Repérage dans le plan Mathématiques en Seconde Repérage dans le plan Mathématiques en Seconde Exercice 1 : REPERAGE DANS LE PLAN Dans le repère (O ; I ; J) : 1. Lire les coordonnées des points A, B, C et D. 2. Placer le point E qui a des coordonnées opposées à celles de B. Repère du plan 3. Déterminer les coordonnées de : • A1 symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses ; • A2 symétrique de A par rapport à l’axe des ordonnées ; • A3 symétrique de A par rapport à l’origine . Définition Un repère du plan est défini par 3 points (O, I, J) non alignés. - le point O est l'origine du repère ; - la droite (OI) est l'axe des abscisses; la distance OI est l’unité sur cet axe ; - la droite (OJ) est l'axe des ordonnées; la distance OJ est l’unité sur cet axe. 4. Représenter : a. en vert les points d’abscisse égale à 3 ; b. en rouge les points d’abscisse x [−2 ; −1] et d’ordonnée y = 2. axe des ordonnées Coordonnées du milieu d’un segment J Résultat x A + xB xI = 2 . + y yB A y = I 2 origine O Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I axe des abscisses Remarque : L’axe des abscisses est aussi noté (Ox) ou (xx’) et celui des ordonnées (yy’) ou (Oy). Remarque : Les coordonnées du milieu sont donc les moyennes des abscisses et des ordonnées des deux points. Définition Exemple : Si A(−2 ; 2) et B(6 ; 4), alors I, milieu de [AB], a pour coordonnées ((−2 + 6)/2 ; (2 + 4)/2), soit (2 ; 3). Soit(O, I, J) un repère. • Si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal ; • Si de plus, OI = OJ, le repère est dit orthonormé. Exercice 2 : Coordonnées d'un point 1. Dans un repère d’origine O, placer les points P(-4 ; −1), Q(1 ; 0), R(2 ; 2) et S(−3 ; 1). 2. Calculer les coordonnées du milieu du segment [PR] puis celles du milieu du segment [QS]. 3. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère PQRS ? Exercice 3 : Soit les points R(−1 ; 4) , S(5,5 ; −1,5), T(4,5 ; 3) et U(0 ; −0,6). Le quadrilatère RTSU est-il un parallélogramme ? Définition Exercice 4 : Dans un repère (O, I, J), tout point M est repéré par un unique Soit les points A(2 ; 5) et B(−5 ; 1). Calculer les coordonnées de C symétrique de A par rapport à B. couple (x ; y) de nombres réels appelés coordonnées du point M ; On note alors M(x ; y) . • • Exercice 5 : Soit les points A(3 ; 1), B(2 ; 4) et C(−1 ; 3). Calculer les coordonnées de : x est l’abscisse de M; y est l’ordonnée de M. I milieu de [AC] ; D tel que ABCD soit un parallélogramme. Remarque : Pour déterminer les coordonnées (x ; y) d’un point M du plan dans le repère (O ; I , J), on trace les parallèles (et non les perpendiculaires) aux deux axes passant par M. Exercice 6 : Voici un algorithme : uuuur uur uuur Remarque : M (x ; y) dans le repère (O; I, J) équivaut à OM = xOI + yOJ . Demander xA, yA Demander xB, yB (xA + xB)/2 xI (yA + yB)/2 yI Afficher xI, yI Exemple : M(3 ; 2). Que fait-il ? Le programmer sur votre calculatrice. Patrick CHATEL 1/5 2014-02-02 Patrick CHATEL 2/5 2014-02-02 Repérage dans le plan Mathématiques en Seconde Repérage dans le plan Mathématiques en Seconde Exercice 10 : Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), soient les points A(−2 ; 3), B(2 ; 1), C(0 ; 2) et D(−1 ; 4). Distance entre 2 points 1. 2. Résultat Dans un repère orthonormé, la distance AB vaut ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) . 2 Exercice 11 : Ecrire sur votre calculatrice un programme qui permet d’obtenir la longueur d’un segment à partir des coordonnées de ses extrémités. Remarque : Attention, formule uniquement valable dans un repère orthonormé ! Exemple : Si A(1 ; 2) et B(3 ; 5), alors AB = ( 3 − 1) 2 Vérifier que C est le milieu de [AB]. Tracer le cercle circonscrit au triangle ABD. Quel semble être son centre ? Confirmer ou infirmer la conjecture précédente. + ( 5 − 2 ) = 22 + 32 = 13 . 2 Coordonnées d'un vecteur 1. Exercice 7 : Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points A(−2 ; 1), B(2 ; −1) et C(1 ; −3). Définition 2. Quelle particularité semble présenter le triangle ABC ? En est-il ainsi ? Dans un repère (O, I, J), on appelle coordonnées du vecteur u → uuuur r → celles du point M tel que OM = u . On note u (x ; y). Exercice 8 : Dans un repère orthonormé (unité : 20 km), V désigne la position d’un véhicule, R la position du ravitaillement et A celle de l’arrivée. → → → Exemple : u = OM et M(3 ; 2) donc u (3 ; 2) → Coordonnées du vecteur AB Résultat Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors AB a pour coordonnées ( xB − x A ; y B − y A ) . → Dans le réservoir du véhicule, il reste de quoi parcourir 90 km. 1. 2. Le véhicule peut-il rejoindre l’arrivée sans passer par le ravitaillement ? Quelle distance reste-t-il à parcourir à ce véhicule avant d’arriver (donner la valeur approchée par excès au km près) ? Preuve : Soit M le point tel que OMBA soit un parallélogramme ; uuur Alors par définition les coordonnées de AB sont celle de M. Soit I le centr xM + x A xO + xB = xI = x = xB − x A xM + xA = xO + xB 2 2 d’où . e de OMBA ; Alors ⇔ M y + y yO + yB yM = yB − y A A y = M yM + y A = yO + yB = I 2 2 Résultat Exercice 12 : Dans le repère (O ; I , J) : Ω étant un point fixe et r un nombre Cercle strictement positif, l’ensemble des points M tels que ΩM = r est le cercle r r 1. 2. Lire les coordonnées des vecteurs u et v . Construire un représentant des vecteurs : r x (2; –1) d’origine O, r y (1 ; 3) d’origine B. 3. Calculer les coordonnées du vecteur AB . de centre Ω et de rayon r. uuur A et B étant deux points fixes, Médiatrice l’ensemble des points M tels que Résultat MA = MB est la médiatrice du segment r Nullité r r u = 0 Exercice 9 : Soient les points A(4 ; 2) et B(2 ; –1). Soient le cercle (C) de centre B, de rayon 5 et (∆) la médiatrice du segment [AB]. 5 Faire une figure ; Vérifier par le calcul que P(6 ; 2) ∈ (C) et que Q(0 ; ) ∈ (∆). 2 Patrick CHATEL r Soient deux vecteurs u (x ; y) et v (x' ; y') ; Alors : [AB]. 3/5 Egalité x=0 . y=0 r r u = v Somme Produit par un réel r r u + v (x + x' ; y + y') r ku (kx ; ky) Colinéarité Orthogonalité r r u et v colinéaires équivaut à xy' – x'y = 0 2014-02-02 Patrick CHATEL x = x' . y = y' r r u et v orthogonaux équivaut à xx' + yy’ = 0 4/5 2014-02-02 Repérage dans le plan Mathématiques en Seconde Exercice 13 : r r Soient les vecteurs u (–6 ; 4) et v (–9 ; –6) . r r r r r r 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs : 2u , −v , u + v et 2u − 3v . 2. r r Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ? Exercice 14 : Dans un repère (O ; I , J), soit les points A(–2 ; 3), B(3 ; 2) et C(1 ; –1). 1. a. Placer les points D, E et F définis de la façon suivante : - ABCD est un parallélogramme ; b. 2. 3. - E est le centre de ABCD ; - F est le symétrique de A par rapport à B. Calculer leurs coordonnées. Soit le point G(6 ; –2); Montrer que ACGB est un parallélogramme. 9 Soit le point H( ; 0); Montrer que B, G et H sont alignés. 2 Exercice 15 : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, soit les points : A(–1 ; 3), B(3 ; 5), C(2 ; –3) et D( –2 ; – 5). Montrer que ABCD est un rectangle. Exercice 16 : 7 11 Dans le plan rapporté à un repère, soit les points A(– 5 ; 6), B( – 4 ; – 1), C( – 3 ; 2) et D(– ; ). 2 2 Montrer que ABCD est un trapèze . Exercice 17 : Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; I , J). On considère les points A(3 ; 4), B(5 ; 2) et C(2 ; –3) dans ce repère. 1. Faites une figure que vous compléterez au fur et à mesure. 2. 3. Déterminer les coordonnées du point D tel que OD = OA + OC et celles du point E tel que OE = 8OI + 5OJ . Démontrer que les points C, D et E sont alignés. 4. On considère le point F(a ; 3). Déterminer le nombre a pour que les points F, A et E soient alignés. 5. Démontrer que les droites (AD) et (FC) sont parallèles. → → uuur → uur uuur Exercice 18 : ABCD est un trapèze. Quelle est l'ordonnée y du sommet C, sachant que les autres coordonnées des sommets du trapèze étant toutes entières ? B Exercice 19 : ABCD, DCEF et FEHG sont trois carrés. C E H F G I J I est le milieu de [AC] et J le point d'intersection des droites (CD) et (AH). Démontrer que les points I, J et F sont alignés. A Patrick CHATEL 5/5 D 2014-02-02
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