Exercice 1 Soit f une fonction définie et dérivable sur −2 ; 5 . Le signe de la dérivée f 0 est le suivant : x -2 + signe de f 0 (x) 0 0 − 2 0 5 + FICHE 1 1) Donner le sens de variation de la fonction f sur −2 ; 5 . 2) Est-il possible d’avoir f (0) > f (2) ? 3) Est-il possible d’avoir f (−2) > f (0) ? 4) Peut-on affirmer que f (0) est le maximum de f sur −2 ; 5 ? Exercice 2 CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) Soit g une fonction définie et dérivable sur −4 ; 5 . Le sens de variation de g est le suivant : x -4 variation de g 1 2 3 0 5 0 1) Donner le signe de g sur −4 ; 5 . 2) Donner le signe de la dérivée g 0 de g sur −4 ; 5 . 1 1 3) Est-il possible d’avoir g 0 (3) = ? et g(3) = ? 2 2 4) Est-il possible d’avoir g 0 (0) = 2 ? et g 0 (1) = 0 ? Exercice 3 y 2 • • Cf 1 PREMIÈRE S - EXERCICES -1 −3 −2 −1 −1 1 2 3 x f est une fonction définie et dérivable sur −3 ; 3 . La représentation graphique de f est donnée cicontre. 1) Compléter - par lecture graphique - le tableau de variation suivant : x -3 . . . . . . . . . 3 0 ... ... ... ... signe de f (x) −2 variation de f −3 −4 −5 22 février 2014 x4 − 8x2 , vérifier (ou 4 corriger) - par le calcul - les résultats obtenus par lecture graphique. 2) Sachant que f (x) = 1 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 4 y 3 FICHE 2 2 Cf0 f est une fonction définie et dérivable sur −2, 5 ; 1, 5 . On connait la représentation graphique de sa fonction dérivée f 0 (mais pas celle de la fonction f !). 1) Donner le signe de f 0 (x) sur −2, 5 ; 1, 5 . 1 −3 −2 1 −1 2 x 2) Donner le tableau de variation de f sur −2, 5 ; 1, 5 . −1 −2 −3 Exercice 5 PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) On considère la fonction f (x) = 3x2 − 4x + 2 définie sur R. Calculer f 0 (x) puis dresser le tableau de variation de f sur −2 ; 2 . Exercice 6 x2 − 3x + 6 définie sur R − {1}. x−1 0 Calculer g (x) puis dresser le tableau de variation de f sur 1 ; 6 . On considère la fonction g(x) = Exercice 7 Soit f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 pour tout x ∈ −1 ; 5 et Cf la courbe représentative de f . 1) Dresser le tableau de variation de f . 2) La fonction possède-t-elle des extremums globaux sur −1 ; 5 ? Si oui lesquels ? 3) La fonction possède-t-elle des extremums locaux sur −1 ; 5 ? Si oui lesquels ? 4) Tracer Cf à l’aide de la calculatrice. Indiquer la fenêtre choisie. Exercice 8 x -2 + signe de f 0 (x) variation de f 22 février 2014 -1 0 1 + 0 − 4 2 0 3 −5 −1 2 0 1) La fonction f admet-elle des extremums globaux sur −2 ; 4 ? 2) La fonction f admet-elle des extremums locaux pour x = −1 ? pour x = 2 ? Justifier. http://rallymaths.free.fr/ Exercice 9 Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x2 −3x+4 et P sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit D le point de coordonnées (0 ; 1). On souhaite déterminer la position du point M de P qui minimise la distance DM. y 5 1) Exprimer DM en fonction de l’abscisse x de M. FICHE 3 4 3 • 2) Soit d(x) = x4 − 6x3 + 16x2 − 18x + 9 pour tout x de R. P M a) Donner une condition nécessaire pour que d(x) soit minimale. 2 b) Montrer que d0 (x) = (x − 1)(ax2 + bx + c) où a, b, c sont trois nombres à déterminer. 3) En déduire les coordonnées du point M0 de P qui minimise lad distance DM. 1 •D 0 −1 1 2 3 x 4) Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite (DM) et de la tangente (T) à P en M0 . Que remarque-t-on sur les droite (DM) et (T) ? PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) Exercice 10 B A 1 1) Montrer que h2 = 4 − l2 . α h O H C Dans un tronc d’arbre circulaire, on découpe une poutre de forme parallélépipédique rectangle. La résistance à la flexion de cette poutre varie comme le produit l × h2 où l et h sont les deux dimensions ci-contre : On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d’arbre. 2) En déduire que lh2 = −l3 + 4l. D 3) Soit f (x) = −x3 + 4x avec x > 0. a) Étudier le sens de variation de f sur 0 ; +∞ . b) Comment choisir l et h pour que la poutre résiste au mieux à la flexion ? l 4) Quel est l’angle α correspondant à 0, 1◦ près ? Exercice 11 x x E • × A • I D ABCD est un carré de côté 1. Les points E et F appartiennent respectivement à la demi-droite [Ax) et au segment [DC] et vérifient AE = CF. I est le point d’intersection des droites (AB) et (EF). On pose AE = x. 1) Démontrer que, pour tout x ∈ 0 ; 1 : •F × AI = f (x) = B C x − x2 x+1 2) Calculer la fonction dérivée f 0 de f . 3) Étudier les variations de f sur 0 ; 1 . 4) Déterminer la position du point E pour que la distance AI est maximale. 22 février 2014 3 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 12 Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x2 (−2x4 + 15x2 − 24) 12 FICHE 4 1) Montrer que la fonction f 0 de f peut s’écrire f 0 (x) = −x(x2 − 1)(x2 − 4). 2) Étudier le signe de f 0 (x) sur R puis dresser le tableau de variation de f . 3) Quel est le maximum de f sur −2, 3 ; 2, 3 ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ? 4) Quel est le minimum de f sur −2, 3 ; 2, 3 ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ? 5) Calculer les coordonnées de Cf avec l’axe des ordonnées. 6) Tracer Cf à l’aide de la calculatrice et vérifier les résultats obtenus. Indiquer la fenêtre choisie. Exercice 13 On dispose d’une feuille de carton rectangulaire de 80 cm sur 50 cm avec laquelle on veut fabriquer une boîte en découpant 4 carrés égaux de côté x et en repliant les quatre rectangles obtenus. PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) x 50 1) Donner en fonction de x la hauteur, la largeur et la longueur de la boîte obtenue. x 2) Montrer que V(x) = 4x3 − 260x2 + 4000x. a) Sur quel intervalle est définie la fonction V? b) Pour quelle valeur de x le volume V(x) est-il maximal ? 80 c) Donner alors les dimensions de la boîte et son volume. Exercice 14 D C ABCD est un carré de côté 4 cm. Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d’intersection de [DM] et [AC]. x la longueur AM, et A (x) l’aire totale des deux triangles AMI et DIC. 1) Calculer A (0) et A (4). I A H 22 février 2014 M B 2) Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI. h x 4x Montrer que = puis que h = . 4−h 4 x+4 2(x2 + 16) 3) Montrer que A (x) = sur 0 ; 4 . x+4 4) Étudier le sens de variation de A et en déduire la position de M pour laquelle l’aire totale est minimale. 4 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 15 D FICHE 5 A N 1) En considérant les triangles ATM et ABM, démontrer que MT = x. 2) En déduire que MN = x + y. T B ABCD est un carré de côté 1. Γ est le quart de cercle de centre A et de rayon AB contenu dans le carré ABCD. T est un point quelconque de Γ. La tangente à Γ en T coupe [BC] en M et [CD] en N. On cherche où placer T pour que la distance MN soit minimale. On pose BM = x et DN = y. 3) Montrer que MN2 = (1 − x)2 + (1 − y)2 . C M 4) En déduire y en fonction de x puis montrer que x2 + 1 . MN = x+1 x2 + 1 5) On note f (x) = . x+1 Étudier le sens de variation de la fonction f sur 0 ; 1 . Conclure. CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) Exercice 16 z Comme sur la figure ci-contre, on inscrit un cylindre d’axe (Oz) de rayon r et de hauteur h dans la demi-sphère de centre O et de rayon 6 cm. h × O 1) Montrer que r2 = 36 − h2 . 2) À quel intervalle appartient h ? 3) On veut déterminer la hauteur h et le rayon r de ce cylindre pour qu’il ait un volume maximal. r 6 z a) Montrer que le volume du cylindre en fonction de sa hauteur est : V(h) = 36πh − πh3 PREMIÈRE S - EXERCICES h × O r 6 22 février 2014 b) Déterminer les dimensions du cylindre de volume maximal et préciser la valeur de ce volume. 5 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 17 E x cm × B F0 × × A E0 × La figure 1 ci-contre représente le paA0 tron du parallélépipède de la figure 2. Ce patron est fabriqué à partir d’une feuille de cartonnée carrée de 30 cm de côté. 1) Démontrer que le volume V(x) du parallélépipède rectangle ABC3 DEFGH s’exprime en cm par 2 V(x) = 2x(15 − x) , x ∈ 0 ; 15 . 30 cm FICHE 6 30 cm F × 0 x cm ×C G D× H H0 × 2) Exprimer V(x) sous forme développée puis étudier le sens de variation de la fonction V sur 0 ; 15 . D0 G 3) Tracer la courbe représentant V à l’aide de la calculatrice. Indiquer la fenêtre choisie. fig. 1 E B a) Combien de valeurs de x correspondent à des boîtes de 500 cm3 ? Justifier. H D b) Déterminer les valeurs approchées à 0,1 près de ces valeurs de x. Quelle est celle que retiendra le fabricant ? G x cm C fig.2 PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) A 4) Le parallélépipède ainsi obtenu est une boîte de lait. Le fabricant voudrait que le volume de la boîte soit de 0,5 litres, c’est à dire 500 cm3. F 22 février 2014 6 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 18 Partie A : Étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; 12 par : FICHE 7 f (t) = 2t2 + 10t + 2 t2 + 1 1) Démontrer que la fonction dérivée de f est définie sur l’intervalle 0 ; 12 par : 10(−t + 1)(t + 1) (1 + t2 )2 a) Étudier le signe de f 0 (t) sur l’intervalle 0 ; 12 . f 0 (t) = 2) 3) b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 12 . Pour f (12) on fera figurer la valeur approchée arrondie à 10−1 . a) Résoudre par le calcul dans 0 ; 12 , l’équation f (t) = 3. Donner les valeurs approchées arrondies à 10−1 des solutions. b) En déduire l’ensemble des solutions dans 0 ; 12 de l’inéquation f (t) 6 3. PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) Partie B : Application Un sportif a absorbé un produit dopant. On admet que f (t) représente le taux de produit dopant, en µg/L, présent dans le sang de ce sportif en fonction du temps t, en heures, écoulé depuis l’absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption. 1) Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30 minutes. Arrondir à 10−1 . 2) Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est-il maximal ? 3) Les règlements sportifs interdisent l’usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de 3 µg/L. Déterminer au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3 µg/L. 22 février 2014 7 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 19 Paul est ingénieur dans l’aéronautique. Il travaille sur un projet de capsule spatiale dont le profil supérieur est donné par la fonction définie sur −4 ; 4 par : 24 +4 Sur le dessin de droite - plan de coupe - la coiffe de l’engin est représentée par la courbe Cf de la fonction f . FICHE 8 f (x) = x2 6 5 4 Cf 3 2 B A 1 0 1 −4 −3 −2 −1 2 3 4 Partie A : Étude du profil supérieur 1) Montrer que la dérivée de f sur −4 ; 4 est : −48x (x2 + 4)2 PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) f 0 (x) = 2) Compléter alors le tableau de variations de f sur −4 ; 4 : x -4 + signe de f 0 (x) 4 ? 0 − variation de f 3) Pour des questions d’aérodynamisme Paul s’il ne faudrait pas remplacer la coiffe se demande de l’engin - uniquement sur l’intervalle −2 ; 2 - par un cône de révolution. Sur le plan de coupe, on note C le point de Cf de coordonnées (2 ; 3). 6 5 D 4 • • 3 Cf C 2 B −4 −3 −2 −1 A 1 0 1 2 3 4 4) Déterminer l’équation réduite de la tangente (T) à Cf au point C. 5) Calculer les coordonnées du point d’intersection de (T) avec l’axe des ordonnées. Justifier. 6) Tracer (T) et compléter la figure par symétrie. 22 février 2014 8 http://rallymaths.free.fr/ Partie B : Étude de l’habitabilité FICHE 9 1) Finalement Paul décide de garder le premier profil. L’habitacle est représenté - en coupe par le rectangle MNPQ où M et N sont deux points mobiles de Cf d’abscisses opposées. P et Q appartiennent à l’axe des abscisses. On note x l’abscisse de M, x ∈ 0 ; 4 . Pour des raisons techniques on souhaite que l’aire du rectangle MNPQ soit maximale. 6 5 N M 4 Cf 3 2 A 1 −4 −3 −2 P−1 B x 0 1Q 2 3 4 Montrer que l’aire du rectangle MNPQ est alors égale à : 48x +4 x2 avec x ∈ 0 ; 4 2) Un logiciel de calcul formel indique : A 0 (x) = 48(4 − x2 ) (x2 + 4)2 Vérifier que ce résultat est correct. 3) a) Étudier le signe de A 0 sur 0 ; 4 . b) Dresser le tableau de variation de A sur 0 ; 4 . 4) Quel est le maximum de A ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ? PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) A (x) = 22 février 2014 9 http://rallymaths.free.fr/ Exercice 20 On considère un demi-cercle de diamètre [AB] avec AB = 6. H est un point du segment[AB] distinct de A et de B. • La perpendiculaire à (AB) passant par en H coupe le demi-cercle en un point M. • K est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB. On note x la longueur AH. FICHE 10 M K A H B x 2) Justifier que les droites (HK) et (AM) sont parallèles et en déduire que : √ √ 6 f (x) = (6 − x) x 6 3) Étudier les variations de f sur 0 ; 6 et répondre alors au problème posé. PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 5 : DÉRIVATION (2) L’objectif est de déterminer pour quelle(s) position(s) de H, la longueur HK est maximale. On pose f (x) = HK. √ \ de deux manières différentes, prouver que AM = 6x. 1) En exprimant cos (BAM) 22 février 2014 10 http://rallymaths.free.fr/