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53~61

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数学B 4STEP(53 ~ 61) ⑥ ベクトルと図形
[改4SB問53]位置ベクトルの関係から3点が一直線上の証明など
[改4SB問56]ベクトルの分解の性質から係数決定
[改4SB問58]三角形の辺の分点が一直線上の証明,線分比
OA=-2a,OB=4a,OC=2a +4b,OD=6a +2b,OE=-2a -6b であるとき,次
a' 0,b' 0,aTb とする。次の等式を満たす実数 s,t の値を求めよ。
△ABC において,辺 BC を 2:1 に外分する点を P,
のことを証明せよ。ただし,a' 0,b' 0,aTb とする。
(1) 2a + sb = ta - b (2) sa + 0 3 -2t1 b =0
(1) 3 点 O,A,B は一直線上にある。 (2) ACSBD
(3) c = a -2b,d =2a +3b のとき sc + td =4a +13b
辺 AB を 1:2 に内分する点を Q,辺 CA の中点を
Q
R とするとき,3 点 P,Q,R は一直線上にあること
(2) AC=OC-OA= 02a +4b1 - 0-2a1 =40a + b1
(2) a' 0,b' 0,aTb から s =0,3-2t =0 よって s =0,t =
3
2
P
1
解説
AB= b,AC= cとすると
BD=OD-OB= 06a +2b1 -4a =20a + b1
(3) sc + td = s0a -2b1 + t02a +3b1 = 0 s +2t1 a + 0 -2s +3t1 b
a' 0,b' 0,aTb から AC ' 0,BD ' 0
よって,与えられた等式から 0 s +2t1 a + 0 -2s +3t1 b =4a +13b
-AB + 2AC
AP=
=-b +2c
2-1
また AC=2BD よって ACSBD
a' 0,b' 0,aTb から s +2t =4,-2s +3t =13
AQ=
(3) (2) から BD=20a + b1
ゆえに s =-2,t =3
BE=OE-OB= 0-2a -6b1 -4a =-60a + b1
△ABC の辺 AB,BC,CA を 2:1 に内分する点を,それぞれ A 1,B 1,C 1 とする。更
v a' 0,b' 0,aTb の条件から,直線 AB の存在が認められる。
3 点 0 1,x1 ,0 x,01 ,0 -1,61 が一直線上にあるように x の値を定めよ。
2
2
AB= b
3
3
A0 1,x1 ,B0 x,01 ,C0 -1,61 とする。
AB 1 =
AB + 2AC
b + 2c
=
3
2+1
3 点 A,B,C が一直線上にあるとき, AB= kAC (k は実数) …… ① とおける。
ゆえに x -1=-2k …… ②, -x = k0 6 - x1 …… ③
x-1
2
8
9
8
9
AA 2 =
AA 1 + 2AB 1
1 2
b + 2c
=
b +2 ・
3 3
2+1
3
=
4b + 4c
9
これを ③ に代入して整理すると x -5x +6=0
2
A
B1 1
C
ゆえに
P
(1) 3 点 P,Q,C は一直線上にあることを証明せよ。
(2) PQ:QC を求めよ。
Q
B
(1) BP=
1
1
BA= a
3
3
BQ=
1
1
1
BD= 0BA +BC1 = 0a + c1
4
4
4
よって PQ=BQ-BP=
b + 4c 4b + 4c
1
1
=- b =- AB
3
3
9
9
A 2B 2 ' 0,AB ' 0 であるから A 2B 2SAB D
点を P,対角線 BD を 1:3 に内分する点を Q とする。
解説
b + 4c
9
A 2B 2 = AB 2 - AA 2 =
平行四辺形 ABCD において,辺 AB を 2:1 に内分する
2
また,BA= a,BC= c とする。
A2
すなわち A 2B 2SAB
2
B2
1
B
ここで AB= 0 x -1, - x1 ,AC= 0 -2,6 - x1
よって,① から 0 x -1, - x1 = k0 -2,6 - x1
9
[改4SB問59]平行四辺形の辺の分点と2点が一直線上,線分比
C1
A1
1
1
AC 1 = AC= c
3
3
=
1
b
3
1
2
AB 1 + 2AC 1
1 b + 2c
1
=
+2 ・ c
AB 2 =
3
3
2+1
3
解説
P
C
A
AA 1 =
よって [改4SB問55]3点(1,x),(x,0),(-1,6)が一直線上にあるxの値
B
ゆえに QP=4QR したがって,3 点 P,Q,R は一直線上にある。
AB= b,AC= c とおくと
よって AP=-2AB ゆえに,点 P は直線 AB 上にある。
R
また QR:QP=1:4
解説
AP=OP-OA= 03a -2b1 - a =2a -2b =-20b - a1
QP=AP-AQ= 0-b +2c1 -
8
このとき,A 2B 2SAB であることを示せ。
解説
AB=OB-OA= b - a,
A
2
1
1
c- b
2
3
4
1
1
=- b +2c =4 - b + c
3
3
2
に,△A 1B 1C 1 の辺 A 1B 1,B 1C 1 を 2:1 に内分する点を,それぞれ A 2,B 2 とする。
OA= a,OB= b,OP=3a -2b であるとき,点 P は直線 AB 上にあることを証明せよ。
ただし,a' 0,b' 0,aTb とする。
1
1
1
=- b + c
3
2
[改4SB問57]三角形内に作った三角形と辺の平行(ベクトル利用)
[改4SB問54]OA=a,OB=b,OP=3a-2b⇒Pは直線AB上にある の証明
Q
1
1
1
1
AB= b, AR= AC= c
3
3
2
2
よって QR=AR-AQ=
よって BE=-3BD ゆえに,3 点 B,D,E は一直線上にある。
これを解いて x =2,3
C
2
(1) a' 0,b' 0,aTb から 2= t,s =-1 よって s =-1,t =2
(1) OB=4a =-2OA よって,3 点 O,A,B は一直線上にある。
② から k =-
R
B
解説
解説
A
2
を証明し,QR:QP を求めよ。
(3) 3 点 B,D,E は一直線上にある。
1
1
1
1
1
a + c1 - a =- a + c
40
3
12
4
PC=BC-BP= c -
1
1
1
a =4 - a + c
3
12
4
8
9
ゆえに PC=4PQ …… ①
したがって,3 点 P,Q,C は一直線上にある。
(2) ① から PQ:PC=1:4 よって PQ:QC=1:3
C
[改4SB問60]三角形の交点の位置ベクトル(ベクトルの相等利用)
△ABC において,辺 AB を 1:2 に内分する点を D,
[改4SB問61]三角形の分点のベクトル表示,線分比
△OAB において,辺 OB の中点を M,辺 AB を 1:2
A
辺 AC を 3:1 に内分する点を E とし,線分 CD,BE
D
の交点を P とする。AB= b,AC= c とするとき,AP
3
2
線分 CM と線分 BD の交点を P とする。
D
OA= a,OB= b とするとき,次の問いに答えよ。
2
を b,c を用いて表せ。
O
に内分する点を C,辺 OA を 2:3 に内分する点を D,
1
P
E
1
C
B
M
3
(1) OP を a,b を用いて表せ。
P
(2) 直線 OP と辺 AB の交点を Q とするとき,
Q
AQ:QB を求めよ。
A
1
C
B
2
解説
BP:PE= s:0 1 - s1 ,CP:PD= t:0 1 - t1 とすると
AP= 0 1 - s1 AB+ sAE= 0 1 - s1 b +
AP= tAD+ 0 1 - t1 AC=
A
3
sc …… ①
4
(1) CP : PM= s : 0 1 - s1 ,BP : PD= t : 0 1 - t1 とすると
D
1
tb + 0 1 - t1 c …… ②
3
2
①,② から 3
1- t
s
3
1
0 1 - s1 b + sc = tb + 0 1 - t1 c
4
3
P
B
1
3
b' 0,c' 0,bTc であるから 1- s = t, s =1- t
3
4
これを解いて s =
8
1
,t =
9
3
8
よって,① から AP= 1 -
解説
1
1- s
E
1
C
t
OP= 0 1 - s1 OC+sOM= 0 1 - s1 ・
8
3 8
1
2
b+ ・ c= b + c
9
4 9
9
3
9
D
=
s
t
P
Q
A
2 1 - s1
2+s
2
0
a+
b = ta + 0 1 - t1 b
3
6
5
よって,② から OP=
2
2 5
5
2
4
・ a + 1 - b = a + b …… ③
5 9
9
9
9
8
9
ゆえに,点 P は線分 BE を 8:1 に内分する点であるから
9
C
2
5
,t =
3
9
(2) OQ= kOP 0 k は実数1 とすると,③ から OQ=
3
c
4
1
2 1 - s1
2
2+s
a' 0,b' 0,aTb であるから 0
= t,
=1- t
5
3
6
これを解いて s =
b +8・
2
4
ka + kb …… ④
9
9
また,AQ:QB= u:0 1 - u1 とすると OQ= 0 1 - u1 a + ub …… ⑤
1
2
= b + c 9
3
2
4
④,⑤ から ka + kb = 0 1 - u1 a + ub
9
9
2
4
a' 0,b' 0,aTb であるから k=1- u, k= u
9
9
これを解いて u =
2
3
,k=
3
2
したがって AQ:QB=2:1
u 次の項目「ベクトル方程式」で学習する以下のことを用いてもよい。
点 P 0p1 が 2 点 A 0a1 ,B 0b1 を通る直線上にある
C p = sa + tb,s + t =1
t (2) OQ= kOP (k は実数) とすると,③ から
2
4
2
4
8 9 a+ 9 b9= 9 ka+ 9 kb
OQ= k
2
4
Q は辺 AB 上にあるから k+ k =1
9
9
よって k=
M
3
2
ta + 0 1 - t1 b …… ②
5
EC
1 AD
1
BP 1 1
= ,
= であるから が成り立つ。
・ ・ =1
CA
4
DB
2
PE 4 2
BP
=8
PE
1- s
1- t
OP= tOD+ 0 1 - t1 OB
BP EC AD
=1
¦ABE と直線 CD にメネラウスの定理を適用すると ・
・
PE CA DB
AB + 8AE
=
AP=
8+1
O
2
2 1 - s1
2+s
= 0
a+
b …… ①
3
6
①,② から t メネラウスの定理を用いる。
すなわち 2a + b s
+ b
3
2
3
2
ゆえに OQ=
2 3
4 3
a + 2b
1・a + 2b
=
・ a+ ・ b=
3
2+1
9 2
9 2
よって AQ:QB=2:1
B
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