工業力学 (B コース) 中間テスト 茨城大学 工学部 知能システム工学科 解答例・解説 井上 康介 2014/12/11 17:35∼19:05 実施 全体的なでき いった書き方について．そもそも力はベクトルなの 平均点は 66.4 点．かなり危機的な状況．ヒストグラム は以下のとおり． で，R2 と書かなくてはいけないし，要素は 2 つある のだから「R2 = (R2x , R2y )T とする」あるいは「ジョ イントから受ける反力の大きさを R2 とし，その角度 を x 軸から反時計回りに θ2 とする」などと規定しな ければならない．記述の厳密性について，無頓着す ぎる． 各設問について 1. (44 点) 以下の文章の空欄に入る言葉・数式を記せ． ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع • 力のはたらく点を ( 1：着力点 )，この点を通り 力の方向に伸ばした直線を ( 2：作用線 ) という． • 複数の力が同時に作用している時，これらの力 各設問の平均点は以下のとおり．必ず出すと宣言してお が作用しているのと同じ効果を持つ単一の力を いた問題 4 の正答率が半分しかなく，問題 3 の正答率も異 ( 3：合力 ) という．xy 平面上に作用する力を x 軸方向および y 軸方向に分解した時，それぞれの 分力を ( 4：直角分力 ) という． 常に低い． 配点 平均点 最高点 最低点 平均得点率 1 2 3 4 全体 44 37.2 44 23 84.6% 20 12.8 20 0 63.9% 18 7.2 17 0 40.1% 18 9.1 18 0 50.8% 100 66.4 97 33 66.4% 全体的な注意 • 全体的に，図をきちんと描くとか，式を綺麗に書くと いうことができない学生が目立つ．汚く書くことは， • 物体を並進運動させる作用を「力」と呼ぶ一方で， 物体を回転運動させる作用は ( 5：力のモーメン ト ) と呼ばれる．物体上の一点に力 F を作用さ せたとするとき，この力の (2：作用線) と，物体 上の回転軸との距離が x であるとすると，回転軸 まわりの (5：力のモーメント) の大きさは ( 6： F x ) であり，その値の正負は，回転作用の方向 が時計回りの時 ( 7：負 ) となる． • 物体どうしを拘束する支点はにはいくつかの種類 があり，一定方向への移動と回転が可能な支点は 他の人に対する読みやすさというだけでなく，自分自 ( 8：移動支点 ) と呼ばれ，移動は不可能で回転 身のミスにもつながる． のみが可能な支点は ( 9：回転支点 ) と呼ばれる． • 変数を定義するなどにおいて，どちらをプラスとし て定義したかが厳密ではないことが非常に多い．例 えば問題 2 で「ジョイントにおいて受ける反力を • 内部構造を有する物体の簡単なモデルとして， ( 10：部材 (メンバ) ) と呼ばれる棒状の要素が， 節点と呼ばれる回転自由なピンで結合されたモデ ルを ( 11：トラス ) と呼ぶ．(10：部材) にかかっ R2 = (R2x , R2y )T とする」としたときに，平気で ている負荷を解析する方法の一つとして，(11： R2x を左を正として定義していたりする．xy 座標系 トラス) 全体を仮想的に切断し，切断面の片側の をとるなら，右が正でなくてはならない．これを場当 部分を一つの剛体とみなしてそのつりあい条件か たり的にランダムに決めてしまうと，計算途中で自分 ら (10：部材) の負荷を導出する方法を ( 12：切 が取り違えることとなる． 断法 ) という． • 例えば「ジョイントから受ける反力を R2 とする．」と • 物体に作用する重力の (2：作用線) は，物体をど のように傾けても必ず物体上の一定点を通る．こ の点を物体の ( 13：重心 ) という．物体上の微小 部位の質量が dm，位置が x であるとき， (13：重 心) は積分の計算を用いて ( 14： x dm dm ) のように求まる．また，物体 1 の質量と (13：重 心) の位置が m1 ，x1 ，物体 2 の質量と (13：重 心) の位置が m2 ，x2 であるとき，これらを結合 した物体の (13：重心) の位置は ( 15：(m1 x1 + m2 x2 ) (m1 + m2 ) ) のように計算される． • xy 平面上に長さ L の曲線があり，この曲線の (13：重心) の座標が (xG ，yG )T であるとき，こ の曲線を y 軸のまわりに 1 回転させてできる回 転体の表面積は ( 16：2πxG L ) のように計算で きる． • 物体の並進運動の基本式である Newton の運動 方程式は f = ma と表され，ここで質量 m は 「物体が現在の速度を維持しようとする傾向の大 きさ」つまり並進運動に関する慣性を表してい る．一方，回転運動に関する慣性，すなわち「現 在の角速度を維持しようとする傾向の大きさ」は ( 17：慣性モーメント ) と呼ばれる．物体上の微 小部位を考え，微小部位と回転軸との距離を r ， 微小部位の質量を dm とすると，(17：慣性モー メント) は積分の計算を用いて ( 18： r 2 dm ) のように計算できる．こうして求めた (17：慣性 モーメント) を I とし，作用しているトルクを N ，物体の角加速度を ω˙ とすると，回転運動の 基本式は ( 19：N = I ω˙ ) のように記述できる． この式を ( 20：角運動方程式 (Euler の運動方程 式) ) と呼ぶ． • 平面板上に直交する xy 座標軸をとり，これに直 交する z 軸を考える．x 軸および y 軸まわりの平 面板の (17：慣性モーメント) をそれぞれ Ix ，Iy とするとき，z 軸まわりの (17：慣性モーメント) は ( 21：Ix + Iy ) のように計算される．この性 質は ( 22：直交軸の定理 ) と呼ばれる． 配点・部分点 44 点：各 2 点． (1) 作用点：OK．(3) 力の合成：1．(4) 垂直分力：1， 直交分力：1．(5) モーメント，トルク：OK．(6) F d： 1，(14) 未定義の m を分母に使っている：1，分母な し：0．(16) 2πyG L：1． でき具合・多かった間違い (14)，(22) の出来がかな り悪かった．また，試験中に口頭で注意したが，ベク トルとスカラーの書き方ができていない例があまりに も多い． . 2. Fig.1 に示すように，長さ 40 [cm]，質量 3 [kg] の細 RA A い棒の一端を回転自由なジョイントで固定し，他端を 3 2 l なめらかで鉛直な壁面に立てかけたとする．壁面と棒 がなす角を 30 [deg] とするとき，棒が壁面及びジョイ ントから受ける反力を求めよ． RB mg l/4 30r B Fig.2 鉛直方向の力のつりあい式は以下のとおりである： −30 + RBy = 0 Fig.1 (2.2) 棒の長さを l (= 0.4 [m]) とし，壁からの反力および 重力のモーメントアームを Fig.2 のとおり考慮する と，点 B まわりの力のモーメントのつりあい式は以 考え方 剛体のつりあいの問題は，物体に作用している力およ 下のとおりである： 力のモーメントのつりあい式」の 3 つであり，未知数 √ 3 l − RA · l=0 (2.3) 30 · 4 2 √ 式 (2.3) より RA = 5 3 8.66 [N]，これを式 (2.1) √ に代入して RBx = −5 3 −8.66 [N]，また式 (2.2) より RBy = 30 [N] である． 3 つまでは求められる． 配点・部分点 20 点．鉛直・水平の力のつりあい式お び力のモーメントをそれぞれ合計すると 0 になってい るというつりあい条件を利用して解く．平面の問題で は，力は水平・鉛直方向それぞれでつりあうため，利 用可能な条件式は「水平方向の力のつりあい式」 ， 「鉛 直方向の力のつりあい式」および「任意の点まわりの 問題を解く際にまずやるべきことは，注目している物 よびモーメントのつりあい式：各 5 点．変数定義など 体に作用している力を全て列挙することである．こ の問題設定部分と連立方程式をとく部分をあわせて 5 こでは，棒の重心 (中点) に鉛直下向きに作用する重 点． 力 3g = 30 [N] と，壁およびジョイントから受ける 反力である．壁からの反力は， 「なめらか」とあるた め摩擦を無視できるので，水平右方向である．ジョイ ントは回転支点であるため，ジョイントから受ける反 力は水平・鉛直方向の 2 成分を持ちうる．これを変数 化し，3 つのつりあい式を立てて連立させて解けば良 い．力のモーメントのつりあい式は任意の点まわりで 立てて良いため，計算が簡単となるジョイントまわり で立てるのが良い． 解答例 Fig.2 のように，壁との接触点を点 A，ジョイント を点 B とする．点 A において壁面から棒が受ける 反力は摩擦を無視できるため水平であり，これを RA = (RA , 0)T とし，点 B においてジョイントから 棒が受ける反力を RB = (RBx , RBy )T とする．重力 は棒の中点において鉛直下方向に 3g = 30 [N] の大き さで作用している． 水平方向の力のつりあい式は以下のとおりである： RA + RBx = 0 (2.1) • 壁との節点での反力の方向の間違い：−3 • 各力の方向や向きについて言及不足：−1∼ − 2 • ジョイントでの反力の方向を既知としている： −2 • l = 40 としている (0.4 とすべき)：−1 √ • 5 3 = 8.66 の小数点以下第 2 位の値がおかし い：OK • それ以前の間違いの結果，方程式を解く部分にお いて 3 元 1 次連立方程式ではなく 2 元連立方程 式を解いたのみ：−1 多かった間違い 図などを用いて，各力をどのように 定義したかをきちんと示すことができていない解答 がかなり多い．また，ジョイントでの反力の水平成分 を，左右どちらを正として定義したかが混乱している 例も多い． y [m] 3. Fig.3 に示すように，1∼2 階部分がくぼんだ感じのオ シャレな 10 階建てビルを建てたい．このビルの地上 部分が安定のすわりとなるためには，1，2 階部分の 長さ l [m] はどのような範囲になければならないか． 40 x1 ただし，ビルの内部構造等は考えず，ビルを均一な密 度を持つ物体と見なす． ※ 当然「ギリギリ安定ですけど？」みたいな建物は法 10 令上許されないが，そんなことはここでは考えない． m] 0[ 2 x2 20 [m] O x [m] A l 20 Fig.4 30 [m] 40 [m] ビルが転倒する際の回転軸は Fig.4 上の点 A を通り z 軸に平行な直線であることから，安定のすわりとな るための条件は，ビルの重心が点 A よりも左にある こと，すなわち xG < l である．よって， 5l2 + 6000 <l 10l + 600 l [m] より Fig.3 l2 + 120l − 1200 > 0. これを解くと， 考え方 1∼2 階部分をくぼませていくときの転倒方向は図上 √ √ l < −60 − 40 3, l > −60 + 40 3. 右方向であり，このとき奥行き方向は関係しないた め，正面方向から見た図形的考察だけをすれば良い． 一方，0 < l < 20 であるから，まとめるとビルが安定 転倒時の回転中心は Fig.4 の点 A となることは明ら のすわりとなる条件は 全体の重心 (図心) を求めるには，Fig.4 のようにビル √ −60 + 40 3 < l < 20 √ となり，l は −60 + 40 3 9.28 [m] より大でなけれ を 2 つの長方形の結合体と見なし，それぞれの重心 ばならない． かであり，転倒するかどうかの条件はビル地上部分の 重心が点 A よりも左にあるか否かとなる． (図心) と面積を求めて，結合体の重心の式を用いる か，もしくは高さ 40，幅 20 の長方形から，高さ 10， 幅 20 − l の長方形をくりぬく式を用いれば良い． 解答例 Fig.4 のビルの正面図に示すとおり，ビルを高さ 10∼ 40 [m] 部分の直方体と高さ 10 [m] までの直方体の 2 つの部分の結合体と見なし，上部を物体 1，下部を物 体 2 とする． 物体 1 の正面図上の図心を x1 ，正面図上の面積を A1 とすると，x1 = (10, 25)T , A1 = 20 · 30 = 600． 物体 2 の正面図上の図心を x2 ，正面図上の面積を A2 とすると，x2 = (l/2, 5)T , A2 = 10l． 以上から，ビル全体の正面図上の図心の x 座標を xG とすると，(A1 + A2 )xG = A1 x1 + A2 x2 より xG = 5l2 + 6000 . 10l + 600 配点・部分点 18 点．2 つのパーツの重心：各 5 点， 全体の重心：5 点，その他：3 点． • 上部の重心を求め，これが l より左ならよいと した：5 • 安定な範囲ではなく中立のすわりのときの l を求 めた：−2 400 4. Fig.5 に示すように，質量 100 [kg]，直径 1 [m] の均 一な円柱を斜度 30 [deg] の斜面上に乗せ，円柱に巻 きつけたワイヤを斜面に沿って上方向に 400 [N] で引 [N ] いたところ，円柱は滑ることなく斜面上方向に転がっ 1000 [N] た．このときの円柱中心の加速度および円柱と斜面の R 間に作用する摩擦力の大きさを求めよ． F’ ※ 質量 m [kg]，半径 r [m] の円柱の中心軸まわりの 慣性モーメントは I = mr2 /2 [kg m2 ] である． 400 [N ] Fig.6 斜面上方向に大きさ a の加速度が作用するとし，円柱 の角加速度を反時計回りに ω˙ とする．また，円柱の 質量を m (= 100 [kg])，半径を r (= 0.5 [m])，ワイ ヤ張力の大きさを F (= 400 [N]) と表記する． 以上の値を用いて，運動方程式は F + F − 500 = ma, Fig.5 (4.1) 角運動方程式は (F − F )r = 考え方 mr2 ω˙ 2 (4.2) 物体に作用している全ての力を列挙することから始め と書ける．また，円柱と斜面の間に滑りが生じないこ る．これにより物体が受ける力・力のモーメントが求 とから， まったら，これらに基いて Newton-Euler 法を適用す る．つまり，運動方程式・角運動方程式を立てて連立 させて解く． a = rω˙ (4.3) である． ただし，未知数は加速度 a，角加速度 ω˙ ，摩擦力 F の 3 つとなり，これでは拘束条件が不足する． 足りないもう一つの拘束条件とは「滑らずに転がる」 式 (4.3) を式 (4.2) に代入し， F − F = ということである．斜面に沿って上方向に x 軸を取 るとき，物体が距離 x 進むには，物体は θ = x/r だけ 1 ma. 2 式 (4.1) と式 (4.4) を足して F を消去し， 回転する必要があり，x = rθ の式が立てられる．こ の式を 2 階微分すると，a = r ω˙ となる． なお，摩擦力は斜面に沿って作用するが，上向きか下 向きかがよくわからない場合でも，どちらかを正とし て定義した時，逆向きなら値がマイナスになるだけな ので問題はない． 解答例 Fig.6 に示すとおり，円柱が受ける力は重心において 鉛直下方向に作用する重力 1000 [N]，ワイヤ離脱点に おいて斜面上方向に作用するワイヤ張力 400 [N]，斜 (4.4) 2F − 500 = 3 ma． 2 よって， a= 2 (2F − 500) = 2 [m/s2 ]. 3m これを式 (4.4) に代入し，F = 300 [N]． つまり加速度は斜面上方向に 2 [m/s2 ]，摩擦力は斜面 上方向に 300 [N] である． 配点・部分点 18 点．運動方程式・角運動方程式・す 面との接地点において斜面に垂直な方向に作用する垂 べらない条件式がそれぞれ 4 点．変数の設定等と方 直抗力 R，および斜面上方向に作用する摩擦力 F で 程式を解く部分が 6 点． ある． 重力を斜面に沿った方向と斜面に垂直な方向に分解す ると，斜面下方向の力 500 [N] と斜面に向かう方向の √ 力 500 3 [N] となる． • 運動方程式や角運動方程式で，ワイヤ張力と摩擦 力の片方を忘れた：−2 • r = 1 とした：−1 • F の方向について定義していない：−2 多かった間違い 角運動方程式で，張力・摩擦力の片 方を忘れる例が異常に多い． 以上
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