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PCSI 2
Machines thermiques
MACHINES THERMIQUES
I La centrale nucléaire produit de l'électricité par l'intermédiaire d'un alternateur couplé aux turbines à vapeur T 1 et T2. Le fluide
caloporteur est de l'eau. A la sortie des turbines, l'eau se refroidit dans le condenseur (l'échange d'énergie thermique peut se faire avec
l'eau pompée dans une rivière).
Dans l'évaporateur E', les échanges thermiques peuvent s'effectuer avec un circuit primaire d'eau qui récupère l'énergie thermique
libérée au cœur du réacteur par la fission de l'uranium enrichi.
L'eau du circuit secondaire décrit le cycle représenté sur la figure ci-dessous :
* Les transformations A → B et C → D sont supposées adiabatiques réversibles et correspondent au passage dans les turbines
haute pression (T1) et basse pression (T2).
* Entre les deux turbines, l'eau subit une surchauffe B → C en repassant dans l'échangeur E'.
On note T, P, x, température, pression et titre en vapeur (soit x =
m vap
).
mtotale
On désigne de plus par h et s les enthalpie et entropie massiques du fluide.
On prendra h = 0 et s = 0 pour le liquide dans l'état Po = 1 atm et To = 273 K (0 degré Celsius). On négligera les variations de volume
de l'eau liquide avec la température et la pression.
€
On donne :
θA = 287 °C et PA = 70 atm (θ : température Celsius)
PB = 10 atm; θC = 270 °C; PD = 0,05 atm
Cl = 4,18 kJ.K-1.kg-1 (capacité thermique de l'eau liquide, supposée constante).
1) Déterminer les expressions de hE, hF, sE et sF en fonction de Cl, TE, TF et To.
2) Dresser un tableau où figurent les valeurs de h, s, θ, P et x pour les différents points A, B, C, D, E, F. A cet effet, on s'aidera du
diagramme de Mollier présenté en fin d'énoncé (h est exprimé en kJ.kg-1 et s en kJ.K-1.kg-1).
3) Calculer les valeurs numériques des énergies thermiques "reçues" par le fluide : qFA, qBC, qDE et qEF.
En déduire le travail par unité de masse w1 fourni par la centrale au cours d'un cycle, l'énergie thermique q1 fournie par la source
w
chaude pour 1 kg de fluide, le rendement thermique η = 1 .
q1
4) Exprimer le travail utile wu produit par les turbines lorsqu'elles sont traversées par 1 kg de fluide. Comparer wu et w1.
5) La puissance électrique de la centrale est P = 1300 MW. Quel doit être la valeur du débit massique de fluide dans le circuit
secondaire ?
€
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Réponse : hE = 146 kJ.kg-1; hF = 1200 kJ.kg-1;sE = 0,5 kJ.K-1.kg-1; sF = 3 kJ.K-1.kg-1;
hA = 2770 kJ.kg-1; hB = 2440 kJ.kg-1; hC = 2980 kJ.kg-1; hD = 2140 kJ.kg-1; sA = sB = 5,8 kJ.K-1.kg-1; sC = sD = 7 kJ.K-1.kg-1;
θB = 180 °C; θD = θE = 35 °C; θF = 287 °C; PC = 10 atm; PE = 0,05 atm. PF = 70 atm; xA = 1; xB = 0,84 ; xD =0,825; xE = xF = 0;
qFA = 1570 kJ.kg-1; qBC = 530 kJ.kg-1; qDE = -1990 kJ.kg-1; qEF = 1050 kJ.kg-1; w1 = 1160 kJ.kg-1; q1 = 3150 kJ.kg-1;
η = 37 %; wu = w1; Dm = 1120 kg.s-1.
II Pompe à chaleur
Les tableaux A et B, en fin d'énoncé, précisent des valeurs numériques indispensables au traitement de cette partie : enthalpie
massique, entropie massique et volume massique.
Une pompe de chaleur contient un fluide en écoulement stationnaire, de débit massique Dm, et qui suit un cycle de transformations
ABCD, où l'on néglige les variations locales d'énergie cinétique et les effets de la pesanteur. Par unité de temps, ce fluide absorbe un
transfert thermique Q˙1 > 0 au niveau de l'évaporateur, au travers des parois de l'échangeur n°1; au cours d'un cycle de la machine,
l'unité de masse du fluide reçoit un transfert thermique q1 , lors de son passage de A en B. Le fluide cède par unité de temps un
transfert thermique Q˙ > 0 au niveau du condenseur, au travers des parois de l'échangeur n°2; au cours d'un cycle de la machine,
2
l'unité de €
masse du fluide cède un transfert thermique q2 , lors de son passage de C en D. Entre les points B et C, au niveau du
compresseur, le fluide reçoit par unité de temps€un travail W˙ > 0 ; au cours d'un cycle de la machine, l'unité de masse du fluide reçoit
un travail w, lors de son passage de B en C. Enfin on suppose que, lors de son passage dans le détendeur, de D en A, le fluide ne reçoit
€
ni transfert thermique ni travail, sa pression passe de P2 à P1 (l'unité de masse du fluide ne reçoit donc ni transfert thermique ni travail
€
autre que celui des forces de pression dans le détendeur).
€
Les échanges sont nuls en dehors des parties actives.
On aura remarqué le choix de définir tous les échanges énergétiques par des nombres positifs.
1) Expliquer pourquoi Q˙1 = Dm q1 ; Q˙ 2 = Dm q2 = PC (puissance de chauffe) et W˙ = Dm w .
Entre deux points E et S du circuit, les enthalpies massiques du fluide sont désignées respectivement par h(E) et h(S). Le fluide reçoit
par unité de masse un travail utile (c'est-à-dire ne comprenant pas le travail des forces de pression) wES et un transfert thermique qES.
€
€
€
2) Montrer, en précisant les hypothèses, que h(S) - h(E) = wES + qES.
Figure 1 : schéma de principe d'une pompe de chaleur
Échangeur : récipient où s'opère un transfert thermique entre un fluide chaud et un fluide froid. Le fluide frigorifique est un Fréon,
désigné par F22 (nom déposé vers 1950; c'est un fluide dérivé fluoré et chloré du méthane ou de l'éthane, à bas point d'ébullition, ce
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qui justifie son utilisation comme fluide frigorifique).
Condenseur : partie de la machine où, par refroidissement, le fluide passe de l'état gazeux à l'état liquide. Aux points C et D, la vapeur
est saturée.
Evaporateur : partie où se vaporise le fluide frigorigène (ou frigorifique).
Q˙
q
Le coefficient d'efficacité de la pompe de chaleur est par définition : e = ˙2 = 2 ( Q˙1 pris à un thermostat de température T1 et Q˙ 2
w
W
cédé à un thermostat de température T2). La valeur maximale théorique de cette efficacité est notée eo.
3) Exprimer eo en fonction de T1 et T2; préciser les conditions pour lesquelles
cette efficacité peut être atteinte.
€
€
€
Attention : on rappelle que les transferts énergétiques w, q1 et q2 ne sont pas algébriques et sont donc tous définis positifs.
Application numérique : T1 = 273 K et T1 = 308 K.
Dans le condenseur 2, le fluide évolue à pression constante P2 en se refroidissant, puis se condense totalement à la température T2.
Dans le détendeur, F22 évolue adiabatiquement (et sans travail, hormis celui des forces de pression) de (P2, T2) en D à (P1, T1) en A,
subissant ainsi une vaporisation partielle dont le taux de transformation, rapport de la masse transformée à la masse initiale est x (0 ≤ x
≤ 1).
Dans l'évaporateur, on observe une vaporisation en principe totale sous la pression P1 et à la température T1. A la sortie du
compresseur (point C), le fluide évolue à pression constante jusqu'en Co, puis se condense totalement jusqu'en D.
Les bilans énergétiques des questions qui viennent se rapporteront à des grandeurs massiques ou, si l'on préfère à 1 kg de Fréon
décrivant le cycle ABCD, partiellement représenté dans la figure ci-dessus.
4) En se référant au tableau A, en fin d'énoncé, calculer le taux xA.
5) Calculer q1, transfert thermique reçu entre A et B par unité de masse du fluide ayant traversé l'évaporateur en y ayant subi une
vaporisation totale.
On admet que le Fréon subit une compression adiabatique et réversible, donc isentropique, dans le compresseur, le faisant passer de
l'état de vapeur saturée (B), à l'état gazeux (C).
6) Calculer (tableaux A et B) la température θc (en degrés Celsius) à la sortie du compresseur et le travail massique wBC reçu de ce
dernier. Comparer T1, T2 et Tc.
7) Calculer l'efficacité e puis le débit massique Dm du Fréon, pour une puissance de chauffe de 15 kW.
A la suite d'une variation de αe (figure 1), la vaporisation en B, à la sortie de l'évaporateur, n'est plus totale : le taux de transformation
du liquide en vapeur vaudrait xB < 1 au point B.
8) Toujours sur l'hypothèse d'une évolution isentropique dans le compresseur, calculer xBo au point Bo pour obtenir en Co, à la
sortie du compresseur, la vapeur saturante sèche à la pression P2 et à la température T2 (le cycle considéré dans cette question est
ABoCoD, avec vaporisation partielle de A en Bo et évolution isentropique entre Bo et Co).
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Tableau A : enthalpie massique (h) et volume massique (v) du Fréon
PVS : pression de vapeur saturante (1 bar = 105 Pa)
Température
PVS
Liquide saturé
(l indice du liquide)
hl en kJ.kg-1
vl en m3.kg-1
200,00
0,778.10-3
(degrés Celsius)
(bar)
θ1 = 0
P1 = 4,976
θ=5
P = 5,838
205,91
θ2 = 35
P2 = 13,55
243,22
Vapeur saturée
(v indice de la vapeur)
hv en kJ.kg-1
vv en m3.kg-1
405,36
0,04714
0,788.10-3
0,867.10-3
407,15
0,04036
415,73
0,01727
Tableau B : enthalpie et entropie massiques
Les tables fournies par les fabricants de fréon donnent l'enthalpie massique hv en kJ.kg-1 et l'entropie massique sv en kJ.K-1.kg-1 pour
la vapeur surchauffée de Δθ au-delà de la saturation à pression P2 = 13,55 bar correspondant à θ2 = 35 °C pour l'équilibre liquidevapeur.
L'entropie massique du liquide saturant à 0°C sous la pression P1 vaut 1 kJ.K-1.kg-1.
Δθ (°C)
0
5
10
15
20
25
30
Réponse : eo =
hv
415,7
420,3
424,7
429,1
433,4
437,7
441,9
sv
1,706
1,721
1,735
1,749
1,762
1,775
1,787
T2
= 8,8 ; xA = 21% ; q1 = 162 kJ.kg-1 ; θC = 50°C ; wBC = 23,7 kJ.kg-1 ; T1 < T2 < TC ; e = 7,8 ; Dm = 80,7 g.s-1 ;
T 2 −T1
xB0 = 94%.
€ Etude d'un climatiseur
III
On s'intéresse au fonctionnement d'un appareil de climatisation, dont le but est de maintenir une température constante (T0 = 20°C)
dans un local été comme hiver. Le climatiseur fonctionne donc en pompe à chaleur l'hiver, en machine frigorifique l'été. Les transferts
thermiques du climatiseur se font avec 2 thermostats (ou sources de chaleur) :
•
L'intérieur de la pièce (à T0).
•
L'atmosphère extérieure (on prendra T1 = 0°C en hiver ; T2 = 40°C en été afin de prévoir des conditions « extrêmes »).
Le fluide caloporteur qui effectue des cycles dans l'appareil est l'ammoniac. Ses caractéristiques thermodynamiques sont résumées dans
le diagramme entropique T(S) où sont représentées :
•
les isenthalpiques (H est donné en kJ/kg) ;
•
les isobares (représentées par des
pointillés
dans le domaine «
vapeur sèche»).
On donne, par ailleurs, les pressions
de vapeur saturante Ps(T) aux trois
températures d'étude :
Ps(0°C) = 4,3 bar ; Ps(20°C) = 8,2
bar ;
Ps(40°C) = 15 bar
On se limitera à l'étude du climatiseur en
régime permanent.
Par un jeu de vannes adéquat, le fluide peut
circuler dans un sens pour chauffer la pièce
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(A, B, C, D, A) ; dans l'autre sens pour la rafraîchir (B, A, D, C, B).
Le circuit comporte 2 parties isobares
•
L'une à la pression de vapeur saturante de l'ammoniac à 20°C (côté local) ;
•
L'autre à la pression de vapeur saturante de l'ammoniac à Text (côté atmosphère extérieure).
Par ailleurs, on rappelle qu'à la traversée d'une partie active (compresseur, détendeur
ou échangeur) l'énergie reçue par le fluide circulant en régime permanent vérifie : Δh
= hs – he = w u + q
si he et hs sont les enthalpies massiques du fluide à l'entrée et à la sortie ;
wu et q étant le travail et le transfert thermique utiles reçus (c'est-à-dire échangés avec
l'extérieur du circuit, excluant le travail des forces de pression) par kilogramme de
fluide traversant la partie active.
Le fluide subit des échanges de chaleur isobares (sans recevoir de travail utile) dans
les échangeurs El et E2 avec les 2 sources de chaleur (ou thermostats) (local et
atmosphère extérieure). Un système de ventilation permet d'améliorer les échanges
thermiques : la température du fluide est celle de la source d'échange à la sortie de
chacun d'entre eux.
sortie
entrée
partie
active
q
wu
Le compresseur comprime de manière adiabatique et réversible le fluide à l'état gazeux de la plus faible à la plus forte pression. L'unité
de masse de fluide traité y reçoit le travail utile wu.
Le fluide subit une détente adiabatique, sans échange de travail utile, dans le détendeur (la détente est donc isenthalpique).
1. Généralités
1-1- Comment réalise-t-on un détendeur (détente isenthalpique d'un fluide) ? Quel autre nom porte une telle détente ?
1-2- Le premier principe de thermodynamique est bien vérifié dans une partie active ; c'est pourtant Δh (et non Δu) qui est égal à (wu
+ q)... Expliquer qualitativement (sans entrer dans le détail d'une démonstration) cette différence.
1-3- En supposant que l'ammoniac, à l'état gazeux dans le compresseur, est assimilable à un gaz parfait de coefficient adiabatique γ
constant, exprimer le rapport Ts/Te (des températures absolues de sortie et d'entrée dans le compresseur) en fonction de γ et Ps/Pe
(rapport des pressions de sortie et d'entrée du compresseur).
1-4- Par lecture du graphe fourni en annexe, déduire les enthalpies massiques de vaporisation de l'ammoniac à 0°C, 20°C et 40°C.
2. Fonctionnement hivernal du climatiseur (chauffage)
Dans ce cas :
•
l'échangeur El est un condenseur : l'ammoniac y entre en B sous forme de vapeur sèche ; il en ressort sous forme de liquide
saturant en C, à la température T0 du local ;
•
l'échangeur E2 est un évaporateur : le mélange liquide vapeur qui entre en D se vaporise totalement pour ressortir sous forme de
vapeur saturante en A à la température de l'atmosphère extérieure T1 = 0°C.
2-1- Tracer le cycle (en l'orientant) de l'ammoniac sur le diagramme entropique. Trouver graphiquement sa température TB à la sortie
du compresseur.
2-2- Déterminer (graphiquement), pour 1kg d'ammoniac traité (on rappelle que El, E2 et le compresseur sont des parties actives) :
•
Le travail wu fourni par le compresseur au fluide ;
•
Le transfert thermique qc reçu par le fluide (de la part du local) lors du passage dans l'échangeur El ;
•
Le transfert thermique qf reçu par le fluide (de la part de l'extérieur) lors de son passage dans E2.
Faire un bilan énergétique du cycle.
2-3- Définir et calculer l’efficacité (ou coefficient de performance) η du climatiseur. Quel intérêt présente une telle installation par
rapport à un chauffage par chaudière ? Quel serait l’efficacité si le fluide effectuait des cycles de Carnot en effectuant les échanges
thermiques avec les mêmes thermostats ? En quoi le cycle effectué diffère-t-il d'un cycle de Carnot ?
2-4- Quelle est la fraction massique de vapeur xD à la sortie du détendeur ?
2-5- En utilisant le résultat de la question 1-3-, évaluer l'indice adiabatique γ du gaz ammoniac.
3. Fonctionnement estival du climatiseur (rafraîchissement)
Les rôles des 2 échangeurs sont inversés : El est un évaporateur ; E2 un condenseur.
3-1- Tracer le cycle (orienté) de l'ammoniac sur le diagramme entropique (on affectera les points de l'indice '). En déduire sa
température T'A à la sortie du compresseur.
3-2- Déterminer (graphiquement), pour 1 kg d'ammoniac traité (même remarque qu'en 2-2-)
•
Le travail w'u fourni par le compresseur;
•
La chaleur q'l reçue (de la part de la pièce) lors du passage dans l'échangeur E1 ;
•
La chaleur q'2 reçue (de la part de l'extérieur) lors du passage dans E2.
3-3- Définir et calculer le nouveau coefficient de performance η' du climatiseur.
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γ −1
⎛ T ⎞ ⎛ P ⎞ γ
Réponse : ⎜ s ⎟ = ⎜ s ⎟ ; Δhvap(0°C) = 1240 kJ.kg-1 ; Δhvap(20°C) = 1135 kJ.kg-1 ; Δhvap(40°C) = 1050 kJ.kg-1 ; TB = 55°C ;
⎝ T e ⎠ ⎝ Pe ⎠
wu = 100 kJ.kg-1 ; qc = -1230 kJ.kg-1 ; qf = 1130 kJ.kg-1 ; η = - qc/wu = 12,3 ; ηCarnot = 14,7 ; xD = 8% ; γ = 1,40 ; TA’ = 68°C ;
w’u = 100 kJ.kg-1 ; q’1 = 1025 kJ.kg-1 ; q’2 = - 1125 kJ.kg-1 ; η' = q’1/w’u = 10,3.
€
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IV A propos du stockage des déchets nucléaires
Le stockage des déchets radioactifs constitue un problème majeur dans la poursuite du programme nucléaire des nations. De
nombreuses solutions sont à l’étude. Une d’entre elles a pour but d’enfouir, dans la roche, ces résidus inutilisables en les incorporant au
béton. On se propose, ici, d’étudier un des problèmes posés par cette méthode : le contrôle de la production de chaleur.
Les parties A et B sont totalement indépendantes.
Partie B
Refroidissement de la salle de stockage
Une installation frigorifique assure le maintien de la cellule (ou salle) de stockage des déchets à une température modérée. Un fluide
(fréon) permet, en décrivant un cycle supposé quasi-statique, de prélever de l’énergie à l’intérieur de la salle et de céder de l’énergie à
une source extérieure.
•
•
•
•
A la sortie de l’évaporateur (radiateur échangeur) E, la vapeur sèche, tout juste saturante à la pression P1 et à la température T1
(état A), est entraînée dans le compresseur P où elle est comprimée jusqu’à la pression P2 et la température T’2 (état B). La
compression AB est considérée comme isentropique.
Maintenu sous la pression constante P2, le fluide, entièrement gazeux, pénètre dans le condenseur (radiateur échangeur) C où
il se refroidit, puis se liquéfie totalement. A la fin de cette étape, l’état du corps pur est caractérisé par les paramètres P2 et T2
(état C).
Le liquide passe ensuite dans le détendeur D, dans lequel il subit une détente isenthalpique (absence de pièces mobiles) en se
vaporisant partiellement : soit x le titre (ou fraction) massique en vapeur. Au terme de cette étape, l’état du corps pur est
caractérisé par les paramètres P1 et T1 (état D).
Ce mélange liquide-vapeur pénètre ensuite dans l’évaporateur E, où il achève, à pression constante, de se vaporiser à l’état de
vapeur saturante (état A).
Hypothèses de travail :
•
•
•
•
•
•
Le groupe fonctionne en régime permanent. L’énergie cinétique du fluide et l’action de la pesanteur sont négligées.
h est l’enthalpie de l’unité de masse (1 kg) de ce corps pur (ou enthalpie massique).
cl est le cœfficient thermique massique (constant) du fréon liquide.
P*(T) est la pression de l’équilibre liquide-vapeur du corps pur, ou pression de vapeur saturante, à la température T.
La chaleur latente (massique) de vaporisation du fluide, à la température T, est notée LV(T).
Le corps pur gazeux, de masse molaire M, est supposé parfait. Sa caractéristique énergétique γ = cp,m/cv,m (rapport des
coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et isochore) est constante.
Données :
T (K)
P*(T) (bar)
240
0,85
250
1,25
265
2,40
280
3,90
T1 = 240 K
LV(T1) = 170 kJ.kg-1
T2 = 310 K
LV(T2) = 130 kJ.kg-1
-3
-1
M = 120.10 kg.mol
γ = 1,20
R = 8,31 J.mol-1.K-1 (constante des gaz parfaits)
295
5,90
310
8,50
P1 = 0,85.105 Pa
P2 = 8,50.105 Pa
cl = 1,00 kJ.K-1.kg-1
1) Diagramme du corps pur
a) Soit u le volume massique du corps pur. Représenter l’allure du cycle dans le diagramme P = f(u) du corps pur. On y fera
figurer la courbe de saturation du fluide, les isothermes, ainsi que les points A, B, C et D.
b) Représenter l’allure du cycle dans le diagramme P = f(T) du corps pur. On y représentera la courbe d’équilibre P*(T) ainsi
que les points A, B, C et D.
2) Compression
a) Exprimer, en fonction de T1, P1, P2 et γ, la température T’2 du fréon à la sortie du compresseur P.
b) Le travail massique w, reçu par l’unité de masse de corps pur ayant transité dans le compresseur, est égal à la variation
d’enthalpie massique ΔhAB de ce fluide. Donner, en fonction de T1, T’2, M, R et γ, l’expression de w.
c) Application numérique : calculer T’2 et w.
3) Refroidissement et liquéfaction dans le condenseur (B → C)
a) Donner la température d’apparition de la première goutte de fréon liquide.
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b) Exprimer, en fonction de T2, T’2, M, R, γ et LV(T2), l’expresssion de la variation d’enthalpie massique ΔhBC du fluide.
c) Application numérique : calculer ΔhBC.
4) Détente isenthalpique (C → D)
a) Le fréon entre liquide à la température T2 dans le détendeur D, et en sort sous forme de mélange liquide-vapeur à la
température T1. La détente est isenthalpique. Soient hliq et hvap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement liquide et
vapeur. Donner la relation entre hliq(T2), hliq(T1), hvap(T1) et x.
b) Le liquide étant de volume massique constant, il n’échange que de la chaleur avec l’extérieur : la variation d’enthalpie du
liquide est approximativement égale à la variation d’énergie interne. Pour cette détente, quelle relation peut-on écrire entre
Δhliq,CD, cl, T1 et T2 ?
c) Exprimer, en fonction de cl, T1, T2 et LV(T1), la fraction massique de vapeur x à la sortie du détendeur.
d) Application numérique : calculer x.
5) Fin de la vaporisation (D → A)
a) Donner, en fonction de x et de LV(T1), la quantité de chaleur ΔhDA reçue par 1 kg de corps pur au cours de cette étape.
b) Application numérique : calculer ΔhDA.
6) Bilan énergétique du cycle
a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle.
b) Définir l’efficacité frigorifique εfr de l’installation.
c) Application numérique
α) Calculer εfr.
β) Pour maintenir, en régime stationnaire, une cellule de stockage de déchets à température constante, il est nécessaire de
prélever une puissance thermique de 105 W. Calculer la puissance mécanique moyenne à fournir au fluide.
γ) Calculer la valeur correspondante de Dm, débit massique moyen du fréon, dans le circuit.
1−γ
γ
⎛ P ⎞
Réponse : T ' 2 = T1⎜ 1 ⎟
⎝ P2 ⎠
γR
γR
(T ' 2 −T1) ; ΔhBC =
(T − T ' ) − L (T ) ;
γ
−
1
M
γ
−
( )
( 1) M 2 2 V 2
c l (T 2 −T1 )
ΔhDA
x [ hvap (T1 ) − hliq (T1)] + hliq (T1) − hliq (T 2 ) = 0 ; x =
; ΔhDA = (1− x ) LV (T1) ; εfr.=
= 2,14 ; Pméca = 46,65 kW ;
LV (T1 )
w
D
€
€
€m = 1 kg.s-1.
; w=
€
V Chauffage d’une pièce
Les dimensions d’une pièce sont L, l et h.
L’air de la pièce est régénéré en 1 h.
Calculer la puissance du radiateur.
€
€
20°C
1°C
Réponse : environ 300 W.
VI Réfrigérateur à condensation : utilisation d’un diagramme (P, h)
Les températures exprimées en Kelvin seront indiquées par le symbole T, celles en degré Celsius par le symbole θ.
Données numériques :
Constante des gaz parfaits :
Masse molaire du Fréon :
R = 8,315 J.K-1.mol-1
M = 121 g.mol-1
Rappel : le premier principe appliqué au fluide en écoulement dans une des parties de la machine s’écrit Pu + Pth = Dm ( hs − he ) où Pu
est la puissance utile échangée par le fluide (puissance mécanique autre que celle des forces de pression), Pth est la puissance
thermique à travers les parois, he l’enthalpie massique du fluide à l’entrée, hs l’enthalpie massique du fluide à la sortie et Dm est le
débit massique du fluide.
€
1) Diagramme (logp, h) du Fréon
Le Fréon, de masse molaire M = 121 g.mol-1, est un agent thermique très utilisé dans les installations frigorifiques. Le diagramme
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Machines thermiques
(logp, h) est donné en annexe pour le Fréon. Dans ce diagramme h représente l'enthalpie massique exprimée en kJ.kg-1 (en prenant
pour origine l'enthalpie massique du Fréon liquide bouillant à la température de référence Tref = 135,00 K) et logp le logarithme en
base 10 du rapport de la pression à une valeur de référence po égale à la pression standard po = 1 bar = 105 Pa.
Sur ce diagramme sont représentées la courbe de saturation, les isothermes (pour des températures θ exprimées en degré Celsius,
allant de -10°C à 70°C par pas de 5°C), les isentropes (pour des entropies massiques variant de 550 J.K-1.kg-1 à 1250 J.k-1.kg-1
par pas de 50 J.K-1.kg-1) et les isotitres en vapeur pour des titres en vapeur (ou fractions massiques vaporisées) x variant de 0 à 1
par pas de 0,1.
a) Reproduire l'allure du diagramme fourni en le complétant vers les pressions plus élevées. Préciser où se situent la courbe de
rosée, la courbe d'ébullition, le point critique, les domaines du liquide seul, des équilibres liquide-vapeur et de la vapeur sèche.
Justifier qu'à l'intérieur de la courbe de saturation une isotherme soit également une isobare. A l'aide du diagramme (logp, h)
proposer deux méthodes pour déterminer la valeur de l'enthalpie massique de vaporisation Δvaph (ou chaleur latente massique
de vaporisation lvap) du Fréon à une température T donnée.
Application numérique : déterminer la valeur de Δvaph du Fréon pour θ = -10°C en utilisant les deux méthodes.
b) Si l'on poursuivait le diagramme vers les basses pressions, que pourrait-on dire de la pente des isothermes dans le domaine de
la vapeur sèche ? A l'aide du diagramme (logp, h) proposer une méthode pour déterminer l'ordre de grandeur de la capacité
thermique massique cp du Fréon gazeux au voisinage d'un point du domaine de la vapeur sèche.
Application numérique : déterminer la valeur de cp pour la vapeur sèche à 40°C et 6,31 bar; en assimilant la vapeur à un gaz
parfait, en déduire la valeur du rapport γ des capacités thermiques massiques en ce point.
2) Cycle du Fréon dans un réfrigérateur à condensation
Une machine frigorifique fonctionne en régime permanent en échangeant de l'énergie par transfert thermique avec une source
chaude, l'air extérieur à la température θc = 20°C, et une source froide à la température θf = 0°C constituée par le local à réfrigérer.
Cette machine ditherme contient un agent frigorifique, le Fréon. La figure en annexe indique le fonctionnement de la machine et le
sens de circulation du fluide frigorifique avec un débit massique Dm = 4,50 kg.min-1.
On désigne par :
Pth froid la puissance thermique échangée par le Fréon avec la source froide au niveau de l'évaporateur (Pth froid > 0);
Pth chaud la puissance thermique échangée par le Fréon avec la source chaude au niveau du condenseur
(Pth chaud < 0);
Pu la puissance mécanique utile échangée par le Fréon dans le compresseur du moteur qui le fait tourner (Pu > 0).
Le cycle du Fréon présente les caractéristiques suivantes :
- La puissance thermique échangée par le Fréon dans l'évaporateur permet la vaporisation complète du Fréon venant de (4)
et conduit à de la vapeur saturante à la température θ1 = -10°C : point (1)
- Le compresseur aspire la vapeur saturante (1) et la comprime avec un taux de compression r = p2/p1 = 5,10. La
température du Fréon en sortie du compresseur vaut θ2 = 70°C : point (2). Les parois du compresseur sont supposées
adiabatiques.
- Le Fréon sortant du compresseur entre dans le condenseur qui permet son refroidissement jusqu'à la température θ3 = 35°C
: point (3). On considère que le passage dans le condenseur est isobare.
- Le Fréon sortant du condenseur est détendu dans une vanne supposée adiabatique jusqu'à la pression de l'évaporateur :
point (4).
- Le passage dans l'évaporateur est supposé isobare.
On considère que dans tout le cycle les énergies potentielle et cinétique massiques sont négligeables devant les enthalpies
massiques et que les pertes de charge sont négligeables dans les différentes conduites, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'entropie crée par
frottement visqueux.
a) Placer sur le diagramme donné en annexe le point (1). Donner la pression p1 de la vapeur saturante au point (1), son titre en
vapeur x1, son enthalpie massique h1 et son entropie massique s1 (on pourra utiliser une méthode d'interpolation linéaire).
b) Calculer la pression p2 du Fréon en sortie du compresseur au point (2). Placer sur le diagramme donné en annexe le point (2).
Préciser l'état physique du Fréon au point (2) et son titre en vapeur x2. Déterminer son enthalpie massique h2 et son entropie
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PCSI 2
Machines thermiques
massique s2.
c) Placer sur le diagramme le point (2') qui correspond à l'état du Fréon que l'on obtiendrait en sortie du compresseur dans le cas
idéal où le fonctionnement du compresseur serait isentropique, pour un même taux de compression r = p2'/p1 que
précédemment. Donner la température θ2', le titre en vapeur x2', l'enthalpie massique h2' et l'entropie massique s2' du fluide au
( Pu ) S
, ( Pu ) S est la puissance utile qui serait échangée
Pu
par le fluide dans le cas idéal où la compression serait isentropique et Pu est la puissance utile échangée par le fluide dans le cas
réel où la compression est adiabatique.
€
€ Préciser l'état physique du Fréon au point (3) et son titre en vapeur x .
d) Placer sur le diagramme donné en annexe le point (3).
3
€ s .
Déterminer son enthalpie massique h3 et son entropie massique
3
point (2'). En déduire le rendement isentropique du compresseur ηcomp =
e) La détente dans la vanne est une détente de Joule-Kelvin (isenthalpique). Placer sur le diagramme donné en annexe le point
(4). Préciser l'état physique du Fréon au point (4), sa température θ4 et son titre en vapeur x4. Donner son enthalpie massique h4
et son entropie massique s4.
f) Tracer sur le diagramme le cycle décrit par le Fréon pour cette machine frigorifique. Calculer la puissance utile échangée par
le Fréon dans le compresseur et la puissance thermique échangée par le Fréon avec la source froide au niveau de l'évaporateur.
g) Définir l'efficacité, ou coefficient de performance, de ce réfrigérateur. Calculer sa valeur. Comparer cette valeur à celle d'un
réfrigérateur de Carnot fonctionnant entre la température de l'évaporateur et la température de liquéfaction du Fréon sous la
pression p2. Commenter le résultat obtenu.
Source chaude
(milieu extérieur)
3
Pthchaud
2
Condenseur
Vanne de
détente
Figure 2
Compresseur
à moteur
électrique
P
u
Pind
Evaporateur
4
Pthfroid
1
Source froide
(local à réfrigérer)
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PCSI 2
Machines thermiques
Réponse : lvap(-10°C) = 158 kJ.kg-1 ; Cp = 625 J.K-1.kg-1 ; γ = 1,12 ; p1 = 2,2 bar ; x1 = 1 ; h1 = 258 kJ.kg-1 ; s1 = 1116 J.K-1.kg-1 ;
p2 = 11,22 bar ; x2 = 1 ; h2 = 298 kJ.kg-1 ; s2 = 1150 J.K-1.kg-1 ; θ2’ = 55°C ; x2’ = 1 ; h2’ = 286 kJ.kg-1 ; s2’ = 1116 J.K-1.kg-1 ;
ηcomp = 0,7 ; x3 = 0 ; h3 = 144 J.kg-1 ; s3 = 667 J.K-1.kg-1 ; θ4 = -10°C ; x4 = 0,27 ; h4 = 144 J.kg-1 ; s4 = 685 J.K-1.kg-1 ;
Pu = 3 kW ; Pthfroid = 8,55 kW ; η = 2,85 ; ηC = 4,70.
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