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図形と方程式
映像:(導入)図形と方程式
☆内分・外分点公式
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) を m : n に内分する点 P の座標は
(
mx2 + nx1 my2 + ny1
,
)
m+n
m+n
外分のときは n → − n とすればよい。
※重心公式
A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 )C(x3 , y3 ) の重心 G
(
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
,
)
3
3
☆直線の直交条件・平行条件
2直線 y = ax + m,y = bx + n が
直交→ a・b = −1
平行→ a = b
※方向ベクトルはそれぞれ (1, a),(1, b) より
内積が 0 として直交条件を導く。
☆直線と対称な点の出し方
ある点 A と直線 l との対称点 B の出し方は
1 B の座標を設定 (p, q)
2 A,B の中点が直線 l 上にある
3 AB と直線 l は直交するので AB の傾き(方向ベクトル)と直線 l の傾きの積が −1
☆点と直線の距離の公式
ある点 (p, q) と直線 ax + by + c = 0 の距離は
d=
|ap + bq + c|
√
a2 + b2
(証明)
外部の点 X(p, q) より,この点から直線に下ろした垂線の足を H とすると,直交条件よ
−→
り,XP の方向ベクトルは (a, b) なので,
−→
OH =
( )
( )
p
a
+t
q
b
1
H は直線上の点より,これを直線の方程式に代入して,
a(p + ta) + b(q + tb) + c = 0 ∴ t = −
ap + bq + c
a2 + b2
ここで面と点の距離を d とすると,
|ap + bq + c|
d
∴ d = √
t = ±√
2
2
a +b
a2 + b2
☆円の方程式
中心 (p, q), 半径 r の円の関数表示は
標準形:(x − p)2 + (y − q)2 = r2
一般形:x2 + y 2 + ax + by + c = 0
☆円と直線
円の半径を r, 直線と中心との距離を d としたとき,円と直線が
2点で交わる→ d < r
接する→ d = r
交わらない→ d > r
☆円と接線
円 (x − p)2 + (y − q)2 = r2 の円上の点 (a, b) での接線の式は
(a − p)(x − p) + (b − q)(y − q) = r2
また外部の点 (c, d) から円に引いた接線の2接点の座標を A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 ) とすれば
(x1 − p)(c − p) + (y1 − q)(d − q) = r2 (x2 − p)(c − p) + (y2 − q)(d − q) = r2
2 式より AB の直線式は
(c − p)(x − p) + (d − q)(y − q) = r2
となる
☆2円の交点
それぞれ円の半径を r1 , r2 ,2 円の中心間距離を d としたとき
2点で交わる→ |r1 − r2 | < d < r1 + r2
内接する→ d = |r1 − r2 |
外接する→ d = r1 + r2
2
2円 x2 + y 2 + ax + by + c = 0 と x2 + y 2 + dx + ex + f = 0 の交点を通る図形は
x2 + y 2 + ax + by + c + k(x2 + y 2 + dx + ex + f ) = 0
k = −1:直線,k 6= −1:円 を表す
なお一般的な関数
f (x, y) = 0, g(x, y) = 0
の交点を通る図形の方程式は
f (x, y) + kg(x, y) = 0
と表現される
☆軌跡
条件を満たす点の集合
ステップ1:求める点を (X, Y ) とする
ステップ2:X, Y の関係式を導出する
関係式の求め方は様々である
タイプ1:図形型
(例)A(-1,4),B(3,2) から等距離にある点の軌跡
これは AB の垂直2等分線になることはすぐ分かるのであとは AB の中点を通り,傾きの
積ー1の条件からこの式を出せば完成
タイプ2:方程式型
(例)A(-2,0),B(1,0) からの距離の比が 1 : 2 である点 P の軌跡
AP : BP = 1 : 2 ∴ (X + 2)2 + Y 2 : (X − 1)2 + Y 2 = 1 : 22 から導出
タイプ3:パラメタ型
(例)y = x2 − ax + a2 の頂点 P の軌跡
3
a 3
a
y = (x − )2 + a2 ∴ P( , a2 )
2
4
2 4
a
3
X − , Y = a2 a を消去して Y = 3X 2
2
4
3
タイプ4:帰着型
(例)A(4,2) と円 x2 + y 2 = 4 上を動く点 B との中点 P の軌跡
X=
4+X
−2 + y
,Y =
より x = 2X − 4, y = 2Y + 2
2
2
これを円の式に代入
(2X − 4)2 + (2Y + 2)2 = 4 ∴(X − 2)2 + (Y + 1)2 = 1
☆領域
(1)y = f (x)
y ≤ f (x) → y = f (x) 以下 境界含む
y ≥ f (x) → y = f (x) 以上 境界含む
y < f (x) → y = f (x) より下 境界含まない
y > f (x) → y = f (x) より上 境界含まない
(2) 円
(x − p)2 + (y − q)2 ≤ r2 →円の内部(境界含む)
(x − p)2 + (y − q)2 ≥ r2 →円の外部(境界含む)
等号がなくなると境界含まなくなる
4
★問題
1
A(−1, 1),B(3,4) を結ぶ線分 AB を 1:2 の比に内分する点の座標を求めよ。また AB の距
離を求めよ。
2
(-2,3),(3,-1) を結ぶ線分を 3:1 の比に外分する点の座標を求めよ。
3
三点 A(-2,4)B(4,0)C(4,8) がるとき,AB の中点の座標を求めよ。また△ ABC の重心の
座標を求めよ。
4 A(7,-6)B(-8-1) に対して,線分 AB を 3:2 の比に内分する点 P の座標を求めよ。また
点 A に対して点 P と対称な点 Q の座標を求めよ。
5
点(3,2)を通り,直線 y = 3x + 7 に平行な直線の方程式を求めよ。また垂直な直線の方
程式を求めよ。
6
直線 y = 2x に対して点 (2,1) と対称な点を求めよ。
7
点 (1,2) から直線 2x + 3y − k = 0 に引いた垂線の長さが
√
13 のとき k を求めよ。
8
x2 + y 2 − 6x + 4y + 8 = 0 の中心の座標とこの円が x 軸から切り取る弦の長さを求めよ
9
(0,1),(2,3)を直径の両端とする円の中心の座標と半径を求めよ
10
3点 (0,0),(3,-1),(-1,1) を通る円の中心の座標と面積を求めよ
11
直線 ax − y − 3a + 2 = 0 はどんな a に対しても1つの定点を通る。このときの定点の座
5
標を求めよ。またこの直線が x2 + y 2 − 4x − 2y = 0 の面積を2等分するときの a の値を
求めよ。
12
2つの円 x2 + y 2 = 4, (x − 4)2 + (y − 3)2 = r2 が接するときの r を求めよ
13
円 x2 + y 2 + 6x = 0 の中心の座標と半径を求めよ。またこの円に y = m(x − 2) が接する
ときの m の値を求めよ
14
A(-1,2),B(3,4) から等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ
15
実数 x, y が x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 , x + 2y ≤ 6 を満たすときの x + y の最大値と
最小値を求めよ
6
★.5 問題
1
A(-6,7)B(-1,-8) のとき AB を 3:2 に内分する点 P の座標を求めよ。また,点 B に対して
点 P と対称な点 Q の座標を求めよ。
2
A(-2,1)B(4,4) のとき AB を 1:2 に内分する点 C の座標を求めよ。また△ OAC の重心の
座標を求めよ。
3
y = ax + b,y = 2x + c が点(2,2)で直交するとき a, b, c の値を求めよ。
4
2x − y + 1 = 0 に A(p, 2) と対称な点は B(−1, q) である。p, q を求めよ。また△ OAB の
面積を求めよ。
5
(-1,2) を通り 3x + 4y + 5 = 0 に平行な直線の方程式と,これら2直線の距離を求めよ。
6
y = 3x − 4 と x 軸に対して対称な直線と,その直線と原点に対して対称な直線式を求め
よ。
7
x2 + y 2 − 2ax − 2y − 2a = 0 が円を表すときの a の値と a の値に関わらず通る点の座標
を求めよ
8
点 (5, p) を中心とする円が y 軸に接し,点 (8,0) を通るとき,この円の半径と p の値を求
めよ
9
点 (2,-9) を通り,x 軸,y 軸 の両方に接する円のうち,小さい方の円の半径と中心の座標
を求めよ
10
7
x2 + y 2 − 4x − 2y = 20 の中心の座標を求めよ。また原点を通りこの円に内接する円の半
径 r の範囲を求めよ
11
2つの円 x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 − 2ax − 4ay + a2 = 0 が2点A,Bで交わり,直線ABが
(4,-1) を通るとき,このとき a の値と,原点O,A,Bを通る円の方程式を求めよ
12
x2 + y 2 = 25 上の点A(3,4)におけるこの円の接線の方程式を求めよ。また点 (7,1) か
らこの円にひいた2本の接点をQ,Rとすると,2点Q,Rを通る直線の方程式を求めよ
13定点A(4,-2)に対して点Pが (x − 2)2 + (y + 2)2 = 4 の周上を動くときの線分AP
の中点Qの軌跡を求めよ
143つの不等式が
x + y − 1 ≤ 0, x − y + 1 ≥ 0, y ≥ 0
で得られる面積を求めよ。また点 (x, y) がこの領域内にあるとき 2y − x の最大値と最小
値を求めよ
15
2点 A(2,0),B(0,2) と円 x2 + y 2 = 2 の周上にP (x, y) があるとき
|x + y| の範囲を求めよ。また AP2 + BP2 の最大値・最小値を求めよ
8
★★問題
1
2直線 l : y = 2x + 4, m : y = −x + 1 がある。
(1)
点 (2,-2) を通り l に垂直な直線 n の方程式を求めよ。
(2)
l と m の交点 A,l と n の交点 B,m と n の交点 C とするとき,A,B,C の座標を求めよ。
(3)
BC を 1:4 の比に外分する点を D とするとき△ ACD の重心の座標を求めよ。
2
A(-1,-2),B(5,10) とするとき
(1) 線分 AB の垂直2等分線 l の方程式を求めよ
(2) 線分 AB を 2:1 に内分する点を中心として,原点 O を通る円 C の方程式を求めよ
(3)l, C が交わってできる弦の長さを求めよ
3
円 x2 + y 2 + 2ax + ay − a − 2 = 0 について
(1) 原点を通るとき a の値を求めよ
(2) 半径が 3 となるとき a の値を求めよ
(3) この円は a がどんな値をとっても定点を通る。この定点の座標を求めよ
4
A(-2,4),B(6,-2) のとき
(1)AB を直径の両端とする円の方程式を求めよ
(2)A を通り (1) で求めた円に接する直線の方程式を求めよ
(3) (2)の直線が x, y 軸と交わる点と原点の3点を通る円の方程式を求めよ
5
2 つの円 x2 + y 2 = 1…i,x2 + y 2 − 6x + 8y + k = 0…ii について
(1)ii が円を表すとき,実数 k のとる値の範囲を求めよ
(2)i と ii が共有点を持つとき,実数 k のとる値の範囲を求めよ
(3)i と ii が異なる2点を共有し,この2点を結ぶ直線が原点を通るときこの直線の方程式
を求めよ
9
6
円 x2 + y 2 − 6x − 8y + 21 = 0 について
(1) 円の中心座標と半径を求めよ
(2) 点 P がこの円の周上をうごくとき OP の最大値と最小値を求めよ
(3) 点 P がこの円の周上をうごくとき線分 OP の中点 Q の軌跡を求めよ
7
2 つの円 x2 + y 2 = 4…i,x2 + y 2 − 4x + 3 = 0…ii について
(1)ii の円の中心と半径を求めよ
(2) 円 i の外部の点 P(p, q) から円 i にひいた接線の長さを求めよ
(3) 点 P から2つの円に引いた接線の長さが等しいとき,点 P の軌跡を求めよ
8
2次関数 y = x2 − 4mx + 3m2 − 6 について
(1) 点 (1,2) を通るように m を定めよ
(2) 頂点の座標を m で表せ
(3)1 ≤ m ≤ 4 の範囲で m が変化するとき,頂点の動く範囲を図示せよ
9
2つの不等式 y ≥ x2 − 1,y ≤ x + 1 を同時に満たす点 (x, y) の存在する領域 D について
(1)D を図示せよ
(2)x + y の最大値,最小値を求めよ
(3)x2 + y 2 の最大値,最小値を求めよ
10
映像:(典型)図形と方程式
点 P(x, y) が x2 + y 2 ≤ 4 を満たしながら動くとき
(1) 点 P の存在範囲を図示せよ
(2)x + y = X,xy = Y とするとき点 Q(X, Y ) の存在範囲を図示せよ
(3)2x + 2y + 3xy の取りうる値の範囲を求めよ
10
★★★問題
1
直線 l の方程式を (2k + 1)x − (k − 2)y − (k + 8) = 0(k : 定数)
とし2点P(1,6)Q (3,4) がある
(1)l か k によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ
(2)l と線分PQが共有点をもつような k の範囲を求めよ
(3)k のどんな値に対しても線分PQ上に l の通らない点がある。この点の座標を求めよ
2座標平面上に直線 l : (a − 2)y = (2a − 1)x − 3 がある
(1)l は実数 a によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ
(2)l が x2 + y 2 = 1 と共有点をもたないとき実数 a のとりうる範囲を求めよ
(3)l の傾きが負で l と x, y 軸で囲まれる部分の面積が
9
2
のとき a の値を求めよ
3
0
A(1,2)に対して円 C : x2 + y 2 = 9 と対称な円を C とする
0
(1) 円 C の方程式を求めよ
0
(2)2 つの円 C, C の交点を通る直線の方程式を求めよ
0
(3)2 つの円 C, C の交点を通り,x 軸に接する円の方程式を求めよ
4
直線 x − y = a, 円 x2 + y 2 = 4 が点P,Qで交わっている。ただし a > 0 とする
(1)P とQが一致するとき a の値を求めよ
(2) △OPQが鋭角三角形となるような a の値を求めよ
(3)a = 1 のとき弦PQの長さを求めよ
5
円 C : x2 + y 2 − 4kx − 2ky + 20k − 25 = 0
について次の問に答えよ。ただし k は実数である
(1) 円 C が点 (5,2) を通るとき,k の値を求めよ。またこのときの円の中心の座標と半径
を求めよ
(2) どのような k についても円 C はつねに定点を通る。その定点の座標を求めよ。また k
がどのような値をとっても円 C が通らない点はどのような図形上にあるか
(3) 円 x2 + y 2 = 5 が円 C に内接するように k の値を求めよ
6
11
Oを原点とする座標平面上に点C (4,0) を中心とする半径3の円 C と点P (0,
√
2) がある
とき
(1) 点Pから円 C に引いた2本の接線は直交することを示せ
(2)(1) の接点をQ,Rとするとき,4点P,Q,C,Rを通る円の方程式を求め,直線O
QとORが直交することを示せ
7
2つの円
O : x2 + y 2 = 4 C : x2 + y 2 − 4x − 8y + 19 = 0
(1) 円 C の中心と半径を求めよ。また O, C を同時に2等分する直線の方程式を求めよ
(2) 円 O, C の共通外接線の交点Aの座標を求めよ
(3) 共通外接線と円Oとの接点の1つをBとするとき,線分ABの長さを求めよ
8
円と放物線
C : x2 + y 2 = 1 H : y = 2x2 + k
円 C 上の点 (α, β) における接線を l とする(αβ 6= 1)
(1)l の式は αx + βy = 1 となることを示せ
(2)l が H に接するとき β と k の関係式を求めよ
(3) 円 C と放物線 H が点P (α, β) を共有し,かつこの点における2つの曲線の接線が一
致しているとき k, α, β の値を求めよ
9
円と直線
C : x2 + y 2 + 2ax − 4ay + 10a − 5 = 0 l : y = −x (a 6= 1)
(1) 円 C の中心の座標と半径を求めよ
(2) 円 C が l に接するとき a の値を求めよ
√
(3)C と l が異なる2点で交わり C が l から切り取る弦の長さは 2 3 であるときの a の
値を求めよ
10
12
座標平面上に原点Oとは異なる点Qをとり,原点Oと点Qを結ぶ線分上に点Pをとる。点
Qの座標を (X, Y ),点Pの座標を (x, y) とする。ただしQの x 座標は正である
(1)0 < k < 1 となる k を用いて X = xk , Y =
y
k
となることを示せ
(2)OP・OQ=12 のとき
X=
12x
12y
,Y = 2
x2 + y 2
x + y2
であることを示せ
(3) 点Qが x = 9 上を動くとき OP・OQ=12 を満たす点Pの軌跡を求めよ
11
円C:x2 + y 2 − 6x − 2y + 6 = 0 直線 l : y = −x − 1
0
(1) 直線 l に対して円 C と対称な円 C の方程式を求めよ
(2) 点Pの座標を (-1,5), 直線 l 上の動点をQ,円 C の周上の動点RとするときPQ+Q
Rの最小値を求めよ
(3) 点 (x, y) が円 C の内部および周上を動くとき
y−5
x+1
の値を最大にする点をA,最小に
する点をBとするとき,直線の方程式を求めよ
12
2x + y − 2 ≥ 0, 3x − y − 8 ≤ 0, x − 2y + 9 ≥ 0
とするとき
(1) 連立不等式が満たす領域を図示せよ
(2) 点P (x, y) が領域内を動くとき,x + y の最大値を求めよ
(3) 点 (x, y) が領域内を動くとき x2 + y 2 の最小値を求めよ
13
(1) 円 C : x2 + y 2 − x − y = k(k > 21 ) の中心の座標と半径を求めよ
(2)a がすべての実数値をとるとき 2ay = x2 − 2x − a2 を表すグラフの通る領域 D を図
示せよ
(3) 円 C が領域 D を通らないように k の値の範囲を求めよ
13
★★★★問題
1
0° ≤ θ ≤ 180° の範囲で |2cosθ + sinθ| ≤ 1 を満たす
(1)sinθ の取り得る範囲を求めよ
(2)cosθ + 2sinθ の取り得る値の範囲を求めよ
2
映像:(典型)図形と方程式
k を実数として次の方程式を考える
Ck : x2 + y 2 + x + (2k + 1)y + k 2 + 1 = 0
(1)Ck が円を表すような k の値の範囲を求めよ
(2)C1 , C2 の表す2円の交点と原点を通る円の中心と半径を求めよ
(3)k をどのような実数にとっても Ck を満たさない点からなる平面上の領域を求め xy 平
面上に図示せよ。
3
映像:(難問)図形と方程式2
O を原点とする xy 平面上で,円C:x2 + y 2 = 1 の外部にある点P (a, b) から円Cに引
いた2つの接線の接点を Q1 , Q2 として,線分 Q1 Q2 の中点を Q とする。点Pは円Cの外
部の点でかつ a(a − b + 1) < 0 を満たすとするとき,点Qの存在範囲を図示せよ
4
実数 x, y が x2 + y 2 − 2(x + y) − 6 = 0 を満たすとき
(1)x + y の取り得る値の範囲を示せ
(2)x + y − 2xy の最大値を求めよ
5
(1) 連立方程式
1
1
4x + y = P ,− 3x + y = Q
6
8
を (x, y) について解け
(2) 上の解において (P.Q) の値に条件 (I)
14
P ≥ 0, Q ≥ 0, P 2 + Q2 ≤ 100
が課されているとき,x の値を最小とする (P, Q) の値を求めよ。また,そのときの x の
値を求めよ
(3) 同じ条件 (I) のもとで,y の値を最大にする (P, Q) の値とそのときの y の値を求めよ
6
(1)0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 の範囲において (x − 1)(y − x)(y − x)2 ≥ 0 を満たす点 (x, y) の
存在範囲を図示せよ
(2) 点(x, y )が (1) で求めた存在範囲を動くとき
5
x2 + y 2 − y + 1
2
の最小値を求めよ
7
(x − 4)2 + (y − 8)2 ≤ 5 で表される領域 D 上の点 (x, y) に対して,
|y + 2x| + |y − 2x|
の最大値,最小値をそれぞれ求めよ
8
xy 平面上の2点 (t, t), (t − 1, 1 − t) を通る直線を lt とする
(1)lt の方程式を求めよ
(2)t が 0 ≤ t ≤ 1 を動くとき lt の取り得る範囲を図示せよ
9
実数 a に対して曲線 Ca を方程式 (x − a)2 + ay 2 = a2 + 3a + 1 によって定める
(1)Ca は a と無関係に4つの定点を通ることを示し,その4定点の座標を求めよ
(2)a が正の実数全体を動くとき Ca が通過する範囲を図示せよ
15
★★★★★問題
1
座標平面の x 軸上に3点 A(-3,0),B(0,0),C(c,0) がある。この平面上に PA:PB:PC=4:2:1
になるような点 P が存在するのは,c がどのような範囲にあるときか
2
2 つの実数 a, b のうち,大きい方を max(a, b) で表す。(a = b のときは max(a, b) = a)
である。次の不等式を満たす点 (x, y) の存在する範囲を図示せよ
1 ≤ max(4x + 4y − 3, x2 + y 2 ) ≤ 5
3
xy 平面上の点 A(-1,2),B(2,5) を通るすべての放物線 y = ax2 + bx + c を考えるとき,ど
の放物線も通らない点の集合を求め,それを図示せよ
4
映像:(難問)図形と方程式1
a を正の実数とする。次の2つの不等式を同時に満たす点 (x, y) 全体からなる領域を D
とする。
y ≥ x2 ,y ≤ −2x2 + 3ax + 6a2
領域 D における x + y の最大値,最小値を求めよ
5
xy 平面上に円 Cx2 + y 2 = 1 がある。円 C の外部の点 P(a, b)(a2 + b2 > 1) から円 C に
引いた 2 接線のそれぞれの接点を Q,R とおく。
(1) 直線 QR の方程式を求めよ
(2) 直線 QR 上の点で円 C の外部の点を S(c, d)(c2 + d2 > 1) とおく。点 S から円 C に引
いた 2 接線のそれぞれの接点を T,U とおくと,直線 TU は点 P を通ることを示せ。
6
半径 r の円は連立不等式
y ≤ x2 ,y ≥ −(x − 6)2
の表す平面上の領域の中を自由に動かすことができる。r の最大値を求めよ。
16
7
a, b を正の数とし,xy 平面上の2点 A(a, 0),B(0, b) を頂点とする正3角形を ABC と
する。ただし,C は第 1 象限の点とする。
(1)3 角形 ABC が正方形 D ={(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}に含まれるような (a, b) の
範囲を求めよ
(2)(a, b) が (1) の範囲を動くとき,3角形 ABC の面積 S が最大となるような (a, b) を求
めよ。また,そのときの S の値を求めよ。
8
(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0) を頂点にもつ立体を考える。
平面 x + y + z = k(0 < k < 2) によるこの立体の切り口の断面積を S(k) とおく。
(1) この断面積 S(k) を k の関数として求め,グラフをえがけ
(2)S(k) の最大値はいくらか。またこのときの k の値と,そのときの断面の形を述べよ
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xy 平面内の領域 −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 において、
1 − ax − by − axy
の最小値が正となるような定数 a, b を座標とする点 (a, b) の存在範囲を図示せよ
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