Cours : Prof. Dr. Jean-Pierre Gabriel Exercices : Matthieu Jacquemet `bre Line ´aire Prope ´deutique Alge Mardi 11 novembre 2014 ´rie 8 Se Applications Lin´ eaires ` rendre avant le mercredi 19 novembre, 8h15 A Exercice 1 D´eterminer si les applications suivantes sont ou ne sont pas lin´eaires. Donner `a chaque fois une preuve, respectivement un contre-exemple. x x x (a) ϕ1 : R2 → R2 , → y ln |y| (e) ϕ5 : R3 → R, y → 5x − 2y − z + 4 z 0 x 2 3 (b) ϕ2 : R → R , → x x sin x y (f) ϕ6 : R2 → R2 , → y y cos x x y − 3z 2x + y x (c) ϕ3 : R3 → R2 , y → x+y (g) ϕ7 : R3 → R3 , y → x + y − z z 7y + 3z z x x x2 (d) ϕ4 : R3 → R, y → 3x − z (h) ϕ8 : R2 → R2 , → y z y Exercice 2 Soit A la matrice donn´ee par 1 A = 3 5 2 7 , 11 −1 4 2 et soit l’application ϕ : R3 → R3 , x → Ax (elle est lin´eaire : CF. S´erie 1) (a) D´eterminer le noyau ker ϕ, ainsi que dim(ker ϕ). (b) D´eterminer l’image im ϕ, ainsi que dim(im ϕ). (c) D´eterminer le rang de ϕ. (d) D´eterminer si ϕ est surjective, respectivement injective. Exercice 3 Soient U , V et W trois espaces vectoriels, et soient ϕ : U → V et ψ : V → W deux applications lin´eaires. (a) Montrer que ker ϕ est un sous-espace vectoriel de U . (b) Montrer que im ϕ est un sous-espace vectoriel de V . (c) Montrer que l’application compos´ee ψ ◦ ϕ : U → W est lin´eaire. Exercice 4 Soit P2 l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, et soit ϕ : P2 → P 2 , p→p, l’application de d´erivation. (a) Montrer que ϕ est lin´eaire. (b) D´eterminer ker ϕ. (c) D´eterminer imϕ. (d) D´eterminer si ϕ poss`ede une application r´eciproque.
© Copyright 2024 Paperzz
