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2 ガウスの法則

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2. ガウスの法則
2
2–1
ガウスの法則
実験事実であり、高校でも学んだクーロンの法則 (電荷間の力) を別の形で表現したことに
なっているガウスの法則は、4つの方程式からなるマクスウェルの方程式 (電磁気学の基礎方
程式) の1つである重要な法則である。また、
「場」という概念 (あるいは物理量) をあらわに扱
う大学での電磁気学で最初に出てくる法則であり、今後に出てくる法則や考え方の基礎をなす
ものである。そこで、点電荷間の力を与えるクーロンの法則から出発して、より一般的な場合
に成り立つガウスの法則を少し丁寧に導いておこう。
2.1
電荷、クーロンの法則、電場、電気力線
まずは高校で学んだことを復習しておこう。電荷には正負の2種類があり、その大きさが無
視できる点電荷 Q によって、距離 r 離れた点にある点電荷 q は強さが
F =
1 Qq
4πε0 r2
のクーロン力を受ける。ベクトル表記すれば
(
)
r
1 Qq
ˆ
ˆ
r
=
r
,
|ˆ
r
|
=
1
は
r
方向の単位ベクトル
(
方向ベクトル
)
。
F=
4πε0 r2
r
である。ただし、r は電荷 Q から電荷 q に向かうベクトルであり、電荷の符号の効果はこの式
に込められている。すなわち、Q と q が同符号であれば力は r と同じ方向 (すなわち斥力)、異
1
符号であれば r 方向の引力であることを示している。また、この時点では
は単なる係数
4πε0
であると考えておいてよい。
ここで電場を登場させる。すなわち、Q が q のある空間に何らかの影響を及ぼし、その影響
[
]
逆に q は Q が置かれ
によって歪んだ空間が q に力を与えると考える た空間を変化させる。
。電荷によって生じたこの空
間の歪みを「電場」と呼び、E(r) で表す。力の大きさと方向を決める量であるのでベクトルで
あり、式で書けば
F = E(r) q ,
E(r) = E(r) ˆr ,
E(r) = E(r) =
Q 1
4πε0 r2
(2.1)
ということである。
次に、この電場 (すなわち力) の方向を辿っていった線を考え、電気力線と名付ける。当然な
がら今の場合は Q の点を中心とした放射状になり、Q が正電荷であれば(r と同じ向きなので)
Q から離れる方向の直線、Q が負電荷なら Q に向かう直線となる。また、遠方でも E の大き
さが 0 になることはないため、この直線は途中で消滅したり新たに生じたりすることなく Q の
点から無限遠点まで繋がっている。従って、このような電気力線を何本か描き、Q を中心とし
た任意の半径の球面を考えると、その球面を横切る電気力線の本数は半径に拘らず常に一定で
ある。
ここで電場が (従ってクーロン力が) 半径 r の2乗に反比例することが大きな意味を持ってく
る。多数 (N本) の電気力線を方向に対して均一になるように描くことを考えると、半径 r の球
面を横切る電気力線の本数は常に N 本であり、半径$r$の球面の面積は 4πr2 なので、球面で
N
となり、(2.1) 式と同じ r 依存性になる。その
の電気力線の密度 (面積当たりの本数) は
4πr2
ため、
2. ガウスの法則
電荷 Q からは N =
2–2
Q
本の電気力線が出る (Q < 0 の場合には入ってくる)。
ε0
と定めると、電気力線の密度と電場の強さが等しくなる。すなわち、
電場の強さが E である点 (狭い領域) の電気力線の密度は E である。
ということが言える。なお、電気力線はあくまでも仮想的な線なので、何本と言い方をしても
整数である必要は全くない。
2.2
ガウスの法則の直感的説明
Q
本の電気力線が出るとする。すると、Q を
ε0
中心とする球の表面を通過する電気力線の本数は、その半径
に拘らず同じ N 本である。このことをより一般化したのがガ
ウスの法則で、Q を取り囲む任意の閉曲面を通過する電気力
Q
線は常に N =
本であるというものである。このことが正
ε0
しいことは直感的に分かるであろう。ただし、閉曲面には右
図のような入り組んだものもある。この場合には、閉曲面を
内側から外側に貫く電気力線を正符号とし、逆に外から内に
向かう場合を負符号として算術的に加え合わせれば良い。
上で決めたように、電荷 Q からは N =
2.3
クーロンの法則からガウスの法則の導出
次に、上で直感的に得た結果を数式として表すことを考える。クーロンの法則そのものから
出発して、より一般的な場合へと進む。ただし、電気力線ではなく、重ね合わせの原理が成り
立つ電場を用いて表現する。
• 点電荷を中心とする球表面での電場
これは上で考えた場合そのものである。半径 r の球面上では電場の強さはどの点でも
Q 1
E(r) =
であり、球面の面積は S = 4πr2 である。従って
4πε0 r2
Q
ε0
∫
∫∫ 2
が成り立つ。さらに、球面の面積は S = 球面 dS =
r sin θdθdφ という積分で得られたこと
を勘案し、左辺を積分で表すと
∫
Q
E(r)dS =
ε
0
球面
E(r)S =
が任意の r で成立することになる。すなわち、電場 E と微小面積 dS との積を Q を中心とした
Q
任意の球面で積分すれば、その半径によらず
になるということができる。
ε0
2. ガウスの法則
2–3
• 点電荷を囲む任意の閉曲面での電場の積分
次に、Q を囲む任意の閉曲面 S 上で電場を積分することを
考えよう。この場を上と比較するために、閉曲面とは別に Q
を中心とする半径 r0 の球面を用意し、閉曲面と球面を貫く図
のような (側面が電場の方向である) 微小立体角1 dΩ の領域を
考える。
立体角の定義により、この立体角で切り取られる球面の面
積は dS0 = r02 dΩ であり、電場との積は
E(r0 )dS0 =
Q
dΩ
4πε0
r0
Q dΩ
n E
θ
r
dS
dS0
S
(2.2)
である。
一方、Q から閉曲面までの距離を r とすると、閉曲面が球面であればこの立体核で切り取ら
れる面積は r2 dΩ であるが、一般には面の方向は傾いているので、実際の面積 dS はこれよりも
ˆ、
大きくなる。すなわち、図のように微小面積 dS に垂直 (かつ外側向き) の方向ベクトルを n
2
電場の方向との角度を θ とすると、r dΩ = dS cos θ と書ける。従って、(2.2) 式と等しくなる
磁場との積分値は
E(r)dS cos θ =
Q
dΩ
4πε0
(2.3)
ˆ 方向の成分 En (r) を用いて E(r) · n
ˆ dS = En (r) dS
となる。左辺はベクトルの内積や電場の n
とも書ける。
ˆ 、大きさが dS であるベクトル (面積ベクトルと呼ぶ。) dS を導入する。
ここで、方向が n
(2.2) 式と (2.3) 式を並べて書くと
E(r0 )dS0 = E(r) · dS =
であり、これを全方向について積分すると
∫
∫
Q
E(r0 )dS0 =
E(r) · dS =
ε0
球面
閉曲面 S
Q
dΩ
4πε0
(
)
∫
∵
dΩ = 4π
全方向
となる。すなわち、クーロンの法則を出発点としたこの法則は
∫
Q
E(r) · dS =
ε0
S
と表すことができる。前項の球面の場合は E(r) ⊥ dS すなわち cos θ = 1 なので、この式に含
まれていることになる。
なお上と同様の議論は点電荷 Q を含まない任意の閉曲面での電場の積分についても適用で
き、この場合には積分値が 0 になることは類推出来るであろう。これも Q = 0 の場合として上
の式で表されている。
1
立体角 : 弧度法 (ラジアン rad) による平面上の角度に相当する3次元空間での “角度 ”。平面での角度として
円弧の長さを円の半径で割った値を用いるのに対し、球面上の面積を球の半径の 2 乗で割った値を “立体角 ”とい
い sr (ステラジアン) と表す。従って、全方向に対応する立体角は 4π となる (平面角では 2π)。なお、定義より分
かるように、rad も sr も無次元の量である。
2. ガウスの法則
2–4
• 任意の電荷分布を囲む任意の閉曲線での電場の積分:ガウスの法則
上のことが言えれば、電荷を点電荷から一般の電荷分布に一般化するのは容易である。クー
ロンの法則は重ね合わせの原理が成り立つので、複数個の点電荷 Qi がある場合の積分の値は
個々の点電荷に起因する積分値の和になる。また、点電荷ではなく連続的に広がった電荷が分
布している場合には、その領域を充分に細かく分割すれば個々の領域は点電荷とみなせ、やは
り個々の領域からの寄与の和として積分をあらわすことが出来る。
結局、任意の電荷分布 ρ(r) あるいは Qi (ri ) を取り囲む任意の閉曲面について
∫
∫
∑
Q
Qi (r)
,
Q=
ρ(r)dV or Q =
E(r) · dS =
ε0
S
S 内の領域
(2.4)
i
[
]
dV は 体 積 要 素 。す な わ ち
ということになる R ρdV は領域内の電荷の総和。 。これがガウスの法則である。ここで、クーロンの
1
法則の係数が
になっていた理由が分かる。クーロンの法則よりも根本的な法則であるガ
4πε0
ウスの法則に表れる係数を単純な形にしているのである。
[余談]
ここで、電気力線について疑問が浮かばないであろうか。
上で、電場の方向を結ぶ線として電気力線を定義したが、その電気力線の密度が電場に比例することは 1 つの点
電荷がある場合 (すなわち、電気力線が放射状の直線になっている場合) のみについて確かめた。任意の電場の場合
に電場の方向を結ぶ曲線を描くことはできるが、その場合にも比例関係は保証されているのだろうか?
このことも、ガウスの法則を用いて確かめることができる。図のように電荷の無い領域の電気力線で囲まれた細
い管を考える。入り口と出口の端面は電気力線と垂直としておく。すると、電気力線は交差や分岐せず、生成・消
滅することもないので、この管の中の電気力線の本数は一定である (N 本としておく)。
一方、この管の表面 (閉曲面) にガウスの法則を適用する
ことを考えと、管の側面は電気力線 (従って電場) の方向と
一致するため、E · dS = 0 となって積分には寄与しない。
従って、管の内部に電荷がなく、管の出口・入り口が電場と
垂直になっていることを勘案すると、ガウスの法則から
Z
E·dS = E1 dS1 +E2 dS2 = 0 ,
∴ |E1 dS1 | = |E2 dS2 |
が得られる。このため、|E1 | =
N
であるときに |E2 | =
dS1
dS1
N
|E1 | =
であることが保証される。
dS2
dS2
E2
E1
dS1
dS2
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