Prénom NOM: . . . . . . . . . . . . . Mathématiques Seconde - Lycée Notre-Dame Mende Devoir surveillé du mercredi 4 juin 2014 – Durée : 2 heures – Calculatrice autorisée Vous traiterez les exercices dans l'ordre de votre choix en relevant la numérotation des questions. Total : 40 points. 2 points de présentation et orthographe. Bon travail ! Exercice n° 1 Vrai ou faux ? 5 points Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse (recopier le numéro de la question et la réponse seulement). On ne demande pas de justifier. 1°) Dans un repère, la représentation graphique de la fonction carré est l'hyperbole. 2°) Lorsque x décrit ℝ, x²  0. 3°) La fonction inverse est décroissante sur ]–∞ ; 0[ U ]0;+ ∞[. 4°) La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère. 5°) Tout nombre admet 2 antécédents par la fonction carré. 1 6°) Il existe un réel x tel que = 0. x 7°) Pour tout réel x > 0, si x²  4 alors x  2. 8°) Pour tout réel x, si x²  49 alors x  7. 4 9°) 5 est l'antécédent de 1+ par la fonction inverse. 5 9 1 1 10°) Si 0 < x < 3 alors > . x 3 Exercice n° 2 Les parties A et B sont indépendantes. 7 points Partie A L'histogramme ci-contre représente la répartition par taille, en cm, de basketteurs de la NBA (le championnat professionnel des États-Unis). 1. Compléter le tableau suivant : Valeurs [ ... ; ... [ [ ... ; ... [ [ ... ; ... [ [ ... ; ... [ [ ... ; ... [ Centres Effectifs Fréquences (arrondies à 10 -2) FCC (Fréquences cumulées croissantes) 2. Calculer la moyenne x de la série statistique. TOTAL 3. Reproduire le repère ci-contre sur la copie et tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes (FCC). 4. En déduire une lecture graphique de la médiane Me et des quartiles Q1 et Q3. 5. Donner une interprétation des valeurs Me, Q1 et Q3 obtenues. Partie B On relève dans une équipe de basket-ball la taille en cm des 12 joueurs : 182 – 183 – 200 – 201 - 201 – 201 –203 – 205 – 208 – 208 – 213 – 214 6. Déterminer les moyenne, médiane, quartiles Q 1 et Q3 de cette série. (Justifier les calculs. On pourra vérifier à la calculatrice) Exercice n° 3 « Lisez Euler, c'est notre maître à tous ». 7 points Le plan est rapporté au repère (0, I, J). On considère les points A(–2 ; 5), B(6 ; 1), C(–2 ; –1). 7. Construire le repère que l'on complétera au fur et à mesure. 8. a) Soit D un point. Traduire par une égalité de vecteurs le fait que ABDC soit un parallélogramme. b) En déduire le calcul des coordonnées du point D pour que ABDC soit un parallélogramme. 9. Calculer les coordonnées du milieu K du segment [BC].(Formules du cours!) Soit L le milieu du segment [AB] a pour coordonnées L (2 ; 3). 2 CG = ⃗ CL . 11. Calculer les coordonnées du point G tel que ⃗ 3 12. Votre aimable professeur rappelle à votre mémoire que le point G ( ) 13. Placer l'orthocentre H du triangle de coordonnées H(–1 ; 1) et ( 3 ; 2) le centre du cercle circonscrit au 2 2 5 ; ainsi obtenu n'est autre que le 3 3 centre de gravité du triangle ABC. De quelles droites est-il le point de concours ? triangle ABC. 14. Démontrer que les points G, H et  sont alignés (à l'aide des vecteurs). _____________________________________ Pour votre mémoire : la droite passant par ces trois points G, H et  se nomme la droite d'Euler. Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans à SaintPétersbourg, était un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne. Il fit d'importantes découvertes dans des domaines très variés. Il introduisit une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier la notion de fonction. Il est également connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie. Euler est considéré comme un éminent mathématicien du XVIIIe siècle et l'un des plus grands et des plus prolifiques de tous les temps. Une déclaration attribuée à Pierre-Simon de Laplace exprime l'influence d'Euler sur les mathématiques : « Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous ». Exercice n° 4 Inégalité 1)° Résoudre l'inéquation suivante en complétant sur l'énoncé le tableau de signes : 4 points 4−3 x 0 7 x+2 x 4 – 3x 7x + 2 Q (x) Conclusion : S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 x2  2. 2 x −1 2°) Résoudre l'inéquation suivante à l'aide d'un tableau de signes : Exercice n°5 Ben et Fice s'enrichissent 10 points On se propose d’étudier la rentabilité d’une production de x pièces pour x variant de 0 à 13 unités. Le coût de production de x pièces noté f (x) est donné par la relation : f (x) = 10 x² – 135 x + 580. La vente de ces x articles, notée g (x) rapporte g (x) = 25 x + 100. La fabrication des x pièces permet à l’entreprise de réaliser du bénéfice si la quantité B (x) = g (x) – f (x) est positive. On va par la suite résoudre l’inéquation B (x)  0 pour connaître les quantités de pièces à produire pour dégager du bénéfice . RÉSOLUTION GRAPHIQUE 1) Quelle est la nature de la fonction f ? Quelle est le nom de sa courbe représentative ? 2) Quelle est la nature de la fonction g ? Quelle est le nom de sa courbe représentative ? 3) Compléter, sur l'énoncé, à l'aide de la calculatrice, et sans justifier les tableaux de valeurs suivants : 0 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 f (x) x 0 6 10 g (x) 4) Représenter sur le même repère donné ci à droite, la représentation graphique de f et de g. 5) Résoudre graphiquement l’inéquation g (x)  f (x). 6) En déduire le nombre de pièces à produire pour réaliser du bénéfice. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE 7) En calculant g (x) – f (x), montrer que : B (x) = – 10 x² + 160 x – 480. 8) Vérifier que : – 10 x² + 160 x – 480 = – 10 (x – 4) (x – 12). 9) Résoudre l’équation : – 10 (x – 4) (x – 12) = 0. 10) En déduire le nombre de pièces à fabriquer pour réaliser un bénéfice nul. 11) Résoudre à l’aide d’un tableau de signe l’inéquation : – 10 (x – 4) (x – 12)  0 . 12) En déduire le nombre de pièces à fabriquer pour que l’entreprise réalise du bénéfice. 13) Comparer les résultats avec la question 6. 12 13 Exercice n° 6 Roland Garros : 1 er set 5 points Les dimensions d'un court de tennis sont : longueur égale à 23,77 m ; largeur égale à 10,97 m ; hauteur du filet égale à 0,914 m. On considère un repère orthonormé d'origine O (O étant l'emplacement du joueur au sol), dans un plan vertical perpendiculaire au filet, l'axe des abscisses étant une droite située au sol, et l'unité étant le mètre. Le joueur frappe la balle en un point B de l'axe des ordonnées, et le filet est représenté par le segment [FH]. On suppose ici que OH = 13 m et que la trajectoire de la balle, dans le plan du repère, est la courbe cf 2 représentative de la fonction x f (x ) =−0,005 x + 0,087 x+ 0,94 pour x réel. 1. a) Dresser en justifiant le tableau de variation de f sur ℝ. b) Préciser le maximum de f et la valeur pour laquelle il est atteint. 2. Vérifier que : f (x )=1,31845−0,005( x−8,7)2 . 3. a) À quelle hauteur le joueur frappe-t-il la balle ? (justifier par calcul) b) Quelle est la hauteur maximale de la balle ? (justifier) c)La balle passe-t-elle au-dessus du filet [FH]? (justifier) d) À quelle distance du filet la balle touche-t-elle le sol ? (justifier par calcul) e) La balle est-elle « bonne » ? (justifier par calcul)