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´aire Prope
´deutique
Alge
Cours : Prof. Dr. Jean-Pierre Gabriel
Exercices : Matthieu Jacquemet
Mardi 25 novembre 2014
´rie 10
Se
Repr´
esentations matricielles d’applications lin´
eaires
` rendre avant le mercredi 3 d´ecembre, 8h15
A
Exercice 1
2
2
Soit ϕ : R2 → R2 la r´eflexion par rapport `a la
2x, et π : R
droite y =
→ R la projection
2
orthogonale sur le sous-espace vectoriel U := (x, y) ∈ R | 3x − y = 0 .
(a) D´eterminer la repr´esentation matricielle de ϕ et π par rapport `a la base canonique.
(b) D´eterminer la repr´esentation matricielle de ϕ ◦ π et π ◦ ϕ par rapport `a la base canonique.
(c) D´eterminer des bases B, B 0 de R2 de sorte que la repr´esentation matricielle de ϕ par
rapport `
a ces bases soit particuli`erement agr´eable.
(d) D´eterminer des bases B, B 0 de R2 de sorte que la repr´esentation matricielle de π par
rapport `
a ces bases soit particuli`erement agr´eable.
Exercice 2
On consid`ere une chaˆıne trophique
00
carnivores −→ herbivores −→ v´eg´etaux00
dans laquelle interviennent :
— 2 esp`eces de v´eg´etaux : V1 , V2
— 3 esp`eces d’herbivores : H1 , H2 , H3
— 2 esp`eces de carnivores : C1 , C2
On donne les matrices de “consommation” :
A=
V1
V2
H1
a11
a21
H2
a12
a22
C1
H1 b11
B = H2  b21
H3 b31
H3
a13
a23

C2

b12
b22 ,
b32
o`
u aij = consommation (kg) annuelle du v´eg´etal d’esp`ece i par un herbivore de l’esp`ece j, et
bkl = nombre (moyen) d’herbivores de l’esp`ece k consomm´es annuellement par un carnivore
de l’esp`ece l.
D´eterminer la matrice de “consommation” :
C=
V1
V2
C1
c11
c21
C2
c12
c22
o`
u crs = nombre de kg de v´eg´etal d’esp`ece r consomm´e indirectement par un carnivore de
l’esp`ece s, et donner une forme matricielle au r´esultat.
Exercice 3
On consid`ere le circuit ´electrique donn´e par
(a) En utilisant les lois de Kirchhoff, montrer
syst`eme d’´equations

I1 − I2




I3
 I1 − I2 +


I3
2I2 + 12I3







6I1 + 2I2
que les courants dans le circuit ob´eissent au
+
I4
−
I5
−
+
I4
6I4
6I4
+
I5
+
2I5
= 0
= 0
= 0
.
= 0
= 10
= 30
(b) D´eterminer l’intensit´e des courants.
Exercice 4
On donne les matrices suivantes :


1 −2
1
A =  −1 0  , B =
4
4
5
−2 5
−1 0

,
−1
C= 2
4

−4 0 7
−1 2 1  .
−3 1 0
(a) D´eterminer le rang de ces matrices.
(b) Calculer les produits
AB,
BA,
AC,
CA,
C T A,
BC,
CB,
B T AT .
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