Refroidissement des machines
électriques tournantes
par
Yves BERTIN
Maître de conférences
Laboratoire d’études thermiques (LET)
École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ENSMA) de Poitiers
1.
1.1
1.2
1.3
Lois générales de transmission de la chaleur..................................
Transmission de la chaleur par conduction ..............................................
Transmission de la chaleur par convection ...............................................
Transmission de la chaleur par rayonnement...........................................
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Conduction de la chaleur dans la structure
d’une machine tournante.......................................................................
Exemples simples d’application.................................................................
Transfert de chaleur radial en régime stationnaire dans un stator simplifié
Représentation d’éléments hétérogènes...................................................
Interfaces et contacts entre organes ..........................................................
Matériaux : quelques données ...................................................................
—
—
—
—
—
—
6
6
7
9
10
10
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Transfert convectif dans une machine tournante ..........................
Paramètres caractéristiques du transfert convectif ..................................
Convection forcée en canal fixe .................................................................
Convection forcée en espace annulaire étroit...........................................
Convection forcée en canal rotorique axial...............................................
Convection forcée au voisinage des têtes de bobines .............................
Relations et remarques complémentaires.................................................
Fluides : quelques données ........................................................................
—
—
—
—
—
—
—
—
12
12
14
16
18
18
19
19
4.
Conclusion .................................................................................................
—
20
Pour en savoir plus .........................................................................................
D 3 460 - 3
—
3
—
5
—
5
Doc. D 3 460
ne machine électrique tournante est le siège de dissipations de différentes
origines. Elles sont largement distribuées dans sa structure et, plus rarement, dans le fluide de refroidissement lui-même (machine à grande vitesse de
rotation). Le dimensionnement thermique d’une machine électrique, c’est-à-dire
le calcul du champ de température et la détermination des voies d’évacuation de
la chaleur, fait appel à des lois générales et à des relations particulières que cet
article vise à synthétiser. Quelques données thermophysiques concernant les
matériaux et les fluides rencontrés dans ce contexte sont apportées. Notons que
cet article fait largement appel à des références des Techniques de l’Ingénieur
précisées dans le texte.
U
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D 3 460 − 1
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Notations et symboles
Symbole
Unité
Définition
a
m2.s–1
Symbole
Unité
c
J.kg–1.K–1
cp
J.kg–1.K–1
Dh
e
diffusivité thermique
ri
m
rayon intérieur
capacité thermique massique
rm
m
rayon logarithmique moyen
capacité thermique massique
à pression constante
R
K.W–1
m
diamètre hydraulique
Ra
nombre de Rayleigh
m
épaisseur de l’ailette ou largeur
de l’entrefer (suivant le contexte)
Re
nombre de Reynolds
Ro
f
rapport de forme de la section
F
coefficient de frottement
Fg
facteur géométrique de l’espace annulaire
Fij
Définition
résistance thermique
nombre de Rossby
S
m2
section du canal ou de l’ailette
(suivant le contexte)
Si , S j
m2
aire des surfaces i et j
facteur de forme entre i et j
t
s
temps
g
m2.s–1
accélération de la pesanteur
T
K
température
G
W.K–1
conductance thermique
Ta
nombre de Grashof
Tm
K
coefficient de transfert de chaleur
par convection
V
m.s–1
excentricité du canal
α
Gr
h
W.m–2.K–1
H
m
nombre de Taylor
température moyenne de mélange
du fluide
vitesse
facteur d’absorption de la surface
<
m
hauteur ou diamètre géométrique
β
L
m
longueur de l’ailette
ε
facteur d’émission de la surface
Lm
m
longueur d’établissement dynamique
γ
proportion volumique des constituants
du bobinage
Lth
m
longueur d’établissement thermique
ϕ
W.m–2
normale à la surface
λ
W.m–1.K–1
vitesse de rotation
µ
Pa.s
viscosité dynamique
n
tr.mn–1
N
K–1
coefficient d’expansion thermique
flux surfacique
conductivité thermique
nombre de Nusselt
ν
m2.s–1
viscosité cinématique
p
W.m–3
production volumique de chaleur
ρ
kg.m–3
masse volumique ou facteur de réflexion
(suivant le contexte)
P
m
périmètre mouillé ou de la section
de l’ailette (suivant le contexte)
ρc
J.m–3.K–1
capacité thermique volumique
P
Pa
pression
σ
W.m–2.K–4
constante de Stefan-Boltzmann ;
σ = 5,67032.10–8 W.m–2.K–4
nombre de Prandtl
ω
rad.s–1
Φ
W
Nu
Pr
Q
J
quantité de chaleur
re
m
rayon extérieur
vitesse angulaire
flux de chaleur
Liste des indices
a
axial
eff
effective
m
b
c
ca
bobinage
courbure
carter
f
h
i
p
ref
s
co
cr
couronne
critique
j
fluide
hydraulique
surface i
ou isolant (suivant contexte)
surface j
mélange ou mécanique
(suivant contexte)
paroi
référence
solide
th
thermique
ext
f
extérieur
int
j
m, n
constantes
Liste des exposants
fer
D 3 460 − 2
intérieur
joule
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1. Lois générales
de transmission
de la chaleur
1.1 Transmission de la chaleur
par conduction
L’évacuation des différentes sources de chaleur dont une machine
électrique est le siège s’effectue grâce aux trois modes de transfert
(figure 1) :
— le transfert de chaleur par conduction dans la structure de la
machine ;
— le transfert de chaleur par rayonnement entre chacune des
parois de la structure et l’environnement ;
— le transfert de chaleur par convection, externe ou interne, naturelle ou forcée, suivant la technologie de refroidissement employée.
On distingue principalement deux types de machines du point de
vue de la technologie du refroidissement : les machines dites fermées (figure 2) et les machines ouvertes (figure 3).
Ce mode de transfert nécessite un support matériel. Il opère dans
l’ensemble de la structure de la machine ainsi que dans le fluide de
refroidissement, en particulier au voisinage des parois de chacun
des organes d’une machine [BE 8 200].
1.1.1 Loi de Fourier
Le flux thermique dΦ est défini comme étant la quantité de
chaleur dQ (joule) qui traverse une section dS pendant l’unité de
temps. Il s’exprime donc en watts. On peut définir le vecteur densité
de flux thermique ϕ en tout point de la surface. Il caractérise en
chaque point du milieu la direction, le sens et l’intensité du flux thermique (figure 4) :
dΦ = ϕ ⋅ n dS
(1)
La loi de Fourier stipule que le vecteur densité de flux thermique
est proportionnel au gradient local de la température T. Elle s’écrit
comme suit :
Rayonnement
ϕ = – λ ⋅ grad T
Convection naturelle
ainsi introduit représente la conducLe paramètre λ
tivité thermique du matériau. Le signe – est justifié afin de respecter
le second principe de thermodynamique (la chaleur diffuse des
régions chaudes vers les régions froides).
Ventilateur
intégré
solidaire
de l’arbre
Convection forcée
Collecteur mécanique
Conduction par la bride
Figure 1 – Modes de refroidissement
Boîte à bornes
Carcasse
Ventilateur
La conductivité thermique est une caractéristique d’un matériau
homogène et isotrope. Elle dépend en général sensiblement de la
température. Pour les matériaux métalliques, la valeur de cette
grandeur physique passe par un maximum qui se situe entre quelques kelvins et 200 K selon les matériaux, puis décroît avec la
température après ce maximum à quelques exceptions près
(l’uranium, le tantale et le manganèse par exemple [14]) et ceci
jusqu’au point de fusion. Par contre, celle des alliages ferreux
utilisés pour les tôles de machines croît avec la température mais de
manière faible, voire négligeable, sur les plages de températures
usuelles rencontrées dans les machines. Pour ces plages de températures, cette dépendance peut être également négligée pour les
alliages d’aluminium ou pour le cuivre. La conductivité thermique
des liquides est d’une manière générale plus faible que celle des
solides. Celle des gaz est souvent très faible et sa dépendance avec
la température est également relativement marquée.
La loi de Fourier peut se généraliser aux corps qui ne peuvent être
considérés comme isotropes en envisageant alors un tenseur de
conductivité thermique. Celui-ci est diagonal lorsqu’il est exprimé
relativement au repère des directions principales.
1.1.2 Équation de la chaleur
Stator
Tête de
bobine
Rotor
Air
froid
Arbre
Palier
Dans un volume V immobile délimité par une surface S, la température dépend des variables d’espace (x, y, z ) et du temps t. En
tenant compte de la quantité de chaleur créée dans ce volume, celle
qui y pénètre et celle qui est nécessaire à la variation de la température et après avoir effectué le bilan d’énergie dans ce volume, il
vient :
∂T
ρc ------- = div ( λ grad T ) + p
(3)
∂t
avec
Ailettes de ventilation
Air chaud
Air froid
Figure 2 – Circuit de ventilation d’un moteur fermé
(2)
(W.m–1.K–1)
c (J.kg–1.K–1) capacité thermique massique,
ρ (kg.m–3)
masse volumique,
ρc (J.m–3.K–1) capacité thermique volumique,
p (W.m–3)
production volumique de chaleur représentant ici les pertes engendrées dans la
machine tournante.
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Boîte à bornes
Carcasse
Cage rotorique
Tête de bobine
Stator
Ventilateur
Rotor
Arbre
Palier
Air froid
a moteur asynchrone à ventilation axiale
Carcasse
Stator
Tête de bobine
Cage rotorique
Rotor
Arbre
Évents de ventilation
Palier
b moteur asynchrone à ventilation radiale
Air chaud
Air froid
ϕ
n
Figure 3 – Circuit de ventilation
d’un moteur ouvert
Dans le cas particulier d’un matériau anisotrope dont on peut
admettre que sa conductivité thermique est indépendante de la
température, l’équation (3) devient alors :
dS
M
Figure 4 – Densité de flux thermique
D 3 460 − 4
∂ 2T
∂ 2T
∂T
∂ 2T
- + λ y ----------- + λ z ---------2-  + p
ρc ------- =  λ x ---------∂t
∂x 2
∂z 
∂y 2
(4)
Si x, y et z repèrent les directions principales, le tenseur est
constitué des trois valeurs de conductivité λx , λy , λz.
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Tp dans le solide s = Tp dans le fluide f
Plus simplement, si le milieu est homogène et n’est pas le siège
de production de chaleur, on obtient :
1 ∂T
--- ------- = ∆ T
a ∂t
où
a (m2.s–1)
avec
Souvent, seule l’analyse du comportement thermique en régime
permanent d’une machine est nécessaire. Il s’agit de résoudre
alors :
p
(6)
∆ T + --- = 0
λ
L’équation générale de la chaleur doit satisfaire aux conditions sur
les frontières du domaine considéré. Ces conditions sont liées aux
caractéristiques de la liaison aux milieux environnants (contact avec
un solide, fluide en présence, échange radiatif...). En outre, sa résolution nécessite la connaissance de la répartition des températures
dans l’ensemble du système étudié au moment initial de l’analyse.
1.2 Transmission de la chaleur
par convection
Afin d’assurer le refroidissement d’une machine tournante, on
dispose du fluide proche de la machine, de l’air en général qui,
s’échauffant au contact des parois du carter, des flasques, de
l’arbre..., va voir sa masse volumique varier. Cette variation sous
l’effet des différences de température induit un mouvement à
vitesse modérée. Il s’agit là de convection naturelle [A 1 540]. Si, au
contraire, on impose une vitesse de déplacement au fluide pour
assurer une circulation d’air, d’eau, d’hydrogène, par exemple dans
des canaux internes de la machine, il s’agit de convection forcée.
Quand les conséquences mécaniques d’une vitesse imposée et de la
variation de la masse volumique sont comparables, on parle alors
de convection mixte.
Un calcul exact des transferts de chaleur par convection nécessite, a priori, la résolution d’équations aux dérivées partielles non
linéaires et couplées. Cette approche n’est pas encore envisageable
à l’échelle d’une machine tournante complète à cause notamment
des ressources informatiques nécessaires et n’est pas non plus
toujours indispensable. On préfère généralement modéliser les
transferts de chaleur par convection par l’intermédiaire d’une relation linéaire entre flux et température qui s’écrit :
ϕp = h ( T p – T m )
h
(W.m–2.K–1)
p
Tm (K)
λs , λf
diffusivité thermique est définie par :
λ
a = -----ρc
avec
∂T
∂T
ϕ p = h ( T p – Tm ) = λ s ------- = λ f ------∂n
∂n
(5)
(7)
coefficient de transfert de chaleur par
convection,
La valeur du coefficient de transfert convectif dépend de la configuration et de la nature du régime de l’écoulement, de la vitesse et
des propriétés thermophysiques du fluide et indirectement de la
température (§ 3).
1.3 Transmission de la chaleur
par rayonnement
Ce mode de transfert induit le plus souvent des conséquences
mineures voire négligeables à l’intérieur des machines électriques
tournantes. Par contre, sa contribution ne peut pas être négligée au
premier abord, quand les surfaces en vis-à-vis du rotor et du stator
dans la région de l’entrefer d’une machine sont portées à des
niveaux de température assez différents (différence de 100 °C, par
exemple). Par ailleurs, les parois externes du système peuvent
contribuer également au refroidissement de la machine par voie
radiative.
Quelques remarques et des relations applicables dans le contexte
des machines électriques tournantes peuvent être rappelées ici.
Pour plus de détails, le lecteur pourra se reporter à l’article spécialisé [A 1 520].
Une fraction de l’énergie radiative reçue par une paroi d’une
machine est absorbée ; la fraction restante est réfléchie, ici en
général de manière diffuse. Les surfaces des parois des différents
organes d’une machine peuvent être considérées comme grises,
diffuses et opaques. Le facteur d’émission ε et le facteur d’absorption α sont alors égaux et indépendants de la longueur d’onde et de
la direction d’émission ou d’incidence. Le facteur de réflexion ρ est
le complément à l’unité du facteur d’émission.
ε=α=1–ρ
Deux hypothèses viennent compléter cette loi au voisinage de la
paroi. Elles portent sur la continuité de la température et du flux de
chaleur à la paroi.
(8)
Examinons trois cas simples où on effectue le bilan de flux radiatif
échangé entre des surfaces.
1er cas : flux surfacique ϕ, perdu par une surface grise à la température Ts vers un environnement de grande dimension considéré
comme un corps noir dont les parois sont à la température Te . Il
peut s’agir, par exemple, de la surface externe du carter peint. La
relation propre à décrire ce flux surfacique s’établit en effectuant le
bilan entre le flux de chaleur émis par la surface et le flux, en provenance des parois de l’environnement, incident et absorbé par celleci. Dans le contexte des machines électriques, les plages de température rencontrées sont peu étendues et l’on peut considérer que le
facteur d’émission des matériaux utilisés en est indépendant. Ainsi,
on peut écrire :
ϕ = εσ ( T s4 – T e4 )
indice désignant la paroi,
température unique globalisant la répartition de température dans l’ensemble du
volume de fluide considéré dans les
situations d’écoulement interne. Elle est
alors appelée température moyenne de
mélange (pour la situation d’écoulement
externe, c’est la température du fluide en
amont de la configuration traitée qui est
généralement considérée).
conductivité thermique du solide et du fluide
respectivement.
avec
ε
σ
facteur d’émission de surface,
T
température exprimée en kelvins.
(9)
constante de Stefan-Boltzmann
(5,67032.10–8 W.m–2.K–4),
2e cas : flux surfacique ϕ, perdu par une surface grise i au profit
d’une surface grise j voisine l’entourant totalement. Il s’agit, par
exemple, des parois du stator et du rotor dans l’entrefer. Si le
facteur de réflexion d’une des surfaces est notable (ρ > 0,1), il est
nécessaire de considérer les réflexions multiples du rayonnement
qui opèrent entre les parois. Le tableau 1 fournit des valeurs approchées pour les propriétés radiatives de quelques matériaux et
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D 3 460 − 5
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surfaces usuels rencontrés dans notre contexte. Le bilan effectué
conduit à la relation suivante :
σ ( T i4 – T j4 )
ϕ = -----------------------------------------------------1–ε
1 1 – εj S
-------------i + ------ + ------------- -----i
εj Sj
εi
F ij
avec
Fij
(10)
facteur de forme entre i et j. Il est voisin de l’unité
entre les parois de l’entrefer car celui-ci est étroit,
généralement,
Si , Sj
aires des surfaces i et j.
cas : flux surfacique échangé entre une surface bordant une
cavité pas nécessairement fermée et l’ensemble des autres surfaces
isothermes de cette même cavité. Chaque surface peut être
supposée opaque, grise et diffuse. On peut alors appliquer la
méthode des radiosités [A 1 520]. A partir de trois relations de flux
radiatif (radiosité, irradiation, exitance) liées à chacune des surfaces
et ayant déterminé préalablement l’ensemble des facteurs de forme
entre toutes ces surfaces, cette méthode permet d’établir un
système d’équations linéaires en flux et ainsi de déterminer les
températures et les flux de chaleur échangés dans cette cavité.
2.1.1 Exemple 1. Isolant de bobinage
L’isolant est représenté par un mur simple à faces isothermes et
de conductivité thermique λi (figure 5). L’équation de la chaleur (3)
s’écrit, ici :
d 2T
- = 0
λ i ----------dx 2
et les conditions aux limites peuvent être :
en x = 0
3e
dT
– λ i ------- = pj
dx
en x = e
T = T2
avec
pj
pertes Joule surfaciques transitant à travers
l’isolant d’épaisseur e suivant l’axe x,
λi
T2
conductivité thermique du matériau isolant,
Tableau 1 – Émissivité de surfaces et matériaux usuels
Émissivité
Corps et état de surface
40 °C
250 °C
Acier :
— surface polie .............................
— surface légèrement oxydée .....
— surface très oxydée ..................
0,09
0,19
0,80
0,10
0,20
Aluminium :
— surface polie .............................
— surface rugueuse......................
— surface oxydée .........................
0,045
0,066
0,11
0,070
Cuivre :
— surface polie .............................
— surface oxydée .........................
0,05
0,37
0,05
Fer :
— surface polie .............................
— surface rugueuse......................
— surface oxydée .........................
0,06
0,27
0,66
0,08
Revêtements :
— peinture à l’huile.......................
— laque (suivant épaisseur).........
— vernis.........................................
0,92
0,30 à 0,60
0,89
température résultant de la connaissance du
problème complet et dépendant naturellement
de la température du fluide externe de refroidissement, en particulier.
En intégrant (11) et compte tenu des conditions aux limites, il
vient :
e
T 1 = T 2 + ---- pj
λi
(12)
On peut, alors, en déduire :
0,12
1
pj S = ----- ( T 1 – T 2 )
Ri
avec
e
R i = ----------λi S
(13)
Ri (K.W–1) définit ainsi la résistance thermique de l’isolant.
0,76
0,91
Pour une couronne circulaire de rayon intérieur ri , de rayon
extérieur re et de longueur < , l’expression de la résistance thermique devient :
re
ln ----ri
R = --------------(14)
2π λ <
2. Conduction de la chaleur
dans la structure
d’une machine tournante
T1
,,
Ri
pj
2.1 Exemples simples d’application
Deux problèmes élémentaires sont présentés pour illustrer
l’application de l’équation de la chaleur et de la loi de Fourier en
régime permanent. Chacun de ces problèmes peut être traduit par
un réseau de résistances thermiques. Sur la base de réseaux analogues de type RC simples, un modèle détaillé apte à décrire en
première approche le comportement thermique d’une machine
complète peut être développé [24].
D 3 460 − 6
(11)
Φ = pj . S
T2
e
x
Figure 5 – Transmission de la chaleur
à travers un isolant de bobinage
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T2
+
–
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2.1.2 Exemple 2. Ailette de carter
Déterminons la répartition de la température en régime permanent dans une ailette d’un carter en alliage d’aluminium (figure 6).
Cette ailette est longue devant son épaisseur e, supposée uniforme
(typiquement L /e > 10). La conductivité thermique élevée de
l’alliage d’aluminium ( λ ≅ 180 W.m–1.K–1) va induire des valeurs
très proches de la température de surface externe du carter et de
celle de la base de l’ailette. Une circulation de fluide au voisinage du
carter assure un coefficient de transfert convectif h, supposé
uniforme sur toute la surface de l’ailette et du carter.
L’établissement du bilan de flux de chaleur sur un élément de
volume de l’ailette conduit à l’équation différentielle [10] :
d 2 T ( x ) hP
S -------------------- + ------- T ( x ) = 0
λ
dx 2
(15)
e (m)
épaisseur de l’ailette,
L (m)
longueur de l’ailette,
P (m)
périmètre de la section de l’ailette,
S (m2) section de l’ailette.
Les conditions aux limites nécessaires à son intégration sont :
en x = 0 T = Tbase, connue,
en x = L T = Tfluide, ou le flux de chaleur est nul ou bien encore le
coefficient de transfert convectif est connu.
Parmi les trois dernières hypothèses, on considère fréquemment,
en pratique, que le flux de chaleur échangé à l’extrémité de l’ailette
est négligeable ; l’intégration de l’équation (15) permet alors
d’établir :
avec
T – T fluide
cosh [ m ( L – x ) ]
----------------------------------= -----------------------------------------T base – T fluide
cosh ( mL )
(16)
En définitive, la liaison thermique analogue entre la surface
externe du carter, quand il est bon conducteur thermique, et le fluide
extérieur peut être représentée par un ensemble de deux résistances thermiques en parallèle, l’une traduisant la contribution des
ailettes et l’autre représentant celle de la surface sans ailette.
2.2 Transfert de chaleur radial en régime
stationnaire dans un stator simplifié
Dans ce paragraphe, on désire calculer la distribution de températures et mettre en évidence les paramètres qui influent sur la température maximale du bobinage dans le cas simplifié où le transfert de
chaleur dans un élément de stator admet une seule direction privilégiée, la direction radiale. Dans un souci de simplification, la conduction suivant l’axe longitudinal du stator n’est pas prise en compte,
bien qu’elle puisse être primordiale, dans le bobinage en particulier.
Pour cela, on considère un stator élémentaire de longueur
unitaire (figure 7) et on admet les aspects suivants :
— l’échange de chaleur via l’entrefer est nul ;
— le bobinage est le siège de dissipation volumique de chaleur
par effet Joule, notée p j ;
— la couronne du stator, constituée d’un paquet de tôles d’acier,
dissipe pf (densité volumique de pertes fer) ;
— on prend en compte l’isolant électrique présent entre le bobinage et ce paquet de tôles ainsi que la résistance thermique surfacique ri-co liée au contact imparfait entre la feuille isolante et ce même
paquet de tôles ;
— le stator comprend également un carter en alliage d’aluminium pourvu d’ailettes refroidies par une circulation extérieure d’air
à la température de référence Tref ;
— le contact entre le carter et la couronne est responsable, là
encore, d’une résistance thermique surfacique rco-ca supplémentaire.
où :
hP
------λS
m =
L=
A partir de là, une relation de la résistance thermique Ra de
l’ailette reliant le flux de chaleur évacué par toute l’ailette à la différence de température entre la base de l’ailette et le fluide peut être
donnée :
1
R a = -------------------------------------------------hPλS tanh ( mL )
(17)
R7
R3 = R4
R5 = R6
R2
R1
Bobinage
Carter
p j dissipation volumique de chaleur par effet Joule
pf densité volumique de pertes fer
Tfluide
e
a stator simplifié
x
T1
T2
,
Rb
,,,
Tbase
+
–
Tfluide
+
–
Figure 6 – Ailette : schéma et résistance
j
T4 R co T5
T3
Ri
p j π L (R 22 – R 21)
Ra
Tref
(pf )
Isolant
L
ext
Rglobale
Couronne
(p j )
Tbase
1m
Ri – co
,
T6
Rco – ca
T7
Rca
R fco
p f π L (R 52 – R 24)
b réseau analogue
ext
Rglobale
Tref
,
+
–
Figure 7 – Élément de stator simplifié et son réseau analogue
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La connaissance de la valeur de la résistance thermique provoquée par le contact imparfait entre deux éléments d’assemblages
est essentiellement d’origine expérimentale. La plage de variation
étendue de ce paramètre ainsi que sa dépendance avec le procédé
de fabrication employé obligent pratiquement à l’identification
systématique de cette valeur pour chaque système étudié. On
donne quelques valeurs typiques au paragraphe 2.4.
— surface carter/air extérieur :
ext
T 7 – T ref = R globale
avec
Intéressons-nous tout d’abord au bobinage. On le considère
comme homogène globalement et siège d’une dissipation uniforme
p j (W.m–3). L’équation de la chaleur (3) s’intègre sur le domaine
considéré en utilisant les conditions aux limites suivantes :
dT
– λ b ------- = 0
dr
r = R1
r = R2
avec
[ p j π L ( R 22 – R 12 ) + pf π L ( R 52 – R 42 ) ]
λca
conductivité thermique de l’alliage
d’aluminium du carter,
λco
conductivité thermique de l’acier des
tôles de la couronne,
λi
conductivité thermique de l’isolant de
bobinage,
rco-ca
(K.m2.W–1)
résistance thermique de contact
surfacique entre la couronne et le
carter,
ri-co
(K.m2.W–1)
résistance thermique de contact surfacique entre l’isolant et la couronne,
T = T2
λb
conductivité thermique du bobinage dans la
direction radiale.
ext
R globale
(K.W–1)
Après intégration de l’équation de la chaleur, on peut calculer, en
particulier, l’écart de température maximal dans le bobinage :
T1 – T2 = p
jπ
L ( R 22
–
R 12 )
R 12
R 

1
---------------------  1 – 2 ---------------------- ln -----2-
2
R 1
4π L λ b 
R 2 – R 12
Si la température maximale T1 dans le bobinage est située ici
naturellement sur le rayon R1, la localisation radiale de ce point
chaud dépend en pratique de la structure du bobinage, de l’importance de l’échange de chaleur vers l’entrefer et vers la dent du stator
et de la répartition des différentes dissipations en particulier.
Pour chacun des domaines et des interfaces du stator, on peut
calculer les écarts de températures suivants :
— isolant de bobinage :
T 2 – T 3 = p j π L ( R 22
résistance thermique globale entre la
surface du carter et l’air extérieur.
La température atteinte par le point le plus chaud du bobinage est
donc accessible par la relation suivante :
T 1 – T ref
R3
R5
R7
ln -----ln -----ln -----R
R
R
R
R
2
ic
4
cc
= p j ( R 22 – R 21) -------------- + ---------- + -------------- + ---------- + -------------62 λi
2 R 3 2 λ co 2 R 5 2 λ ca
1 
+ ----------  1 – 2
4 λb 
R 
 R 21 
ext
- ln -----2- + π LR globale
 ------------------2 – R 2
R 1
R
 2
1
R7
ln -----R 
R
R
 R 42 
1 
cc
ext
- ln -----5- + π LR globale
+ p f ( R 52 – R 42) --------- + -------------6- + ------------  1 – 2  ------------------2
2
R 4
2 R 5 2 λ ca 4 λ co 
 R 5 – R 4
R3
ln -----R2
2 ) ----------------– R1
2π Lλ i
— contact isolant-couronne :
(18)
r i – co
T 3 – T 4 = p j π L ( R 22 – R 12 ) ---------------------2π L R 3
— couronne :
conditions aux limites :
r = R5
T = T5
r = R4
( R 22 – R 12 )
dT
– λ co ------- = p j --------------------------dr
2 R4
R 42
R 

1
- ln -----5-
T 4 – T 5 = p f π L ( R 52 – R 42 ) ------------------------  1 – 2 ---------------------2
2
R 4
4π L λ co 
R5 – R 4
R5
1
+ p j π L ( R 22 – R 12 ) ------------------------ ln -----2π L λ co
R4
— contact couronne-carter :
[
r co – ca
T 5 – T 6 = ---------------------- p j π L ( R 22 – R 12 ) + p f π L ( R 52 – R 42 )
2π L R 5
]
— carter :
R7
ln -----R6
T 6 – T 7 = ------------------------ p j π L ( R 22 – R 12 ) + p f π L ( R 52 – R 42 )
2π L λ ca
[
D 3 460 − 8
]
Exemple : pour un niveau de dissipation figé, évaluons chaque
terme dans un cas réaliste de stator de machine fermée dont le carter
est pourvu d’ailette de 4 mm d’épaisseur et de 60 mm de longueur.
–2 –1
–1
h = 100 W.m–2.K–1
r co
– ca = 1 500 W.m .K
R1 = 0,15 m
r i––1ca
= 300 W.m–2.K–1
R2 = 0,194 m
λb
= 5 W.m–1.K–1
R3 = 0,1943 m
λca
= 180 W.m–1.K–1
R4 = 0,1943 m
λco
= 25 W.m–1.K–1
R5 = 0,24 m
λi
= 0,25 W.m–1.K–1
R6 = 0,24 m
R7 = 0,25 m
Pour ces caractéristiques et par unité de longueur de stator,
l’influence de chacun des paramètres qui le constitue est quantifiée par
l’évaluation de chacune des résistances thermiques établies
précédemment :
R
 R 21 
1
- ln -----2- = 37, 4.10 –4 K.W –1
R b = --------------------- 1 – 2  ------------------2
2
R1
4π L λ b
 R 2 – R 1
R3
ln -----R2
R i = ------------------- = 9, 8.10 –4 K.W –1
2π L λ i
r i – co
R i – co = --------------------- = 27, 3.10 –4 K.W –1
2π L R 3
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 R 42  R 5
1
f = ----------------------- 1 – 2  ------------------- ln ------ = 6, 3.10 –4 K.W –1
R co
2
2
4π L λ co
 R5 – R4 R4
j
R co
,
II
,
III
II
d
10
1,5 ,
,
III
5
r co – ca
R co – ca = --------------------- = 4, 4.10 –4 K.W –1
2π L R 5
R ca
I
20
R5
ln -----R4
= ----------------------- = 13, 4.10 –4 K.W –1
2π L λ co
,,,,
,,,,
,,,,
,
λe / λi
IV
I
,
d
R7
ln -----R6
= ----------------------- = 0, 36.10 –4 K.W –1
2π L λ ca
2
IV
1
ext
R globale
= 21.10 –4 K.W –1
L’application de la relation (18) montre que le carter en alliage
d’aluminium constitue une barrière thermique qui peut être
négligée en pratique. L’ensemble des autres paramètres thermophysiques peuvent tous contribuer à des échauffements notables.
Le bobinage et son isolation sont les principaux responsables des
barrières thermiques pour cet exemple simplifié. L’amélioration du
contact isolant-couronne est plus efficace pour abaisser la température du bobinage que le choix d’un autre isolant. Dans la pratique, il
est d’un grand intérêt pour les machines de puissance élevée d’aller
chercher les pertes à l’endroit où elles prennent naissance, par la
circulation du fluide de refroidissement dans les conducteurs du
bobinage par exemple. Les tôles les meilleures conductrices thermiques sont généralement responsables d’un niveau de pertes fer plus
important pour une utilisation donnée d’une machine ; la
relation (18) montre déjà, malgré la simplification du stator, que le
choix d’une nuance de tôle ne peut pas s’effectuer en regard du seul
quotient pf / λco.
D’une manière plus générale, l’extension de l’étude au stator
complet prenant en compte les dents, sa dimension axiale et
d’éventuels canaux de refroidissement est impossible analytiquement. Une représentation analogue sous la forme d’un réseau
simple de résistances thermiques peut se pratiquer malgré la difficulté d’établir des relations précises pour ces résistances. La modélisation numérique de machines électriques s’appuyant sur la
méthode nodale [17], [24] ou bien sur la méthode des éléments finis
[19], [20] est incontournable pour appréhender précisément les
températures et les voies d’évacuation des dissipations générées
dans un tel système. Un exemple est proposé dans
l’article [D 3 760].
2.3 Représentation d’éléments
hétérogènes
Le bobinage de fils de cuivre imprégnés par de la résine et les
empilements de tôles sont les deux principaux éléments non homogènes d’une machine tournante. Dans le cas particulier de ces
milieux constitués d’éléments ordonnés, l’assemblage résultant
peut être considéré comme un matériau équivalent anisotrope pour
une étude en régime permanent. On déterminera alors dans trois
directions principales privilégiées les valeurs λx , λy , λz de la
conductivité, valeurs constituant la diagonale du tenseur associé.
S’il devient illusoire d’espérer atteindre la température de chacun
des fils de cuivre que comporte le bobinage ou bien de chacune des
tôles des empilements, on peut, par contre, envisager de calculer
d’une manière acceptable le niveau moyen de température d’une
région localisée de ces mêmes éléments.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
d /,
Figure 8 – Conductivité thermique effective radiale l e d’un faisceau
de conducteurs noyés dans un matériau isolant de conductivité l i
en fonction du rapport d ⁄ < pour différentes configurations [9]
2.3.1 Bobinage de fils
Il est généralement constitué de fils de cuivre émaillés, de vernis
d’imprégnation et d’air résiduel ou seulement d’air.
La conductivité équivalente suivant la direction z des fils (λz, b)
peut être appréhendée par la relation suivante :
λ z, b =
∑ ri λi
i
avec
λi
conductivité thermique des constituants i,
ri
proportion volumique des constituants i.
Suivant les directions radiale et angulaire, ce sont les matériaux
isolants qui gouvernent la valeur de la conductivité équivalente
résultante. Pour sa détermination, on peut s’appuyer en première
approche sur les figures 8 et 9.
Malgré tout et déjà pour la seule analyse en régime permanent
d’un moteur, il reste délicat de modéliser le bobinage par un matériau homogène équivalent car, outre la disposition irrégulière des
fils en réalité, le bobinage est, en particulier, le siège de dissipations
non uniformes.
Étudiant deux motifs élémentaires de bobinage correspondant à
une répartition régulière en carré ou en quinconce de fils cylindriques (figure 10), Fang Chen [19] établit les remarques suivantes :
— les deux répartitions de fils amènent des résultats similaires ;
— la présence de vernis d’imprégnation conduit à une valeur de
conductivité thermique équivalente beaucoup plus élevée que celle
du même bobinage non imprégné (rapport de l’ordre de 7 fois pour
la configuration traitée).
Dans le contexte des machines de puissance élevée, la présence
de circulation de fluide au cœur des conducteurs interdit cette
globalisation dans la représentation du bobinage.
2.3.2 Empilement de tôles
La détermination suivant les directions principales d’un empilement peut s’effectuer en considérant un réseau de résistances thermiques disposées en série ou en parallèle suivant la direction
considérée et représentant la contribution de chacune des tôles, de
leur revêtement éventuel ainsi que du contact à leur interface. Dans
la direction portée par le plan des tôles, la valeur de la conductivité
équivalente est très proche de celle de l’acier qui les constitue. Dans
la direction portée par l’épaisseur des tôles, la valeur de la conduc-
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D 3 460 − 9
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,,,,,
,
,,
,,
λe / λi
I
20
II
10
d
,
III
IV
I
I
II
,
IV
5
Asymptotes I et II, III et IV
II
d
IV
III
Groupe de courbes fonction de
la proportion volumique
III
Groupe de courbes
d /,
fonction de d
2
,
Figure 9 – Conductivité thermique effective
radiale l e d’un faisceau de conducteurs noyés
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Proportion volumique des conducteurs ou rapport d x 100
,
dans un matériau isolant de conductivité l i
en fonction de la proportion volumique
d
des conducteurs ou du rapport --- × 100
<
T
T
1
1
2
Cuivre
Émail
Vernis
a contact parfait
2
b contact imparfait
Figure 11 – Transfert à l’interface de deux solides
Figure 10 – Répartitions de fils de cuivre émaillés traités [19]
tivité équivalente est par contre très inférieure et dépend notablement de la qualité de leur interface et donc de la résistance
thermique de contact à cette interface. Le rapport entre ces deux
valeurs varie entre 3 et 25 suivant les situations traitées par les
auteurs [17], [19], [34].
2.4 Interfaces et contacts entre organes
Le comportement thermique à l’interface entre deux éléments
différents est complexe [27]. La différence de température occasionnée dans cette région par les aspérités en contact, les impuretés
résiduelles, l’air emprisonné est principalement représentée comme
l’effet d’une conductance thermique équivalente (figure 11). Les
figures 12 et 13 donnent un large éventail des valeurs admissibles.
D 3 460 − 10
Plus précisément et pour certaines interfaces entre les organes de
machines électriques, on peut compléter ces figures par quelques
valeurs et plages de valeurs de conductances thermiques de contact
surfaciques Gcontact (tableau 2).
Les valeurs dispersées de Gcontact (tableau 2) témoignent de
l’influence importante de la pression exercée à l’interface des
assemblages par les dilatations des organes en exercice, de la rugosité des surfaces avant assemblage, de la nature des matériaux mis
en jeu et également du procédé d’assemblage des organes. Là
encore, la mesure in situ reste donc indispensable à la précision de
ces grandeurs.
2.5 Matériaux : quelques données
Aux températures moyennes de fonctionnement (0 à 200 °C mais
variables d’un élément à l’autre), on pourra admettre les valeurs du
tableau 3.
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20 000
10 000
5 000
10 000
17
5 000
2 000
18
6
1 000
5
2 000
200
500
100
13
16
4
500
1 000
15
12
11
8
10
50 000
Gs (Btu.h–1.ft–2.°F–1)
Gs (W.m–2.K–1)
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14
9
7
50
2
1
3
Gs ~ P 2/3
200
20
100
10
2
5
0,2
0,5
20
1
50
2
100 200
500 1 000
P (lb/in2 ou psi)
5
10
20
50 100
P (bar)
Rugosité (mm) Matériaux interstitiels Température (°C)
Couple de matériaux
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
10
Aluminium
Aluminium
Aluminium
Aluminium
Aluminium
Aluminium
Aluminium
Aluminium
Acier inoxydable
Acier inoxydable
Acier inoxydable
Acier inoxydable
Magnésium
Magnésium
Cuivre
Acier inoxydable/aluminium
Acier/aluminium
Tungstène/graphite
1,2 à 1,7
0,20 à 0,46
0,15 à 0,20
3,0
1,7
0,25
0,15 à 0,20
3,0
1,1 à 1,5
0,25 à 0,38
2,5
2,5
1,3 à 1,5
0,20 à 0,41
0,17 à 0,23
0,76 à 1,65
…
…
vide (10 à 4 mmHg)
vide (10 à 4 mmHg)
vide (10 à 4 mmHg)
air
air
air
plomb
laiton
vide (10 à 4 mmHg)
vide (10 à 4 mmHg)
air
laiton
vide (10 à 4 mmHg)
vide (10 à 4 mmHg)
vide (10 à 4 mmHg)
air
air
air
45
45
45
95
95
95
45
95
30
30
95
95
30
30
50
95
25
130
Figure 12 – Conductance thermique
surfacique Gs de contact pour différents
couples de matériaux et états de surface
en fonction de la pression de contact [9]
1 mmHg = 133,3224 Pa
Tableau 2 – Quelques valeurs et plages de valeurs de conductances thermiques surfaciques de contact
Type de contact
Gcontact
Caractéristiques
W.m–2.K–1
357
400
Contact empilement de tôles du stator-carter
1 428
1 860
Contact empilement de tôles du rotor-cage d’écureuil en alliage d’aluminium
Contact feuille d’isolant de bobinage-empilement de tôles du stator
300
3 400
150
1 100
moteur fermé, 4 kW [35],
carter en fonte
moteur ouvert, 132 kW [17],
carter en alliage d’aluminium
moteur fermé, 30 kW [25],
carter en alliage d’aluminium
moteur fermé, 5,5 kW [51], carter
en alliage d’aluminium
moteur ouvert [47]
moteur ouvert 132 kW [17]
moteur fermé, 30 kW [25]
moteur ouvert, 132 kW [17]
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D 3 460 − 11
Gs (W.m–2.K–1)
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convectif, grandeur indispensable pour décrire les conditions
limites nécessaires au calcul thermique complet d’une machine
électrique. Ce paragraphe essaie de synthétiser les informations et
les relations applicables aux parois d’une machine tournante. L’utilisation des relations appropriées nécessite de connaître au préalable
la vitesse du fluide au voisinage des régions concernées. Pour une
machine dite ouverte, la résolution d’un schéma hydraulique plus
ou moins complexe peut être nécessaire. Dans tous les cas, elle doit
être accompagnée de mesures appropriées.
105
3
1
104
9
5
2
4
3.1 Paramètres caractéristiques
du transfert convectif
8
103
7
Les principaux paramètres sont les suivants.
6
■ Diamètre hydraulique du canal
1110
102
1
10
Couple de matériaux
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Aluminium/aluminium fraisé
Aluminium/aluminium fraisé
Aluminium/aluminium fraisé
Acier/acier fraisé
Acier/acier
Acier/acier rouillé
Acier/acier rouillé
Acier/acier propre
Acier/aluminium
Tôles/tôles parallèles
Tôles/tôles perpendiculaires
Il est défini par :
102
4S
D h = ------P
103
P (bar)
Rugosité (mm)
4,5
3
1,5
7
5,5
2,5
3
3
7,5 à 4,5
…
…
avec
P (m)
périmètre mouillé,
S (m2)
section du canal.
(19)
Dans le cas d’un canal de section circulaire, Dh est égal au
diamètre géométrique de la conduite.
Dans le cas d’un canal de section rectangulaire, on a (figure 14) :
2 ab
D h = ------------a+b
et si a > 10 b, on peut admettre (cas de l’écoulement entre deux
parois parallèles ou entre deux cylindres concentriques et proches
comme un entrefer) :
Dh = 2 b
■ Nombre de Reynolds (ReDh)
Figure 13 – Conductance thermique surfacique Gs
de contact de différents couples de matériaux
en fonction de la pression de contact [3]
Il est utilisé en convection forcée :
V D
ρV D
Re Dh = -------------h = ----------------hν
µ
avec
3. Transfert convectif dans
une machine tournante
L’évaluation des transferts de chaleur dans la structure d’une
machine tournante nécessite de connaître les caractéristiques du
transfert convectif aux différentes parois de cette structure ainsi que
les paramètres du transport de la chaleur dans les canaux de refroidissement. Il s’agit essentiellement des valeurs des coefficients
d’échange convectif, des vitesses ou des débits de fluide, des
propriétés thermophysiques (masse volumique, conductivité thermique, chaleur massique, viscosité dynamique) ainsi que des conditions de référence en température et en pression.
Les technologies développées amènent à s’intéresser, plus particulièrement, aux canaux axiaux ou radiaux présents au stator, entre
le stator et le carter, dans le carter ou au rotor. Il s’agit également de
la région privilégiée de l’entrefer, de l’environnement proche des
têtes de bobines et de l’environnement externe du carter, ventilé ou
non.
Il existe un nombre important de relations permettant d’accéder
aux valeurs locales et moyennes des coefficients d’échange
D 3 460 − 12
(20)
V (m.s–1)
vitesse moyenne du fluide dans le canal,
µ
(Pa.s)
viscosité dynamique,
ν
(m2.s–1) viscosité cinématique,
ρ
(kg.m–3) masse volumique.
La deuxième forme de la relation (20) montre la dépendance du
nombre de Reynolds avec la pression absolue lorsque le fluide est
un gaz ; en effet, ρV se conserve dans le canal.
a
b
D
b
a
b
Figure 14 – Formes simples d’un canal de ventilation
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c
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Tableau 3 – Propriétés thermophysiques de matériaux
Propriétés physiques
Corps
ρ
c
λ
(kg/m3)
(J.kg–1.K–1)
(W.m–1.K–1)
20 °C
0 °C
20 °C
0,5 % C.........................................................................................
7 833
...........
465
1,0 % C.........................................................................................
7 801
...........
1,5 % C.........................................................................................
7 753
...........
1,0 % Cr .......................................................................................
7 865
2,0 % Cr .......................................................................................
7 865
100 °C
200 °C
0 °C
20 °C
100 °C
200 °C
............ ............
55
54
52
48
473
............ ............
43
43
43
42
486
............ ............
36
36
36
36
...........
460
............ ............
62
61
55
52
...........
460
............ ............
54
52
48
45
............ ............ ............
40
40
38,5
37
202
204
206
215
Acier :
0,35 % C, 0,75 % Mn, 0,35 % P, 0,22 % Si................................. ............
...........
Aluminium :
pur ...............................................................................................
2 707
886
896
936
980
3 à 5 % Cu ...................................................................................
2 787
...........
883
............ ............
159
164
182
194
13 % Si.........................................................................................
2 659
...........
871
............ ............
163
164
175
185
9 % Si, 3 % Cu .............................................................................
2 770
...........
960
............ ............
...........
109
............
...........
Cuivre :
pur ...............................................................................................
8 954
381
383
30 % Zn (laiton)...........................................................................
8 522
...........
125
392
403
............ ............
386
386
379
374
...........
111
128
144
67
62
Fer :
pur ...............................................................................................
441
452
73
73
0,25 % Si...................................................................................... ............
7 897
...........
...........
............ ............
489
536
...........
50
0,50 % Si......................................................................................
7 800
...........
............ ............ ............
...........
45
1,00 % Si......................................................................................
7 769
...........
460
............ ............
...........
42
1,25 % Si......................................................................................
7 750
...........
460
............ ............
...........
37
2,00 % Si......................................................................................
7 673
...........
460
............ ............
...........
31
2,75 % Si......................................................................................
7 665
...........
460
............ ............
...........
25
3,75 % Si......................................................................................
7 600
...........
............ ............ ............
...........
20
5,00 % Si......................................................................................
7 417
...........
480
............ ............
...........
19
7 272
...........
420
............ ............
...........
52
1 200
...........
1 250
............ ............
...........
0,15
Fonte :
≈ 4 % C......................................................................................
Isolant :
Isolant de bobinage....................................................................
Émail............................................................................................ ............
...........
............ ............ ............
...........
0,86
1 100
à 1 300
...........
1 250
à 1 700 ............ ............
...........
0,04
à 0,2
Isolant des tôles.......................................................................... ............
...........
............ ............ ............
...........
0,2
Carton ..........................................................................................
...........
...........
0,17
Plastiques ....................................................................................
1 115
1 760
............ ............
Aimant :
Nd - Fe - B fritté .......................................................................... ............
...........
............ ............ ............
...........
6,5
Ferrites isotropes........................................................................ ............
...........
............ ............ ............
...........
5,5
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D 3 460 − 13
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■ Nombre de Grashof (Gr )
Il est utilisé en convection naturelle :
g β <3 δ T
Gr = -----------------------ν2
avec
Num
(21)
40
g
β
δT
(m2.s–1) accélération due à la pesanteur,
30
(K–1)
coefficient d’expansion thermique,
20
(K)
écart de température entre la paroi
et le fluide,
10
<
(m)
hauteur ou diamètre géométrique.
0
Pr = 0
Pr = 2
Pr = 5
Pr = `
Pr = 0,7
3,66
2
■ Nombre de Prandtl (Pr)
4
6 10–2
2
4
6 10–1
2
x+ =
Il est défini par :
µ c
ν
Pr = -----------p- = --λ
a
avec
a (m2.s–1)
cp (J.kg–1.K–1)
(22)
x
R ReDh Pr
Figure 15 – Évolution du nombre de Nusselt moyen
pendant l’établissement thermique et hydraulique
diffusivité thermique,
capacité thermique massique à pression
constante,
λ (W.m–1.K–1) conductivité thermique.
Le nombre de Prandtl ne dépend que des propriétés du fluide et il
présente la particularité d’être pratiquement indépendant de la
température pour l’air.
■ Nombre de Nusselt (NuDh)
Il est défini par :
3.2.1 Régime laminaire (ReDh < 2000)
La caractérisation des transferts convectifs dans la zone d’entrée
est compliquée et de nombreux cas se présentent suivant que le
régime est dynamiquement établi ou non et suivant les conditions
thermiques imposées en paroi. Nous citons un cas d’illustration et
renvoyons à l’article [A 1 540], le lecteur désirant une revue
détaillée.
Soit :
hD
Nu Dh = ----------hλ
(23)
Lm
------- = 0, 0575 Re Dh
Dh
Il permet d’accéder au coefficient d’échange h local ou global.
En écoulement interne, les corrélations adaptées en zone d’entrée
témoignent de la forte variation du coefficient d’échange dans cette
région. Au contraire, ce coefficient est uniforme dans la zone établie
thermiquement. La valeur du nombre de Nusselt dépend bien
entendu de la nature de l’écoulement mais il faut noter que, en
contexte de machine tournante, nous rencontrons essentiellement
des situations où l’écoulement du fluide est en régime turbulent.
D’une manière générale, les corrélations applicables dans le
contexte des machines tournantes sont principalement exprimées
sous la forme :
Nu = a Rem Pr n pour les cas de convection forcée,
et Nu = b (Gr Pr )n pour les cas de convection naturelle
avec a et b des constantes qui dépendent de la configuration
géométrique et mécanique étudiée.
avec
Lm (m)
longueur d’établissement dynamique.
Dans le cas du canal circulaire à paroi isotherme pour lequel le
profil des vitesses est établi et celui des températures est en cours
d’établissement, on peut accéder à la longueur d’établissement
thermique et à la valeur locale du nombre de Nusselt (figure 15) au
moyen des relations suivantes :
L th
-------------------------------- = 0, 05
D h Re Dh Pr
avec
Lth
(m) longueur d’établissement thermique.
Cette valeur peut aller jusqu’à 70 Dh pour l’air et jusqu’à 600 Dh
pour l’eau.
Pour L < Lth :
1⁄3
3.2 Convection forcée en canal fixe
Le nombre de Nusselt local dépend de la distance comptée depuis
l’entrée du canal considéré et est ensuite uniforme dans la zone
établie. Pour un écoulement turbulent, la distance nécessaire à
l’établissement du régime décroît avec le nombre de Reynolds pour
atteindre des valeurs faibles souvent négligées pratiquement sauf
pour les canalisations courtes devant leur diamètre. Au contraire
cette distance croît avec le nombre de Reynolds en régime laminaire.
Pour les fluides usuels pour lesquels le nombre de Prandtl est
voisin ou supérieur à l’unité, le nombre de Nusselt est insensible
aux différentes conditions thermiques imposées à la paroi quand le
régime est turbulent. En régime laminaire par contre, il en dépend
notablement.
D 3 460 − 14
Re Dh Pr
Nu Dh ( x ) = 1, 86 ----------------------x
------Dh
(24)
La valeur en régime établi vaut 3,66 pour ce canal de section circulaire. Le tableau 4 résume quelques valeurs du nombre de Nusselt
atteint en régime établi pour différentes géométries de section de
canal et pour deux cas de conditions thermiques imposées uniformément sur les parois.
3.2.2 Régime turbulent
Fréquemment, la valeur de la longueur d’établissement est faible
devant celle de la longueur totale du canal et toujours bien plus
petite qu’en écoulement laminaire. Aussi pratiquement, on utilise la
valeur asymptotique depuis l’entrée du tube.
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si
Tableau 4 – Valeurs du nombre de Nusselt en conduite
(régime laminaire établi)
Forme de la section
b/a
Nu
ϕp = Cte
Nu
Tp = Cte
2 300 < ReDh < 5 × 106
avec ξ coefficient de perte de charge.
Ce coefficient est accessible grâce aux abaques de Moody [45]
pour les surfaces rugueuses et à l’aide de la relation qui suit, pour
les parois lisses :
ξ = ( 1, 82 lg Re Dh – 1, 64 ) –2
R
......................
4,36
3,66
L
■ Pour ------- < 60 (cas des canalisations courtes), on peut utiliser :
Dh
a
1
3,63
2,98
1,4
3,78
–
2,0
4,11
3,39
4,0
5,35
4,44
8,0
6,60
5,95
∞
8,235
7,54
3,0
2,35
Dh
0, 8
NuDh ( L ) = 0, 036 Re Dh
Pr n  -------- 
L
b
a
b
Plaques parallèles
a
a
......................
1 ⁄ 18
(29)
n vaut 0,3 ou 0,4 suivant que le gaz se refroidit ou se réchauffe et la
valeur 0,5 est conseillée pour l’eau.
3.2.3 Cas particulier : conduite spiralée
Certaines machines « fermées » peuvent être refroidies au moyen
d’une circulation de fluide dans une conduite spiralée présente dans
le carter. La courbure de cette conduite influence l’écoulement du
fluide et par voie de conséquence, le niveau du flux thermique
convecté (figure 16). Gnielinski [15] propose de prendre en compte
ces incidences par les relations suivantes.
a
Le nombre de Reynolds critique (Recr) est accessible par :
d 0, 45
Re cr = 2 300 1 + 8, 6  --------
Dc
L
■ Pour ------- > 60
Dh
Dans le cas du tube lisse circulaire, on dispose de la corrélation
classique de Dittus-Boelter [31].
0, 8
Nu = 0, 023 Re Dh
Pr n
(25)
n = 0,4
gaz réchauffé,
n = 0,3
gaz refroidi.
Pour le cas des liquides, la corrélation de Sieder et Tate [50] prend
plus précisément en compte l’influence de la température :
avec
0, 14
(26)
Les propriétés du fluide sont alors évaluées à la température de
mélange du fluide sauf µp , évaluée à la température de la paroi.
Pour un canal de section rectangulaire, Hay [37] suggère d’utiliser
un diamètre hydraulique modifié, Di , dont la relation est établie en
fonction du diamètre hydraulique accessible par la relation (19) :
2 11
D i = D h --- + ------ f ( 2 – f )
3 24
f = b /a
rapport de forme de la section.
Par ailleurs en contexte de machines électriques, [42] conseille
d’utiliser pratiquement dans le cas de l’eau la relation suivante :
avec
0, 7
Nu = 0, 058 Re Dh
Pr 0, 5
(27)
Cette relation amène à des valeurs du coefficient de transfert
sensiblement plus élevées.
Une relation récente incorpore la contribution de la zone d’entrée
et de la rugosité de la paroi [36] :
Nu Dh
Le diamètre équivalent de courbure (Dc ) est donné par :
H 2
D c = D 1 +  ----------
πD
Si 0,7 < Pr < 100 et ReDh > 2 000
µm
0, 8
Nu = 0, 027 Re Dh
Pr 0, 3  ---------
µp
(30)
( ξ ⁄ 8 ) ( Re Dh – 1 000 ) Pr
D (2 ⁄ 3)
= ----------------------------------------------------------------------------------1 +  ------
 L
( 1 + 12, 7 ( ξ ⁄ 8 ) 0, 5 ( Pr 2 ⁄ 3 – 1 ) )
(28)
En régime laminaire (ReDh < Recr ), la corrélation adaptée pour
calculer la valeur du nombre de Nusselt est la suivante :
d 0, 9
Pr 0, 14
m
Nu = 3, 66 + 0, 08 1 + 0, 8  --------
Re Dh
Pr 1 ⁄ 3  -----------
Dc
Pr p
(31)
où l’exposant m affecté au nombre de Reynolds se calcule avec la
relation suivante :
d 0, 194
m = 0, 5 + 0, 2903  --------
Dc
En régime turbulent (pour ReDh > 2,2 × 104), le nombre de
Nusselt est corrélé par :
( ξ ⁄ 8 ) Re Dh Pr
Pr 0, 14
Nu = ----------------------------------------------------------------------  -----------
1 + 12, 7 ξ ⁄ 8 ( Pr 2 ⁄ 3 – 1 ) Prp
(32)
d 0, 5
0, 3164
avec ξ = ------------------- + 0, 03  --------
.
 Dc 
0, 25
Re Dh
Dans la plage de transition, Gnielinski [15] propose d’interpoler
linéairement entre les valeurs du nombre de Nusselt correspondant
à la valeur du nombre de Reynolds critique et celle correspondant à
2, 2 × 10 4 .
3.2.4 Remarques complémentaires
Les corrélations citées sont établies pour des situations expérimentales où les conditions d’entrée du fluide dans les canaux considérés sont soignées et en particulier où la vitesse du fluide est
uniforme. Dans une machine tournante, ces conditions sont rare-
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D 3 460 − 15
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Schlunder [11] propose plutôt de se référer au tube circulaire de
diamètre hydraulique identique :
— pour la paroi intérieure
d
ri
Nu = Nu tube 0, 86  ----- 
re
– 0, 16
(34)
— pour la paroi extérieure
r i 0, 6
Nu = Nu tube 1 – 0, 14  ----- 
re
H
(35)
3.3.2 Entrefer, siège d’un écoulement de rotation
3.3.2.1 Entrefer lisse
D
L’écoulement et les transferts de chaleur sont gouvernés par le
nombre de Taylor [52] :
Figure 16 – Conduite spiralée
ment rencontrées et résultent de l’environnement mécanique et
géométrique amont. Le coefficient d’échange convectif peut être
augmenté dans cette zone d’entrée et, pour des canaux de faible
longueur (quelques diamètres hydrauliques), ces corrélations minorent largement la réalité. Seules des expérimentations dédiées
permettent alors d’évaluer le niveau des échanges, si nécessaire.
Par ailleurs, des canaux radiaux au stator (et également au rotor)
sont souvent aménagés pour des machines de puissance élevée. La
rotation influence en majorant également le niveau des transferts
dans ces canaux. Cet aspect est délicat et très dépendant de
chacune des configurations à traiter. Nous renvoyons les lecteurs
intéressés à la référence [41], par exemple, pour en obtenir une illustration.
ω 2 rm e 3
Ta = ---------------------ν 2 Fg
e (m)
largeur de l’entrefer,
rm (m)
rayon logarithmique moyen : rm = e/ln(re /ri ),
ω (rad.s–1) vitesse angulaire.
Fg est un facteur géométrique, voisin de 1 pour un entrefer étroit,
défini par l’expression :
avec
re + ri
π4
Fg =  ---------------------  --------------- 
1 697 P
2 ri
e
e –1
avec P = 0, 0571 1 – 0, 652  -----  + 0, 00056  1 – 0, 652  -----   .
 ri 

 ri  
Si les surfaces du stator et du rotor sont lisses, les transferts de
chaleur s’effectuent par conduction pure dans le fluide jusqu’à une
valeur critique du nombre de Taylor voisin de 1 700. La vitesse de
rotation n’influence pas le coefficient d’échange :
3.3 Convection forcée en espace
annulaire étroit
si e ⁄ r i → 0
On distingue globalement trois types principaux de situation :
— lorsque l’espace annulaire est bordé par des parois fixes ; il
s’agit de l’espace pouvant être aménagé entre le carter et l’empilage
du stator pour mieux refroidir celui-ci ou bien de l’entrefer axial
d’une machine au repos mais ventilé à l’aide d’un ventilateur
indépendant ;
— lorsque l’espace annulaire est bordé par une paroi mobile en
rotation ; il s’agit alors, classiquement, de l’entrefer axial de la
machine formé par les parois du stator et du rotor. Deux situations
sont alors abordées suivant que cette région est le siège d’un écoulement axial combiné à l’effet de la rotation (machine ouverte) ou
bien d’un seul écoulement de rotation résultant de l’entraînement
par le rotor (machine fermée).
3.3.1 Espace annulaire à parois fixes
Nous nous intéressons au seul cas où le régime d’écoulement est
turbulent.
On peut alors utiliser la relation (25) modifiée de la manière
suivante [13] :
0, 8
Nu = 0, 023 Re Dh
Pr 0, 4 ( r e ⁄ ri ) 0, 14
avec
re (m)
ri (m)
D 3 460 − 16
rayon extérieur,
rayon intérieur.
(36)
(33)
h 2e
Nu Dh = ------------- = 2
λ
(37)
Un nombre important de machines « fermées » de faible puissance appartiennent à cette première catégorie.
Exemple : prenons le cas d’un moteur « fermé » dont le rotor présente un diamètre extérieur de 0,1 m, l’entrefer une largeur de 0,5 mm
et qui tourne à 1 500 tr/min. Le fluide est de l’air dont la température
est voisine de 100 °C. Le nombre de Taylor vaut alors 313.
On remarquera que la part du transfert radiatif dans le transfert global entre le stator et le rotor peut avoisiner ici 20 %.
Au-delà de cette valeur du nombre de Taylor critique, des structures s’organisent dans l’écoulement principal sous forme de paires
de tourbillons et favorisent le transfert entre les deux parois. Le
transfert de chaleur croît alors avec la vitesse de rotation. Le nombre
de Nusselt peut être évalué à l’aide des deux corrélations suivantes
[28] (figure 17) :
— pour 1 800 < Ta < 12 000 :
Nu Dh = 0, 128 Ta 0, 367
— pour 12 000 < Ta < 4 ×
10 6
(38)
:
Nu Dh = 0, 409 Ta 0, 241
(39)
Pour une machine « rapide » (N > 10 000 tr/min), la valeur du
nombre de Taylor peut dépasser la limite supérieure de la corrélation précédente. Bouafia [29] constate expérimentalement un
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Nombre de Nusselt
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Rea =
100
VDh
ν
Écoulement
turbulent
Nu = 0,128 (Ta)0,367
10
Nu = 2
Écoulement
laminaire
Nu = 0,409 (Ta)0,241
1
102
Laminaire
Écoulement turbulent
avec tourbillons
Écoulement laminaire avec tourbillons
103
104
105
106
Nombre de Taylor
Écoulement
laminaire
avec tourbillons
Figure 17 – Évolution du nombre de Nusselt
avec le nombre de Taylor en entrefer lisse [28]
0
Ta critique
Ta =
niveau de transfert accru par rapport à une estimation tirée d’une
extrapolation de la corrélation (39). Cette augmentation est, par
exemple, de 25 % pour Ta valant 1 × 107 et pour un rapport de forme
e/rm = 0,045.
ω2 r m e 3
ν2 Fg
Figure 18 – Représentation schématique des frontières
entre les différents régimes d’écoulement dans un espace annulaire
3.3.3 Entrefer, siège d’un écoulement combiné
3.3.2.2 Entrefer encoché
Plusieurs auteurs [18], [32], [39], [40] ont effectué une analyse
expérimentale pour mesurer l’influence de la présence au stator
ou/et au rotor des ouvertures d’encoches ou d’espaces interpolaires
de taille plus importante. Il en ressort quelques appréciations qualitatives mais pas de relation générale.
■ Pour une faible vitesse de rotation telle que Ta < Tacr , le niveau
de transfert global entre les deux parois n’est pas ou est peu affecté
par les ouvertures d’encoches même si bien souvent la surface
léchée par le fluide en fond d’encoche est isolante. Dans le cas
d’espace interpolaire, l’influence est globalement plus marquée et
plus encore si ces espaces sont situés au rotor. Elle sera encore plus
notable en présence simultanée d’espaces interdentaire et interpolaire contribuant au brassage du fluide [18]. Le rôle des transferts
radiatifs peut être accru à mesure que ces cavités présentent des
grandes dimensions par rapport à la largeur de l’entrefer en particulier. Mentionnons qu’ils tendent à homogénéiser les températures et les flux de chaleur pour chacune des parois.
■ Pour une vitesse de rotation telle que Ta > Tacr , les ouvertures
favorisent systématiquement le niveau du transfert relativement à
l’entrefer lisse associé. L’amélioration des transferts dépend du
nombre et des paramètres géométriques de ces encoches, de leur
localisation (au rotor et/ou au stator) et de la vitesse de rotation.
Selon Gardiner [32], leur présence au rotor peut augmenter jusqu’à
50 % les transferts pour une valeur du nombre de Taylor supérieure
à 1 × 105. Pour cette gamme de vitesse de rotation, la participation
des transferts radiatifs devient négligeable.
■ Dans le cas d’un stator pourvu de 48 encoches profondes débouchant sur un alésage de 290 mm de diamètre et pour de l’air, Bouafia [29] propose les corrélations complémentaires suivantes :
— pour 6 000 < Ta < 1,4 × 106 :
Nu Dh = 0, 264 Ta 0, 3
(40)
— pour 1,4 × 106 < Ta < 2 × 107 :
Nu Dh = 0, 058 Ta 0, 4
(41)
Pour cette configuration, l’écart entre les situations avec et sans
encoches varie entre 5 % et 86 % quand la valeur du nombre de
Taylor évolue entre 104 et 107.
La figure 18 montre le rôle stabilisant d’un faible débit axial : le
régime de transfert en conduction pure s’effectue pour une plage de
vitesse de rotation plus étendue qu’en son absence. L’objectif reste
malgré tout, de favoriser les échanges entre les parois et le fluide et
donc d’assurer un débit garantissant un régime d’écoulement turbulent et caractérisé par une valeur du nombre de Reynolds axial supérieure à 2 300. Dans ce cas, les résultats des travaux les plus
significatifs applicables au contexte des machines tournantes
s’appuient dans leur présentation, sur le nombre de Reynolds
effectif Reeff . Celui-ci est défini à partir d’une vitesse effective tenant
compte de l’effet des deux cisaillements axial et tangentiel :
V eff e
Re eff = -------------ν
(42)
V a2 + α ( ωr i ) 2 .
Le coefficient de pondération α, qui témoigne du poids de la rotation vis-à-vis de l’écoulement axial, prend une valeur étroitement
liée à la configuration géométrique abordée.
Pour un entrefer de grande longueur (L > 50 e), Bouafia [29]
propose de retenir les corrélations du nombre de Nusselt moyen qui
suivent :
— à la paroi du rotor :
avec V eff =
0, 8
Nu e = 0, 025 Re eff
(43)
— à la paroi du stator :
0, 7
Nu e = 0, 046 Re eff
si 1,1 ×
104
< Rea < 3,1 ×
avec
V
Re a = -----e- , nombre de Reynolds axial,
ν
104
et 500 < Ret < 3,1 ×
(44)
104
ωr i e
Re t = ------------- , nombre de Reynolds tangentiel.
ν
Le coefficient α est voisin de 0,5 à la paroi du rotor et vaut 0,25
pour celle du stator. Selon Grosgeorge [21], il atteint 0,8 au rotor
pour un entrefer de plus faible longueur (L = 32 e). Cet auteur
propose la relation suivante :
,8
Nu Dh = 0, 023Ψ ( Re a ) Re 0eff
Pr 1 ⁄ 3
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(45)
D 3 460 − 17
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avec
Ψ ( Re a ) = 0, 16 Re a0, 175
si
0,82 < Ψ (Rea) < 0,95.
si 4 × 103 < Raω ReDh Pr < 108 et 0,7 < Pr < 104
Pour un entrefer pourvu d’encoches débouchantes au stator ou/et
au rotor, il existe trop peu de résultats de travaux – et en tout cas
trop dépendants chaque fois des géométries étudiées – pour nous
permettre de citer ici des relations générales applicables aux
machines.
3.4 Convection forcée
en canal rotorique axial
Le niveau des transferts est fortement tributaire des conditions
d’entrée si la longueur de ces canaux est faible (L < 20 Dh). Il dépend
de la vitesse axiale du fluide et de la vitesse de rotation du rotor.
Dans le cas des machines pour lesquelles l’écoulement est turbulent, on peut évaluer le niveau de transfert au moyen des relations
qui suivent. Ces relations ont été établies grâce à des maquettes qui
respectent les véritables conditions d’entrée d’un moteur (moteur
asynchrone à cage de 132 kW [16]), et non pas en guidant le fluide
jusqu’à l’ouverture du canal.
avec Raω (nombre de Rayleigh) mesurant ici l’importance relative
de la poussée centrifuge et des forces visqueuses :
Hω 2 β δ T D h3
- Pr
Ra ω = ---------------------------------ν2
(50)
L’écoulement de fluide dans les cavités situées aux extrémités des
machines est complexe. Il dépend de la distribution globale du débit
entre les divers canaux axiaux pour les machines ouvertes, de
l’entraînement par les parois mobiles, des obstacles que constituent, par exemple, d’éventuelles ailettes au rotor, des têtes de
bobines... Ces dernières sont cruciales dans le comportement thermique d’une machine car elles sont à la fois le siège de dissipations
importantes et remarquablement accessibles par le fluide.
Une corrélation simple dans sa formulation est donnée par [46] :
Nu = K1 Re0,8
(51)
si 25 000 < Re < 125 000
En absence de rotation et pour de l’air :
0, 774
Nu 0 = 0, 0215 Re Dh
(46)
Relativement à la relation précédente, la rotation du rotor est
appréciée par :
Nu ω = Nu 0 ( 1 + 0, 46 Ro –1, 24)
(47)
0,59 < Ro < 5,9, qui correspond à une vitesse de rotation de
1 500 tr/min,
3 000 < ReDh < 25 000
avec Ro, le nombre de Rossby, rapport entre la vitesse V du fluide
dans le canal et la vitesse de rotation de celui-ci :
V
Ro = ----------ω H
avec
(49)
3.5 Convection forcée au voisinage
des têtes de bobines
Le refroidissement du rotor d’une machine de puissance
moyenne ou élevée (à partir de quelques kW) peut être efficacement
amélioré par la circulation de gaz dans des canaux axiaux, généralement de section circulaire.
si
Nu ω = Nu 0 [ 0, 262 ( Ra ω Re Dh Pr ) 0, 173 ]
(48)
H
(m)
excentricité de canal (figure 19),
V
(m.s–1)
vitesse débitante du fluide,
ω
(rad.s–1) vitesse de rotation angulaire du rotor.
Si le débit de fluide est faible et implique que l’écoulement reste
laminaire, les forces centrifuges peuvent induire un écoulement
secondaire dans les canaux dont l’effet doit être pris en compte lors
de l’évaluation du nombre de Nusselt. Wood [53] propose alors la
relation suivante :
K1 varie entre 0,031 et 0,040 pour les différentes géométries abordées par l’auteur.
A partir de mesures expérimentales, Hay donne une cartographie
du coefficient d’échange au voisinage de ces têtes de bobines
(figure 20). La dépendance de ce coefficient est à la puissance 0,78
de la vitesse du fluide. Hay mesure également l’influence d’un guide
favorisant le passage de l’air au voisinage des têtes de bobines.
Trois références peuvent également être consultées pour :
— d’une part, dégager l’ordre de grandeur et la répartition de la
valeur de ce coefficient à la surface des chignons d’un moteur asynchrone ouvert de 132 kW [17] ;
— d’autre part, apprécier l’influence de la « porosité » des chignons d’un moteur fermé sur la répartition des vitesses d’air dans
cette région [43] ;
— enfin, mesurer l’effet de la vitesse de rotation du rotor, d’obstacles et d’ailettes sur la valeur de ce coefficient d’échange au niveau
des chignons d’une machine ouverte [49].
283
261
360
Entrée air
134
139
184
110
135
62
25
23
74
129
124
141
106
104 Sortie air
124
Cache
Guide
468
469
802
V
109
103
90
D
H
ω
Figure 19 – Schéma du canal en rotation
D 3 460 − 18
273
247
335
Base
Guide
Guide + cache
Figure 20 – Coefficients d’échange convectif
au niveau des têtes de bobines [38]
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157
137
143
_______________________________________________________________________________ REFROIDISSEMENT DES MACHINES ÉLECTRIQUES TOURNANTES
En définitive, ces exemples sont difficilement transposables car,
en réalité, le coefficient d’échange convectif est influencé par de
nombreux paramètres et par différents aspects du processus de
fabrication. On peut citer la forme globale des têtes de bobines, la
qualité de leur surface (revêtement isolant sur les fils...), leur niveau
« d’aération », la direction de l’écoulement en amont, la position
respective des autres organes voisins mobiles et fixes, et d’autres
encore qui font que finalement le support expérimental est, là plus
qu’ailleurs, indispensable pour compléter les quelques informations
disponibles et les approches numériques envisageables.
Écoulement secondaire
R
Plaque opposée
Disque tournant
ω
3.6 Relations et remarques
complémentaires
e
Figure 21 – Disque tournant en espace clos
3.6.1 Convection naturelle
Il s’agit, a priori, d’un mode de transfert mineur dans notre
contexte qui entraîne de faibles performances de transfert, comparables à celles occasionnées par le transfert radiatif aux températures usuelles rencontrées. Rarement nécessaire pour les machines
tournantes car ce mode de transfert est à prendre en compte
uniquement dans le cas d’une machine échauffée et à l’arrêt ou pour
la paroi externe d’un carter qui ne bénéficie pas de ventilation extérieure, le lecteur intéressé peut se reporter à l’article [A 1 540] pour
y trouver les corrélations principales disponibles. Mentionnons que,
là encore, le confinement des parois convectantes empêche une
application directe précise des corrélations existantes.
1,4
Nu/Nu`
1,2
1
0,8
3.6.2 Convection forcée à la surface
d’un carter à ailettes
0,6
Si l’écoulement de fluide est parallèle aux ailettes du carter à
l’origine de son parcours, on peut considérer le cas d’un écoulement
en canal de section rectangulaire ou celui d’un écoulement le long
d’une plaque plane [A 1 540] suivant la valeur de la distance qui
sépare deux ailettes successives. Mais, en réalité, le ventilateur
conduit à un écoulement différent avec en particulier une composante radiale tendant à éjecter le fluide du carter, défavorable au
transfert de chaleur – c'est là une difficulté technique importante –,
et une composante angulaire et un niveau de turbulence initial
plutôt favorables aux échanges. Si un « capotage » approprié limite
l’éjection du fluide avant la fin de son parcours, l’utilisation des
corrélations classiques applicables aux conduites peut s’envisager,
mais on minorera le niveau des transferts. Dans le cas contraire, une
part importante de la paroi du carter n'est soumise qu'aux transferts
radiatifs et à la convection naturelle.
3.6.3 Convection forcée à la surface
d’un disque tournant en espace clos
Re = 4,45 x 105
Re = 2,96 x 105
0,4
Re = 1,19 x 105
Re = 0,296 x 105
0,2
0
0,01
Re = 0,146 x 105
0,02
0,05
0,1
0,2
0,5
1
e /R
Figure 22 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Reynolds
et du rapport géométrique e /R [6]
Tableau 5 – Coefficients de la corrélation (52)
En première approche, cette situation correspond aux faces latérales du rotor (figure 21). Kreith [6] référence ses résultats expérimentaux concernant le nombre de Nusselt (figure 22) par rapport à
la situation du disque tournant dans un espace libre :
4 a1
Nu ∞ = ------------------- Re b 1 Pr b 2
2 b1 + 1
(52)
ω R2
Re = ------------ν
(53)
avec
Domaine
d’application
Condition
de paroi
a
b1
b2
Régime
d’écoulement
Re < 1,8 × 105
0,41
0,5
0,44
laminaire
Re > 2,5 × 105 Tp uniforme 0,024
ϕp uniforme 0,031
–
0,8
0,6
0,8
0,6
turbulent
3.7 Fluides : quelques données
Nu∞
nombre de Nusselt du disque en espace libre,
a1, b1, b2 coefficients expérimentaux (tableau 5).
Le tableau 6 fournit les valeurs des constantes physiques de
fluides à une température proche de celle rencontrée à l'entrée du
système de refroidissement.
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D 3 460 − 19
REFROIDISSEMENT DES MACHINES ÉLECTRIQUES TOURNANTES ________________________________________________________________________________
— la viscosité dynamique et la conductivité thermique sont indépendantes de la pression dans la gamme des pressions utilisées. On
peut utiliser les relations de Sutherland :
Tableau 6 – Constantes physiques des fluides
de refroidissement, à une température de 40 °C
Nature du fluide
Air
Hydrogène
Eau
105
P ......... (en
Pa)
1
3
1
5
ρ ..............(kg.m–3) 1,112 8 3,338 5 0,077 36 0,386 8
992,3
µ .....(en 10–6 Pa.s)
19,02
9,24
655
ν ..(en 10–6 m2.s–1) 17,09
5,70
119,4
23,89
0,66
λ ......... (W.m–1.K–1)
0,027 0
0,185 3
0,634
cp........(J.kg–1.K–1)
1 006
14 315
4 167
ρcp...... (J.m–3.K–1) 1 119
3 358
1 107
5 537 4 135 000
Pr..........................
0,709
0,714
4,31
La variation notable de ces valeurs avec la température et, éventuellement, avec la pression est illustrée dans le tableau 7 pour l’eau
et peut être traduite par les relations qui suivent pour l'air et
l'hydrogène :
— la masse volumique s’écrit :
T0 P
ρ ( P, T ) = ρ ( P 0, T 0 ) ---------TP 0
(°C)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
T
(°C)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
D 3 460 − 20
ρ
µ
ν
(kg.m–3)
999,9
999,6
998,2
995,6
992,3
988,0
983,2
977,7
971,8
965,3
958,3
(en 10–6 Pa.s)
1 790
1 300
1 006
799
655
550
472
408
358
314
281
(en 10–6 m2.s–1)
1,790
1,301
1,008
0,803
0,660
0,557
0,480
0,417
0,368
0,326
0,293
λ
c
Pr
(W.m–1.K–1)
0,522
0,577
0,599
0,618
0,634
0,649
0,659
0,668
0,675
0,680
0,683
(J.kg–1.K–1)
4 218
4 188
4 176
4 170
4 167
4 172
4 172
4 180
4 188
4 197
4 205
13,68
9,44
7,03
5,39
4,31
3,54
2,99
2,55
2,22
1,94
1,73
Cλ + T0 T 3 ⁄ 2
λ (T ) = λ ( T 0 ) -------------------  ------ 
Cλ + T T0
(56)
On peut considérer que la capacité thermique massique de l'air et
celle de l'hydrogène sont indépendantes de la pression et de la
température sur les plages usuelles de travail rencontrées en
machine électrique.
Tableau 8 – Constantes physiques pour l’air et l’hydrogène
à P0 = 105 Pa et T0 = 0 °C
Constantes
ρ0
T
(55)
avec les valeurs de ρ0, µ0, λ0 et des constantes Cµ et Cλ du tableau 8.
(54)
Tableau 7 – Constantes physiques pour l’eau
Cµ + T0 T 3 ⁄ 2
µ (T ) = µ ( T 0 ) -------------------  ------ 
Cµ + T T0
Air
...........................................(kg.m–3)
µ0 ..................................(en
10–6
Pa.s)
λ0 .....................................(W.m–1.K–1)
1, 275 9
17,09
0,0242
Hydrogène
0,088 69
8,4
0,168
Cµ .................................................. (°C)
387
344,7
Cλ .................................................. (°C)
398
353
4. Conclusion
Les informations présentées dans cet article visent essentiellement à renseigner le lecteur dans une phase préparatoire de dimensionnement de machine.
Une analyse du comportement thermique d'une machine électrique tournante passe aujourd'hui par une modélisation numérique
de l'ensemble du système et des phénomènes qui y opèrent. Le
niveau de température atteint par les éléments critiques, l'isolant de
bobinage en particulier, dépend des sources de chaleur générées
dans ce système et de la technique de refroidissement. Il est donc a
priori nécessaire de déterminer simultanément les dissipations
générées et les températures qui en sont les conséquences en intégrant dans cette démarche les procédés de refroidissement. Pour
certaines applications concernant les machines ouvertes en particulier, la difficulté de cette tâche amène à découpler les approches
et à procéder par étapes successives. Le calcul thermique complet
constitue une de ces étapes.
Il va sans dire, par ailleurs, que la diversité et la complexité
géométrique des systèmes qui peuvent être abordés obligent à faire
fréquemment appel à des expérimentations complémentaires.
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