講義資料

応力とひずみの座標変換(モールの応力円とひずみ円)とロゼット解析
・面に作用する直応力とせん断応力の正負の定義
右図のように直応力は引張応力を正、圧縮応力を負とする。
せん断応力は反時計回りのモーメントを与える方向を正、
時計回りのモーメントを与える方向を負とする。
正の直応力方向
正のせん断応力方向
面
y
x

・直応力の座標変換
問：X-Y平面にある長方形板に一様な引張応力xが作用する長方形板がある。X-Y座
標系から時計方向に回転した方向の直応力とせん断応力を求めなさい。
x
解：方向に直交する方向で仮想切断し、その仮想断面左側を考える。
θ
力の釣り合いから仮想断面に作用する力の合力 P の大きさはx×L×t となる。
ここで、L は長方形板の幅、t は板の厚である。P を仮想断面に直交する方向と沿
う方向の力に分解すると、P  P cos  xLt cos 、P  Psin  xLt sin  となる。
P
仮想断面の面積は Lt/cos になるから仮想断面に作用する直応力は   x cos  、 x
2
P
せん断応力は   x sin  cos  となる。
P
・せん断応力の座標変換
問：せん断応力xy が作用する場合の方向の直応力とせん断応力を求めなさい。

解：   2xy sin  cos  、   xy cos 2   sin 2 

xy
θ
・平面応力の座標変換式
問：一様な応力を受ける板（x-y 座標系に関する応力がx、y、xy）の方向の直応力とせん断応力を求めなさい。
解：y 方向から方向への回転はであるのでそれぞれ重ね合わせて次のようになる。
   x cos 2    y cos 2 (  90  )  2xy sin  cos    x cos 2    y sin 2   2xy sin  cos 
  xsin  cos  y sin(  90) cos(  90)  xy( cos 2   sin 2  )  x cos sin   y cos sin   xy( cos 2   sin 2  )
ここで、 R  (x  y ) / 2 , r  (x  y ) / 2 とすると、 x  R  r , y  R  r となる。したがって、変換式は
  x cos 2   y sin 2   2xy sin  cos   R  r cos 2   xy sin 2
  r sin 2  xy cos 2
次に、 cos   r / r 2  xy 2 , sin   xy / r 2  xy 2 となるを使って書き換えると
  R  r 2  xy 2 cos(  2 ) 、  r 2  xy 2 sin(   2 )
・モールの応力円
応力の変換式を、横軸に直応力、縦軸にせん断応力の軸をとった平面上で、θを変化させたときの点(σξ,τξη)
の点の軌跡は円として表されることを表している。これをモールの応力円という。

Y
Y

r
y
x
R




2
xy

X

X
・モールの応力円の描き方
① 横軸に直応力、縦軸にせん断応力の軸をとる。せん断応力の正方向を下向きとすることに注意する。
② x-y 座標に関する応力の 3 成分x、y、xy について、図に(x,xy)の点 X、(y,-xy)の点 Y、
（(x+y)/2,0）と
なる直応力軸上の点 R をとる。
③ 点 R を中心として X を通る円を描く(X-Y が直径となる)。
④ X 軸から時計回りに回転した軸に関する応力を求めるには、半径 R-X を時計周りに 2回転させた半径 R-
となる点をとり、点の横座標が、縦座標がとなる。
・主応力
モールの応力円において、直応力が最大または最小となる座標軸ではせん断応力は 0 になっている。この 2 つの直
応力を主応力という。ここで２つの主応力方向は直交する。
課題
１） x-y 座標に関する応力の 3 成分x、y、xy がそれぞれ、80、-40、80（N/mm2）のとき、モールの応力円を
描きなさい。
２）１）のモール円より、θ＝45°方向の軸ξに関する直応力σξ，せん断応力τξηを求めなさい。
３）１）のモール円より、主応力の大きさと方向を求め、その大きさと方向を次の図を参考に描きなさい。
Y
引張主応力
235
42°=α/2
X
圧縮主応力
95
・ひずみの座標変換
応力と同様ひずみも任意の座標系へ変換可能である。
x-y座標上の点の変位が(ux,uy)であらわされるとすると、x方向の直ひずみ x  ux / x 、Y方向の直ひずみ
y  uy / y 、せん断ひずみ xy  uy / x  ux / y と定義される。x-y座標系から時計回りにθ回転した座標系
に関するひずみは、   u /  、    u /   u /  である。ここで、変位（ux,uy）を座標系であらわ
すと u  ux cos   uy sin  、 u  ux sin   uy cos  となり、x-y座標系での座標(x,y)と座標系の座標()との関
係は、 x   cos    sin  、 y   sin    cos  となる。これより、
  u /   u / x  x /   u / y  y /   (ux / x  cos  uy / x  sin  ) cos  (ux / y  cos  uy / y  sin  )
(  sin )  ux / x  cos2   uy / x  sin cos  ux / y  sin cos  uy / y  sin 2   x cos2   y sin 2   xy sin cos
  u /   u /   u / x  x /   u / y  y /   u / x  x /   u / y  y / 
 ux / x cos sin  uy / x sin 2   ux / y cos2   uy / y sin cos  ux / x sin cos  uy / x cos2   ux / y sin 2 
 uy / y sin cos  2x cos sin  2y cos sin  xy(cos2   sin 2  )
・モールのひずみ円
せん断ひずみγの 1/2 を d と定義すると、 xy  2dxy,   2d となる。これを使うとひずみの座標変換式は、
  x cos2   y sin2   2dxy sin cos 、 d  x cos sin   y cos sin   dxy(cos2   sin 2  ) となる。この式は、
応力の座標変換式と全く同じである（は、は d に対応する）。したがって、モールの応力円と同様にしてモール
のひずみ円を利用できる。
Y
Y
r
R
x
X
2
dxy
X

・モールのひずみ円の描き方
① 横軸に直ひずみ、縦軸に d(せん断ひずみの 1/2)の軸をとる。せん断ひずみの正方向は下向きである。
② XY 座標に関するひずみの 3 成分（x、y、xy/2）について、(x、dxy)の点 X、(y、-dxy)の点 Y、と((x+y）
/2,0)となる直応力軸上の点 R をとる。
③ 点 R を中心として X を通る円を描く(X-Y が直径となる)。
④ X 軸から時計回りにθ回転した軸に関するひずみを求めるには、半径 R-X を時計回りに 2回転させた半径 R-
となる点をとり、点の横座標が、縦座標が d=/2 となる。
・主ひずみ
主応力と同様モールのひずみ円において、直ひずみが最大または最小となる座標軸ではせん断ひずみは 0 になって
いる。この 2 つの応力を主ひずみという。ここで２つの主ひずみ方向は直交することもわかる。
課題）ロゼット解析
実験においてせん断ひずみや主ひずみを計測したいとき、ひずみゲージでは直ひずみしか計測することはできない
ので、3 方向の直ひずみを計測するロゼットゲージが用いられる。ある実験において、図のような位置で 3 方向の
直ひずみを計測したところ以下のデータが得られた。ただし、ひずみの単位は 10-6 である。このデータを用いて２
つの主ひずみの大きさとそれぞれの方向を求め、図示しなさい。
P＝50kN
ロゼットゲージ
Wv=－20
W45=250
400
400
Wh=80
400
1200
１）x=Wh、y=Wv とし、荷重条件から、xy は正となること
が予想されるので、円の下側に X をとる。このとき、R と
r はそれぞれいくつか（10-6 は不要）。また、dxy とxy の関
係を表しなさい。
２）W45 は、X 方向から 45°反時計回りの方向である。この
方向に対する直ひずみとせん断ひずみを表すモールのひ
ずみ円上の点を W とするとき、図中の回転角度は何度に
なるか。
３）点 W の直ひずみは W45 である。ここで、２つのハッチの
三角形が合同であることを使って点 W のせん断ひずみの
大きさを求めなさい。また、dxy の大きさを求め、dxy と
xy の関係からxy を求めなさい。
４）３）の結果から、円の半径 RW の長さ L を求めなさい。
５）最大主ひずみ1 の大きさは R＋L、最小主ひずみの大き
さは R－L となる。２つの主ひずみの大きさを求めなさい。
６）モールのひずみ円において、最大主ひずみの方向は水平右
方向になる。半径 RX と水平方向の角度は、arctan(dxy÷r)
となる。この角度を求めなさい。
７）最大主ひずみの方向θは、X 軸より反時計回りに何度回転
した方向になるか求めなさい。
８）右の図を参考にして、求めた２つの主ひずみの方向と大き
さを図で表しなさい。
Y
R

εy
W
r

dxy
εx
1
ε45
X
引張主ひずみ
235×10-6
42°
圧縮主ひずみ
95×10-6
・等方弾性材料の応力とひずみの関係
モールの応力円とひずみ円から、応力やひずみの座標変換、そ
して、主応力や主ひずみを求めることができる。
ここでは、応力とひずみの関係について考える。
等方線形弾性体においては、応力とひずみの関係は、ヤング係
数 E とポアソン比を使って記述できる。
たとえば、応力x が作用するとき生じるひずみは、x=x/E、y=-x/E、xy=0。
平面応力状態（x、y、xy）が作用するとき生じるひずみは、重ね合わせの原理が成立するから、
x=x/E - y/E
y=-x/E + y/E
xy=xy/G。ここで、G はせん断弾性係数と呼ばれるもので、G=E/(1+)/2 で表される。
・等方弾性材料の主応力と主ひずみの方向
モールの応力円から、最大主応力の方向は x 方向から反時計回りに/2 で、 tan   xy / r  2xy /(x  y ) である。
一方モールのひずみ円から最大主ひずみの方向は/2 で tan   xy /(x  y ) である。
ここで、 tan  を応力とひずみの関係を使って、応力で表すと次式となる。
xy
2(1   )xy
2xy
E
tan  
/(x / E  y / E  x / E  y / E) 


G
E
(1   )(x  y ) (x  y )
したがって、となり、主応力方向と主ひずみ方向は一致することがわかる。

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