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2014年

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1
平成 26 年度 宮崎大学2次試験前期日程 (数学問題)
工 (物質環境化学を除く)・医 (医)・農・教育文化 (中学数学・中学社
会・理科・技術・家庭・初等教育・特別支援・社会システム) 学部
平成 26 年 2 月 25 日
• 工学部は, 1 ∼ 5 数 II・III・A・B (120 分)
• 医学部は, 2 , 3 , 6 ∼ 8 数 II・III・A・B (120 分)
• 教育文化 (中学数学) 学部は, 1 , 3 , 9 ∼ 11 数 II・III・A・B (120 分)
• 教育文化 (中学 [社会,理科,技術,家庭],初等教育,特別支援,社会システ
ム) 学部・農学部は, 9 , 10 , 12 数 II・A・B (90 分)
1 次の各問に答えよ.ただし,e は自然対数の底を表す.
(1) 次の関数を微分せよ.
cos x
(a) y =
1 − sin√
x
(b) y = (x + 2) x2 + 2x + 5
(2) 次の定積分の値を求めよ.
2
(a)
1
(b)
0
π
6
1
(c)
0
(d)
2
ex + e−x
dx
ex − e−x
sin(3x) sin(5x) dx
x3 + 3x2
dx
x2 + 3x + 2
3
x5 ex dx
1
π
π
上の点 (t, cos t) 0 < t <
における曲線
2
2
π
C1 の接線を とする.また,2 直線 x = 0,x = と接線 との交点をそれぞ
2
x2
れ A,B とし,放物線 C2 : y = − + ax + c が 2 点 A,B を通るものとする.
2
このとき,次の問に答えよ.
2 曲線 C1 : y = cos x 0
x
(1) 接線 の方程式を求めよ.
(2) 2 曲線 C1 ,C2 と 2 直線 x = 0,x =
S を a と c を用いて表せ.
π
で囲まれる部分の面積を S とする.
2
(3) (2) の S が最小となる t の値を求めよ.
2
−→
3 右図の平行六面体において,a = OA, −→
−→
c = OC,d = OD とし, ACD と線
分 OF の交点を H とする.さらに,四 O
面体 OACD が 1 辺の長さ 1 の正四面体
であるとする.このとき,次の各問に
答えよ.
C
A
D
B
G
F
E
(1)
ACD の重心が点 H に一致することを示し,2 つの線分 OH と HF の比
OH : HF を求めよ.
−→ −→
(2) 内積 HE·HF の値を求めよ.
(3)
HEF の面積を求めよ.
1
2
4 t を定数とする 2 次方程式 z 2 − tz + t − = 0 について,次の各問に答えよ.た
だし,定数 t は実数とする.
(1) この 2 次方程式が実数解をもち,すべての解が −1 以上 1 以下であるよう
な定数 t の値を求めよ.
(2) この 2 次方程式が 2 つの共役な虚数解 z = x ± yi (x,y は実数,i は虚数
単位) をもち,x2 + y 2 1 を満たすような定数 t の値の範囲を求めよ.
5 不等式
logx y < 2 + 3 logy x
の表す領域を座標平面上に図示せよ.
6 a > 0,a = 1,b > 0 とする.このとき,変数 x の関数
f (x) = 4x2 + 4x loga b + 1
について,次の各問に答えよ.
(1) 2 次方程式 f (x) = 0 が重解を持つようなすべての a,b を,座標平面上の
点 (a, b) として図示せよ.
1
(2) 2 次方程式 f (x) = 0 が 0 < x < の範囲内にただ 1 つの解を持つような
2
すべての a,b を,座標平面上の点 (a, b) として図示せよ.
(3) 放物線 y = f (x) の頂点の座標を (X, Y ) とする.点 (a, b) が (2) の条件を
満たしながら動くとき,点 (X, Y ) の軌跡を座標平面上に図示せよ.
3
7 2 つの数列 {an } と {bn } が,a1 = 1,b1 = 1 および
an+1 = 2an + 6bn (n = 1, 2, 3, · · · )
bn+1 = 2an + 3bn (n = 1, 2, 3, · · · )
で定められているとき,次の各問に答えよ.
(1) an+2 − αan+1 = β(an+1 − αan ) (n = 1, 2, 3, · · · ) を満たす定数 α,β の組
を 2 組求めよ.
(2) an を,n を用いて表せ.
an
を求めよ.
(3) 極限値 lim
n→∞ bn
8 白球 6 個と黒球 4 個がある.
はじめに,白球 6 個を横 1 列に並べる.次に,
1
の確率で出るサイコロを 1 つ投げて,出
6
た目の数が a であれば,並んでいる球の左から a 番目の球の左に黒
球を 1 個入れる
1 から 6 の目がそれぞれ
という操作を 4 回繰り返す.
例えば,
1 回目に 1 の目
2 回目に 5 の目
3 回目に 5 の目
4 回目に 2 の目
が出た場合の球の並びの変化は次の図のようになる.
はじめ
1 回目の操作の後
2 回目の操作の後
3 回目の操作の後
4 回目の操作の後
○○○○○○
●○○○○○○
●○○○●○○○
●○○○●●○○○
●●○○○●●○○○
最終的な 10 個の球の並びにおいて,一番左にある白球よりも左にある黒球
の個数を k とするとき,次の各問に答えよ.
(1) k = 0 である確率を求めよ.
(2) k = 1 である確率を求めよ.
(3) k の期待値を求めよ.
4
9 次の問に答えよ.
(1) 右図のように半径 r1 の円 O1 と半径 r2 の円 O2 が外接している.円 O1 と円 O2 の接点
を P とする.円 O1 の周上に点 P と異なる
点 A をとり,線分 AP の延長と円 O2 の交
点を B とする.また,円 O1 の周上に点 P,
点 A と異なる点 C をとり,線分 CP の延長 A
と円 O2 の交点を D とする.
このとき,次の (a),(b) に答えよ.
D
O2
B
P
O1
C
(a) 点 P における円 O1 の接線を利用して,AC//BD であることを示せ.
(b) 円 O1 の中心と円 O2 の中心を結ぶ直線を利用して,点 P は線分 AB を
r1 : r2 に内分することを示せ.
(2) 右図のように半径 3 の円 C1 ,半径 4 の円 C2 , M
半径 5 の円 C3 が互いに外接している.円 C2
C2
C1
L
と円 C3 の接点を J,円 C3 と円 C1 の接点を
K,円 C1 と円 C2 の接点を L とする.線分
JL の延長と円 C1 の交点を M とし,線分 JK
N
K
J
の延長と円 C1 の交点を N とする.
このとき,四角形 KLMN の面積は JLK
C3
の面積の何倍であるかを求めよ.
5
10 A,B,C の 3 人がそれぞれある地域の東公園,西公園および北公園のいずれか
に行こうとしている.この 3 人は次のように,硬貨の表裏によって,どの公園
に行くのかを決める.
・ A は手持ちの硬貨を 1 枚投げて,表が出たら東公園に行く.裏が出たら西
公園に行く.
・ B は手持ちの硬貨を 1 枚投げて,表が出たら西公園に行く.裏が出たら,
もう 1 度その硬貨を投げて,表が出たら東公園に行き,裏が出たら北公園
に行く.
・ C は手持ちの硬貨を 1 枚投げて,表が出たら北公園に行く.裏が出たら,
もう 1 度その硬貨を投げて,表が出たら東公園に行き,裏が出たら西公園
に行く.
ただし,3 人が使用する硬貨は,表,裏がそれぞれ
このとき,次の各問に答えよ.
1
の確率で出るものとする.
2
(1) A と B が同じ公園に行く確率を求めよ.ただし,C はどの公園に行っても
よいものとする.
(2) B と C が同じ公園に行く確率を求めよ.ただし,A はどの公園に行っても
よいものとする.
(3) 3 人が同じ公園に行く確率を求めよ.
(4) 少なくとも 2 人が同じ公園に行く確率を求めよ.
11 座標平面上において,x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点という.n
を自然数とし,放物線 y = x2 ,直線 x = n および x 軸で囲まれた図形を Sn と
する.Sn の境界上にある格子点の個数を an とし,Sn の境界を除いた内部にあ
る格子点の個数を bn とするとき,次の各問に答えよ.
(1) an を,n を用いて表せ.
(2) bn を,n を用いて表せ.
1 an
+ bn − cn を求めよ.
n→∞ n
2
(3) Sn の面積を cn とするとき,極限値 lim
12 放物線 C : y = x2 上の点 (t, t2 ) (t > 0) における C の接線を とする.直線
x = −1,放物線 C および接線 で囲まれる図形の面積を S1 ,直線 x = 5t,放
物線 C および接線 で囲まれる図形の面積を S2 とし,R = S2 − S1 とおく.こ
のとき,次の各問に答えよ.
(1) R の値を,t を用いて表せ.
(2) R の最小値を求めよ.
6
正解
1
(cos x) (1 − sin x) − cos x(1 − sin x)
(1 − sin x)2
1
− sin x(1 − sin x) − cos x(− cos x)
1 − sin x
=
=
=
(1 − sin x)2
(1 − sin x)2
1 − sin x
√
√
(b) y = (x + 2) x2 + 2x + 5 + (x + 2)( x2 + 2x + 5 )
√
x+1
= x2 + 2x + 5 + (x + 2) × √
x2 + 2x + 5
2
2x2 + 5x + 7
(x + 2x + 5) + (x + 2)(x + 1)
√
=
=√
x2 + 2x + 5
x2 + 2x + 5
(1) (a) y =
2
(2) (a)
1
2
ex + e−x
dx =
ex − e−x
1
(ex − e−x )
dx =
ex − e−x
2
x
−x
log e − e
1
e2 − e−2
(e + e−1 )(e − e−1 )
= log
= log
e − e−1
e − e−1
1
= log e +
π
6
(b)
0
1
sin(3x) sin(5x) dx =
2
1
=
2
1
(c)
0
x3 + 3x2
dx =
x2 + 3x + 2
e
π
6
(cos 2x − cos 8x) dx
0
π
6
1
1
sin 2x − sin 8x
2
8
1
x+
0
0
4
2
−
x+1 x+2
=
√
5 3
32
dx
x2
=
+ 2 log |x + 1| − 4 log |x + 2|
2
1
64
= + log
2
81
dt
(d) t = x3 とおくと
= 3x2
x 1 → 2
dx
t 1→8
x と t の対応は右のようになる.
2
5 x3
2
1 3 x3 2
x e ·3x dx
3
8
1 t
te dx =
3
x e dx =
したがって
1
1
=
1
1
(t − 1)et
3
1
0
8
=
1
7
3
e8
7
2
(1) y = cos x を微分すると y = − sin x
C1 上の点 (t, cos t) における接線 の方程式は
y − cos t = − sin t·(x − t) すなわち y = −x sin t + t sin t + cos t
(2) 0
t
π
において,C1 ,C2 はともに上に凸である.また
2
x2
− + ax + c
2
−x sin t + t sin t + cos t
cos x
したがって,求める面積 S は
π
2
S=
0
−
x2
+ ax + c − cos x dx
2
x3 ax2
+ cx − sin x
= − +
6
2
(3) 直線 の方程式に x = 0,
π
2
=−
0
π
に代入して
2
π2a
8
+
πc
−1
2
x=
A
π
2
S2
1
π
B から x 軸に垂線 BH を引く.0 x
2
において, と C1 , と C2 で囲まれた部分
の面積を,それぞれ S1 ,S2 とすると
S1 = 台形 OABH −
48
+
y
A(0, t sin t + cos t),
π π
B , − sin t + t sin t + cos t
2
2
π
2
π3
C2
S1
B
C1
O
H
cos x dx
0
1 π
π
= · · − sin t + t sin t + cos t + (t sin t + cos t) − sin x
2 2
2
π
π
=
− sin t + t sin t + cos t − 1
2
4
S2 は,C2 の 2 次の係数に注意して
S = S1 + S2 =
1 1
−
6 2
π
−0
2
3
=
0
π3
96
π
π
π3
− sin t + t sin t + cos t − 1 +
2
4
96
dS
π
π
=
t−
cos t
dt
2
4
S の増減表は,右のようになる.
π
よって,S は t = で最小となる.
4
したがって
S2 =
π
2
t
dS
dt
S
(0) · · ·
−
π
4
0
極小
···
+
( π2 )
x
8
3
−→
OF = a + c + d
(1)
ACD と線分 OF の交点 H は,実数 k を用いて
−→
−→
OH = k OF = k(a + c + d)
= ka + kc + kd
このとき,H は平面 ACD 上にあるから
k + k + k = 1 ゆえに k =
1
3
−→ 1
OH = (a + c + d) よって,H は ACD の重心である.
3
−→ 1 −→
また,OH = OF より OH : HF = 1 : 2
3
−→
−→ −→ −→
1
(2) OE = a + d より HE = OE − OH = (a + d) − (a + c + d)
3
1
= (2a − c + 2d)
3
−→ 2 −→ 2
(1) の結果より
HF = OF = (a + c + d)
3
3
1
ここで |a| = |c| = |d| = 1,a·c = c·d = d·a = 1·1· cos 60◦ =
2
−→ −→
1
2
ゆえに HE·HF =
(2a − c + 2d) ·
(a + c + d)
3
3
2
= (2|a|2 − |c|2 + 2|d|2 + a·c + c·d + 4d·a)
9
4
2
1 1
1
=
2·12 − 12 + 2·12 + + + 4·
=
9
2 2
2
3
(3) (2) の結果により
−→
1
|HE|2 = (4|a|2 + |c|2 + 4|d|2 − 4a·c − 4c·d + 8d·a)
9
1
1
1
1
=
4·12 + 12 + 4·12 − 4· − 4· + 8·
=1
9
2
2
2
−→
4
|HF|2 = (|a|2 + |c|2 + |d|2 + 2a·c + 2c·d + 2d·a)
9
4 2
1
1
1
8
=
1 + 12 + 12 + 2· + 2· + 2·
=
9
2
2
2
3
したがって
ABC の面積を S とすると
S=
1
2
=
1
2
−→ −→
−→ −→
|HE|2 |HF|2 − (HE·HF)2
√
2
2
8
4
1· −
=
3
3
3
9
4
1
(1) f (z) = z − tz + t − =
2
2
t
2
f
1
1
= − t2 + t − ,
4
2
f (z) = 0 の解が −1
t
2
−1
1 より −2
z
1
1
− t2 + t − とおくと
4
2
1
f (−1) = 2t + ,
2
f (1) =
1
>0
2
1 であるとき,次式を満たせばよい.
1··· 1 ,
t
2
t
z−
2
f
t
2
0··· 2 ,
f (−1)
0··· 3
2··· 1
√
√
1
1
2 より − t2 + t −
0 ゆえに t 2 − 2, 2 + 2 t · · · 2
4
2
1
1
3 より 2t +
0 ゆえに t − · · · 3
2
4
√
1
1 , 2 , 3 を同時に満たす範囲を求めると −
t 2− 2
4
1
= 0 · · · (∗) が虚数解をもつので
2
(2) 2 次方程式 z 2 − tz + t −
(−t)2 − 4·1 t −
これを解いて
2−
√
1
4
< 0 すなわち t2 − 4t + 2 < 0
2<t<2+
√
2
··· 4
2 次方程式 (∗) の 2 解が x ± yi であるから,解と係数の関係により
(x + yi)(x − yi) = t −
x2 + y 2
1
2
x2 + y 2 = t −
ゆえに
1 であるから
t−
1
2
1 ゆえに t
4 , 5 の共通範囲を求めると
2−
3
2
√
2<t
··· 5
3
2
1
2
10
5 不等式 logx y < 2 + 3 logy x の底および真数から
x = 1, y = 1, x > 0, y > 0
不等式を変形すると
(logx y)2 を掛けると
ゆえに
したがって
3
<0
logx y
logx y(logx y + 1)(logx y − 3) < 0
logx y < −1, 0 < logx y < 3
1
logx y < logx , logx 1 < logx y < logx x3
x
(i) 0 < x < 1 のとき
(ii) x > 1 のとき
logx y − 2 −
1
, x3 < y < 1
x
1
y < , 1 < y < x3
x
y>
(i),(ii) より,求める領域は,次の図の斜線部分で,ただし境界線を含まない.
y
1
O
1
x
11
6
(1) 2 次方程式 f (x) = 0 の判別式を D とすると
b
D/4 = (2 loga b)2 − 4·1
= 4(loga b + 1)(loga b − 1)
1
2 次方程式 f (x) = 0 が重解をもつとき,D = 0
であるから
loga b = ±1 ゆえに b = a, b =
O
a
1
1
a
1
(a > 0, a = 1)
a
(2) (i) 重解をもつとき,(1) の結果から loga b = ±1 であるから,f (x) = 0 は
よって,点 (a, b) の表す図形は
b = a, b =
4x2 ± 4x + 1 = 0 ゆえに (2x ± 1)2 = 0
1
ではないので不適.
2
この解は,0 < x <
1
の範囲に重解でない解もつとき, b
2
1
f (0) = 1 > 0 より f
< 0 であるから
2
1
2
1
1
4
+ 4· loga b + 1 < 0
2
2
a
O
1
loga b < −1 · · · (∗) となるから
1
loga b < loga
a
1
1
よって 0 < a < 1 のとき b > , a > 1 のとき 0 < b <
a
a
点 (a, b) の表す図形は,右の図の斜線部分.ただし,境界線を含まない.
(ii) 0 < x <
2
1
(3) f (x) = 4 x + loga b − (loga b)2 + 1 より, 2
y = f (x) の頂点 (X, Y ) は
1
X = − loga b,
2
Y
1
Y = −(loga b)2 + 1
− 21
上の 2 式および (∗) から
Y = −4X 2 + 1
X>
1
2
O
1
2
よって,(X, Y ) の表す軌跡は,右の図の実線部分である.
X
12
7
(1)
an+1 = 2an + 6bn (n = 1, 2, 3, · · · )
bn+1 = 2an + 3bn (n = 1, 2, 3, · · · )
· · · (∗)
上式の第 1 式から
1
bn = (an+1 − 2an ),
6
1
bn+1 = (an+2 − 2an+1 )
6
· · · (∗∗)
これらを第 2 式に代入すると
1
1
(an+2 − 2an+1 ) = 2an + 3 × (an+1 − 2an )
6
6
an+2 − 5an+1 − 6an = 0
整理すると
··· 1
an+2 − αan+1 = β(an+1 − αan ) · · · 2 より
an+2 − (α + β)an+1 + αβan = 0
1 , 3 より
··· 3
α + β = 5, αβ = −6
ゆえに,α,β を解とする 2 次方程式は
よって,α,β は,これを解いて
x2 − 5x − 6 = 0
−1, 6
(2) (∗) の第 1 式から a2 = 2a1 + 6b1 = 2·1 + 6·1 = 8
(1) の結果を 2 に代入すると
an+2 + an+1 = 6(an+1 + an )
an+2 − 6an+1 = −(an+1 − 6an )
an+1 + an = 6n−1 (a2 + a1 ) = 9·6n−1
an+1 − 6an = (−1)n−1 (a2 − 6a1 ) = 2·(−1)n−1
したがって
上の 2 式から
an =
9·6n`1 − 2·(−1)n`1
7
(3) (∗∗) の第 1 式に (2) の結果を代入すると
bn =
1
6
9·6n−1 − 2·(−1)n−1
9·6n − 2·(−1)n
−2×
7
7
上式および (2) の結果から
an
9·6n−1 − 2·(−1)n−1
=
bn
6n + (−1)n−1
n−1
よって
3
9 − 2 − 16
an
9
lim
= lim
=
=
n→∞ bn
n→∞ 6 + − 1 n−1
6
2
6
=
6n + (−1)n−1
7
13
8
(1) k = 0 となるのは,4 回とも 1 以外の目が出る確率であるから
4
5
6
=
625
1296
(2) k = 1 となるのは,1 番左側にある白球が,左端から 2 番目にある確率で
あるから,下の表により
41
369
=
1296
144
5
6
1 回目
5
6
5
6
2 回目
25
36
5
6
3 回目
125
216
5
6
4 回目
625
1296
(左端から) 1 番目
k=0
1
6
1
6
1
6
1
6
1 番左側にある白球の
左端からの位置の確率
1
6
4
6
9
36
4
6
61
216
4
6
369
1296
2
6
2
6
2
6
2 番目
k=1
2
36
3
6
24
216
3
6
194
1296
3 番目
k=2
3
6
3
6
6
216
2
6
84
1296
4 番目
k=3
4
6
24
1296
5 番目
k=4
(3) (2) の表により,求める k の期待値は
1×
1105
369
194
84
24
+2×
+3×
+4×
=
1296
1296
1296
1296
1296
14
9
(1) (a) P における共通接線 QR を引く.
接線と弦の作る角により
D
Q
∠QPA = ∠ACP,∠RPB = ∠BDP
O2
また,2 直線 AB,QR の対頂角により
∠QPA = ∠RPB
であるから,∠ACP = ∠BDP である.
錯角が等しいので,AC//BD
(b)
ACP と
B
P
A
O1
C
R
BDP に正弦定理を適用すると
AP
= 2r1 ,
sin ∠ACP
PB
= 2r2
sin ∠BDP
∠ACP = ∠BDP より,sin ∠ACP = sin ∠BDP であるから
AP : PB = r1 : r2
別解 (その 1) 2 直線 AB,O1 O2 の対頂角により,∠APO1 = ∠BPO2 .
2 つの二等辺三角形 APO1 , BPO2 の相似比を利用する.
(その 2) 2 円 O1 ,O2 の中心を通る直線とこれらの円の P 以外の交点
を,それぞれ S,T とすると,∠APS = ∠BPT である.
2 つの直角三角形 APS, BPT の相似比を利用する.
(2) (2)(b) の結果により
ML : LJ = 3 : 4
M
NK : KJ = 3 : 5
N
JLK = (3 + 4)(3 + 5) : 4·5
= 56 : 20 = 14 : 5
ゆえに,四角形 KLMN と
( JMN −
JLK) :
(4)
K [5]
C3
JLK の相似比は
JLK =(14 − 5) : 5
=9:5
よって,四角形 KLMN の面積は
JLK の面積の
9
5
C2
L
[3]
したがって
JMN :
(3)
C1
倍.
J
15
10 (1) A,B,C の 3 人が東公園,西公園,北公園に行く確率は,次のようになる.
A
B
C
東
西
1
2
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
北
0
1
4
1
2
1 1
1
× =
2 4
8
1 1
1
A と B が西公園に行く確率は
× =
2 2
4
3
1 1
よって,求める確率は
+ =
8 4
8
A と B が東公園に行く確率は
1 1
1
× =
4 4
16
1 1
1
B と C が西公園に行く確率は
× =
2 4
8
1 1
1
B と C が北公園に行く確率は
× =
4 2
8
5
1
1 1
よって,求める確率は
+ + =
16 8 8
16
(2) B と C が東公園に行く確率は
(3) 3 人が東公園に行く確率は
3 人が西公園に行く確率は
よって,求める確率は
1 1 1
× × =
2 4 4
1 1 1
× × =
2 2 4
3
1
1
+
=
32 16
32
1
32
1
16
(4) A,B,C の 3 人が異なる公園に行くのは,次の場合である.
東
A
西
B
北
C ···
1
2
× 12 ×
1
2
=
1
8
A
C
B ···
1
2
× 14 ×
1
4
=
1
32
B
A
C ···
1
4
× 12 ×
1
2
=
1
16
C
A
B ···
1
4
× 12 ×
1
4
=
1
32
1
1
1
1 1
+ + +
=
8 32 16 32
4
3
1
1− =
4
4
ゆえに,A,B,C の 3 人が異なる公園に行く確率は
求める確率は,この余事象の確率であるから
16
11 (1) Sn の境界上ある格子点の個数は
(i) x = 0 のとき,(0, 0) の 1 個
(ii) 1
x
n − 1 のとき,次の 2(n − 1) 個
(1, 0), (2, 0), (3, 0), · · · , (n − 1, 0),
(1, 12 ), (2, 22 ), (3, 32 ), · · · , (n − 1, (n − 1)2 )
(iii) x = n のとき,次の n2 + 1 個
(n, 0), (n, 1), (n, 2), · · · , (n, n2 )
よって
an = 1 + 2(n − 1) + (n2 + 1) = n(n + 2)
(2) Sn の境界を除いた内部にある格子点の個数は
x = k のとき (2
k
n − 1),次の k 2 − 1 個
(k, 1), (k, 2), · · · , (k, k 2 − 1)
n−1
n−1
よって
(k 2 − 1)
(k 2 − 1) =
bn =
k=1
k=2
1
= (n − 1)n(2n − 1) − (n − 1)
6
1
= (n − 1)(n − 2)(2n + 3)
6
n
(3)
cn =
0
x2 dx =
x3
x
n
=
0
n3
3
上式および (1),(2) の結果により
an
1 1
1
n3
+ bn − cn = · n(n + 2) + (n − 1)(n − 2)(2n + 3) −
2
2 2
6
3
n
= +1
6
よって
lim
n→∞
an
1 n
+ bn − cn = lim
+ 1 = lim
n→∞ n
n→∞
2
6
1 1
+
6 n
=
1
6
17
12 (1) y = x2 を微分すると
y = 2x
y
C
C 上の点 (t, t2 ) における接線の方程式は
y − t2 = 2t(x − t)
S2
y = 2tx − t2
ゆえに
したがって
t
{x2 − (2tx − t2 )} dx
S1 =
−1
t
=
O
−1
t
5t
S1
(x − t)2 dx
−1
1
(x − t)3
3
=
5t
S2 =
t
1
= (t + 1)3
3
−1
t
よって
(x − t)2 dx
t
1
(x − t)3
3
=
5t
{x2 − (2tx − t2 )}dx =
5t
=
t
R = S2 − S1 =
64 3
t
3
1
64 3 1
t − (t + 1)3 = 21t3 − t2 − t −
3
3
3
dR
= 63t2 − 2t − 1 = (7t − 1)(9t + 1)
dt
t > 0 より,R の増減表は次のようになる.
(2) (1) の結果から
t
dR
dt
R
よって,t =
(0)
···
−
1
7
0
64
− 147
···
+
64
1
のとき,最小値 −
をとる.
7
147
x
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