close

Enter

Log in using OpenID

embedDownload
Cours : Prof. Dr. Jean-Pierre Gabriel
Exercices : Matthieu Jacquemet
`bre Line
´aire Prope
´deutique
Alge
Mardi 11 novembre 2014
´rie 8
Se
Applications Lin´
eaires
` rendre avant le mercredi 19 novembre, 8h15
A
Exercice 1
D´eterminer si les applications suivantes sont ou ne sont pas lin´eaires. Donner `a chaque fois
une preuve, respectivement un contre-exemple.
 
x
x
x
(a) ϕ1 : R2 → R2 ,
→
y
ln |y|
(e) ϕ5 : R3 → R, y  → 5x − 2y − z + 4
 
z
0
x
2
3


(b) ϕ2 : R → R ,
→ x
x
sin x
y
(f) ϕ6 : R2 → R2 ,
→
y
y
cos x
 
x


 
y − 3z
2x + y
x
(c) ϕ3 : R3 → R2 , y  →
x+y
(g) ϕ7 : R3 → R3 , y  → x + y − z 
z
 
7y + 3z
z
x
x
x2
(d) ϕ4 : R3 → R, y  → 3x − z
(h) ϕ8 : R2 → R2 ,
→
y
z
y
Exercice 2
Soit A la matrice donn´ee par

1
A = 3
5

2
7 ,
11
−1
4
2
et soit l’application ϕ : R3 → R3 , x → Ax (elle est lin´eaire : CF. S´erie 1)
(a) D´eterminer le noyau ker ϕ, ainsi que dim(ker ϕ).
(b) D´eterminer l’image im ϕ, ainsi que dim(im ϕ).
(c) D´eterminer le rang de ϕ.
(d) D´eterminer si ϕ est surjective, respectivement injective.
Exercice 3
Soient U , V et W trois espaces vectoriels, et soient ϕ : U → V et ψ : V → W deux
applications lin´eaires.
(a) Montrer que ker ϕ est un sous-espace vectoriel de U .
(b) Montrer que im ϕ est un sous-espace vectoriel de V .
(c) Montrer que l’application compos´ee ψ ◦ ϕ : U → W est lin´eaire.
Exercice 4
Soit P2 l’espace vectoriel des polynˆ
omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, et soit
ϕ : P2 → P 2 ,
p→p,
l’application de d´erivation.
(a) Montrer que ϕ est lin´eaire.
(b) D´eterminer ker ϕ.
(c) D´eterminer imϕ.
(d) D´eterminer si ϕ poss`ede une application r´eciproque.
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
1
File Size
269 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content