œ• ' ” –A© & œ– '
¤ @ŸA©
=−
’ & œ• ' A
;
[email protected]
&œ
@Ÿ
'
La freccia, l’inclinazione della mensola ed il momento flettente valgono quindi:
C x =
: x =
Z ' ’ & œ• ' A
r
[email protected]
%O Z
%Z
8 x = <ž
= [email protected] r 3
%' O Z
%Z '
Nel caso in cui le forze esterne valessero:
a) Per 0 ≤ x ≤
b) Per
C¬
≤x≤2
t- }t
C¬
t- }t
−
Z
x =
&œ
’
+8
'
xs
−
&œ
¤
= <ž 2- + 6-’ x = v
=
Z'
@‘
’
w
x = @‘ v ¥ − x −
Z
xs
’ & œ• ' A
–
−
&œ
= , la freccia teorica varrebbe:
v −
Z
’
'
A'
'
xw
x + ¥w
A
Nelle seguenti tabelle e grafici riportiamo il confronto tra i valori esatti e quelli calcolati utilizzando solo un
parametro (- ) oppure due parametri (- , -’ ).
x
L
2L
x
0
L
C¬
t- }t
7
6<ž
’
7 ’
2<ž
8¬
3
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t- }t
C}šu} 5
8<ž
’
5 ’
2<ž
8}šu} 5
4
5
4
<®® -
46.4 %
-28.57 %
<®® -
-58.3 %
25 %
C}šu} D- , -’ E
<®®D- , -’ E
7 ’
2<ž
0.0 %
9
8<ž
’
8}šu} D- , -’ E
11
4
5
4
-3.57 %
<®®D- , -’ E
-8.3 %
25 %
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2L
5
0
4
−
-
P
P
0
3500
-0.5
3000
-1
2500
-1.5
2000
-2
M(a2)
M(a2,a3)
500
v(a2,a3)
-3.5
Mth
1000
v(a2)
-3
-
1500
vth
-2.5
4
P
P
0
-4
-500
Come si può osservare, passando da un solo parametro a due, i risultati migliorano in modo significativo,
specie nei valori della freccia elastica che con due parametri risulta quasi identica a quella teorica; viceversa i
valori del momento flettente calcolato risultano ancora affetti da un errore non trascurabile.
Esempio di applicazione del Metodo di Rayleigh-Ritz
Mensola caricata con un carico distribuito
L’energia potenziale del sistema vale:
A
=˜
A
C
<∙—
∙±
² ∙ x−˜ M∙C x ∙ x
x
2
Come nell’esempio precedente, imponiamo a priori il seguente campo di spostamento:
C x = - ∙ x + -’ ∙ x ’
dove sono stati eliminati i coefficienti - e - per soddisfare le condizioni al contorno. La derivata prima e
seconda del campo di spostamento valgono rispettivamente:
%O Z
%Z
%' O Z
%Z '
= 2 ∙ - ∙ x + 3 ∙ -’ ∙ x
q
x
= 2 ∙ - + 6 ∙ -’ ∙ x
L
L’energia potenziale del sistema risulta quindi pari a:
=
@∙‘
∙ l 2 ∙ - + 6 ∙ -’ ∙ x
A
Sviluppando gli integrali abbiamo:
∙ x − M ∙ l - ∙ x + -’ ∙ x ’ ∙ x
A
= <ž 2 - + 6- -’
I coefficienti - e -’ che rendono stazionario
equazioni algebriche:
"#$
"š'
"#$
"š
+ 6-’
’
−M∙³
’
3
y, C
- +
–
4
-’ ´
sono determinati risolvendo il seguente sistema di 2
= <ž 4 - + 6 -’ −
∙A
’
= <ž 6 - + 12 ’ -’ −
=0
∙A©
–
=0
che in forma matriciale, dopo aver diviso le due equazioni per L, diventa:
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- =
da cui:
-’ =
»
¼∙½'
M∙
·
º
6
3
s ∙ )- * =
’
12
’
¶M ∙ ¹
µ 4 ¸
4
<ž r
6
¥A
»
A'
¥A
¦
A'
¼∙½
©
–
@Ÿ¦
¥A
¼∙½'
–
»
»
¼∙½
¥A
©
–
¥A
@Ÿ¦
¦
¥A
A'
= @Ÿ
– ∙A© ”’ ∙A© ⁄
–•A' ”’¥A'
=
∙A ” ∙A
@ŸA'
La freccia ed il momento flettente valgono quindi:
C x = - ∙ x + -’ ∙ x ’ =
8 x = <ž
%' O Z
%Z '
=
=−
Z'
[email protected]
5
ª ∙A'
[email protected]
∙A
@Ÿ
−2 x
= <ž 2- + 6-’ x =
La freccia ed il momento flettente teorici valgono rispettivamente:
C¬
t- }t
x =
Z'
[email protected]
6
−4 x+x
8¬
∙A ªA
v¥
t- }t
− xw
x =
−x
Nelle seguenti tabelle e grafici riportiamo il confronto tra i valori teorici e quelli calcolati utilizzando due
parametri (- , -’ ).
x
L
x
0
C¬
t- }t
M –
8<ž
8¬
t- }t
M
2
L
C}šu} D- , -’ E
<®®D- , -’ E
8}šu} D- , -’ E
<®®D- , -’ E
M –
8<ž
5M
12
−M ∙
12
0
0%
-16.7 %
-
vth
v(a2,a3)
vth
v(a2,a3)
0
3.8
200
400
600
800
1000
0
200
400
600
800
1000
Ulteriori commenti sul metodo di Rayleigh-Ritz
A questo punto si possono avanzare due domande molto importanti.
a) Come scegliere le funzioni di spostamento (negli esempi precedenti di tipo polinomiale) ?
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b) Quanto sarà corretta la soluzione ?
Come indicato precedentemente, le funzioni di prova devono essere continue e devono soddisfare le
condizioni al contorno di tipo cinematico. A parte questo, sembra che non ci sia una regola semplice e
precisa che ci indichi quale tipo di funzione scegliere e a che punto terminare la serie.
Immaginiamo che per risolvere un dato problema ripetiamo diverse volte il processo di Rayleigh-Ritz,
aggiungendo ogni volta un termine alla serie delle funzioni di tentativo. In questo modo generiamo una
sequenza di approssimazioni che converge verso il valore esatto dell’energia potenziale . Se il limite di
, è ragionevole aspettarsi che il limite della corrispondente
questa sequenza è il valore esatto di
successione delle funzioni di spostamento sia la funzione di spostamento esatta. Per assicurarsi la
convergenza verso il valore esatto di
è necessario che le funzioni di prova siano “relativamente
complete”. Ciò si ottiene se man mano che si aggiungono dei termini alle funzioni di prova, queste
approssimano sempre meglio la funzione esatta e le sue derivate che compaiono nel . Ne segue che una
serie infinita capace di rappresentare entro un dato dominio un qualsiasi campo di spostamento continuo sarà
adeguata perché contiene, come caso speciale, le funzioni esatte.
Possiamo affermare che le funzioni di forma dovrebbero essere troncate eliminando i termini di ordine più
elevato invece che quelli di ordine più basso. Un argomento euristico a conferma di questa affermazione è il
seguente. Supponiamo che la mensola sia caricata da un momento applicato nel suo punto estremo. Lo
spostamento esatto ha la forma C x = - ∙ x . Infatti se usiamo come funzione di prova la seguente:
C x = - ∙ x + -’ ∙ x ’ + ⋯ + -! ∙ x !
otteniamo l’esatto valore per - oltre che - = -’ = ⋯ = -! = 0. Se invece avessimo usato la funzione di
prova:C x = -’ ∙ x ’ + ⋯ + -! ∙ x ! , avremmo approssimato molto bene la funzione esatta C x = - ∙ x ,
ma solo usando molti coefficienti. Ma come n tende all’infinito, non possiamo garantire la convergenza della
serie al valore esatto , perché avere omesso il termine - ∙ x , impedisce che la serie sia relativamente
completa. In questo caso ci si deve aspettare la convergenza verso un valore non corretto di .
Circa il tipo di approssimazione fornita dal metodo di Rayleigh-Ritz, possiamo affermare che la soluzione
approssimata è più rigida di quella esatta. La struttura può spostarsi solo nelle forme che si possono ottenere
dalla sovrapposizione dei vari termini presenti nella funzione spostamento. La forma esatta dello
spostamento è perciò esclusa, tranne in alcuni casi molto semplici ed eccezionali. In pratica abbiamo
aggiunto dei vincoli che irrigidiscono la struttura. Questo argomento suggerisce l’osservazione che abbiamo
ottenuto la soluzione esatta di un problema diverso; una struttura diversa nelle sue proprietà elastiche o di
carico rispetto alla struttura reale ed in realtà creata dal metodo di soluzione.
E’ utile riferirci ad un esempio concreto. L’energia potenziale della configurazione di equilibrio, in funzione
del carico P e del corrispondente spostamento vale:
=
−
=−
da cui
=−
#$
Questa relazione è applicabile sia alla struttura reale che a quella creata dalla soluzione approssimata. Se
definiamo la rigidezza k sotto il carico P come = ⁄ , possiamo scrivere:
Rigidezza =
=%=−
'
#$
Energia di deformazione:
=
'
=−
Se la forza P è un dato e lo spostamento che ne risulta è stato approssimato con il metodo di Rayleigh-Ritz,
le equazioni ??? e la figura indicano che:
1) Poiché }šu}tuš¬t ≠ 9š¬¬t e D E 9š¬¬t è un minimo allora D E}šu}tuš¬t > D E 9š¬¬t . In altre
parole, abbiamo ottenuto un limite superiore di . […]
2) La rigidezza calcolata K è troppo grande (è più grande di quella corretta)
3) L’energia di deformazione calcolata è troppo piccola (è più piccola di quella corretta), cioè abbiamo
ottenuto ul limite inferiore dell’energia di deformazione.
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Quando è applicato un solo carico, poiché l’energia di deformazione è sottostimata, possiamo affermare che
}šu}tuš¬t <
9š¬¬t . Ma se agiscono numerosi carichi, possiamo solo affermare che il prodotto
, ,⋯, ! + ∙
, , ⋯ , ! è sottostimato.
Una soluzione che si basa sull’eq.(???) non è completamente soddisfacente. I coefficienti - , ⋯ , -! non
hanno un chiaro significato fisico. Inoltre perché i due polinomi assumano lo stesso valore in x = L è
necessario un certo lavoro algebrico. Perciò facciamo ciò che si fa normalmente con gli elementi finiti:
scambiamo i coefficienti - , ⋯ , -! con gli spostamenti nodali. E’ questo scambio che rende relativamente
semplice automatizzare il metodo e ci consente di scrivere un programma di calcolo automatico applicabile
in generale.
Consideriamo una trave rettilinea a sezione costante di rigidezza flessionale pari a EJ. I 4 gradi di libertà
nodali sono gli spostamenti C , C e le rotazioni : , : , dove : = zC ⁄zx. E’ ragionevole imporre un campo
di spostamento cubico, perché una cubica è definita da 4 parametri:
C x = - + - ∙ x + - ∙ x + -’ ∙ x ’
[3.8.1]
Perciò partiamo con l’eq. (3.8.1) e la scriviamo nella forma seguente:
C x = 1 x x
x ’ ∙ À- Á = x + ∙ -’
Differenziando abbiamo:
: x =
a) per x = 0
"O Z
"Z
= 0 1
2x
3x
:=:
C=C e
Quindi usando le seguenti 4 condizioni al contorno:
b) per x =
C=C e
∙ À- Á
-’
[3.8.3]
:=:
C
1 0
0 0
:
0 1
0 0
m
n ∙ À- Á = ÀC Á
’
1
-’
:
0 1 2
3
abbiamo:
[3.8.2]
; ∙ - =
oppure
[3.8.4]
Quindi C x può essere espresso non più in funzione dei coefficienti - , - , - , -’ , ma in funzione dei gradi
di libertà nodali
:
dove:
- = ;
”
∙
C x = x
da cui
;
da cui:
€
+
= ƒ1 −
3x
+
+
∙ - = x
+
∙ ;
”
1 0 0 0
S 0 1 0 0V
R 3
2
3
1U
R
U
−
−
−
=
R
U
1
2
1U
R 2
− ’ T
Q ’ ”
2x ’
’
; x−
2x
+
x’
∙
= €
+
∙
[3.8.5]
3x
2x ’
x
x’
; − ’ ; − + ¢
Le funzioni che compaiono al’interno del vettore € si chiamano FUNZIONI DI FORMA.
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Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2013/’14)
Per il momento abbiamo solo iniziato la procedura di soluzione, in quanto l’equazione (3.8.5) semplicemente
definisce il campo di spostamento imposto C = C x in funzione dei parametri
. Ma i passi successivi
sono semplici e verranno illustrati con un esempio.
Vediamo come possiamo risolvere con una procedura agli elementi finiti l’esempio già illustrato e risolto con
il metodo di Rayleigh-Ritz.
Il problema precedente è illustrato a lato con i gradi di libertà
adeguati per una soluzione agli elementi finiti. Le condizioni al
contorno in x = 0 sono soddisfatte ponendo C = : = 0 e ciò può
essere fatto dopo avere assemblato le eqauzioni algebriche che
governano il problema. La continuità degli elementi nel nodo n.2 è
imposta dall’uso di C e : come gradi di libertà dei due elementi
che si uniscono nel nodo n.2.
:
C
:
P2
P3
y, C
C’
L
C
L
x
:’
Fig.3.8.1
Rimangono 4 gdl da calcolare imponendo la condizione
= 0, come è già stato fatto con la soluzione che
si basava sull’eq.(3.8.1); in realtà le curve C = C x definite con le due soluzioni sono esattamente le stesse.
z C x
= Ã
zx
La curvatura dell’elemento vale:
dove Ã
+
= 0
6x ∙ ;
0 2
= )− A' +
¥
”
L’energia potenziale del sistema vale:
=l
Poiché:
±
l’energia potenziale vale:
in cui:
=
1
∙
2
+
A
∙ ³˜ à ∙ < ∙ — ∙ Ã
+
= C1
+
A
@∙‘
C
² =
x
∙ x´ ∙
:1 C2 :2
Nel capitolo successivo vedremo che l’integrale:
+
Z
+
∙
; − A + A' ;
–
¥Z
¥
A'
∙ v%Z ' w ∙ x − ∑
%' O
+
1
∙
2
∙ Ã ∙ Ã
+
+
−
A
Z
[3.7.3]
∙
A
+
A
˜ Ã ∙<∙—∙ Ã
+
¥Z
∙C
∙ ³˜ à ∙ < ∙ — ∙ Ã
e
; − A + A *
= C2
∙ x
+
∙ x´ ∙
−
:2 C3 :3
∙C −
’
∙ C’
non è altro che la matrice di rigidezza [k] dell’elemento. In questo esempio ogni elemento [k] è una matrice 4 x 4 e
poiché i due elementi sono uguali abbiamo [k1] = [k2]. L’assemblaggio delle due matrici si ottiene aggiungendo due
righe e due colonne di zeri alla fine della matrice [k1] e altrettanti all’inizio della matrice [k2]. Così, dato lo spostamento
+
dei nodi della struttura :
= C1 :1 C2 :2 C3 :3 , possiamo scrivere:
=
1
2
+
∙ Ä2
0
0
0
3+2
0
0
0
3Å
¥Z¥
∙
−
+
∙
0
·0º
Æ Æ
¶0¹
Æ ’Æ
µ0¸
=
1
2
+
∙
∙
−
+
∙
La somma delle due matrici è la matrice di rigidezza della struttura [K]. Il sistema di sei equazioni
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consente di calcolare il vettore
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z
z
che rende
ƒ
z
¢= 0
z
stazionario:
=
∙
−
= 0
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