4.4: 独立集合，被覆と監視問題 [部屋の手配の問題] 宿泊客n人があるホテルに部屋の予約を入れてきた。ホテルはm部屋持っているが，宿泊客が泊まってもよいと思っている部屋は異なる。最大何人の予約を成立させることが可能か？ H26 グラフ理論ー第10回ーマッチングと独立集合予約客の希望の関係 1 2 独立集合：グラフ G=(V, E) で，どの辺 e∈ E に対しても， e の端点のうち多くともどちらか一方しか含まない部分集合 S⊆V を，独立集合という．点数が最大の独立集合の大きさを G の独立数といい α(G) で表す． [コミュニティーの発見問題] 特定の条件を満たす人の集まりをコミュニティーという．できるだけ大きなコミュニティーを発見する問題． α(G) = 3 知り合い同士を表すネットワークお互いが知り合いである最大のコミュニティー G これらの問題をグラフ理論として特徴付ける 3 独立集合(黒丸) (independent set) 最大独立集合 (max. independent set) 4 1 グラフのクリーク：グラフ G=(V, E) の部分グラフで完全グラフであるものを G のクリークという．頂点が最も多いクリークを G の最大クリークという．グラフの点被覆：グラフ G=(V, E) で，どの辺 e∈ E に対しても，e の両端の点のうち少なくとも一方を含むある部分集合 S⊆V を，G の点被覆という．最小の点被覆の大きさ (被覆数) をβ(G) と表す． β(G)=3 β(G)=3 G G 点被覆 (set cover) 最小点被覆 (min. set cover) クリーク (clique) 最大クリーク (max. clique) 5 6 グラフ G の最大独立集合，最小点被覆，最大クリークの計算は困難．(簡単な計算法は知られていない) グラフ G の最大独立集合，最小点被覆，最大クリークの計算は困難．(簡単な計算法は知られていない) このグラフの最小点被覆は？これが最小？このグラフの最小点被覆は？ 7 最小点被覆の解 8 2 最小点被覆問題は，最適解を計算する簡単な方法は知られていないが，以下のように近似的な解を求める簡単な方法がある．グラフの独立集合，点被覆，クリークには自明な関係が成立し，どれか一つが計算できれば他の解を直ちに求めることができる．(1対1の関係がある) アルゴリズム１（貪欲法）それまでに被覆されていない辺のうち，最も被覆する数が多い点を選んでいく手法アルゴリズム２（最大マッチング法）最大マッチングを求めるアルゴリズムを利用する手法これらの手法は最適解の2倍以内の解を保証する． (詳細は次回) 点被覆：どの辺に対してもどちらかの端点は選ばれている 9 元のグラフの補グラフを考えると，以下の関係も自明最小点被覆独立集合：辺でないどの頂点の組もどちらの端点も選ばれている最大独立集合 10 以上をまとめると，以下の関係となる．定理：任意のグラフ G=(V,E) とその頂点の部分集合 S⊆V に対して，以下は等価である． (1) S が G の最大独立集合 (2) V-S が G の最小点被覆 (3) S が G の補グラフの最大クリークどの頂点の組に対してもそれらを結ぶ辺がない最大独立集合それらの辺(左図の点線)は補グラフの辺(右図) 補グラフの最大クリーク 11 12 3 辺に関する独立集合と被覆辺の被覆：グラフ G=(V, E) で，G のどの点も S⊆ E のある辺の端点となっているとき，S を G の辺被覆という．最小の辺被覆の大きさを辺被覆数といい，β’(G) で表す．辺の独立集合：グラフ G=(V, E) で，ある部分集合 S⊆ E のどの2辺も接していないとき，S を G の辺独立集合 (マッチング) という( α’(G) )． β’(G)=3 α’(G)=3 G マッチング（辺独立集合） G 最大マッチング（完全マッチングでもある）辺被覆最小辺被覆 13 [紛らわしい概念について] 基本定理: , β’(Kp)= . (1)α(Kp)=1, β(Kp)=p-1, α’(Kp)= (2)α(Kn,m)=n, β(Kn,m)=m, α’(Kn,m)=m, β’(Kn,m)=n, (n≧ m). 頂点の(被覆・独立集合)と辺の(被覆・独立集合)  頂点の被覆・独立集合証明: (1) α(独立数)，β(被覆数)であることに注意 α(Kp)=1： Kpの任意の点はその他のすべての点と接続しているので，α(Kp)=1. β(Kp)=p-1：どのような点の選び方をしても i 番目に選んだ点が新たに被覆する辺の数は，p-i本であるので，最後の１本を被覆するまでに選んだ点の総数はp-1である．  辺を被覆するように頂点を選ぶ  頂点が独立する(隣接しない)ように頂点を選ぶ  14 辺の被覆・独立集合  頂点を被覆するように辺を選ぶ Kp  辺が独立する(隣接しない)ように辺を選ぶ 15 最初に選ぶ点が被覆する辺の数はp-1 どれを選んでも次の点が被覆する辺数は p-2 16 4 定理4.3: 任意のグラフ G と任意の S⊆V(G) に対して，以下の条件は等価である． (1) S は G の独立集合である (2) V(G)-S が G の被覆である基本定理: , β’(Kp)= . (1)α(Kp)=1, β(Kp)=p-1, α’(Kp)= (2)α(Kn,m)=n, β(Kn,m)=m, α’(Kn,m)=m, β’(Kn,m)=n, (n≧ m). 証明: (1) ：１つの辺 e=(i,j) を選ぶ毎に，i も j も α’(Kp)= 他の辺に使うことが出来ないから．：１本辺を選ぶ毎に2個ずつ頂点を被覆していくから． β’(Kp)= (2)は自明なので省略する． Kp 証明：S が G の独立集合ならば，G のどの辺も S の点を両端には持っていない（多くともどちらか一方）．このことは G の任意の辺の少なくとも一方の点が V(G)-S に含まれることと同値，すなわち V(G)-S が G の被覆と同値．どの辺も V(G)-S の頂点を持つ．そうならないのはSの頂点同士に辺があるときだけで，それはSが独立であることに反するある辺を選ぶことで， (a) 独立な辺として利用可能な点が2個減る (b) 選んでいない点が2個減る S V(G)-S が G の被覆となる 17 18 ガライの定理: 孤立点を持たないグラフ G に対して， α’(G)+β’(G)=|V(G)|が成り立つ．定理4.3: S⊆V(G) が G の独立集合であることと V(G)-S が G の被覆であることは同値．系4.3.1: 任意のグラフ G に対して， α(G) +β(G) = |V(G)| が成り立つ． α’(G)=3 証明： S を最大独立集合とし，K を最小被覆とすると，定理4.3より，V(G)-S は被覆，V(G)-K は独立集合である．このことから， α(G) ≧ |V(G)-K| = |V(G)|-β(G) β(G) ≦ |V(G)-S| = |V(G)|-α(G) したがって，α(G)+β(G)=|V(G)| が成り立つ． 19 β’(G)=3 α’(G)+β’(G)=|V(G)| となり，これは一般に成り立つ最大マッチング最小辺被覆 20 5 ガライの定理: 孤立点を持たないグラフ G に対して， α’(G)+β’(G)=|V(G)|が成り立つ．ガライの定理: 孤立点を持たないグラフ G に対して， α’(G)+β’(G)=|V(G)|が成り立つ．証明： α’(G)+β’(G) ≦|V(G)| の証明 M を最大マッチングとすると，M は 2α’(G) 個の点を被覆する． (α’は隣接しない辺の本数．よって頂点はその2倍) U を M の端点でない点集合とすると，U の各点に接続する辺が少なくとも1辺ずつ存在する(孤立点がないから)．証明： α’(G)+β’(G) ≦|V(G)| の証明これらの辺集合を M ’ とすると，M と M ’ に共通要素はなく， M ∪M ’はG の辺被覆であるから， β’(G) ≦ |M∪M’| = |M|+|U| = α’(G) + (|V(G)|-2α’(G)) = |V(G)|-α’(G) となり，α’(G)+β’(G) ≦|V(G)| を得る．最大マッチング M 最大マッチング M U に接続する M 以外の辺 U の点 U に接続する M 以外の辺 21 証明：逆の関係： |V(G)| ≦α’(G)+β’(G)の証明． L’ を G の最小辺被覆とし，L をその連結成分の集合とすると，すべての連結成分は木である．もしそうでないなら閉路があり，そこから辺を取り除いても G を被覆できるので，最小であることに反する． |L| ≦α’(G) である(各連結成分内で1つ以上独立な辺を選べるから)．また，各連結成分が木であるので，木の性質から，頂点数=辺数+1が成り立つので， |V(G)| = |V1|+...+|VL |= (|E1|+1)+...+(|EL|+1)=|L’|+|L|であることから， |V(G)|= |L’|+|L| ≦α’(G)+β’(G)．以上より，α’(G)+β’(G)=|V(G)|. U の点 22 次回は最大マッチングの効率的な計算と，それを応用した最大独立集合の近似計算について講義する．最小辺被覆 L’ (L=2) (2つの木からなる) 23 24 6