468_３点からの距離の和が最小となる点（フェルマー点） C平面上の３点からの距離の和が最小となる点右図のように△ABC の 3 辺 AB，BC，CA のそれぞれを 1 辺とする正三角形 △ABC′ , △BCA ′ , △CAB′ を△ABC の外側 A B- にかき，3 直線 AA ′ , BB′ , CC′ を結ぶと 1 点 P で交わる．この点 P をフェルマー点（または，トリチェリ点，等角中心） B という． P C D 特に，三角形のどの内角も 120 より小さい場合，フェルマー点 P は，△ABC の 3 頂点 A，B，C からの距離の和 AP + BP + CP の値を最小とする点である． △ABC 内に任意の点 P0 をとり， △ABP0 を点 B の証明 AC- D 周りに 60 回転した三角形を △C′BQ0 とする． A Q0 BP0 = BQ0 , ∠P0 BQ0 = 60D より， △BP0Q0 は正三角形であるから BP0 = P0Q0 "" ① P0 また， △ABP0 ≡ △C′BQ0 より B AP0 = C′Q0 "" ② ここで， C , C′ を結んだ線分に注目すると，①，②より C CQ AP0 + BP0 + P0C = C′Q0 + Q0 P0 + P0C A であるから，この値が最小となるのは，2 点 P0 , Q0 が線分 CC′ 上にあり，4 点 C′ , Q0 , P0 , C が一直線上にあるときである．そのときの 2 点 P0 , Q0 をそれぞれ P，Q とすると，点 P が 60, 120, D D C B AP + BP + CP の値を最小とする点である．このとき D P CD ∠BPC＝ 180 − ∠BPQ＝ 180 − 60 = 120 であり，同様に △BCA ′ , △CAB′ を作図して考えると A B- D ∠APB＝∠BPC＝∠CPA = 120 となり，点 P から△ABC の 3 頂点を見たときのなす角はすべて等しくなる．（これが，等角中心と言われる所以である．） P B C C- 次に， P A B BC A- A = 120D のとき，フェルマー点は点 A と一致 D し， A > 120 のとき，フェルマー点は△ABC の外部にある． D したがって， A)120 の場合， AP + BP + CP を最小とする点は，点 A と一致する． A- −1− http://www.geocities.jp/ikemath まず，1 辺の長さが a の正三角形 ABC の内部の点 Q から，3 辺に下した垂線の足をそれぞれ D，E，F とすると A QD＋QE＋QF＝(一定) となることを示す． △ABC の高さを h とすると a F △ABC＝△BCQ＋△CAQ＋△ABQ E Q より h 別証 1 ah = 1 a ⋅ QD + 1 a ⋅ QE + 1 a ⋅ QF 2 2 2 2 = 1 a(QD + QE + QF) 2 よって，QD＋QE＋QF＝h（一定） ■ D 次に，右図のように内角の大きさがすべて 120 B C- D D C A B- より小さい三角形 ABC において，内部に D ∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝ 120 となる点 P をとる．3 頂点 A，B，C を通り，それぞれ AP，BP，CP に垂直な 3 直線をひき，交点をそれぞれ A ′ , B′ , C′ とすると，四角形 APBC′ は円に内接することから 120, Q B E P C F ∠C′ = 180D − 120D = 60D 同様に ∠A ′ = ∠B′ = 60D Aしたがって，△ A ′B′C′ は正三角形となる． ′ ′ ′ ′ ′ ′ いま，△ABC 内に任意の点 Q をとり， B C , C A , A B に垂線 QD，QE，QF を下すと AQ＋BQ＋CQ ) QD＋QE＋QF＝AP＋BP＋CP がつねに成り立つ．よって，AQ＋BQ＋CQ を最小にする点は P である． ■ 例題．座標平面上の 3 点 A ( −1 , 0) ，B (1 , 0) ，C (0 , 1) を頂点とする△ABC の内部の任意の点を P とする．点 P を通り x 軸に平行な直線と y 軸との交点を Q とするとき，次の(1)，(2)に答えよ． (1) AP + BP ) AQ + BQ が成り立つことを示せ． (2) AP + BP + CP を最小にする点 P の座標を求めよ． (鹿児島大) s(1) 直線 PQ に関して，点 A と対称な点を A ′ とすると AP = A ′P , AQ = A ′Q が成り立つ．したがって AP + BP = A ′P + BP y 1 C A- ) A ′B P = A ′Q + QB = AQ + QB A -1 等号成立は，点 P が点 Q に一致するときである． −2− ■ Q B O 1 x 468_３点からの距離の和が最小となる点（フェルマー点） (2) (1)において， CP )CQ が成り立つことから AP + BP + CP ) AQ + BQ + CQ したがって，求める点 P は y 軸上にあり，P (0 , t ) (0 < t < 1) とおける．このとき AP + BP + CP = 1 + t 2 + 1 + t 2 + 1 − t = 2 1+ t2 +1− t f (t ) = 2 1 + t 2 + 1 − t (0 < t < 1) とおくと f ′(t ) = 2 ⋅ 2 2t − 1 = 2t − 1 = 2t − 1 + t 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 2t − 1 + t 2 = 0 とおくと 2t = 1 + t 2 両辺，正であるから 2 乗して 0 < t < 1 より 4t 2 = 1 + t 2 ⇔ t2 = 1 3 t= 1 3 1 3 0 t 増減表は右のようになる． 1 のとき f (t ) は最小となる． 3 1 ⎞ よって，求める点 P の座標は ⎛⎜ 0 , ⎟ 3 ⎠ ⎝ ゆえに， t = f ′(t ) − f (t ) : t △APC を点 A の周りに 60D 回転した三角形を C- ＋ 9 y △AP′C′ とすると △APP′ は正三角形， △APC ≡ △AP′C′ であることから AP = PP′ , CP = C′P′ したがって AP + BP + CP = PP′ + BP + C′P′ 0 1 1 C P- A -1 P B O 1 x = BP + PP′ + P′C′ ) BC′ 等号成立は，4 点 B , P , P′ , C′ が一直線上にあるときである．したがって，直線 BC′ と y 軸との交点が点 P であるとき， AP + BP + CP が最小となる． D D このとき， ∠APC′ = 60 より ∠APB = 120 1 AO＝1 より OP＝ 3 1 ⎞ よって，求める点 P の座標は ⎛⎜ 0 , ⎟ 3 ⎠ ⎝ ■ 練習問題． xy 平面上の 3 点 O (0 , 0) ，A (1 , 0) ，B (0 , 1) からの距離の和 OP + AP + BP を最小にする点 P を求めよ． (お茶の水女子大) −3−