「電気回路第三」講義資料２０１４年度版熊本大学工学部情報電気電子工学科勝木　淳７．ラプラス変換を用いた過渡現象解析(2) ６.１　初期条件を考慮した等価回路(ｓ領域回路) ６.２　ラプラス変換による解析(1) RL回路 RC回路７.１　ラプラス変換による解析(2) LC回路 RLC回路７.２　ラプラス変換によるイミタンスの定義（１）直流電源とＬＣを含む回路右図の LC 回路を直流電圧源で駆動する場合，回路方程式は 2階の微分方程式となる。これを s 関数で表すと， i LC直列回路 LC直列回路の s 関数表示（１）直流電源とＬＣを含む回路右図の LC 回路を直流電圧源で駆動する場合，回路方程式は 2階の微分方程式となる。これを s 関数で表すと， E sLI ( s ) − Li (0) + V ( s ) = s sCV ( s ) − I ( s ) = Cv (0) ただし、i(0) = 0。　上の２式から、 ∴V ( s) = i LC直列回路 1 ⎧ E ⎫ + sLCv ( 0 ) ⎨ ⎬ 2 s LC + 1 ⎩ s ⎭ ここで、次の回路に固有の定数を定義する。 ω0 = 1 L , Z0 = C LC 共振数波数特性インピーダンス LC直列回路の s 関数表示（２）正弦波交流電源とＬＣを含む回路 t = 0 で次の正弦波交流電圧を加える。 e(t ) = Em sin ωt 入力インピーダンスは， Z ( s ) = sL + 1 = Z 0 ( s 2 + ω 2 ) 0 sC ω0 s 入力電圧および電流の s 関数は， LC直列回路 (i) ω ≠ ω0 の場合，部分分数に展開して， Em ωω0 I (s) = R0 ω02 − ω 2 ⎧ s s ⎫ − 2 ⎨ 2 2 2 ⎬ s + ω0 ⎭ ⎩ s + ω ωω 0 Em ∴ i( t ) = 2 (cos ωt − cos ω0t ) 2 (ω0 − ω )R0 【公式】 a s2 + a2 s L [cos at ] = 2 s + a2 L [sin at ] = (ii) ω = ω0 の場合， ω 2 Ems I (s) = R0 (s 2 + ω 2 )2 Em ∴ i( t ) = ωt sin ωt 2 R0 電流は振動しながら無限に増大する。 ⇒　共振ＬＣ共振現象（３）直流電源とＲＬＣを含む回路右図において t = 0 でスイッチを閉じ，直流電圧を印加した場合の i(t), v(t) を求める。（３）直流電源とＲＬＣを含む回路右図において t = 0 でスイッチを閉じ，直流電圧を印加した場合の i(t), v(t) を求める。電源からみたインピーダンスは， 1 R 2 Z(s) = sL + R + = (s + 2αs + ω02 ) sC 2αs よって， E (s) 2αsE ( s ) I (s) = = Z ( s ) R ( s 2 + 2αs + ω02 ) ω02 E ( s ) I ( s) V (s) = = 2 sC s + 2αs + ω02 ω0 = 1 共振周波数 LC R α= 2L 減衰定数部分分数の形は，分母＝0 とおいた方程式の解の形によってかわる。 (2α ) 2 − 4ω02 ><= 0 (i) α >> ω0 の場合 0 ＜ γ ＜ α なる定数 γ = α 2 − ω02 を用いると，【公式】 ⎧ 1 ( s + α ) + α ⎫ V ( s ) = E ⎨ − , 2 2 ⎬ ⎩ s ( s + α ) − γ ⎭ 2αE I (s) = R{( s + α ) 2 − γ 2 } よって t 関数は， ⎧ ⎞⎫ α −αt ⎛ v(t ) = E⎨1 − e ⎜⎜ cosh γt + sinh γt ⎟⎟⎬ γ ⎝ ⎠⎭ ⎩ 2αE −αt i( t ) = e sinh γt γR ⇒ 過制動 [ ] L f (t )e at = F ( s − a ) a s2 − a2 s L [cosh at ] = 2 s − a2 L [sinh at ] = (ii) α ≈ ω0 の場合 (i) において γ = 0 なので ⎧ 1 1 α ⎫ V ( s ) = E ⎨ − − , 2 ⎬ ⎩ s s + α ( s + α ) ⎭ 2αE I (s) = R( s + α ) 2 よって t 関数は， v(t ) = E{1 − (1 + αt )e −αt } 2αE −αt E −αt i( t ) = te = te R L ⇒ 臨界制動【公式】 [ ] L f (t )e at = F ( s − a ) (iii) α << ω0 の場合 0 ＜β＜ω0なる定数 β = ω02 − α 2 ⎧ 1 ( s + α ) + α ⎫ V ( s ) = E ⎨ − , 2 2 ⎬ ⎩ s ( s + α ) + β ⎭ 2αE I (s) = R{( s + α ) 2 + β 2 } よって t 関数は， ⎧ ⎞⎫ α −αt ⎛ v(t ) = E⎨1 − e ⎜⎜ cos βt + sin βt ⎟⎟⎬ β ⎝ ⎠⎭ ⎩ 2αE −αt i( t ) = e sin βt βR ⇒ 減衰振動を用いて，【公式】 a s2 + a2 s L [cos at ] = 2 s + a2 L [sin at ] = i (iii) α ＜ ω0 のとき｢減衰振動」 (R2 << 4 L/C) ｢臨界制動」 (ii) α = ω0 のとき (R2 ~ 4 L/C) 0 ｢過制動」 (i) α ＞ ω0 のとき (R2 >> 4 L/C) t 注）L と C を固定して R のみを変化した場合。（４）　トランスを含む回路右図の回路の解 q1, q2 を求める。 di 1 di 2 q 1 L +M + =0 dt dt C di di q L 2 +M 1 + 2 =0 dt dt C dq 1 dq 2 = i1 , = i2 dt dt Ｑ0 （５）　一般的な回路一般回路網の網目方程式 ⎧⎛ q1 ⎫ ⎧⎛ q 2 ⎫ d d ⎞ ⎞ ek (t ) = ⎨⎜ Lk 1 + Rk 1 ⎟i1 + ⎬ + ⎨⎜ Lk 2 + Rk 2 ⎟i2 + ⎬ dt C k 1 ⎭ ⎩⎝ dt C k 2 ⎭ ⎠ ⎠ ⎩⎝ ⎧⎛ ql ⎫ dq k d ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎨⎜ Lkl + Rkl ⎟il + ∵ = ik , k = 1,2 ,⋅ ⋅ ⋅, l ⎬ C kl ⎭ dt ⎠ ⎩⎝ dt 上式のラプラス変換 ⎧ Q1 (s) ⎫ ⎧ Q2 (s) ⎫ −0 −0 Ek (s) = ⎨sLk 1 I 1 − Lk 1i1 + Rk 1 I 1 + ⎬ + ⎨sLk 2 I 2 − Lk 2 i2 + Rk 2 I 2 + ⎬ C C k 1 ⎭ ⎩ k 2 ⎭ ⎩ ⎧ Q (s ) ⎫ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎨sLkl I l − Lkl il−0 + Rkl I l + l ⎬ C kl ⎭ ⎩ ∵ sQk (s) − q k0 = I k (s), k = 1,2 ,⋅ ⋅ ⋅, l ７.２　ラプラス変換によるイミタンスの定義ある周波数ωに対する定常現象スイッチングによる過渡現象 V(s) V(jω) E(ω) E I(jω) Z(jω), Y(jω) I(s) Z(s), Y(s) 例えば、ＲＬＣ回路 di 1 L + Ri + idt = v(t ) dt C ∫ ωに対する定常解析過渡現象解析 di/dt → jω、∫dt → 1/jωとして、回路方程式をラプラス変換して、 jωLI + RI + I j ωC =V 1 ∴ Z ( j ω ) = j ωL + R + jωC I ( s) = V (s) sC 1 ∴ Z ( s ) = sL + R + sC LsI ( s ) + RI ( s) + 【問７.１】右の回路において，t = 0 でスイッチを閉じ，直流電源電圧を印加した場合の出力電圧 v を求めよ。ただし，C の初期電荷を 0 とする。